克莱因论数学文化
【读书心得】 《数学教育中的数学文化》读后感 (2)
在数学教育中，接受文化的熏陶——读《数学教育中的数学文化》人们常说学生到学校是学文化的，作为一名青年教师我常常在想什么是文化？数学是文化吗？通过参加小学数学研讨班的学习，特别是阅读了张唯忠教授编写的《数学教育中的数学文化》理解什么是文化，什么是数学文化。
什么是文化：文化从字面上理解，即为文字与教化，是运用语言文字的能力和具有的书本知识。
泰勒认为文化是一个复杂的整体，其中包括知识、信仰、艺术、道德、法律、风俗以及人作为社会成员之一分子所获得的任何技巧与习惯。
也有些学者认为文化是人们在社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。
什么是数学文化：数学的概念，在数学课程标准中的最新定义：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。
”这就是说“数学的对象绝非物质世界的自然的真实存在，而是人类抽象思维的产物”。
由此可知数学也是人类文化的一部分。
数学作为一种文化现象。
历来受到人们的重视，但数学文化作为一种特殊的文化形态，直到20世纪下半叶，才由美国著名的数学史学家M·克莱因在其三本著作《西方文化中的数学》、《古今数学思想》和《数学——确定性的丧失》中进行了比较系统而深刻的阐述。
美国学者怀尔德在其著作《数学是一个文化体系》中提到数学文化的发展已经达到了一个较高的水平，并可被认为构成了一个相对独立的文化系统，日本学者米山国藏说：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，不到一两年，很快就忘掉了。
然而，不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终身受益。
”因此，笔者认为数学文化是以现代数学科学体系为核心，以数学的精神、观点、思维、方法、语言等以及其所辐射的相关文化领域所组成的人类文化。
我国数学家齐民友认为数学作为一种文化，在过去和现在都大大地促进了人类的思想解放，人类无论是在物质生活上还是在精神生活上得益于数学的都实在太多，今后数学还会大大地促进人的思想解放，使人成为更完全、更丰富、更有力量的人。
数学的功能
1
数学的实用功能
数学是广泛适用的科学。
数学知识与方法能够被广泛地应用于人类 社会的各个方面，其根本原因在于：
第一，数学的研究对象数与形是万物之本 ，与世间万事万物万象密切相关；
第二，数学是最可信赖的科学，什么东西 一经数学证明，便板上钉钉，确凿无疑.
生活助手：计算、测量，对比、判断、预测 与决策.
3
数学的语言功能
数学研究的各种量、量的关系、量的变 化、量的关系的变化、量的变化的关系等， 都是通过数学自身的一套不可比拟、无法替 代的数学语言（概念、公式、法则、定理、 方程、模型等）来表述的.
简单化（对自然语言进行简化）
清晰化（克服自然语言中含糊不清的毛病）
扩展化（扩充它的表达范围）
Hale Waihona Puke 4数学的文化功能数学文化的内涵：数学文化是由知识性成份（数
学知识）和观念性成份（数学观念系统）组成的，它 们都是数学思维活动的创造物，包括数学知识、思想 、方法、语言、精神、观念，涉及数学思维、数学应 用、数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉 、数学与各种文化的关系等.
数学欣赏
➢ 二是在这一历史进程中，通过长期的积累与沉淀，自觉 不自觉地转化为人类的素质与教养，使人们在精神与品 格上得到升华.
数学是一种文化：首先，数学是人类创造并传承
下来的知识、方法与思想；其次，数学深入到每个人 ，深入到社会的每个角落；第三，数学影响着人类的 思维，推动着科技发展和社会进步，与其它文化关系 密切.
