学科素养微专题(数学文化与概率统计)
2021-2022年收藏的精品资料高考微点四 数学素养与数学文化
高考微点四数学素养与数学文化牢记“大师经典”，避免卡壳1.数列、算法中的数学文化(1)抽象数列模型；(2)算法中数学文化，关键在于读懂程序框图.2.几何与三角中的数学文化(1)熟悉传统文化经典；(2)感恩数学文化先贤.3.概率统计与推理证明中融合的数学文化.提升“数学核心素养”，快速抢分1.直观想象、数学运算2.数学抽象、逻辑推理3.数学建模、数据分析高效微点训练，完美升级1.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率为()A.215 B.25C.415 D.15解析由题意可得邪田的面积S＝12×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S1＝12×8×5＝20，则所求的概率p＝S1S＝20150＝215.答案 A2.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是( ) A.3步 B.6步 C.4步D.8步解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17， 设其内切圆半径为r ，则有12×(8＋15＋17)r ＝12×8×15(等积法). 解得r ＝3，故其直径为6步. 答案 B3.(2019·郑州模拟)数列{F n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A.S 2 019＝F 2 021－1 B.S 2 019＝F 2 021＋2 C.S 2 019＝F 2 020－1D.S 2 019＝F 2 020＋2解析 根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n ≥3)，所以S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1， S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1， S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…， 所以S 2 019＝F 2 021－1. 答案 A4.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( )A.233B. 2C. 3D.2解析 设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y ＝±33x ，即b a ＝33，所以离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 答案 A5.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”反映这个命题本质的式子是( ) A.1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12n B.1＋12＋122＋…＋12n ＋…<2 C.12＋122＋…＋12n ＝1 D.12＋122＋…＋12n ＋…<1解析 抽象出等比数列求和，且无穷项之和小于1，则12＋122＋123＋…＋12n ＋…<1. 答案 D6.(2019·石家庄调研)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于( )A.2B.3C.4D.5解析当n＝1时，a＝152，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝454，b＝8，满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝1358，b＝16，满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝40516，b＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n值为4.答案 C7.《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为()A.12 B.1629C.1631 D.815解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.答案 B8.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.134石 B.169石 C.338石D.1 365石解析 由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为28254×1 534≈169(石). 答案 B9.(2019·百校联盟TOP20联考)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，AB BC ＝22，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形DEFG 中的概率为( )A.22－12B.22－14C.2－12D.2－14解析 设AB ＝1，则BC ＝2，根据对称性可知，落在正方形DEFG 中的概率为1（2＋1）2－12×2×2＝2－12.