广东省潮州市2015届高三数学上学期期末试卷理(含解析)

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广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：三角函数

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．2、（佛山市2015届高三）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据:2CD =,CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)3、（广州市2015届高三）将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上 ()()sin f x x ωϕ=A +0A >0ω>2πϕ<ϕ=6π-6π3π-3πC图1平移1个单位，所得图象的函数解析式是A ．22cos y x =B ．22sin y x =C ．1sin 23y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．cos 2y x =4、（江门市2015届高三）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若075=∠A 、060=∠B 、10=c ，则=bA ．35B ．65C ．310D ．6105、（汕尾市2015届高三）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若1,45,a B A B C =∠=∆的面积2S =，则b 边长6、（韶关市2015届高三）已知α为第二象限角，54sin =α，则sin(2)πα+= .A 2425- .B 2425 .C 1225.D 1225-二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数，．求的值；若，，求的值．2、（佛山市2015届高三）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0ω>,x ∈R )的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调递减区间.()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭R x ∈()1()f π()22635f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()2fα3、（广州市2015届高三）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点. （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭34f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值.4、（惠州市2015届高三）已知函数，（其中），其部分图像如图2所示．（1）求函数的解析式；,,M N P 都在函数（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点的图像上，求的值．5、（江门市2015届高三）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈．⑴求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ；⑵若31)82(-=+παf ，求αcos 的值．6、（揭阳市2015届高三）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知ABC ∆的面积32S =，4cos 5B =，b = （1）求a 和c 的值；（2）求cos()B C -的值．7、（清远市2015届高三）已知函数1()cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B,()1c f C =，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积.()sin()f x A x ωϕ=+x ∈R ππ0,0,22A ωϕ>>-<<()f x ()f x sin MNP ∠图28、（汕头市2015届高三）已知函数，.（1）在给定的直角坐标系中，运用“五点法”画出该函数在的图像。

广东省潮州市松昌中学2015届高三数学上学期第二次统测试卷理(含解析)