文化，是指人类在社会历史发展过程中所创
造的对社会有重要影响（有价值、有意义）的物 质财富与精神财富的总和，包括人为制定的规范 制度或历史传承下来的风俗习惯. 其要点有二：
➢ 一是在深化人类对世界的认识或推动人类对世界的改造 方面，在推动人类物质文明和精神文明的发展中，起过 或（和）起着积极的作用，甚至具有某种里程碑意义；
克莱因 自守函数论
克莱因自守函数论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:克莱因自守函数是数学中一个重要的概念，它在许多数学领域中都具有广泛的应用。
本文将对克莱因自守函数的概念进行详细介绍，并探讨其在数学中的应用和性质。
通过对克莱因自守函数的研究，我们可以更好地理解数学中的自守性质，并发现其在数学和物理领域中的重要作用。
本文旨在总结克莱因自守函数的重要性，并展望未来克莱因自守函数研究的发展方向，最终得出结论。
通过阅读本文，读者将对克莱因自守函数有着更深入的了解，同时也能够对未来的研究方向有所启发。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和内容进行简要的描述，以引导读者对文章的整体框架有一个初步的了解。
可以包括对每个章节的主题和重点内容进行简要介绍，同时指出本文的主要目的和观点。
例如：文章结构部分的内容可以描述文章的整体架构，包括引言、正文和结论三个部分的内容安排。
同时指出引言部分将介绍克莱因自守函数的概念和引入背景，正文部分将分为克莱因自守函数的概念、在数学中的应用和性质三个小节进行介绍和分析，接着结论部分将总结克莱因自守函数在数学领域中的重要性，并对未来的研究方向和展望进行展望。
最后强调本文的目的是阐述克莱因自守函数的概念、应用和性质，并为未来的研究提供一定的参考和启发。
1.3 目的目的部分的内容可以包括对撰写本文的初衷和目标的说明，以及对读者的期望。
例如：在本文中，我们旨在深入探讨克莱因自守函数的概念、性质以及在数学中的应用。
通过对克莱因自守函数的研究，我们希望能够揭示其在数学领域中的重要性，并为未来的研究提供一定的启发和指导。
我们也希望通过本文能够向读者传达克莱因自守函数的复杂性和美妙之处，引发对数学中抽象和深刻概念的兴趣和探索欲望。
通过本文的阐述，我们期望读者能够对克莱因自守函数有更深入的理解，并对其潜在的应用和价值有所启发。
2.正文2.1 克莱因自守函数的概念克莱因自守函数是指满足特定性质的复函数，即对于任意复数z，其函数值满足关于z的共轭对称性。
用文化润泽数学课堂———读方延明老师《数学文化》有感
放大 、 外化 ， 并在课 堂中予以传递。 必沉淀下 丰富的数学内涵、 数学思考 、 数学 断、
观念。如果课堂仅仅停 留于对数学概念的 被动认识 、 理 明和传递上， 数学 “ 可能 ” 的文 化价值也 无法成为“ 现实” 力量。
一
数学 文化是一 个比较精彩的文化 ， 是 个 未知 的需要我 们更进 一步去 了解 的
而言 ， 方法 、 策略和 思想更 为内隐 ， 常“ 潜 伏” 于许多看似普通的数学知识、 数学技能
同时 文是一种 有 力的解决 问题 的 工具 和 态呈现在教材或课 堂上 ， 但我们应该 明白， 向， 又拓展 了人 们的思 想解放 之路 ， 因为
数学常常是 自己否定 自己的。 这些年来 ， 我们再三强调 科学与人文 并重 ， 但每年 分科时 ， 不断增加的文科 生 ， 让人堪忧。事实上 ， 有许 多的文科生都是 因为怕学数学面选择 文科 ， 而 又有许多 的 辍学学 生 问其原 因 ，绝 大 多数学 生会说
中， 如何将 学生置身于规则发生、 发展 、 形
门艺术 或一种语言。 数 学更 主要的是一
门有 着丰富内容的知识体 系 ， 其 内容对 自
然科 学家、 社会学 家、 哲学 家、 逻辑 学家和
我们 整天把数学只当作 数学教 学或者 成 的生动过程 ， 引导他们亲历观察 、 猜想、 艺术家十分有 用， 同时影 响着政治 家和神 题？
数学文化的观点最早由西方学者提出
数学文化的观点最早由西方学者提出，它是由人类文化学和西方数学哲学的发展推动而形成的。
在科技飞速发展的今天，数学早已渗透于文化的各个层面，它不再被等同于知识的简单汇集，而主要地被看成是人类的一种活动，一种以“数学共同体”为主体，并在一定文化环境中所从事的创造性活动。
通过在中学的数学教学，让学生初步了解数学科学与人类社会之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，使学生受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。