答案 C10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A.128π平方尺B.138π平方尺C.140π平方尺D.142π平方尺解析 由题意构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺， 则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球， 所以这个四棱锥的外接球的半径 R ＝72＋52＋822＝1382(尺)，所以这个四棱锥的外接球的表面积为4πr 2＝138π(平方尺). 答案 B11.(2019·西安模拟)数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12 521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是( ) A.19 B.49 C.110D.910解析 三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1，2B 2，3B 3，…， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…， 共有9×10＝90(个).其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2，4B 4，6B 6，8B 8， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…， 共有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率p ＝4090＝49. 答案 B12.(2019·成都诊断)图(1)为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细工的典范之作.该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线C ：x 23－y 29＝1的右支与直线x ＝0，y ＝4，y ＝－2围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图(2).N ，P 分别为C 的渐近线与y ＝4，y ＝－2的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理(祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等)求得.据此，可求得该金杯的容积是________(杯壁厚度忽略不计).解析 由题意得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .令y ＝m (－2≤m ≤4)， 如图，记直线y ＝m 与y 轴、渐近线、双曲线C 的右支的交点分别为D ，E ，F ，线段EF 绕y 轴旋转一周得一圆环.由⎩⎨⎧y ＝m y ＝3x ，得x ＝3m 3， ∴|DE |2＝m 23.由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 29＝1，y ＝m 得x 2＝3＋m 23，∴|DF |2＝3＋m 23， ∴|DF |2－|DE |2＝3， ∴所得圆环的面积为3π.由祖暅原理知曲边五边形MNOPQ 旋转一周所得几何体的体积等于底面积为3π，高为6的圆柱的体积，即18π. 由⎩⎨⎧y ＝4y ＝3x ，得x ＝433，∴|AN |＝433. 由⎩⎨⎧y ＝－2y ＝－3x ，得x ＝233，∴|BP |＝233. ∴Rt △OAN 绕y 轴旋转一周所得圆锥的体积为13π×⎝⎛⎭⎪⎫4332×4＝64π9， Rt △OBP 绕y 轴旋转一周所得圆锥的体积为13π×⎝⎛⎭⎪⎫2332×2＝8π9.故金杯的容积为64π9＋8π9＋18π＝26π. 答案 26π13.(2019·重庆调研)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136l 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________.解析 设圆锥的底面半径为r ，则 V ＝13πr 2h ≈7264l 2h ＝7264(2πr )2h ，得π≈227. 答案 22714.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p ，当x ＝q p （p ，q 为整数，q p 为既约真分数），0，当x ＝0，1或[0，1]上的无理数.若f (x )是定义在R 上且最小正周期为1的函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝________.