广东省潮州市松昌中学2015届高三上学期第二次统测数学试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（）A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}2．（5分）函数y=的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1] D．[0，1]3．（5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣14．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有lg（x2+1）≥0，q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）5．（5分）函数y=的图象是（）A．B．C．D．6．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x7．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A．13 B．2 C．D．8．（5分）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x+2|﹣|x﹣1|≤0的解集为．10．（5分）|log2|+|log2|=．11．（5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为．12．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=．13．（5分）设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k，已知函数f k（x）=，取函f（x）=3﹣x﹣e﹣x．若对任意的x∈（﹣∞，+∞），恒有f k （x）=f（x），则k的取值范围为．（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）【几何证明选讲选做题】14．（5分）如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=2，AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为．【坐标系与参数方程选讲选做题】15．以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）设全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x||x|=y+2，y∈A}，求∁U B，A∩B，A∪B．17．（13分）已知实数a＜0，函数f（x）=ax（x﹣1）2+a+1（x∈R）（1）若a=﹣1，求函数f（x）的图象在点（﹣1， 4）处的切线方程；（2）若f（x）有极大值﹣2，求实数a的值．18．（13分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=x （1﹣x）；（1）求当﹣1≤x≤0时，f（x）的解析式．（2）求f（x）在[﹣1，1]上的单调区间和最大值．19．（14分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R），（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t，使得不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x都成立？若存在，求t，若不存在，说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．21．（14分）已知函数，x∈R．（1）若g（x）是f（x）的导函数，且g（x）满足：对于任意x∈R都有，且g（x）≥2x，求n的取值范围．（2）当n=0，且m＜0时，求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值．广东省潮州市松昌中学2015届高三上学期第二次统测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（）A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：列举出N中的元素，求出M与N的交集即可做出判断．解答：解：∵M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}，∴N⊆M，M∩N={2，3}，M∪N={1，2，3}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）函数y=的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1] D．[0，1]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项解答：解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选B点评：本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题．3．（5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x＜0，∴函数f（x）=x+1=+1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号．因此f（x）有最大值﹣1．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．4．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有lg（x2+1）≥0，q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．解答：解：命题p：由x2+1≥1得lg（x2+1）≥0，则p真；由x＞2⇒x＞1，反之不成立，则q假．因此p∧￢q为真命题．故选：D．点评：本题考查了复合命题真假的判定方法、充要条件的判定，属于基础题．5．（5分）函数y=的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先根据得到函数为奇函数，关于原点对称，排除A，C，再根据增长的快慢程度，排除D．问题得以解决．解答：解：设f（x）=，∴f（﹣x）=﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，C，∵f（x）=增长越来越慢，故排除D．∴选项B符合，故选：B．点评：本题主要考察了幂函数的图象的性质，属于基础题．6．（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．解答：解：A．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；B．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故B正确；C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故C 错；D．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故D错．故选B．点评：本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．7．（5分）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A．13 B．2 C．D．考点：函数的值．专题：压轴题．分析：根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案．解答：解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2∴，，，，∴，∴故选C．点评：此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解．8．（5分）设函数f（x）=x3﹣4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A．x1＞﹣1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论．解答：解：∵函数f （x）=x3﹣4x+a，0＜a＜2，∴f′（x）=3x2﹣4．令f′（x）=0，得x=±．∵当x＜﹣时，f′（x）＞0；在（﹣，）上，f′（x）＜0；在（，+∞）上，f′（x）＞0．故函数在（﹣∞，﹣）上是增函数，在（﹣，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．故f（﹣）是极大值，f（）是极小值．再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，得 x1＜﹣，﹣＜x2＜，x3＞．根据f（0）=a＞0，且f（）=a﹣＜0，得＞x2＞0．∴0＜x2＜1．故选C．点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x+2|﹣|x﹣1|≤0的解集为x≤．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式变形为|x+2|≤|x﹣1|，等价于|x+2|2≤|x﹣1|2，去掉绝对值解一元一次不等式即可．解答：解将不等式变形为：|x+2|≤|x﹣1|⇔|x+2|2≤|x﹣1|2，化简得6x≤﹣3，∴x≤．故答案为：x≤．点评：本题考查绝对值不等式的解法，将不等式等价转化为一元一次不等式是关键，着重考查学生转化思想与运算能力．10．（5分）|log2|+|log2|=2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的性质和运算法则求解．解答：解：=|log23﹣3|+|log23﹣1|=3﹣log23+log23﹣1=2．故答案为：2．点评：本题考查对数式求值，是基础题，解题时要注意对数运算性质的合理运用．11．（5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由题意可得f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，代入整理可求a，由g（x）=是奇函数，结合奇函数的性质可知g（0）=0，代入可求b，从而可求a+b解答：解：∵f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数∴f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立∴lg（10x+1）+ax=lg（10﹣x+1）﹣ax∴=lg（10x+1）﹣x∴（2a+1）x=0∴2a+1=0即∵g（x）=是奇函数∴g（0）=1﹣b=0∴b=1∴故答案为：点评：本题主要考查了奇偶函数的定义的应用，解题中要善于利用奇函数的性质f（0）=0（0在该函数的定义域内）可以简化基本运算．12．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=3．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．故答案为：3．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在2015届高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在2015届高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．13．（5分）设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k，已知函数f k（x）=，取函f（x）=3﹣x﹣e﹣x．若对任意的x∈（﹣∞，+∞），恒有f k （x）=f（x），则k的取值范围为k≥2．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．解答：解：对任意的x∈（﹣∞，+∞），恒有f k（x）=f（x），等价于对任意的x∈（﹣∞，+∞），恒有f（x）=3﹣x﹣e﹣x≤k，由f'（x）=﹣1+e﹣x，知当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；则f（x）max=f（0）=2；故k≥2．故答案为：k≥2．点评：本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）【几何证明选讲选做题】14．（5分）如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=2，AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：要求圆心O到AC的距离，我们要先做出O点到AC的垂线段OE，则OE的长度即为所求，根据半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，故我们要要求出半弦长（BE），根据切割线定理，我可以求出AB长，进而得到BE，代入即可得到答案．解答：解：连接OB，过O点向AC引垂线，垂足为E，∵AD=2，AC=6，由切割线定理可得，AD2=AC•AB，∴AB=2，∴BC=4，由垂径定理得BE=2．又∵R=OB=3，∴OE=，故答案为：．点评：要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解．【坐标系与参数方程选讲选做题】15．以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为5．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把参数方程、极坐标化为直角坐标方程，求得A到圆心C的距离AC，再加上半径，即为所求．解答：解：把点A的极坐标（2，）化为直角坐标为（2，2），把曲线C的参数方程为，消去参数，化为直角坐标方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1，表示以C（2，﹣2）为圆心、半径等于1的圆．求得AC=4，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为AC+r=4+1=5，故答案为：5．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点和圆的位置关系，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）设全集U=R，集合A={x|＜0}，B={x||x|=y+2，y∈A}，求∁U B，A∩B，A∪B．考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据y属于A，确定出B值x的范围确定出B，求出B的补集，找出A与B的交集与并集即可．解答：解：由中不等式变形得：（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3，即A=（﹣2，3）；∵y∈A，∴﹣2＜y＜3，∴0＜|x|＜5，∴B=（﹣5，0）∪（0，5），∴∁U B=（﹣∞，﹣5]∪{0}∪[5，+∞），A∩B=（﹣2，0）∪（0，3），A∪B=（﹣5，5）．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．17．（13分）已知实数a＜0，函数f（x）=ax（x﹣1）2+a+1（x∈R）（1）若a=﹣1，求函数f（x）的图象在点（﹣1，4）处的切线方程；（2）若f（x）有极大值﹣2，求实数a的值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=﹣1代入，对函数求导，求得切线斜率及切点的坐标，从而可求切线方程；（2）先求导函数，研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值，结合条件进行判断即可．解答：解：（1）∵当a=﹣1时，f（x）=﹣x（x﹣1）2=﹣x3+2x2﹣x，f′（x）=﹣3x2+4x﹣1，∴f′（﹣1）=﹣3﹣4﹣1=﹣8，∴切线方程是：y﹣4=﹣8（x+1）即8x+y+4=0；（2）∵函数f（x）=ax（x﹣1）2+a+1（x∈R），∴f′（x）=a（3x2﹣4x+1）=a（3x﹣1）（x﹣1）∵a＜0，令f′（x）=0，得x=或x=1，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，）（） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴f（x）在x=1处取得极大值﹣2．∴f（1）=a+1=﹣2，得a=﹣3，则实数a的值为﹣3．点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查由函数的导数的符号变化研究函数的单调区间与极值．18．（13分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=x （1﹣x）；（1）求当﹣1≤x≤0时，f（x）的解析式．（2）求f（x）在[﹣1，1]上的单调区间和最大值．考点：抽象函数及其应用；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：（1），令x∈[﹣1，0]，由f（x+1）=2f（x），和f（x）=x（1﹣x）；即可求出函数f（x）的解析式．（2）利用条件证明函数的单调性，然后利用单调性，求函数的最值即可．解答：解（1）令x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]…（1分）由已知，得（﹣1≤x≤0）．…（4分）（2）由（1）知，当0≤x≤1时，，…（5分）则f（x）在上单调递增，在上单调递减；…（6分）当﹣1≤x≤0时，，…（7分）则f（x）在上单调递增，在上单调递减；…（8分）故f（x）在[﹣1，1]上的单调递增区间为和，单调递减区间为和；…（9分）由f（x）在[﹣1，1]上的单调性知，f（x）在[﹣1，1]上的最大值为；…（11分）又，，因此，f（x）在[﹣1，1]上的最大值为．…（13分）点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用条件证明函数的单调性是解决本题的关键．19．（14分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R），（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；（2）是否存在实数t，使得不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x都成立？若存在，求t，若不存在，说明理由．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：（1）根据g（x）为增函数，h（x）为减函数，g（x）﹣h（x）是增函数，然后根据奇偶性的定义进行判定即可；（2）假设存在∵f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0恒成立，转化成进行求解即可．解答：解：（1）∵∴f（x）是奇函数（2）假设存在∵f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0恒成立即存在t=﹣使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0恒成立点评：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性的关系，即可求出单调区间，（2）分类讨论，分离参数，即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）由f（x）=x2﹣2lnx，得f（x）的定义域为（0，+∞），∴；则由f'（x）＞0且x＞0，得x＞1；由f'（x）＜0且x＞0，得0＜x＜1；所以，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（2）∵，若k′（x）=0，则x=2，当x∈[1，2）时，k′（x）＜0；当x∈（2，3]时，k′（x）＞0．故k（x）在x∈[1，2）上递减，在（2，3]上递增，∴．所以实数 a的取值范围是（2﹣2ln2，3﹣2ln3]点评：本题考查函数的单调区间的求法，不等式的解法，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）已知函数，x∈R．（1）若g（x）是f（x）的导函数，且g（x）满足：对于任意x∈R都有，且g（x）≥2x，求n的取值范围．（2）当n=0，且m＜0时，求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）g（x）=x2+mx+n，是g（x）的对称轴，从而m=1，由此能求出n的取值范围．（2）当n=0，且m＜0时，，则f'（x）=x2+mx=x（x+m），由此能求出f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值．解答：解：（1）g（x）=x2+mx+n，…（1分）∵对于任意x∈R都有，∴是g（x）的对称轴，即，…（2分）∴m=1…（3分）∵对于任意x∈R都有g（x）≥2x，即对于任意x∈R都有x2﹣x+n≥0…（4分）∴△=（﹣1）2﹣4n≤0…（5分）∴…（6分）（2）当n=0，且m＜0时，，x∈R．则f'（x）=x2+mx=x（x+m），令f′（x）=0，得x=0或x=﹣m．…（7分）①若﹣m≥1，即m≤﹣1，当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数，…（8分）所以f（x）的最大值为f（0）=0；…（9分）②若0＜﹣m＜1，即﹣1＜m＜0，当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（0，﹣m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（﹣m，1）时，f'（x）＞0；f（x）为增函数．…（11分）又而由得所以，当时，f（x）的最大值为；当时，f（x）的最大值为f（0）=f（1）=0；当时，f（x）的最大值为f（0）=0．…（13分）综上，f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为：．…（14分）点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。