下面我来谈谈数学文化的涵义数学不应被等同于知识的简单汇集，而应主要地被看成是人类的一种活动；同时，由于数学不仅具有自己特殊的价值标准，更有着自己特殊的发展规律，因此数学应当被看作是整个人类文化的一个相对独立的子系统，当然，这并非是一个完全封闭的系统，恰恰相反，正是由于其内在力量和外部力量的共同作用直接决定了数学的发展和进化，我们也就更加确定了数学系统的开放性。
“数学文化”对许多人来说也许比较陌生。
它是指从文化这一角度来关注数学，强调数学的文化价值。
南开大学顾沛教授从“数学文化”一词的使用入手，剖析了“数学文化”的狭义和广义内涵：狭义上指的是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；而广义上则指数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与各种文化的关系。
不管他们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，这种数学素养使人终身受益.数学文化不同于艺术、技术一类的文化，数学文化属于科学文化，一种理性文化。
数学作为一种文化，除具有文化的某些普遍特征外，还有其它一些独有的特征，这是其区别于其他文化形态的主要方面，也是对其本质的进一步揭示：它是传播人类思想的一种基本方式；它是人类所创造语言的高级形式；它是自然与社会相互联系的一种工具；它具有相对的稳定相和延续性；它具有高度的渗透性和无限的发展可能性.数学文化是传播人类思想的一种基本方式，包含人类语言的高级形态。
数学课堂教学如何体现数学文化的特征
数学课堂教学如何体现数学文化的特征数学不仅仅是一门科学,其本身也是一种文化.它作为文化的一部分向我们提供了一门严密的知识体系,一种精确的科学语言,一种科学的思维方法,一种最有力的工具,是一切自然科学的基础.通过数学文化的学习,不仅能够加深我们对知识的理解,提高我们的知识层次、文化修养和创新意识,还能让我们学到数学的一些演算规则变换技巧以及使人终生受益的数学精神、思想和方法.中学数学课程提倡数学教学应体现数学的文化价值,数学文化已经逐渐从理念走向实践.1 .数学课堂中数学知识的传播数学课堂的进行主要就是对于数学知识的学习,这是对数学教育的基本要求,就是传输给学生教学大纲中所规定的数学知识.中学数学知识就是指“标准”中规定的代数、几何、微积分、概率与统计等的概念、定理、公式、法则、性质.数学教材中一定是以数学知识为主的,但数学文化视角下的数学知识的传播,不单单是要求学生掌握“标准”中规定的知识,而是在于学生掌握知识的过程.建构主义认为,学习不是学生被动地接受教师所传递的知识的过程,而是以学生自己已有的认知结构为基础,对新信息进行主动地分析、推理、判断,从而改变已有的认知结构,建新的认知结构的过程.这就要求数学教师很好地利用教材,运用正确的教学方法将教材呈现给学生.也就是在向学生传授数学知识时一定要掌握有效的方法,联系生活实际,从学生的实际出发,便于他们理解知识,而不是仅针对考试和升学率将学生看作是获得知识的工具.2 数学课堂中数学语言的传播数学是人类文明史上最早的语言形式之一.作为人类语言的一种高级形态,当今的数学语言是科学语言和世界语言的典范,为包括自然科学、社会科学等在内的所有科学的研究提供了一种有效的工具.数学课堂教学免不了有数学语言的传播,这个传播过程对于学生更好地了解并掌握数学是很重要的,因为数学语言不仅仅是数学文化的内容,还是数学文化传播的一种载体.通过数学语言的传播,可以拉近学生与数学的距离,掌握了数学语言,对于学习数学提供了一种很有力的工具.在计算机辅助教学的推广中,就要求教师们不要忽视了板书和语言的重要性,该写的符号、公式等还是要亲自写一下,并配合语言强调其重要性.这样学生不仅会念、会写,也会记住这个过程,记忆深刻.例如集合语言就是现代数学的一种基本语言,使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容.而通过对这种语言的学习,学生将会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,发展运用数学语言进行交流的能力.数学文化视角下的集合语言的传播就要求教师讲解时配以正确的语言,使学生能够掌握正确的数学语言,并能运用数学语言进行交流.3 数学课堂中数学思想方法的传播数学课堂中数学思想方法一直融合在数学知识体系中,特别是数学知识中体现出来的数学思想.比如二分法求方程的解,其思想比会求解更重要,这里边至少有三个重要思想: 近似的思想、逼近的思想以及算法的思想.就数学而言,某个人可能已记不起学过的某条几何定理,但几何学的严谨性、逻辑性和独特的美却能给他留下终生的印象.根据教材的编排,教师需要通过抽象地概括、近似、构建数学模型等思想方法的学习和训练,让学生体会到概念、定理、公式等都来源于生活,而且还可以反过来应用于生活,解决生活中的实际问题.