解析 由函数的最小正周期为1可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋23＋f (lg 2＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋f (lg 2)＝13＋0＝13. 答案 1315.刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”.所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(a ，b ∈N *，b <a )，则圆周率的近似值为________.解析依题意可得360°12＝30°，则正十二边形的面积为12×12×2×2×sin 30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投放a粒豆子，有b粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得124π＝ba，则π＝3ab.答案3a b16.(2019·广州调研)中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手中的一位有机会夺冠，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测，爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊. 比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________.解析若甲是冠军，则爸爸，妈妈的猜想都正确，不合题意.若乙是冠军，则三人猜想都是错误的，与已知矛盾.若丙是冠军，则只有爸爸猜想正确，符合题意.若丁(或戊)是冠军，则妈妈与孩子的猜想均正确，不合题意.因此，冠军只能是丙.答案丙。
将数学文化融入概率统计课程教学的案例研究与设计
将数学文化融入《概率论与数理统计》课程教学的案例(àn lì)研究与设计一、将数学(shùxué)文化融入《概率论与数理统计》课程教学的重要性在《概率论与数理统计》的教学中，融入数学文化具有重要的意义。
首先，数学文化作为文化的一种表现形式，将数学文化融入《概率论与数理统计》教学过程中去，使得数学研究和学习的范围更加广泛，领域(lǐnɡ yù)更加多样，这不仅仅丰富了数学知识，还实现了概率统计教学的结构调整和优化。
其次，数学文化融入《概率论与数理统计》教学过程中，将有利于实现数学文化修养的塑造，极好地规避了大学数学传统教学理论的教学方式，使得学生能够对于概率统计教学知识有更加全面的理解和判断，为学生创造力的发展打下基础。
最后，将数学文化融入《概率论与数理统计》教学过程中去，将有利于树立大学生正确的数学观念，养成良好的数学素养，能够以数学严谨的态度去探析问题，解决问题。
二、教学案例(àn lì)研究与设计（一）概率论基本概念教学(jiāo xué)在概率统计课堂教学中，给数学多一点儿人文色彩，激发学生灵感，将数学背景资料，如概率统计发展中的若干重要事件，重要人物或重要成果等融入教学内容中，帮助学生认识概率统计概念、思想方法发展过程，让学生对整门课程有一个清晰、连贯的认识，这也是体现数学文化价值的一种有效途径。
例如，在进行概率论的基础概念教学时，首先通过历史故事作为切入点，吸引学生的注意力。
概率论起源于有关赌博问题的研究，在17世纪中期的法国，贵族梅累曾经发现一个十分有趣的“分赌注”现象，同时与数学兼物理学学者帕斯卡进行分享。
这个著名的“分赌注”问题是这样的：梅累喜爱赌博，曾经与赌友比赛掷骰子，而每人的赌注为32枚金币，同时制定规则，梅累首先掷出三次六点或者赌友先掷三次四点，则判定为赢，赌局结束。
而在赌局开始没多久，梅累就已经完成了两次掷出六点，而赌友仅仅完成一次掷出四点，而这时梅累突然接到国王召见，所以赌局只能被迫停止，那么问题是两人对于共计64枚金币的分配问题产生了分歧，问如何划分才是科学的？而帕斯卡对于这个奇妙现象也是百思不得其解，通过长达三年的研究，直到165年，才有了点眉目，发现了其中的规律，于是他写信给他的好友费马，和他进行探讨，两人讨论并取得了一致的意见。
素养考知识点总结数学
素养考知识点总结数学数学是一门研究数量、结构、变化以及空间关系等概念的科学。
在素养考中，数学是一个重要的知识点，也是考生们需要掌握的基础学科。
本文将针对素养考中的数学知识点进行总结，希望能够帮助考生们更好地备考。
一、数的性质1.自然数：自然数是最简单的数，是从1起一直数下去，用N表示。
2.整数：整数包括自然数以及它的相反数，用Z表示。
3.有理数：有理数包括整数以及可以化为整数分数的数，用Q表示。
4.无理数：无理数是不能化为整数分数的数，用I表示。
5.实数：实数包括有理数以及无理数，用R表示。
二、代数运算1.加法：加法是将两个数相加得到另一个数的运算。
2.减法：减法是将一个数从另一个数中减去得到另一个数的运算。
3.乘法：乘法是将两个数相乘得到另一个数的运算。
4.除法：除法是将一个数除以另一个数得到另一个数的运算。
三、方程与不等式1.一元一次方程：形如ax+b=0的方程称为一元一次方程，其中a，b分别是已知数。
2.一元二次方程：形如ax^2+bx+c=0的方程称为一元二次方程，其中a，b，c分别是已知数。
3.一元不等式：形如ax+b<0的不等式称为一元不等式，其中a，b分别是已知数。
