安徽省宿州市泗县二中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷

2016-2017学年安徽省宿州市泗县二中高二（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知结论“圆x2+y2=r2（r＞0）上一点P（x0，y0）处切线方程为”．类比圆的这个结论得到关于椭圆在点P（x0，y0）的切线方程为．2．函数f（x）=2x+x﹣7的零点所在的区间是（k，k+1），k∈Z，则k= ．3．观察下列式子：据其中规律，可以猜想出：．4．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则a n= ．5．lg25+lg2•lg50+（lg2）2= ．6．二次函数f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2（m∈R）的两个零点分别分布在区间（0，1）和（1，2）内，则实数m的取值范围为．7．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，满足f（x+2）=f（x﹣2）+f（2），且当x∈时，f（x）=2x﹣4，令函数g（x）=f（x）﹣m，若g（x）在区间上有6个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1+x2+x3+x4+x5+x6= ．8．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={1，3}，则A∩B= ．9．幂函数f（x）=xα过点，则= ．10．已知复数z=4﹣3i，则|z|= ．11．函数的定义域为．12．计算复数= ．13．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是（填序号）．①假设三个角都不大于60°；②假设三个角都大于60°；③假设三个角至多有一个大于60°；④假设三个角至多有两个大于60°．14．已知f（x）=2|x+1|﹣2，当f（f（x））=mx有四个解时，实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+3}．（1）当m=2时，求A∪B；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．16．已知复数z=（m2+3m﹣4）+（m2﹣2m﹣24）i（m∈R）．（1）若复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m的值；（2）若复数z为纯虚数，求实数m的值．17．沭阳县某水果店销售某种水果，经市场调查，该水果每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x近似满足关系式y=10（7﹣x）﹣，其中3＜x＜7，a为常数，已知销售价格定为4元/千克时，每日可销售出该水果32千克．（1）求实数a的值；（2）若该水果的成本价格为3元/千克，要使得该水果店每日销售该水果获得最大利润，请你确定销售价格x的值，并求出最大利润．18．（1）已知椭圆方程为=1，点．i．若关于原点对称的两点A1（﹣2，0），B1（2，0），记直线PA1，PB1的斜率分别为，试计算的值；ii．若关于原点对称的两点，记直线PA2，PB2的斜率分别为，试计算的值；（2）根据上题结论探究：若M，N是椭圆=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM，QN的斜率都存在，并分别记为k QM，k QN，试猜想k QM•k QN的值，并加以证明．19．已知函数f（x）=log3为其定义域内的奇函数．（1）求实数a的值；（2）求不等式f（x）＞1的解集；（3）证明：为无理数．20．已知a∈R，函数．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞4；（2）若f（x）＞2﹣x在x∈恒成立，求a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2（a﹣4）x+2a﹣5=0在区间（﹣2，0）内的解恰有一个，求a的取值范围．2016-2017学年安徽省宿州市泗县二中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知结论“圆x2+y2=r2（r＞0）上一点P（x0，y0）处切线方程为”．类比圆的这个结论得到关于椭圆在点P（x0，y0）的切线方程为．【考点】F3：类比推理．【分析】由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程为，类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得．【解答】解：类比过圆上一点的切线方程，圆x2+y2=r2（r＞0）上一点P（x0，y0）处切线方程为，可合情推理：过椭圆在点P（x0，y0）的切线方程为：．故答案为：．2．函数f（x）=2x+x﹣7的零点所在的区间是（k，k+1），k∈Z，则k= 2 ．【考点】51：函数的零点．【分析】利用根的存在性确定函数零点所在的区间，然后确定k的值．【解答】解；因为f（x）=2x+x﹣7，所以f（2）=22+2﹣7=6﹣7=﹣1＜0，f（3）=32+3﹣7=12﹣7=5＞0，所以函数零点所在的区间为（2，3），所以k=2．故答案为：2．3．观察下列式子：据其中规律，可以猜想出：．【考点】F1：归纳推理．【分析】由题意可得不等式的右边是分子从3开始的奇数列，分母从2开始连续正整数，问题得以解决【解答】解：由题意可得不等式的右边是分子从3开始的奇数列，分母从2开始连续正整数，故可以猜想出：，故答案为：．4．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则a n= ．【考点】8H：数列递推式．【分析】由已知求出倒数关系式，从而得到新数列是首项为，公差为的等差数列，由此能求出a4．