如在平面解析几何初步的教学中,要用到“数形结合”的思想方法,因此教师就应该帮助学生经历这样一个过程: 先将几何代数化,即用代数的语言描述几何各要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题；然后再处理代数问题；最后分析代数结果的几何含义,并最终解决几何问题.这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合”的思想.类似的,算法思想也贯穿于高中数学课程的相关部分.可见,课堂中数学思想方法的传播,要求教师好好地利用教材、正确地引导学生,使学生掌握数学知识中包含重要的数学思想方法.4 数学课堂中数学史的传播数学课堂中还包括一些重要的定理、公式所穿插的数学家简介及数学发展的历史的传播.通过数学史的传播,对于激发学生学习兴趣、活跃课堂气氛、增加学生的数学素养等都有重要作用.因此,教师首先要明确这些阅读材料,然后根据自己课堂的情况,适时地、有效地引入教材中已有的或是自己准备的数学史料；最后强调所提到的数学家的精神或是数学发展史的曲折,以此提高学生的学习兴趣.普通高中课程标准实验教科书中的每一章都编有阅读材料,能不能好好利用,关键还是在教师.如人教 A 版中的“观察与猜想”、“阅读与思考”、“探究与发现”等板块,其中涉及数学史料、数学趣闻等多方面的知识,不但可以拓宽学生的知识面、丰富学生对数学发展史的认识,还可以提升学生的文化素养.5 数学课堂中数学精神的传播,克莱因指出:“数学是一种精神,一种理性的精神,也正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度,也正是这种精神,试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵.”数学精神的重要性就在于它可以提高学生的素质,增强学生学习的内在动力,对学生思维品质的提高也有重要作用.而数学课堂中数学精神的传播是潜移默化的,比如民主、和谐、宽松的课堂气氛就有利于学生感受学习的乐趣,培养团结协作的精神,对学生创新精神的培养也有重要作用.同样教材中也包含有很多传播数学精神的素材.数学文化是人类文化的重要组成部分和基石之一,它是贯穿于整个中学数学课程的重要内容. 通过以上分析,中学数学课堂中数学文化的传播主要包括数学知识、数学语言、数学思想方法、数学史、数学精神、数学美和数学价值观的传播,而教师是数学课堂教学中数学文化氛围的营造以及数学文化传播的主导者,而数学文化本身赋予了数学教育观念更深刻的社会内涵和教育价值,将数学文化作为数学教育的指导原则,融入数学课程的建设、教学方法的选择以及教学思想中,必定对我们的数学教育有着更深远的影响.。
追求几何理论统一性的数学家
追求几何理论统一性的数学家——克莱因追求几何理论统一性的数学家——克莱因克莱因（Christian Felix Klein，1849～1925），德国数学家。
生于莱茵河畔的杜塞尔多夫。
1857年进入天主教文科中学，1865年进入波恩大学，1868年获数学博士学位。
1872年任爱尔兰根大学教授。
1875年至1886年先后任慕尼黑工业大学和莱比锡大学教授。
1886年起任格丁根大学教授，直至1913年退休。
1925年在格丁根逝世。
克莱因在非欧几何、连续群论、代数方程论、自守函数论等方面，都取得了杰出的成就。
1885年被选为英国皇家学会会员，1897年被选为法国科学院院士，1913年被选为普鲁士科学院通讯院士。
主要论著有：《论所谓非欧几何学》（1871）、《新近几何学研究的比较考察》（1872）、《二十面体及五次方程解讲义》（1884）、《椭圆模函数论讲义》（1890、1892）、《自守函数论讲义》（1897、1912）、《高观点看初等数学》（1908、1909）等。
用射影几何学来统一几种度量几何学19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。
在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。
1822年法国数学家彭色列用传统的综合方法建立了射影几何学的理论体系，德国数学家梅比乌斯和普吕克又以代数为工具建立了射影几何学的理论体系。
射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。
不久，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家博耶建立了非欧几何学。
非欧几何学的诞生说明欧几里得几何学不再是现实空间的唯一刻画，除此之外还存在着刻画现实空间的其他几何学。
与此同时德国数学家高斯和黎曼又建立了微分几何学。