4.多元方程和不等式：涉及两个或两个以上未知数的方程和不等式。
四、空间与图形1.平面几何：研究平面内的点、线、角、三角形、四边形、多边形等。
2.立体几何：研究空间内的点、线、面、多面体等。
3.图形的性质：研究各种图形的性质，如圆的性质、三角形的性质等。
五、数列与函数1.数列：按照一定的顺序排列的一组数。
2.等差数列：相邻的两项之差相等的数列。
3.等比数列：相邻的两项之比相等的数列。
4.函数：自变量和因变量之间的依赖关系。
六、概率与统计1.概率：描述随机事件发生可能性的数学工具。
2.频数分布：通过统计数据的出现频率来描述数据的分布情况。
3.概率分布：描述随机变量不同取值的概率。
以上就是素养考中的数学知识点总结，希望考生们能够在备考中重点关注这些知识点，提高数学素养，取得更好的成绩。
将数学文化融入概率论与数理统计的教学研究
将数学文化融入概率论与数理统计的教学研究概率论与数理统计是现代数学中的一门重要学科，其应用领域涉及经济、生物、医学、工程等众多领域。
同时，概率论与数理统计也是数学文化的重要组成部分之一。
将数学文化融入概率论与数理统计的教学研究，不仅有助于提高学生的学习兴趣和学科素养，更有助于激发学生探究数学本质的热情。
概率论与数理统计作为数学中的重要学科，其内涵丰富，具有数学文化代表性。
概率论是一门研究随机现象发生的规律性数学学科，具有较强的应用性和展示性。
它涉及到概率基本概念、概率分布、随机变量、随机过程等；而数理统计则是研究如何采用一定的方法从大量数据中提取有关事物的信息的科学。
数理统计一般分为描述性统计、推断性统计和实验设计三个主要的部分。
从数学文化的角度来看，概率论与数理统计中蕴含了许多数学思想、方法和文化成果。
这些包括计数原理、排列组合、数列极限、随机过程、数学统计等等，涵盖了数学、物理、经济学、计算机科学、工程学等多个领域。
1.强化数学思想培养概率论与数理统计中的数学思想是学生深入理解和掌握该学科重要的前提。
在教学过程中，可以通过引入数学思想，如归纳法、递推公式、证明方法等，帮助学生提高数学思维能力。
同时，课堂中可以进行一些关于历史人物和历史事件的探究，如泊松、马尔可夫等人的理论研究以及他们在实际工程中的应用，有助于提高学生综合素质和学科素养。
2.贯彻数学文化内涵教师要在教学中寓教于乐，将数学文化内涵融入概率论与数理统计中。
教师可以以数学文化为载体，教授概率分布、离散型随机变量、连续型随机变量等内容，同时让学生感受到其中的历史渊源和文化魅力。
3.加强探索性学习概率论与数理统计中需要运用多种统计方法和工具进行分析，这样的分析方式在许多行业中也得到广泛的运用。
在教学中，教师可以采用一些案例分析的方式，让学生掌握探索性学习的方法和技能，让学生在理论知识的基础上，通过具体案例的分析和讨论，灵活运用数学文化内涵的探究方法，从而更好地提高学生的学科素养。
数学文化在概率统计教学中的应用分析
数学文化在概率统计教学中的应用分析【摘要】本文通过分析数学文化在概率统计教学中的应用，探讨了其重要性和影响。
首先介绍了数学文化对概率统计教学的影响及研究目的和意义。
然后从概念特点、教学内容、方法应用、效果提升和学生数学素养培养等方面进行了分析。
最后结论指出数学文化在概率统计教学中的重要性和应用价值，并展望了其未来发展前景，提出了促进数学文化在教学中应用的建议。
通过对数学文化在概率统计教学中的应用分析，可以更好地促进学生对概率统计知识的学习与理解，提高教学效果和培养学生的数学素养。
【关键词】数学文化, 概率统计教学, 应用分析, 教学方法, 教学效果, 学生数学素养, 重要性, 发展前景, 建议。
1. 引言1.1 概述数学文化在概率统计教学中的重要性数学文化可以帮助学生更好地理解和欣赏概率统计知识。
通过数学文化的启蒙和引导，学生可以更加深入地了解概率统计的概念和原理，从而增强对知识的兴趣和理解，激发学习的积极性。
数学文化可以促进学生的数学思维和解决问题的能力。
数学文化注重培养学生的逻辑思维和创造性思维，这些思维方式对于学生在学习概率统计中分析问题、求解问题具有重要指导作用，使他们能够更加灵活地运用所学知识。
数学文化还可以拓展学生的数学视野和开阔思维。
在概率统计教学中，数学文化可以引导学生关注数学在不同领域的应用，帮助他们建立更为全面的数学世界观，从而更好地理解概率统计的实际意义和应用背景。
数学文化在概率统计教学中的重要性不容忽视，它不仅可以丰富教学内容、提升教学效果，更可以促进学生全面发展，培养他们的数学素养和创新意识。
深入挖掘数学文化在概率统计教学中的潜力，将为学生的数学学习和成长带来更多的机遇和挑战。
1.2 探讨数学文化对概率统计教学的影响数学文化在概率统计教学中的影响是不可忽视的。
数学文化的传承和积淀为学生在概率统计领域的学习提供了深厚的历史和理论基础，可以帮助学生更好地理解概率统计的各种概念和原理。
高三数学二轮复习微专题精选6 概率统计
高三数学二轮复习微专题精选6 概率统计概率统计是高中数学中的一个重要内容，它涉及到随机事件的概率计算和统计分析。
在高三数学二轮复中，概率统计是一个需要重点复和掌握的知识点。
1. 概率计算概率计算是概率统计的基础，它涉及到事件发生的可能性大小的计算。
在复中，我们应该重点掌握以下几个内容：- 根据样本空间和事件的定义计算概率；- 利用频率定义概率；- 使用排列和组合计算概率；- 利用事件的补集计算概率。