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=2，a n+1=（n∈N*），∴=+，∴{}是首项为，公差为的等差数列，∴=+（n﹣1）=n，∴a n=，故答案为：．5．lg25+lg2•lg50+（lg2）2= 2 ．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】我们对后两项提取公因式lg2，根据对数的运算性质：lg25=lg（52）=2lg5，lg50+lg2=lg100，我们可将原式化为2（lg5+lg2）形式，进而得到答案．【解答】解：lg25+lg2•lg50+（lg2）2=lg25+lg2•（lg50+lg2）=lg（52）+lg2•lg（50•2）=lg（52）+lg2•lg=2故答案为：26．二次函数f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2（m∈R）的两个零点分别分布在区间（0，1）和（1，2）内，则实数m的取值范围为（﹣4，﹣2）．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由函数零点的判定定理列出不等式组，求得实数m的取值范围．【解答】解：由题意可知：二次函数f（x）=7x2﹣（m+13）x﹣m﹣2（m∈R）的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2），，即，解得：﹣4＜m＜﹣2，∴实数m的取值范围（﹣4，﹣2），故答案为：（﹣4，﹣2）．7．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，满足f（x+2）=f（x﹣2）+f（2），且当x∈时，f（x）=2x﹣4，令函数g（x）=f（x）﹣m，若g（x）在区间上有6个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1+x2+x3+x4+x5+x6= ﹣24 ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的周期，利用周期作出f（x）的函数图象，根据图象和对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，满足f（x+2）=f（x﹣2）+f（2），∴f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（2）=0．∴f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期为4．作出f（x）在上的函数图象如图所示：由图象可知f（x）在上有3条对称轴x=﹣8，x=﹣4，x=0，∴6个零点之和为2×（﹣8）+2×（﹣4）+2×0=﹣24．故答案为：﹣24．8．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={1，3}，则A∩B= {1，3} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】直接由交集的运算性质得答案．【解答】解：集合A={1，2，3，4，5}，B={1，3}，则A∩B={1，2，3，4，5}∩{1，3}={1，3}．故答案为：{1，3}．9．幂函数f（x）=xα过点，则= ．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过点P（3，），可求出α的值，然后将代入解析式可求出f（）的值．【解答】解：∵幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象过点P（3，），∴f（3）=3α==3﹣2，即α=﹣2，∴f（x）=x﹣2，∴f（）===．故答案为：．10．已知复数z=4﹣3i，则|z|= 5 ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用模的计算公式即可得出．【解答】解：|z|==5，故答案为：5．11．函数的定义域为（1，2] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：1＜x≤2，故函数的定义域是（1，2]，故答案为：（1，2]．12．计算复数= 1+2i ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：复数=故答案为：1+2i．13．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是②（填序号）．①假设三个角都不大于60°；②假设三个角都大于60°；③假设三个角至多有一个大于60°；④假设三个角至多有两个大于60°．【考点】FD：反证法的应用．【分析】根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，由此得到答案．【解答】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，故答案为：②．14．已知f（x）=2|x+1|﹣2，当f（f（x））=mx有四个解时，实数m的取值范围是（0，）．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（f（x））的解析式，作出y=f（f（x））与y=mx的函数图象，根据函数图象的交点个数判断m的范围．【解答】解：令f（x）≤﹣1，即2|x+1|﹣2≤﹣1，解得﹣≤x≤﹣，∴f（f（x））=2|f（x）+1|﹣2=﹣2f（x）﹣2﹣2=﹣2f（x）﹣4=﹣2﹣4=﹣4|x+1|，令f（x）＞﹣1，即2|x+1|﹣2＞﹣1，解得x＜﹣或x＞．∴f（f（x））=2|f（x）+1|﹣2=2f（x）=4|x+1|﹣4，作出y=f（f（x））和y=mx的函数图象如图所示：∵f（f（x））=mx有四个解，∴0＜m＜，故答案为：（0，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+3}．（1）当m=2时，求A∪B；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．