广东省潮州市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高三数学(理科)试卷

广东省潮州市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高三数学（理科）试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设全集U R =，集合{}02x x A =<≤，{}1x x B =<，则集合()U A B =ð（） A ．(],2-∞ B ．(],1-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞2、复数()()11z i i =+-在复平面内对应的点的坐标为（）A ．()1,0B ．()2,0C ．()0,1D ．()0,2 3、若向量()2,1a =-，()0,2b =，则以下向量中与a b +垂直的是（） A ．()1,2- B ．()1,2 C ．()2,1D ．()0,24、已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（） A ．6π- B ．6πC ．3π-D ．3π5、设0.14a =，3log 0.1b =，0.10.5c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A π+B 2π+C ．2π+D ．π+7、已知数列{}n a 为等比数列，且201320150a a +=⎰，则()20142012201420162a a a a ++的值为（）A ．2πB ．2πC ．πD ．24π8、若函数()y f x =（R x ∈）满足()()1f x f x +=-，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，已知函数()lg ,01,0x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9、若不等式12x x m ++-≥恒成立，则实数m 的取值范围为． 10、曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为．11、已知抛物线22y px =（0p >）的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为．12、已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值是．13、二项式52ax ⎛⎝的展开式中常数项为160，则a 的值为．14、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张．不同取法的种数为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，R x ∈．()1求()f π的值；()2若2635f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．16、（本小题满分13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．()1将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有人成绩是“优良”的概率；()2从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．17、（本小题满分13分）如图，三棱柱111C C AB -A B 中，C C A =B ，1AB =AA ，160∠BAA =．()1证明：1C AB ⊥A ；()2若C 2AB =B =，1C A =，求二面角1C B -A -A 的余弦值．18、（本小题满分14分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且222n n S a n =+（n *∈N ）．()1求n a ，n S ；()2若k a ，22k a -，21k a +（k *∈N ）是等比数列{}n b 的前三项，设112233n n n a b a b a b a b T =+++⋅⋅⋅+，求n T ．19、（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点12⎫P ⎪⎪⎭，动点()2,t M （0t >）．()1求椭圆的标准方程；()2求以OM （O 为坐标原点）为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；()3设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．20、（本小题满分14分）已知函数()ln f x x a x =-，()1ag x x+=-（R a ∈）． ()1若1a =，求函数()f x 的极值；()2设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；()3若在[]1,e （ 2.718e =⋅⋅⋅）上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．潮州市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．3m ≤； 10．310x y --=； 11．2； 12．9； 13．2； 14．472．解析提示： 1． (,2]A B =-∞，∴()(2,)U A B =+∞ð.2．由于2(1)(1)12z i i i =+-=-=. 3．(2,1)a b +=，用排除法. 4．由图可知2A =，4()312T πππ=⨯-=，故2ω=，又()212f π=，所以22()122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，故23k πϕπ=+，又||2πϕ<．所以3πϕ=.5．由指数函数、对数函数的性质可知1a >，0b <，01c <<．6．由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，于是该几何体的体积为211[(1)2222V ππ=⨯+⨯⨯=+．7．22013201501(2)4a a ππ+==⨯⨯=⎰，因为数列{}n a 是等比数列，所以2201420122014201620142012201420142016(2)2a a a a a a a a a ++=++ 2220132013201520152a a a a =++2220132015()a a π=+=．8．分别作出函数()f x 与()g x 的图象，由图象可知函数()()()h x f x g x =- 在区间[5,5]-内的零点的个数为8个..9．利用绝对值的几何意义可知|1||2|3x x ++-≥．10．由于2'36y x x =-+，故1'|363x y ==-+=，切点（1，2），所以所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．11．抛物线22y px = (0p >)的准线为2p x =-；圆22(3)16x y -+=的圆心是(3,0)，半径为4r =，由题意得|3()|42p--=，解得2p =，或14p =-（舍）.. 12．画出满足条件的可行域，向上平移直线12y x =-经过点(1,4)时z 取得最大值为.13．51025522155()(2)(2)r r r r r r r r r T C ax x C a x ----+=-=-，令51002r -=，故4r =，所以常数项为445(2)80160C a a ⋅⋅-==，故2a =.14．若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分12分）解：（1）由已知得()2cos()2cos266f ππππ=-=-=-=………4分（2）因为22()2cos()2cos()2sin 3362f ππππαααα+=+-=+=-，又26()35f πα+=，故62sin 5α-=，即3sin 5α=-．. …………………6分又(,0)2πα∈-，故4cos 5α===．.……..……8分所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯-⨯=-， 2247cos 22cos 12()1525α=-=⨯-=．.……………….………….…10分所以(2)2cos(2)2cos 2cos2sin 2sin666f πππαααα=-=+724122()25252=⨯⨯-⨯=. ……....……12分 16．(本小题满分13分)解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为34，依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为34，………2分设事件A 表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，则0333163()1(1)146464P A C =-⨯-=-=．………………………….…...…5分答：至少有1人成绩是“优良”的概率为6364．.……………………...……6分（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．……………………………..7分333121(0)220C P C ξ===，12933129327(1)220220C C P C ξ⨯====， 219331236327(2)22055C C P C ξ⨯====，393128421(1)22055C P C ξ====．……..…11分所以ξ的分布列为∴ξ的期望12727219()012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．……………..…13分 17．（1）证明：取AB 的中点O ，连接CO ，1OA ，1A B 。

广东省四校2015届高三上学期期末联考数学(理科)试题参考答案及评分标准

2． z=− 【解析解析】在复平面内，复数解析 4.【解析解析】因为 sin x + cos x = 解析
2 sin( x + ) ≤ 2 ，而 > 2 ，故不存在这样的实数 x ，故 A 错； 4 2 a = 1 时，显然这两直线平行；反过来，若这两直线平行，则 a = ±1 . 因此， a = 1 是这两直线平行的充 x x 分不必要条件，故 B 错；命题“ ∀x > 0 ， e > x + 1 ”的否定应该是“ ∃x > 0 ， e ≤ x + 1 ” ，故 C 错； 1+ x 1 − x −1 1− x = lg( ) = − lg = − f ( x) ，故 f ( x) 在其排除 A、B、C ，答案选 D. 事实上， f (− x) = lg 1− x 1+ x 1+ x 定义域 ( −1, 1) 内是奇函数.
从而 S n =
60° ，以 OA、OB 为邻边作菱形 OACB （边长为 1），由向量加法的几何意义知， | p |=| OC | = 3 .
12.【解析解析】解析由“直径所对的圆周角为直角”知，使 ∠AMB ≥ 90° 的点 M 落在以 AB 为直径的半圆上或半圆内，由几何概型知，所求概率为 P ( A) =
1．【解析解析】集合 A = { x | 0 < x < 2} ， B = { x | x < −1或x > 1} ，则解析
A ∪ ∁U B = { x | 0 < x < 2} ∪ { x | −1 ≤ x ≤ 1} = { x | −1 ≤ x < 2} ，故选 B.
2i 2i (1 + i ) =− = −i (1 + i ) = 1 − i 对应的点的坐标为 (1, −1) ，故选 A. 1− i 2 1 1 2 1 2 1 3．【解析解析】作出可行域是 ∆AOB 及其内部，边界点 A( , ) 、O (0, 0) 、 B ( , ) ，易知当 x = , y = 时，解析 2 2 3 3 3 3 1 5 z = x + y 取得最大值为，故选 C. 2 6

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）ABC ．D ． 2、（佛山市2015届高三）已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题:①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、（广州市2015届高三）用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③ C．① ④ D ．② ④4、（惠州市2015高三）空间中，对于平面和共面．．的两直线、，下列命题中为真命题的是( )． A.若，，则 B.若，，则 C.若、与所成的角相等，则 D.若，，则5、（江门市2015届高三）如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为π+2π+2ππαm n m α⊥m n ⊥//n α//m α//n α//m n m n α//m n m α⊂//n α//m nA ．4B ．8C ．π2D ．π46、（揭阳市2015届高三）一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________7、（清远市2015届高三）某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿ 8、（汕头市2015届高三）给出下列命题，其中错误命题的个数为( ) （1）直线a 与平面不平行，则a 与平面内的所有直线都不平行；（2）直线a 与平面不垂直，则a 与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面A ．1 B2 C3 D 4αααα9、（汕尾市2015届高三）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β恒谦网，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥④若l m ⊥，则//αβ。