这些新几何学的诞生不仅打破了古典欧几里得几何学的垄断地位，而且也从“现实的”三维空间以及其中的点、线、面作了两方面的扩张：一是高维几何学的出现，人们开始研究四维及四维以上的空间（亦称之为“流形”）；二是空间元素不再局限为点，而可以是线、圆、曲面等。
数学文化的概念及特征
数学文化的概念及特征段灿松曲靖2013/5/251.数学是一种文化关于文化，英国人类学家爱德华·泰勒早在他的《原始文化》一书中提出了文化的定义：“所谓文化或文明，就其广泛的民族学意义来说，即是知识、信仰、艺术、道德、法律、习俗和任何人作为一名社会成员而获得的能力和习惯在内的复杂整体。
”上述文化的定义，强调了文化的非自然性即文化对人的依赖性以及文化广泛的涵盖性。
一般来说，文化有狭义、广义之分。
狭义的文化，是指社会的意识形态以及与之相适应的制度和组织机构，即人们精神生活领域；广义的文化，则是与自然相对的概念，它是指通过人的活动对自然状态的变革而创造的成果，即一切非自然的、由人类所创造的事物或对象，是人类在社会实践中所创造的物质财富和精神财富的总和。
[7]广义的文化概念强调的是文化对人类创造活动的依赖性，而狭义的文化概念则强调文化对人的行为、态度、观念、精神等非智力因素的影响。
根据上述广义的文化概念，就可把一切非自然的事物或对象都看成文化物。
由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维的产物、是人类文化的组成部分，数学不仅是关于数的世界、形的世界或更广阔世界的科学，数学还是一门充满人文精神的科学，因此，数学是人类的一种文化，本文称之为数学文化。
那么，什么是数学文化呢？许多学者都有自己的见解：最早系统提出数学文化观的学者是美国怀尔德(R.Wilder，1896—1982)，他的两部经典著作《数学概念的进化》和《作为文化系统的数学》从文化生成的理论、发展理论等方面提出数学文化系统的理论。
他认为：“数学是一个由于其内在力量与外在力量共同作用而处于不断发展和变化之中的文化系统。
”也就是说数学文化由数学传统和数学本身组成。
美国著名数学史家、数学教育家克莱因（M.Kline）认为：“数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量，数学是一种理性精神。
”数学是人类精神文明的硕果，它不仅闪耀着人类智慧的光芒，而且它的发展也充分体现了人类为真理而生生不息、孜孜以求的精神。
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克莱因论数学文化(转自中国数学在线，选自《数学与文化》，张祖贵译，北京大学出版社1990年版)克莱因，美国当代数学家、数学史家、数学教育家，主要著作有《古今数学思想》。
数学研究的是现实世界中的数量关系和空间形式，它作为一门基础科学，既广泛应用于技术工程中，又是研究许多理论科学必不可少的工具。
然而，由于数学具有高度的抽象性，一般人对它存在着片面的认识。
本文开篇就提出了鲜明的观点：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。
”作者列举了历史上人们对数学的误解，在各个层面上论述了数学在人类文化中的作用，对它的本质和应用作了精要的分析。
作者引用怀特海关于“阿基米德死于一个罗马士兵之手”的精彩论述，将数学放在广阔的社会背景中来说明它的文化意义，发人深省。
本文文质兼美，作者旁征博引，说理透辟，议论精警。
数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。
这种观点在许多人看来是难以置信的，或者充其量来说也只是一种夸张的说法。
这种怀疑态度完全可以理解，它是一种普遍存在的对数学实质的错误概念所带来的结果。
由于受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有用的一系列技巧。
这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。
当有人对这种状况提出异议时，某些饱学之士可以得到权威们的支持。
圣?奥古斯丁〔圣?奥古斯丁(354?430)〕基督教神学家、哲学家，北非希波主教。
生于北非塔加斯特(现在阿尔及利亚的苏克阿赫腊斯)。
他的神学体系5至12世纪在西欧基督教会中占统治地位。
主要著作有《上帝之城》《预定论》《论三位一体》等。
他说过：“好的基督徒应该提防数学家和那些空头许诺的人。
这样的危险已经存在，数学家们已经与魔鬼签订了协约，要使精神进入黑暗，把人投入地狱。
”古罗马法官则裁决“对于作恶者、数学家诸如此类的人”，应禁止他们“学习几何技艺和参加当众运算像数学这样可恶的学问”。
叔本华〔叔本华(1788?1860)〕19世纪德国哲学家，惟意志论的创始人。
认为人生就是苦难。