2. 随机变量和概率分布随机变量是概率统计中的重要概念，它表示随机事件的结果。
概率分布则是随机变量取各种可能值的概率分布情况。
在复中，我们应该掌握以下几个重点：- 定义随机变量和概率分布；- 计算离散型随机变量的期望和方差；- 计算连续型随机变量的期望和方差。
3. 统计分析统计分析是概率统计的另一个重要内容，它涉及到数据的收集、整理和分析。
在复中，我们应该重点掌握以下几个内容：- 数据的收集和整理；- 数据的均值和标准差的计算；- 样本估计和参数估计的方法；- 使用统计推断进行判断和决策。
4. 解题技巧和思路在复的过程中，我们还需掌握一些解题技巧和思路：- 注意理解题目中的要求和条件；- 灵活运用概率计算的各种方法；- 注意统计分析中的常见统计指标的计算；- 理解样本和总体的关系，正确进行估计。
总之，对于高三数学二轮复微专题精选6的概率统计内容，我们应该系统性地复和掌握概率计算、随机变量和概率分布以及统计分析的相关知识。
同时，我们还应该注意解题思路和技巧的应用，提高解题效率。
通过充分理解和练，我们可以更好地应对考试中的概率统计题目，取得好成绩。
数学素养知识点总结
数学素养知识点总结一、数学素养知识点总结数学素养知识点主要包括数的认识和计算、代数、几何、函数、统计与概率等内容。
1. 数的认识和计算数字是数学的基础，数的认识和计算是数学素养的重要组成部分。
数的认识包括数的读法、数的大小比较、数的倍数与因数等；数的计算包括加、减、乘、除等基本运算，以及整数、分数、小数的四则运算等。
2. 代数代数是研究数字关系和数学结构的数学分支，代数知识在数学素养中占有重要地位。
代数包括代数表达式、方程式、不等式等内容，涉及到整式的加减乘除、方程的解法、二次函数的图象、复数的运算等。
3. 几何几何是研究空间和图形的形状、大小、位置关系的数学分支，几何知识在数学素养中也具有重要意义。
几何包括图形的性质、几何图形的变形、尺规作图、平面几何与立体几何等内容，涉及到图形的面积、体积、角的测量、相似、全等与相交等几何概念。
4. 函数函数是数学中的重要概念，函数知识在数学素养中也占有重要地位。
函数包括函数的定义、函数的性质、函数的图象、函数的运算等内容，涉及到函数的增减性、奇偶性、周期性、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数类型。
5. 统计与概率统计与概率是数学中的实用部分，统计与概率知识在数学素养中起到重要的作用。
统计与概率包括数据的收集、整理、展示、描述和分析，以及概率的概念、概率的计算、事件的独立性、条件概率、统计推断等内容。
二、数学素养知识点的培养数学素养的培养是数学教育的长期目标，需要学校、家庭和社会多方面的协作。
数学素养的培养应该注重以下几个方面：1. 兴趣与激情数学素养的培养应该从学生的兴趣与激情出发，让学生在学习数学时能够感到快乐和满足。
学校和家庭应该注重培养学生对数学的兴趣，让学生乐于思考、享受发现和解决问题的过程。
2. 知识与技能数学素养的培养需要学生掌握一定的数学知识和技能。
学校应该根据学生的年龄、认知水平设计合适的数学内容和教学方式，让学生掌握基本的数学知识和技能，为进一步学习和应用打下基础。
微专题6高考中的概率、统计问题(2019高考帮·数文)
文科数学 微专题6：高考中的概率、统计问题
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低
于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关: 箱产量<50 kg 旧养殖法 新养殖法 箱产量≥50 kg
2019版《高考帮》配套PPT课件
【高考帮· 文科数学】微专题6：高考中的概率、统计问题
微专题6
高考中的概率、统计问题
CONTENTS
目录
A考法帮∙考向全扫描 考向1 古典概型与几何概型 考向2 统计与统计案例 考向3 概率、统计的综合应用
文科数学 微专题6：高考中的概率、统计问题
考向1 古典概型与几何概型
文科数学 微专题6：高考中的概率、统计问题
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
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6.635
10.828
文科数学 微专题6：高考中的概率、统计问题
解析
(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62. 因此,事件A的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下: 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg
A考法帮∙考向全扫描 考向2 统计与统计案例
考向3 概率、统计的综合应用
考情揭秘 概率、统计是高考中相对独立的一块内容,常涉及的问题有:古典概型、 几何概型的概率计算,统计与统计案例,概率与统计的综合应用.一般以实际 生活中的素材为背景,以应用题的形式考查考生的阅读理解能力、数据处理 能力和转化与化归思想.背景新颖,体现了概率与统计的工具性和交汇性.