【恒心】2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编---导数及其应用【纯word精品版】

2015届广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用整理：李炳璋一、填空题1、（潮州市2015届高三）曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为2、（揭阳市2015届高三）函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在P 处的切线方程是3、（深圳市2015届高三）设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为4、（珠海市2015届高三）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f '-⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()ln f x x a x =-，()1ag x x+=-（R a ∈）．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（3）若在[]1,e （ 2.718e =⋅⋅⋅）上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．2、（佛山市2015届高三）已知函数()()ln x a f x x-=. （1）若1a =-,证明:函数()f x 是()0,+∞上的减函数；（2）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线0x y -=平行,求a 的值；（3）若0x >,证明:()ln 1e 1x x xx +>-(其中e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).3、（广州市2015届高三）已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 求a 的取值范围;（3）在（2）的条件下, 证明:()221f x x <-.4、（惠州市2015届高三）已知函数()(0)tf x x x x=+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设()g t MN =，求函数()g t 的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，求m 的最大值．5、（江门市2015届高三）已知函数1)(23-+=ax x x f （R a ∈是常数）．（1）设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点) )2( , 2(2121x x f x x M ++对称；（2）是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈∀x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线)(x f y =上．）6、（揭阳市2015届高三）若实数x 、y 、m 满足||||-≤-x m y m ，则称x 比y 更接近m . （1）若23-x 比1更接近0，求x 的取值范围；（2）对任意两个正数a 、b ，试判断2()2+a b 与222+a b 哪一个更接近ab ？并说明理由；（3）当2≥a 且1≥x 时，证明：ex比+x a 更接近ln x .7、（清远市2015届高三）设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. （1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①若b 是正实数，求使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立的b 取值范围； ②证明：不等式.)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑=．8、（汕头市2015届高三）已知函数R k k x x k x x x f ∈-+++++=]2)()[(log )(2222，（1）求函数)(x f 的定义域D （用区间表示）；（2）当2-<k 时，求函数)(x f 的单调递增区间．9、（汕尾市2015届高三）已知函数2()()x f x x bx b e =++的极值点为23x =-和1x =．（1）当1b =时，求函数()f x 的增区间；（2）当02b <≤时，求函数()f x 在[2,]b b -上的最大值．10、（韶关市2015届高三）已知函数()ln f x x a x =-，1()g x x=-，a R ∈；（1）设()()()h x f x g x =+，若()h x 在定义域内存在极值，求a 的取值范围；（2）设'()f x 是()f x 的导函数，若120x x <<，0a ≠，2121()()()f x f x f t x x -'=-12()x t x <<，求证：122x x t +<．11、（深圳市2015届高三）已知定义在]2,2[-上的奇函数)(x f 满足：当]2,0(∈x 时，)2()(-=x x x f ．（1）求)(x f 的解析式和值域；（2）设a ax x x g 2)2ln()(--+=，其中常数0>a ． ①试指出函数))(()(x f g x F =的零点个数；②若当11k+是函数))(()(x f g x F =的一个零点时，相应的常数a 记为k a ，其中1,2,,k n =．证明：1276n a a a +++<（*N ∈n ）．12、（珠海市2015届高三）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：m n N +∈、时，1111()[]ln()ln(1)ln(2)ln(1)m m n n m n m n m n m +++++>++-+-+．参考答案一、填空题1、3x -y -1=02、y x =-3、224、6160x y --= 二、解答题1、解：（1）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． …………………1分当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=． ………………2分由'()0f x =，解得1x =.当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减；当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=；……..4分（2）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞．又22221(1)(1)[(1)]'()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+=--==．…………..5分①当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)x ∈+∞上'()0h x >，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增.…………6分 ②当10a +>，即1a >-时，在(0,1)x a ∈+上'()0h x <，在(1,)x a ∈++∞上'()0h x >，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增；……………..……7分综上所述：当1a >-时，()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞．当1a ≤-时，()h x 只有递增区间为(0,)+∞．…………………………….8分（3）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．则函数1()ln ah x x a x x+=-+在[1,]e 上的最小值小于零．…………………9分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（2）可知()h x 在[1,]e 上单调递减．故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e+=+-<，可得211e a e +>-．因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； …………………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时，由（2）可知()h x 在[1,]e 上单调递增．故()h x 在[1,]e 上最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<，可得2a <-（满足0a ≤）；………………………………………………..…11分 ③当11a e <+<，即01a e <<-时，由（2）可知可得()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a a a a +=+-+．因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<．∴2ln(1)2a a a +-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去．…..…………13分综上所述得2a <-，或211e a e +>-．∴实数a 的取值范围为21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-．……………………….……14分 2、（1）当1a =-时,函数()f x 的定义域是()()1,00,-+∞,………………1分对()f x 求导得()()2ln 11xx x f x x-++'=,………………………………………………2分令()()ln 11xg x x x =-++,只需证:0x >时,()0g x ≤. 又()()()22110111xg x x x x '=-=-<+++,………………………………3分故()g x 是()0,+∞上的减函数,所以()()0ln10g x g <=-=…………………………5分所以()0f x '<,函数()f x 是()0,+∞上的减函数. ………………………………………6分（2）由题意知,()11x f x ='=,…………………………………………7分即()1ln 111a a --=-,()ln 101a a a--=-…………………………………8分令()()ln 1,11a t a a a a =--<-,则()()211011t a a a '=+>--,……………………9分故()t a 是(),1-∞上的增函数,又()00t =,因此0是()t a 的唯一零点,即方程()ln 101aa a--=-有唯一实根0,所以0a =,…………………………………10分 [说明]利用两函数1xy x=-与()ln 1y x =-图象求出0a =(必须画出大致图象),同样给至10分.（3）因为()ln e 11ln e e 1e 1e 1x x x x x x -+==---,故原不等式等价于()()ln e 11ln 1e 1xxx x -++>-,…11分由（1）知,当1a =-时,()()ln 1x f x x+=是()0,+∞上的减函数,………………………12分故要证原不等式成立,只需证明:当0x >时,e 1xx <-,令()e 1x h x x =--,则()e 10x h x '=->,()h x 是()0,+∞上的增函数,……………13分所以()()00h x h >=,即e 1xx <-,故()()1e x f x f >-,即()()ln e 11ln 1e 1e 1xx xx x x -++>=--…………………………………………………………14分3、（1）解: 函数()2ln af x x x x=--的定义域为()0,+∞, ()222221a x x af x x x x-+'=+-=, ………………………………………………1分令()0f x '=, 得220x x a -+=, 其判别式44a ∆=-,① 当0∆≤,即1a ≥时, 220x x a -+≥,()0f x '≥, 此时,()f x 在()0,+∞上单调递增;………………………2分② 当0∆>, 即1a <时, 方程220x x a -+=的两根为111x a =--,2111x a =+->,………………………3分若0a ≤, 则10x ≤, 则()20,x x ∈时, ()0f x '<, ()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时, ()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; ………………………4分若0a >,则10x >, 则()10,x x ∈时, ()0f x '>,()12,x x x ∈时, ()0f x '<,()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时, ()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增. ……5分综上所述, 当0a ≤时, 函数()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增; 当01a <<时, 函数()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增;当1a ≥时, 函数()f x 在()0,+∞上单调递增. ………………………6分（2）解:由（1）可知, 函数()f x 有两个极值点1x ,2x ,等价于方程220x x a -+=在()0,+∞有两不等实根, 故01a <<. ………………………7分（3）证明: 由（1）, （2）得01a <<, 211x a =+-, 且212x <<, 2222a x x =-+. ………8分 ()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, …………………9分令()2ln 1g t t t =--, 12t <<, 则()221t g t t t-'=-=, ………………………………………………10分由于12t <<, 则()0g t '<, 故()g t 在()1,2上单调递减. ………………………11分故()()112ln110g t g <=--=. ………………………………………………12分 ∴()()22210f x x g x -+=<. ………………………………………………13分 ∴()221f x x <-. ………………………………………………14分 4、解：（1）当2t =时，2(),f x x x =+22222()10x f x x x-'=-=> --------1分解得(,2)(2,)x ∈-∞-+∞.