他对科学研究评价不高，认为科学研究是为了满足物质欲望。
，这位在现代哲学史上占有重要地位的哲学家，也把算术说成是最低级的精神活动，他之所以持这种态度，是基于算术能通过机器来运算这一事实。
由于学校数学教学的影响，这些权威性的论断和流行的看法，竟被认为是正确的!但是一般人忽视数学的观点仍然是错误的。
数学学科并不是一系列的技巧。
这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。
技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。
如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。
因此，让我们看一看20世纪人们对这门学科的态度。
首先，数学主要是一种寻求众所周知的公理法思想的方法。
这种方法包括明确地表述出将要讨论的概念的定义，以及准确地表述出作为推理基础的公理。
具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公理出发，推导出结论。
数学的这一特征由17世纪一位著名的作家在论及数学和科学时，以某种不同的方式表述过：“数学家们像恋人……承认一位数学家的最初的原理，那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结论，从这一结论又推导出其他的结论。
”仅仅把数学看作一种探求的方法，就如同把达?芬奇〔达?芬奇(1452?1519)〕意大利文艺复兴时期的美术家、科学家、工程师。
绘画代表作有《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》等。
《最后的晚餐》看作是画布上颜料的组合一样。
数学也是一门需要创造性的学科。
在预测能被证明的内容时，和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的直觉和想像。
例如，牛顿和开普勒〔开普勒(1571?1630)〕德国物理学家、天文学家，提出了行星运动的三大定律。
就是极富于想像力的人，这使得他们不仅打破了长期以来僵化的传统，而且建立了新的、革命性的概念。
在数学中，人的创造能力运用的范围，只有通过检验这些创造本身才能决定。
有些创造性成果将在后面讨论，但这里只需说一下现在这门学科已有八十多个广泛的分支就够了。
如果数学的确是一种创造性活动，那么驱使人们去追求它的动力是什么呢?研究数学最明显的、尽管不一定是最重要的动力是为了解决因社会需要而直接提出的问题。
商业和金融事务、航海、历法的计算、桥梁、水坝、教堂和宫殿的建造、作战武器和工事的设计，以及许多其他的人类需要，数学能对这些问题给出最完满的解决。
在我们这个工程时代，数学被当作普遍工具这一事实更是毋庸置疑。
数学的另外一个基本作用(的确，这一点在现代特别突出)，那就是提供自然现象的合理结构。
数学的概念、方法和结论是物理学的基础。
这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度。
数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一系列彼此脱节的观察研究纳入科学的实体之中。
智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣，激励许多数学家研究数的性质和几何图形，并且取得了富有创造性的成果。
今天很受重视的概率论，就开始于牌赌中的一个问题??一场赌博在结束之前就被迫中止了，那么赌注如何分配才合理?另外一个与社会需要或科学没有什么联系的最突出的成就，就是由古代希腊人创造出来的，他们把数学转变成了抽象的、演绎的和公理化的思想系统。
事实上，数学学科中一些最伟大的成就??射影几何、数论、超穷数理论和非欧几何〔非欧几何〕一种不同于欧几里得几何学的几何体系的简称，一般指罗巴切夫斯基的双曲几何和黎曼的椭圆几何。
它们与欧氏几何的最主要区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。
，这里我只提到我们将要讨论的内容??都是为了解决纯智力的挑战。
进行数学创造的最主要的驱动力是对美的追求。
罗素②〔罗素(1872?1970)〕英国哲学家、数理逻辑学家，分析哲学的创始人。
1950年获诺贝尔文学奖。
一生著述一百多种，主要著作有《论几何学的基础》《数学原理》(与怀特海合著)《西方哲学史》《人类知识》等。
，这位抽象数学思想的大师曾直言不讳地说：数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美,正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。