【考点】1D：并集及其运算；18：集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）m=2时，可以求出集合B，然后进行并集的运算即可；（2）根据A⊆B便可得出，解该不等式组即可得出实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=2时，B={x|2≤x≤5}；∴A∪B={x|1≤x≤2}∪{x|2≤x≤5}={x|1≤x≤5}；（2）∵A⊆B；∴；解得﹣1≤m≤1；∴实数m的取值范围为．16．已知复数z=（m2+3m﹣4）+（m2﹣2m﹣24）i（m∈R）．（1）若复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m的值；（2）若复数z为纯虚数，求实数m的值．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，可得m2+3m﹣4=m2﹣2m﹣24，解得 m．（2）复数z为纯虚数，可得．【解答】解：（1）∵复数z所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴m2+3m﹣4=m2﹣2m﹣24，…．…．解得 m=﹣4…..…．（2）∵复数z为纯虚数，∴…．…．……..…．解得m=1…．17．沭阳县某水果店销售某种水果，经市场调查，该水果每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x近似满足关系式y=10（7﹣x）﹣，其中3＜x＜7，a为常数，已知销售价格定为4元/千克时，每日可销售出该水果32千克．（1）求实数a的值；（2）若该水果的成本价格为3元/千克，要使得该水果店每日销售该水果获得最大利润，请你确定销售价格x的值，并求出最大利润．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用方程，代入数据求解即可．（2）求出销售量为（3＜x＜7），设利润为L（x），则，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解（1）由题意知当x=4时，y=32，所以得…．解得 a=﹣2…．…（2）由（1）知销售量为（3＜x＜7），设利润为L（x），则得 L（x）=﹣10x2+100x﹣208（3＜x＜7）．…即L（x）=﹣10（x﹣5）2+42所以当x=5时，利润L（x）最大，最大值为42．…答：当销售价格定为5元/千克时，日获得利润最大为42元．…18．（1）已知椭圆方程为=1，点．i．若关于原点对称的两点A1（﹣2，0），B1（2，0），记直线PA1，PB1的斜率分别为，试计算的值；ii．若关于原点对称的两点，记直线PA2，PB2的斜率分别为，试计算的值；（2）根据上题结论探究：若M，N是椭圆=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM，QN的斜率都存在，并分别记为k QM，k QN，试猜想k QM•k QN的值，并加以证明．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）i．求出直线PA1，PB1的斜率分别为，计算求解即可．ii．求解直线PA2，PB2的斜率分别为，然后求解的值即可．（2）猜想，设点M（m，n），则点N（﹣m，﹣n），从而，设点Q（x，y），求出斜率，然后代入化简求解即可．【解答】解：（1）i．因为，所以…．ii．因为，所以…..（2）猜想…..…证明：设点M（m，n），则点N（﹣m，﹣n），从而，设点Q（x，y），由，…得，（*）由，，…..…代入（*）式得所以…19．已知函数f（x）=log3为其定义域内的奇函数．（1）求实数a的值；（2）求不等式f（x）＞1的解集；（3）证明：为无理数．【考点】FD：反证法的应用；7E：其他不等式的解法．【分析】（1）根据奇函数的性质即可求出a的值，（2）根据对数函数的性质，并注意对数函数的定义域，（3）利用反证法证明即可．【解答】解（1）因为f（x）为其定义域内奇函数，所以 f（x）+f（﹣x）=0，即…．…．…. .…．即…..…．所以 1﹣x2=a2﹣x2⇒a=±1…．…当a=﹣1时，对数无意义，故舍去，所以a=1…6分（2）的定义域为（﹣1，1）…由f（x）＞1，得，∴…．…．又因为f（x）的定义域为（﹣1，1）所以f（x）＞1得解集为…（3）证明：（log32＞0）…..…．假设log32为有理数，则其可以写成最简分数形式，而且唯一的，设（其中m，n为两个互质的正整数）…．…得，即3n=2m（*），因为m，n为两个互质的正整数，所以3m为奇数，2n为偶数，显然奇数不等于偶数，所以（*）式不成立…所以假设不成立，所以为无理数…20．已知a∈R，函数．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞4；（2）若f（x）＞2﹣x在x∈恒成立，求a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2（a﹣4）x+2a﹣5=0在区间（﹣2，0）内的解恰有一个，求a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）将a=1代入f（x），解不等式即可；（2）问题转化为在恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）问题转化为（x﹣1）=0，通过讨论a的范围，结合方程解的个数，确定a的范围即可．【解答】解：（1）当a=1时，，由f（x）＞4得，…..所以，即不等式的解集是（0，1）．…（2）因为f（x）＞2﹣x在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，即在恒成立…..令，由在恒成立，所以g（x）在区间单调递增，…所以g（x）的最小值为，所以，即…..…．…（3）由题意得所以，即（a﹣4）x2+（2a﹣5）x﹣1=0，即（x﹣1）=0…．①当a=4时，x=﹣1∈（﹣2，0），满足题意；…．②当a≠4时，i．，即a=3，满足题意；…ii．或解或a＞4..从而…2017年8月7日。