------------------------------------------2分因为0x >所以函数()f x 有单调递增区间为)2,⎡+∞⎣--------------3分（2）设M ，N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，2()1tf x x '=-所以切线PM 的方程为：11211()(1)().t ty x x x x x -+=-----------------4分所以切线PM 过点(1,0)P ，所以有112110()(1)(1).t tx x x x -+=--即21120.x tx t +-=……①同理，由切线PN 过点(1,0)P ，，得22220.x tx t +-=…… ②---------------5分由（1）、（2），可得212,20x x x tx t +-=是方程的两根，12122.x x t x x t +=-⎧∴⎨⋅=-⎩…… ③ -------------------------------------------------------------7分 22221212121212||()()()[1(1)]t t t MN x x x x x x x x x x =-++--=-+- 22121212[()4][1(1)]t x x x x x x =+-+--------------------------------------------8分把③式代入，得2||2020,MN t t =+因此，函数()g t 的表达式为2()2020g t t t =+ ----------------9分（3）易知()g t 在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上为增函数， (2)()(1,2,,1).i g g a i m ∴≤=+则12(2)()()().m m g g a g a g a ⋅≤+++121()()()()m m g a g a g a g a ++++<n ∀恒成立，所以不等式64(2)()m g g n n⋅<+n ∀恒成立， 22646420220220()20(),m n n n n⨯+⨯<+++ 即216464[()()]6m n n n n<+++n ∀恒成立，--------------------------------12分 226416464113616,[()()][1616].663n n n n n n +≥∴+++≥+= 1363m ∴<，由于m 为正整数，6m ∴≤. --------------------------------------13 分又当6m =，存在1212,16,m m a a a a +=====任意的正整数n 满足条件因此，m 的最大值为6. --------------------------------------------------------14分5、证明与求解：⑴13)(23--=x x x f ，x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ，22=x ……2分，) )2( , 2 (2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M 对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知，531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ，点Q 在曲线)(x f y =上，所以，曲线)(x f y =关于点M 对称……5分⑵（方法一）33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ，3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时，不等式恒成立……7分；0≠x 时，不等式等价于23233432xx a x x -≤≤+-……8分作22313232)(x x x x x g --=+-=，22323434)(xx x x x g +-=-=，3/1641)(x x g +-=，3/2681)(xx g --=……9分，解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分x )0 , 1 [- )4 , 0( 4] 5 , 4( )(/1x g －＋ 0 － )(1x g↘ ↗ 极大值 ↘ )(/2x g ＋－－－ )(2x g↗↘↘……12分31)1(1-=-g ，6)4(1-=g ，23132)(xx x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-；35)(2=-g ，2591)5(2-=g ，23234)(xx x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分综上所述，a 的取值范围为]2591, 6[--……14分（方法二）ax x x f 23)(2/+=，0=a 时，1)(3-=x x f 不符合题意，∴0≠a ，解0)(/=x f 得01=x ，322ax -=……6分当]5 , 1[322-∉-=ax 时，)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分，解集为空集φ……10分当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a (12)分，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a (13)分，解集为]2591 , 6[--，∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ，∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分 6、解：（1）依题意可得2|3|1x -≤ ------------------------------------------------1分2131x ⇔-≤-≤22x ⇔-≤≤-或22≤≤x∴x 的取值范围为[2,2][2,2].--⋃---------------------------------------------3分（2）解法一：∵222|()|||22a b a b ab ab ++---22()()||||42a b a b --=----------------5分 22()()42a b a b --=-2()0,4a b -=-≤---------------------------------------------6分即222|()|||,22++-≤-a b a b ab ab ∴2()2+a b 比222+a b 更接近ab ；--------------------------------------------------7分【解法二：∵对任意两个正数a 、b ，有2(),2+≥a b ab 222+≥a b ab ，------------------4分 ∴2222222()|()|||()0,22224++++----=-=-≤a b a b a b a b a b ab ab 即222|()|||,22++-≤-a b a b ab ab ------------------------------------------------6分 ∴2()2+a b 比222+a b 更接近ab ；-------------------------------------------------7分】（3）令()ln ,()ln ,=-=+-ep x x q x x a x x则()p x 在区间[1,)+∞上单调递减，且()0,=p e由11()1,-'=-=x q x x x得当1x ≥时，()0,q x '≥ ∴()q x 在[1,)+∞上单调递增，且当1x ≥时，有()(1)0.q x q ≥=-----------------------8分 ①当1≤≤x e 时，∵()p x ≥0，2a ≥， ∴|()||()|ln (ln )120.e ep x q x x x a x x a e x x-=--+-=--≤--< ∴ex比+x a 更接近ln x .--------------------------------------------------------10分 ②当>x e 时，解法一：∵()p x <0，()0.q x >,∴|()||()|ln (ln )2ln 2ln 2.-=--+-=---<--e ep x q x x x a x x x a x x x x----------12分令()2ln 2,=--f x x x 则22()1.-'=-=xf x x x当>x e 时，()0.'<f x ∴()f x 在区间(,)+∞e 单调递减，当>x e 时，()()0.<=-<f x f e e ------------------13分综上可知，当1≥x 时，|ln ||ln |0.--+-≤e x x a x x 即|ln ||ln |.-≤+-ex x a x x∴ex比+x a 更接近ln x .--------------------------------------------------------14分【解法二：当>x e 时，∵()p x <0，()0.q x > ∴|()||()|ln (ln )2ln .-=--+-=---e ep x q x x x a x x x a x x-----------------------11分令()2ln =---e f x x x a x ，则22222()1.--'=-+=-e x x ef x x x x令'()0f x =，解得1211,11x e x e =++=-+，∵>x e ∴211x e =-+不合舍去，-------------------------------------------12分 ∵2(1)1,e e -<+ ∴11e e -<+ ∴1x e > ∵当1e x x <<时，()0.'>f x 当1x x >时，()0.'<f x∴()f x 在区间1(,)e x 单调递增，在1(,)x +∞单调递减，又13e x << ∴当>x e 时，1111()()2ln 2ln 320.ef x f x x x a e x ≤=---<--<------------------13分综上可知，当1≥x 时，|ln ||ln |0.--+-≤e x x a x x 即|ln ||ln |.-≤+-ex x a x x∴ex比+x a 更接近ln x .-------------------------------------------------------14分】7、解：（1）由已知得：()21()11a f x xx '=-++， ………1分又∵函数()f x 在0x =处有极值 ∴()21(0)01010af '=-=++，即1a = ……2分 ∴()ln(1),1x f x x x =-++ ()()2211()111x f x x x x -'=-=+++ ………3分 ∴,当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；………4分（或者列表） ∴函数()f x 的最大值为(0)0f =………5分（2）①由已知得：1()1g x b x'=-+………6分 (i)若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=-≤+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在()0,+∞上恒成立； ………7分 (ii)若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=->+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；…8分 (iii)若01b <<，则1()01g x b x '=-=+时，11x b =-，当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0g x '≥，∴()ln(1)g x x bx =+-在10,1b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数，此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，∴不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；9分综上所述，b 的取值范围是[)+∞,1. ………10分 ②由以上得：ln(1)(0)1xx x x x<+<>+, ………11分取1x n=得：111ln(1)1n n n <+<+ ………12分令21ln 1nn k kx n k ==-+∑， ………13分则112x =，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此1112n n x x x -<<⋅⋅⋅<=. ∴)*(21ln 112N n n k knk ∈≤-+∑= ………14分 8、解：（Ⅰ）由题意可知：R k k x x k x x ∈>-+++++02)()(222令k x x t ++=2，则原不等式可以化为：022>-+t t ，解得：2-<t 或1>t即原不等式可以化为不等式①022<+++k x x 或不等式②012>-++k x x ……1分对于不等式①、②分别有:741--=∆k 与542+-=∆k 现做如下分类讨论：（1）当47-<k 时，01>∆，02>∆，此时不等式①、②对应的方程分别有不等根： 27411----=k x 与27412--+-=k x ；25413+---=k x 与25414+-+-=k x ；不难证明：4213x x x x <<<所以不等式①的解集为(,2741----∈k x )2741--+-k …………2分所以不等式②的解集为()2541,+---∞-∈k x ()∞++-+-,2541k …..3分所以当47-<k 时，函数)(x f 的定义域D =()2541,+---∞-k (,2741----k )2741--+-k ()∞++-+-,2541k ………….4分（2）当4547≤≤-k 时，01≤∆，02≥∆，结合（1）可知：不等式①的解集为Φ∈x 分 …………..5分不等式②的解集为()2541,+---∞-∈k x ()∞++-+-,2541k所以当4547≤≤-k 时，函数)(x f 的定义域 D =()2541,+---∞-k()∞++-+-,2541k …………..6分（3）当45>k 时，01<∆，02<∆，结合（1）可知：不等式①的解集为Φ∈x ；不等式②的解集为R x ∈所以当45>k 时，函数)(x f 的定义域D =R …………..7分综上所述：（1）当47-<k 时，函数)(x f 的定义域 D =()2541,+---∞-k (,2741----k )2741--+-k()∞++-+-,2541k（2）当4547≤≤-k 时，函数)(x f 的定义域 D =()2541,+---∞-k()∞++-+-,2541k（3）当45>k 时，函数)(x f 的定义域D =R …………..8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知道：当2-<k 时，函数)(x f 的定义域D =()2541,+---∞-k(,2741----k )2741--+-k ()∞++-+-,2541k ………….9分令=)(x u 02)()(222>-+++++k x x k x x （2-<k ）,D x ∈则函数u y 2log =，显然函数u y 2log =在对应的定义域区间为单调递增函数，要求)(x f 的单调递增区间，我们只需要求出函数)(x u 在D x ∈上的单调递增区间。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：数列