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【例４】(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代
的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中
心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
1
π
A.4
B.8
1
π
C.2
D.4
思路分析：本题以古代的太极图为背景，考查几何概型的概率 计算，通过审题，要弄清太极图的特征，得到黑色部分的面积所占 的比例，然后进行计算．
解：在正方形内随机取一点，试验的全部结果构成了正方形 ABCD 围成的区域．设 A 表示事件“在正方形内随机取一点，则此 点取自黑色部分”．
不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1， S 正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，
得 S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2， π
解：设 1534 石米内夹谷 x 石，则由题意知15x34≈22584， 解得 x≈153245×4 28≈169. 故这批米内夹谷约为 169 石．
答案：B
试题赏析：本题考查样本估计总体的统计知识，却自然地 将数学史作为一种数学文化融入高考，让试卷平添几分文 化色彩与气息．同时，该题也让教师和学生更加关注数学 史，关注统计中的数学文化．
试题源于古代数学名著《九章算术》中的“米谷粒 分”，渗入其中的是我国古代数学中最朴实的统计思想， 能使学生接受数学文化的熏陶，领略数学思想方法的魅 力，领会统计思想在现实生活中的应用，形成直接应用数 学知识指导社会实践，解决生活、生产问题的意识.
【例２】(2018·全国卷Ⅱ·理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研
数学文化与概率统计
1．《张邱建算经》 《张邱建算经》分上、中、下三卷，北魏数学家张邱建 著．《张邱建算经》的主要贡献有以下三方面：一是提出求最 小公倍数的算法；二是提出计算等差级数的公式；三是“百 鸡问题”首创不定方程的研究，对后世影响深远．
2．《算学启蒙》与《四元玉鉴》 《算学启蒙》是中国元代数学家朱世杰撰，分上中下三卷， 20 门，259 问．卷上 8 门，113 问，包括各种乘除捷算法和歌诀 的应用题，以及各种比例算法．许多问题反映了元代的社会经济 情况．卷中 7 门，71 问，是面积、体积及各种算术问题．卷下 5 门，75 问，是关于分数运算、垛积(即高阶等差级数求和)、盈不 足术、线性方程组解法、天元术及增乘开方法等问题，还处理了 开方过程中系数变号的问题．
1．在古代文明典籍中，常有占卜、赌博等活动的记载，这说明人 类接触各种概率问题已经有长达数千年的时间了．《九章算术》中的“米 谷粒分”就反映了我国古代数学中最朴实的统计思想．将数学文化与概 率知识相结合，全国卷对此作出了很多有益的尝试，取得了良好的社会 影响．如 2016 年全国卷Ⅱ第 10 题利用随机模拟方法估计 π 的近似值； 2017 年全国卷Ⅰ第 2 题利用“太极图”考查几何概型的计算；2018 年 全国卷Ⅰ以古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形为背景考查几 何概型的计算；2018 年全国卷Ⅱ第 8 题以我国近代数学家陈景润的研 究为背景，考查古典概型的计算等都是优秀的传统文化与概率知识进行 结合考查的成功范例．
究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表
示为两个素数的和”，如 30＝7＋23.在不超过 30 的素数中，随机选取两
个不同的数，其和等于 30 的概率是( )
1
1
A.12
B.14
1
1
C.15
D.18
思路分析：先弄清不超过 30 的素数有哪些，然后通过列举，得 到基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，利用古典概型的 概率公式进行求解．
马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等
马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马
匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )
1
1
A.3
B.4
1Hale Waihona Puke 1C.5D.6
思路分析：本题以田忌赛马为背景考查古典概型的计算，可采 用列举法，由于马与马之间有优劣，列举时，可通过赋值的方法来 实现．
解：不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个， 随机选取两个不同的数，列举如下：
{2,3}，{2,5}，{2,7}，{2,11}，{2,13}，{2,17}，{2,19}，{2,23}， {2,29}，
{3,5}，{3,7}，{3,11}，{3,13}，{3,17}，{3,19}，{3,23}，{3,29}， {5,7}，{5,11}，{5,13}，{5,17}，{5,19}，{5,23}，{5,29}， {7,11}，{7,13}，{7,17}，{7,19}，{7,23}，{7,29}，
《算学启蒙》是一部很好的数学教材，它把当时的初级 和中级数学知识从乘除口诀开始，包括面积、体积、比例、 开方、高次方程、天元术等，有例题，有方法，分门别类， 由浅入深，循序渐进，自成系统，确是一部很好的数学启蒙 读物．
《四元玉鉴》是朱世杰论垛积术与四元术的杰出著作．全 书分上中下三卷，24 门，288 问．《四元玉鉴》最重要的内容 和最突出的成就，一是“四元消法”，即高次方程组消去法 问题；二是关于高阶等差级数的有限项求和问题．此二项在 中国数学史上占有极重要地位，同时比国外的同类成果也要 早几百年．
12×1×1＋21× 2× 2＝32， 所以从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率
3 是28＝136.