一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识??这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。
除了完善的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，运用必不可少的想像和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足。
如果美的组成和艺术作品的特征包括洞察力和想像力，对称性和比例、简洁，以及精确地适应达到目的的手段，那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术。
尽管历史已清楚地表明，上述所有因素推动了数学的产生和发展，但是依然存在着许多错误的观点。
有这样的指责(经常是用来为对这门学科的忽视作辩解的)，认为数学家们喜欢沉湎于毫无意义的臆测；或者认为数学家们是笨拙和毫无用处的梦想家。
对这种指责，我们可以立刻作出使其无言以对的驳斥。
事实证明，即使是纯粹抽象的研究，也是有极大用处的，更不用说由于科学和工程的需要而进行的研究了。
圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)自被发现两千多年来，曾被认为不过是“富于思辨头脑中的无利可图的娱乐”，可是最终它却在现代天文学、仿射运动理论和万有引力定律中发挥了作用。
另一方面，一些“具有社会头脑”的作家断言：数学完全或者主要是由于实际需要，如需要建筑桥梁、制造雷达和飞机而产生或发展的。
这种断言也是错误的。
数学已经使这些对人类方便有用的东西成为可能，但是伟大的数学家在进行思考和研究时却很少把这些放在心上。
有些人对实际应用漠不关心，这可能是因为他们成果的应用在几百年后才实现。
毕达哥拉斯和柏拉图的唯心主义数学玄想，比起货栈职员采用“”号和“”号的实际行动来(这曾使某一作家深信“数学史上的一个转折点乃是由日常的社会活动所致”)，所作的贡献要大得多。
确实，几乎每一个伟大的人物所考虑的都是他那个时代的问题，流行的观点会制约和限制他的思想。
如果牛顿早生两百年，他很有可能会成为一位出色的神学家。
伟大的思想家追求时代智力风尚，就如同妇女在服饰上赶时髦一样。
即使是把数学作为纯粹业余爱好的富有创造性的天才，也会去研究令专业数学家和科学家感到十分激动的问题。
但是，那些“业余爱好者”和数学家们一般并不十分关心他们工作的实用价值。
实用的、科学的、美学的和哲学的因素，共同促进了数学的形成。
把这些做出贡献、产生影响的因素中的任何一个除去，或者抬高一个而去贬低另外一个都是不可能的，甚至不能断定这些因素中谁具有相对的重要性。
一方面，对美学和哲学因素作出反应的纯粹思维决定性地塑造了数学的特征，并且作出了像欧氏几何和非欧几何这样不可超越的贡献。
另一方面，数学家们登上纯思维的顶峰不是靠他们自己一步步攀登，而是借助于社会力量的推动。
如果这些力量不能为数学家们注入活力，那么他们就立刻会身疲力竭，然后他们就仅仅只能维持这门学科处于孤立的境地。
虽然在短时期内还有可能光芒四射，但所有这些成就会是昙花一现。
数学的另一个重要特征是它的符号语言。
如同音乐利用符号来代表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。
与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长不堪。
这种简洁性有助于思维的效率。
J.K.杰罗姆〔J.K.杰罗姆(1859?1927)〕英国小说家、剧作家。
主要作品有《懒汉的痴想》《三人出游记》等。
，为了需要求诸于代数符号，在下面一段描写中，尽管与数学无关，却清楚地表现了数学的实用性和明了性：当一个20世纪的青年堕入情网时，他不会后退三步，看着他心爱的姑娘的眼睛，对她说她是世界上最漂亮的人儿。
他说他要冷静下来，仔细考虑这件事。
如果他在外面碰上一个人，并且打破了他的脑袋??我指另外一个人的脑袋??于是那就证明了他的??前面那个小伙子??姑娘是个漂亮姑娘。
如果是另外一个小伙子打破了他的脑袋??不是他自己的，你知道，而是另外那个人的??对第二个小伙子来说的另外一个。
因为另外一个小伙子只是对他来说是另外一个，而不是对前面那个小伙子??那么，如果他打破了他的头，那么他的姑娘??不是另外一个小伙子，而是那个小伙子，他……瞧：如果A打破了B的脑袋，那么A的姑娘是一个漂亮的姑娘。
但如果B打破了A 的头，那么A的姑娘就不是一个漂亮的姑娘，而B的姑娘是一个漂亮的姑娘。
简洁的符号能够使数学家们进行复杂的思考时应付自如，但也会使门外汉听数学讨论如堕五里云雾。