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（潮州市2015届高三）已知数列为等比数列，且，则的值为（）A ．B ．C ．D ．2、（惠州市2015届高三）数列{}n a ，满足对任意的n N +∈，均有12n n n a a a ++++为定值．若792,3,a a == 984a =，则数列{}n a 的前100项的和100S =( )．A.132B.299C.68D.993、（揭阳市2015届高三）已知数列的前n 项和212n S n n =+，则2232a a -的值为 A ．9 B ．18 C ．21 D ．1124、（汕头市2015届高三）已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则( ) A ． B C D5、（汕尾市2015届高三）已知为等差数列，且，则的值为（）A ．40B ．45C ．50D ．55 6、（深圳市2015届高三）如果自然数a 的各位数字之和等于8，我们称a 为“吉祥数”。

将所有“吉祥数”从小到大排成一列321,,a a a …，若2015=n a ，则=n （） A. 83 B 。

82 C 。

39 D 。

37二、填空题1、（广州市2015届高三）已知数列{}n a 是等差数列，且，则1237a a a a ++++的值为2、（江门市2015届高三）已知数列{}n a 满足411-=a ，111--=n n a a （1>n ），计算并观察数列{}n a 的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，=2015a3、（韶关市2015届高三）数列{}n a 满足13n n a a +=,*n N ∈,且前3项之和等于13,则该数列的通项公式n a =4、（珠海市2015届高三）已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且35a =，36S =，则7a ={}na 201320150a a +=⎰()20142012201420162a a a a ++2π2ππ24π}{n a {}n a 2431,,a a a 2a =4-6-8-10-{}n a 388a a +=10S 34512a a a ++=三、解答题1、（潮州市2015届高三）已知数列为等差数列，为其前项和，且（）．求，；若，，（）是等比数列的前三项，设，求．2、（佛山市2015届高三）数列{}n a 的前n 项和为n S 恒谦网，已知112a =，2(1)n n S n a n n =--(n ∈*N ). (Ⅰ) 求23,a a ；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项； (Ⅲ)设+11n n n b S S =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:52n T <(*n ∈N ).3、（广州市2015届高三）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n aS a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．4、（惠州市2015届高三）已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．5、（江门市2015届高三）已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．{}n a n S n 222n n S a n =+n *∈N ()1n a n S ()2k a 22k a -21k a +k *∈N {}n b 112233n n n a b a b a b a b T =+++⋅⋅⋅+n T6、（揭阳市2015届高三）已知函数31()(1)1()2x f x f f ax b ===+3，，4，数列{}n x 满足113()2n n x x f x +==，．（1）求23x x ，的值；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）证明：12233334n n x x x +++<． 7、（清远市2015届高三）设数列的前项和为，且满足21=a ,221+=+n n S a ．（1）求2a ；（2）数列的通项公式；（3）设nn n n S S a b 11++=,求证：2121<+++n b b b ．8、（汕头市2015届高三）已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为.（1）若，，求数列的通项公式；（2）若，数列的前项成等比数列，且，，求满足的正整数的取值集合.9、（汕尾市2015届高三）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为满足242n n n S a a =+．（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：不等式

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：不等式一、选择题1、（佛山市2015届高三）已知,x y 满足约束条件10100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．22、（揭阳市2015届高三）若变量,x y 满足约束条件2040330x y x y x y -+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，且35z x y =+，则3log 2z 的最大值为A ．18B ．2C ．9D ．331log 43、（清远市2015届高三）已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b ＝（） A 、94 B 、32 C 、1 D 、344、（汕头市2015届高三）已知实数y x ,满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则y x +2的最大值为（）A.3 B 。

4 C 。

6 D 。

95、（珠海市2015届高三）若x y 、满足不等式组22010360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的最小值是ABC ．45D ．1二、填空题1、（潮州市2015届高三）已知变量，满足约束条件，则的最大值是x y 5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩2z x y =+2、（潮州市2015届高三）若不等式恒成立，则实数的取值范围为3、（佛山市2015届高三）不等式13x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围为4、（广州市2015届高三）不等式212x x ->+的解集是5、（广州市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是 6、（惠州市2015届高三）已知x R ∀∈，使不等式2log (4)31a x x -≤++-恒成立，则实数a 的取值范围是_________ 7、（江门市2015届高三）△ABC 是等腰直角三角形，已知A(1，1)，B(1，3)，AB ⊥BC ，点C 在第一象限，点) , (y x 在△ABC 内部，则点C 的坐标为，y x z -=2的最大值是8、（汕头市2015届高三）不等式的解集是___________9、（汕头市2015届高三）若变量满足约束条件，则的最大值和最小值之和等于10、（汕尾市2015届高三）若变量x y ，满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最小值为11、（汕尾市2015届高三）不等式|4||3|x x a -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是12、（韶关市2015届高三）已知x ，y 满足2412 2.x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥，≥，≤则z x y =+的最小值 ___________．13、（韶关市2015届高三）若不等式13x x a ---≥解集是空集，则实数a 的取值范围是_________. 14、（肇庆市2015届高三）不等式5|1||2|≤++-x x 为 ▲ . 15．（肇庆市2015届高三）若0>a ，0>b ，且ab ba =+11，则33b a +的最小值为 ▲12x x m ++-≥m 1x x -≤三、解答题1．（肇庆市2015届高三）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台. 已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）2．（肇庆市2015届高三）设a 为常数，且1<a .（1）解关于x 的不等式1)1(2>--x a a ；（2）解关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤≤>++-1006)1(322x a x a x .3、（2015江门）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方．．成正比，如果此船速度是10km/h ，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100 km 航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？参考答案一、选择题1、D2、B3、A4、C5、B二、填空题 1、9 2、3、(][),24,-∞-+∞ 4、()1,3,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭5、23312π+6、【解析】易知31x x ++-的最小值为4，2log (4)4124a a ∴-≤⇒-≤<，故实数a 的取值范围是[)24,。

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：导数及其应用

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：导数及其应用一、选择题1、（深圳市2015届高三）函数axx x f 1)(+=在)1,(--∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A.),1[+∞ B 。

]1,0()0,(U -∞ C 。

]1,0( D 。

),1[)0,(+∞-∞U二、填空题1、（韶关市2015届高三）设曲线ln y x x =在点(,)e e 处的切线与直线10ax y ++=垂直，则=a2、（珠海市2015届高三）函数()ln xf x e x =⋅在点()1,0处的切线方程为三、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()ln af x x x=-，其中R a ∈． ()1当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；()2如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >--，求a 的取值范围．2、（东莞市2015届高三）设函数（1）当a ＝1时，求 f (x )的极小值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若对任意恒成立，求实数a 的取值范围.3、（佛山市2015届高三）设函数()e xf x x a=-的导函数为()f x '(a 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).(Ⅰ) 讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ) 求实数a ,使曲线()y f x =在点()()2,2a f a ++处的切线斜率为3261274a a a +++-；(Ⅲ) 当x a ≠时,若不等式()()1f x k x a f x '+-≥恒谦网恒成立,求实数k 的取值范围.4、（广州市2015届高三）已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =．（1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在实数m ，当(]0,1x ∈时，函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．5、（惠州市2015届高三）已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数．（1）若[2,1]x ∈--，不等式()()f x f x '≤恒成立，求a 的取值范围；（2）解关于x 的方程()|()|f x f x '=；（3）设函数(),()()()(),()()f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥，求()[2,4]g x x ∈在时的最小值．6、（江门市2015届高三）已知函数12)(23-++=x x ax x f （R a ∈）．⑴求曲线)(x f y =在点) )0( , 0 (f 处的切线方程；⑵是否存在常数a ，使得] 4 , 2 [-∈∀x ，3)(≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．7、（清远市2015届高三）已知函数1)(--=ax e x f x. （1）当1=a 时，试判断函数)(x f 的单调性；（2）对于任意的),0[+∞∈x ，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围；8、（汕头市2015届高三）已知函数()()12ln 2f x a x ax x=-++（0a ≤）． ()1当0a =时，求()f x 的极值；()2当0a <时，讨论()f x 的单调性；()3若()3,2a ∀∈--，1x ，[]21,3x ∈，有()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-，求实数m 的取值范围．9、（汕尾市2015届高三）已知函数32()f x x bx cx =++的极值点为23x =-和1x =（1）求,b c 的值与()f x 的单调区间（2）当[1,2]x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围10、（韶关市2015届高三）已知函数232211()32a f x x x a x a -=+-+，x R ∈,a R ∈. (1)若函数)(x f 在区间[0,2]内恰有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)若1a =-，设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ，最小值为()m t ,记()()()F t M t m t =-,求函数()F t 在区间]1,3[--上的最小值.11、（深圳市2015届高三）已知R b a ∈,，函数x ax x f ln )2()(+=，54)(2-+=x bx x g ，且曲线)(x f y =与曲线)(x g y =在1=x 处有相同的切线。