答案：C
试题赏析： 本题以中国传统智力游戏为背景，贴近学 生实际生活．通过本题的求解，使学生体会概率在生活中 的应用．从中国传统智力游戏选取素材考查数学问题，丰 富了数学文化的取材途径.
试题赏析： “每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的 和”是德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach,1690－1764)于 1742 年 6 月 7 日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥 德巴赫猜想.18、19 世纪，所有的数论专家对这个猜想的证 明都没有作出实质的推进，直到 20 世纪才有所突破.1966 年， 我国年轻的数学家陈景润，在经过多年潜心研究之后，成功 地地证明了“1＋2”，也就是“任何一个大偶数都可以表示 成一个素数与另一个素因子不超过 2 个的数之和”．
【例 1】(2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”
题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，
数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
思路分析：由样本的频率估计总体的频率，254 粒和 1534 石中 夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计．
1
1
A.8
B.4
3
3
C.16
D.8
思路分析：本题考查几何概型的计算，其关键是计算阴影部分
的面积，求解时，要充分利用图形的对称性． 解：设 4 号板正方形的边长为 1，则 5 号板直角边长为 1,3 号板
斜边长为 2，7 号板斜边长为 2，直角边长为 2，则大正方形边长 为 2 2，
则大正方形的面积为 2 2×2 2＝8， 5 号板与 7 号板的面积之和为
所以由几何概型知所求概率为 P(A)＝SS正方黑形＝24＝π8. 答案：B
试题赏析：“太极”是中国古代的哲学术语，意为派生 万物的本源，太极图形象地表达了阴阳轮转、相反相成是 万物生成变化根源的哲理．本题以此为情境设计了一个简 单的概率问题，学生运用所学的知识可以较容易地解决问 题，试题不仅考查几何概型的计算，同时也引导师生重视 我国传统文化的学习，关注生活中的数学问题，增强数学 的应用意识.
【例 5】 (2018·济南市模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力游戏， 被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中 1 号 板和 2 号板为两个全等的等腰直角三角形，3 号板与 5 号板为两个全等的 等腰直角三角形，7 号板为一个等腰直角三角形，4 号板为一个正方形，6 号板为一个平行四边形．现从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影 部分的概率是( )
{11,13}，{11,17}，{11,19}，{11,23}，{11,29}， {13,17}，{13,19}，{13,23}，{13,29}， {17,19}，{17,23}，{17,29}， {19,23}，{19,29}， {19,29}， 故共有 9＋8＋7＋…＋2＋1＝1＋2 9×9＝45 种． 而和为 30 的有{7,23}，{11,19}，{13,17}这 3 种情况， 所以所求概率为435＝115.
试题赏析：田忌赛马出自《史记》卷六十五：《孙子吴 起列传第五》，故事的主角是田忌、孙膑和齐威王，是中 国历史上有名的揭示如何善用自己的长处去对付对手的 短处，从而在竞技中获胜的事例．本题是以“田忌赛马” 为背景的数学文化试题，考查了古典概型的知识，从理论 上得出了“田忌赛马”田忌获胜的可能性，从而弘扬了中 国传统文化，也有利于学生进一步了解孙子兵法虚实理 论，加强对“知彼知己，百战不殆”的军事思想的认识.
2．求解文化与概率结合的数学问题，其关键是审题，将其转化为 相关的概率知识进行求解．
解：设齐王的上、中、下三个等次马分别为 1,3,5，田忌的上、 中、下三个等次马分别为 2,4,6，
记齐王的马匹为 A＝{1,3,5}，田忌的马匹为 B＝{2,4,6}． 从集合 A，B 中各抽取一个数字，共有 9 种： {1,2}，{1,4}，{1,6}，{3,2}，{3,4}，{3,6}，{5,2}，{5,4}，{5,6}． 其中田忌获胜的三种：{3,2}，{5,2}，{5,4}． 故所求概率为13. 答案：A
这是迄今为止，这一研究领域最佳的成果，距摘取这颗“数学王 冠上的明珠”仅一步之遥，在世界数学界引起了轰动．“1＋2” 也被誉为陈氏定理．