广东省潮州市2015届高三上学期期末教学质量检测数学理试题 Word版含答案

潮州市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高三数学（理科）试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设全集U R =，集合{}02x x A =<≤，{}1x x B =<，则集合()U A B =ð（） A ．(],2-∞ B ．(],1-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞2、复数()()11z i i =+-在复平面内对应的点的坐标为（）A ．()1,0B ．()2,0C ．()0,1D ．()0,2 3、若向量()2,1a =-，()0,2b =，则以下向量中与a b +垂直的是（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1D ．()0,24、已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（） A ．6π- B ．6πC ．3π-D ．3π 5、设0.14a =，3log 0.1b =，0.10.5c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A π+B ．2π+C ．2πD ．π7、已知数列{}n a 为等比数列，且201320150a a +=⎰，则()20142012201420162a a a a ++的值为（） A ．2π B ．2π C ．π D ．24π8、若函数()y f x =（R x ∈）满足()()1f x f x +=-，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，已知函数()lg ,01,0x x g x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为（）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9、若不等式12x x m ++-≥恒成立，则实数m 的取值范围为． 10、曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为．11、已知抛物线22y px =（0p >）的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为．12、已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值是．13、二项式52ax ⎛- ⎝的展开式中常数项为160，则a 的值为．14、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，R x ∈．()1求()f π的值；()2若2635f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．16、（本小题满分13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．()1将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；()2从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望． 17、（本小题满分13分）如图，三棱柱111C C AB -A B 中，C C A =B ，1AB =AA ，160∠BAA =．()1证明：1C AB ⊥A ； ()2若C 2AB =B =，1C A =1C B -A -A 的余弦值．18、（本小题满分14分）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且222n n S a n =+（n *∈N ）． ()1求n a ，n S ；()2若k a ，22k a -，21k a +（k *∈N ）是等比数列{}n b 的前三项，设112233n n n a b a b a b a b T =+++⋅⋅⋅+，求n T ．19、（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点12⎫P ⎪⎪⎝⎭，离心率为2，动点()2,t M （0t >）． ()1求椭圆的标准方程；()2求以OM （O 为坐标原点）为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；()3设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．20、（本小题满分14分）已知函数()ln f x x a x =-，()1ag x x+=-（R a ∈）． ()1若1a =，求函数()f x 的极值；()2设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；()3若在[]1,e （ 2.718e =⋅⋅⋅）上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．潮州市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9．3m ≤； 10．310x y --=； 11．2； 12．9； 13．2； 14．472．解析提示： 1． (,2]A B =-∞，∴()(2,)U A B =+∞ð.2．由于2(1)(1)12z i i i =+-=-=. 3．(2,1)a b +=，用排除法. 4．由图可知2A =，4()312T πππ=⨯-=，故2ω=，又()212f π=，所以22()122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，故23k πϕπ=+，又||2πϕ<．所以3πϕ=.5．由指数函数、对数函数的性质可知1a >，0b <，01c <<．6．由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，于是该几何体的体积为211[(1)2222V ππ=⨯+⨯⨯=+7．22013201501(2)4a a ππ+==⨯⨯=⎰，因为数列{}n a 是等比数列，所以2201420122014201620142012201420142016(2)2a a a a a a a a a ++=++2220132013201520152a a a a =++2220132015()a a π=+=．8．分别作出函数()f x 与()g x 的图象，由图象可知函数()()()h x f x g x =- 在区间[5,5]-内的零点的个数为8个..9．利用绝对值的几何意义可知|1||2|3x x ++-≥．10．由于2'36y x x =-+，故1'|363x y ==-+=，切点（1，2），所以所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．11．抛物线22y px = (0p >)的准线为2p x =-；圆22(3)16x y -+=的圆心是(3,0)，半径为4r =，由题意得|3()|42p--=，解得2p =，或14p =-（舍）.. 12．画出满足条件的可行域，向上平移直线12y x =-经过点(1,4)时z 取得最大值为.13．51025522155()(2)(2)r r r r r r r r r T C ax x C a x ----+=-=-，令51002r -=，故4r =，所以常数项为445(2)80160C a a ⋅⋅-==，故2a =.14．若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分12分）解：（1）由已知得()2cos()2cos266f ππππ=-=-=-=………4分（2）因为22()2cos()2cos()2sin 3362f ππππαααα+=+-=+=-，又26()35f πα+=，故62sin 5α-=，即3sin 5α=-．. …………………6分又(,0)2πα∈-，故4cos 5α===．.……..……8分所以3424sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯-⨯=-， 2247cos 22cos 12()1525α=-=⨯-=．.……………….………….…10分所以(2)2cos(2)2cos 2cos2sin 2sin666f πππαααα=-=+724122()25252=⨯⨯-⨯= . ……....……12分 16．(本小题满分13分)解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为34，依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为34，………2分设事件A 表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，则0333163()1(1)146464P A C =-⨯-=-=．………………………….…...…5分答：至少有1人成绩是“优良”的概率为6364．.……………………...……6分（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．……………………………..7分333121(0)220C P C ξ===，12933129327(1)220220C C P C ξ⨯====， 219331236327(2)22055C C P C ξ⨯====，393128421(1)22055C P C ξ====．……..…11分所以ξ的分布列为∴ξ的期望12727219()012322022055554E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．……………..…13分 17．（1）证明：取AB 的中点O ，连接CO ，1OA ，1A B 。

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广东省潮州市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1] C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，2）3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）4．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a6．（5分）己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．27．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π28．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是．10．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是．13．（5分）二项式（ax2﹣）5的展开式中常数项为160，则a的值为．14．（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为．（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．16．（13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC=A1的余弦值．18．（14分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且2S n=a n+2n2（n∈N*）．（1）求a n，S n；（2）若a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈）是等比数列{b n}的前三项，设T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，求T n．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点 M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以 O M（ O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作 O M的垂线与以 O M为直径的圆交于点 N，证明线段 O N的长为定值，并求出这个定值．20．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．广东省潮州市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1] C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B的并集，找出并集的补集即可．解答：解：∵A=（0，2]，B=（﹣∞，1），∴A∪B=（﹣∞，2]，∵全集为U=R，∴∁U（A∪B）=（2，+∞）．故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z=（1+i）（1﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，1）D．（0，2）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简z，可得复数z在复平面内对应的点的坐标．解答：解：由于复数z=（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=2，故此复数对应点的坐标为（2，0），故选：B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）若向量=（2，﹣1），=（0，2），则以下向量中与+垂直的是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，1）D．（0，2）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：求出向量+，验证各选项是否满足x1x2+y1y2=0，从而判定向量是否与+垂直．解答：解：∵向量=（2，﹣1），=（0，2），∴+=（2，1），对于A，2×1+1×（﹣2）=0，∴该向量与向量+垂直；∴可以排除掉B、C、D选项．故选：A．点评：本题考查了平面向量的垂直问题，两向量垂直，有⊥⇔•=0⇔x1x2+y1y2=0，解题时应灵活地运用，是基础题．4．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则φ=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数图象的顶点求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．解答：解：有函数的图象顶点坐标可得A=2，再根据==﹣求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=可得φ=，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数图象的顶点求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．5．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=40.1＞1，b=log30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故选：B．点评：本题考查了指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．6．（5分）己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为2；半圆柱的底面半径为1，高为2，把数据代入棱柱与半圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是三棱柱与半圆柱的组合体，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为2；半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=×2××2+×π×12×2=2+π．故选D．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．7．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2013+a2015=dx，则a2014（a2012+2a2014+a2016）的值为（）A．π2B．2πC．πD．4π2考点：等比数列的性质；定积分．专题：等差数列与等比数列．分析：求定积分可得a2013+a2015=π，由等比数列的性质变形可得a2014（a2012+2a2014+a2016）=（a2013+a2015）2，代值计算可得．解答：解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x2+y2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a2013+a2015=dx=×π×22=π，∴a2014（a2012+2a2014+a2016）=a2014•a2012+2a2014•a2014+a2014•a2016=+2a2013•a2015=（a2013+a2015）2=π2故选：A点评：本题考查等比数列的性质，涉及定积分的求解，属中档题．8．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，已知函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意可判断函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，从而作出函数f（x）与g（x）的图象，从而得到交点的个数即可．解答：解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+1）=f（x+2）；故函数y=f（x）在R上是周期为2的函数，作出函数f（x）与g（x）的图象如下，由图象可知函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8个．故选B．点评：本题考查了函数的性质的判断与函数的图象的作法与应用，属于基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，则a的取值范围是a≤3．考点：绝对值不等式．专题：计算题．分析：求出绝对值的表达式的最小值，即可求出a取值范围．解答：解：因为|x+1|+|x﹣2|的几何意义是数轴上的点到﹣1，与到2的距离之和，显然最小值为3，所以a的取值范围是：a≤3．故答案为：a≤3．点评：本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题的应用，考查计算能力．10．（5分）曲线y=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为3x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：根据导数的几何意义求出函数y=f（x）在x=1处的导数，即是改点处切线的斜率，从而写出切线的方程．解答：解：∵y=f（x）=﹣x3+3x2，∴y'=f′（x）=﹣3x2+6x，∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=﹣3×12+6×1=3，又x=1时，y=f（1）=﹣13+3×12=2；∴曲线y=f（x）=﹣x3+3x2在x=1处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；故答案为：3x﹣y﹣1=0点评：本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程问题，是基础题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为2．考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：根据抛物线的标准方程可知准线方程为x=﹣，根据抛物线的准线与圆相切可知3+=4求得p．解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2；故答案为：2．点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．属于基础题．12．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是9．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A，y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，4），代入z=x+2y=1+2×4=9．即目标函数z=x+2y最大值为9．故答案为：9．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义结合数形结合，即可求出z的最大值．13．（5分）二项式（ax2﹣）5的展开式中常数项为160，则a的值为2．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值．解答：解：由通项公式T r+1==•，令10﹣=0，求得r=4，可得常数项为（﹣2）4•C a=160，解得a=2，故答案为：2．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为472．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；排列组合．分析：利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．解答：解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两张红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=560﹣16﹣72=472种．故答案为：472．点评：本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（12分）已知函数f（x）=2cos（x﹣），x∈R．（1）求f（π）的值；（2）若f（α+）=，α∈（﹣，0），求f（2α）的值．考点：余弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）代入已知根据特殊角的三角函数值即可求值；（2）由已知化简可先求得sin，从而可求cos=，将f（2α）=2cos（2α﹣）用两角差的余弦公式展开后代入即可求值．解答：解：（1）f（π）=2cos（π﹣）=﹣2cos=﹣．（2）∵f（α+）=2cos（）=﹣2sinα=，∴sin∵α∈（﹣，0），∴cos=∴f（2α）=2cos（2α﹣）=cos2α+sin2α===．点评：本题主要考察了特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式的应用，考察了计算能力，属于基础题．16．（13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，由此利用对立事件概率计算公式能求出在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良”的概率．（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．解答：（本小题满分13分）解：（1）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为，依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，…（2分）设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，则P（A）=1﹣=．…（5分）答：至少有1人成绩是“优良”的概率为．…（6分）（2）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．…..（7分）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==…（11分）所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴ξ的期望Eξ==…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC=A1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连CO，OA1，A1B，由题设条件推导出△A1AB为正三角形，从而得到A1O⊥AB，由CA=CB，得到CO⊥AB，由此能够证明AB⊥A1C．（Ⅱ）以OA为x轴，以OA1为y轴，以OC为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AC=A1的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取AB中点O，连CO，OA1，A1B，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，∴△A1AB为正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O=O，∴AB⊥平面COA1，∵A1C⊂平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=CB=2，AB=AA1，CA=CB，∠BAA1=60°，∴CO=A1O==，∵A1C=，∴=，∴OC⊥A1O，∵OC∩AB=O，∴A1O⊥平面ABC，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，O（0，0，0），A（1，0，0），，C（0，0，），设平面AA1C的法向量为，则，，∴，∴=（，1，1），平面向量ACB的法向量=（0，1，0），cos＜＞==．∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．18．（14分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且2S n=a n+2n2（n∈N*）．（1）求a n，S n；（2）若a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈）是等比数列{b n}的前三项，设T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，求T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件求出a1=2，a2=4，从而得到公差d=a2﹣a1=2，由此能求出a n，S n．（2）由a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈）是等比数列{b n}的前三项，求出k=4，从而得到a nb n=，由此利用错位相减法能求出T n．解答：解：（1）∵{a n}为等差数列，且2S n=a n+2n2（n∈N*），设公差为d，当n=1时，2S1=2a1=a1+2，解得a1=2，当n=2时，2（2+a2）=a2+2×4，解得a2=4，∴d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n，=n（n+1）．（2）∵a k，a2k﹣2，a2k+1（k∈）是等比数列{b n}的前三项，∴，∴4（2k﹣2）2=2k•2（2k+1），整理，得2k2﹣9k+4=0，解得k=4或k=（舍），∴a4，a6，a9成等比数列，且q==．∴=8（）n﹣1，∴a n b n=2n•8（）n﹣1=，∵T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，∴[1×+2×+3×+…+n•]，①=[1×+2×+3×+…+n•]，②①﹣②，得﹣=[+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1]=×[﹣n•（）n+1]=﹣32﹣16（n﹣2）•，∴T n=．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点P（，），离心率为，动点 M（2，t）（t＞0）．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以 O M（ O为坐标原点）为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作 O M的垂线与以 O M为直径的圆交于点 N，证明线段 O N的长为定值，并求出这个定值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）把点代入椭圆方程可得，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，可得圆的标准方程；由于以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d，利用弦长公式可得弦长=2即可得出．（3）方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．直线OM的方程为，直线FN的方程为，联立解得K坐标，可得|OK|，|OM|，利用|ON|2=|OK|•|OM|即可证明．方法二：设N（x0，y0），则，，，．利用，，可证为定值．解答：（1）解：由题意得，①∵椭圆经过点，∴②又a2=b2+c2③由①②③解得a2=2，b2=c2=1．∴椭圆的方程为．（2）解：以OM为直径的圆的圆心为，半径，故圆的方程为．∵以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，∴圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离．∴，即2|2t+2|=5t，故4t+4=5t，或4t+4=﹣5t，解得t=4，或．又t＞0，故t=4．所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．（3）证明：方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K．直线OM的方程为，直线FN的方程为．由，解得，故．∴；．又．∴．∴线段ON的长为定值．方法二：设N（x0，y0），则，，，．∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0．∴2x0+ty0=2．又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0．∴．∴为定值．点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆的相交问题、向量垂直与数量积之间的关系、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立转化为h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，，（2分）x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）极小（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1．（4分）（Ⅱ），（6分）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分）②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（8分）（ III）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最大值小于零．（9分）由（Ⅱ）可知①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；（11分）③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时，h（1+a）＜0不成立．（12分）综上讨论可得所求a的范围是：或a＜﹣2．（13分）点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．。