《数学史与数学文化》期末论文

神奇的三角形——我对三角形的理解、认知和探索学号：班级：姓名：教师：我不知道在数学上有着怎样严格的分类和归纳，但至少在我所学的范围内（包括数学史课上了解到的信息）我是这样把数学分类的：数学就分两个大块——几何和代数！（当然，解析几何是搭建了而二者的桥梁），其中我最为感兴趣的莫过于几何了！因为我认为几何十分直观易懂（尤其是平面几何，我不得不惭愧地说自己的空间想象力比较差，所以不太喜欢立体几何），而代数太过于抽象，尤其是各种函数（比如抽象函数），光看着一堆符号和数字，无论是自己解题还是看别人的解答过程都觉得挺玄幻的——所以说数论是“数学上的皇冠”（哥德巴赫猜想则是“皇冠上的明珠”，小时候看过哥德巴赫猜想的介绍，分为猜想A和猜想B，当然，题目简短，但我看到的第一眼就是：不会！呵呵……）。

而在几何当中，我觉得最有趣的是三角形（当然事实上数学家们研究得最多的也是三角形，毕竟其他任何几何图形最终归结为三角形——这是我的理解），至于说兴趣的来源是因为我小时候看过古希腊三个著名问题之一的“三等分角”——要求在尺规作图的条件下（圆规和没有刻度的尺子）将一个任意给定的角三等分——当然，初中我们已经学会了尺规作图二等分一个角，显然类推很容易2n等分一个角（自己试过16等分，现在想起来这种等分不过是“无脑操作”罢了），当然，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角——当然我现在知道了，正九边形是不存在的，而且最多只有正二十四边形（这个可以用欧拉公式证明：顶点数+面数-棱数=2），在查阅了相关资料后，获得了以下信息：在研究三等分角问题时，希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题，为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线。

当然，借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．同时，有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分．在这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题。

多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角（同时已经证明：只有尺规作图，不能三等分任意角），但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的“近似”的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法。

当然，只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。

古希腊数学家阿基米得（前287－前212）发现只要在直尺上固定一点，问题就可解决了。

不过“引用尺规作图三等分任意角”的问题依旧引起了从过至今无数数学家的兴趣——当然，都以失败而告终！自从我知道了这个著名的问题之后，我开始对三角形产生了兴趣——这么简单的一个图形究竟有多少性质值得这么多数学家去研究，又有多大的魅力值得数学家们去追求？学习一个事物，总是经历这样的过程——了解、认知、探索、研究、体会、总结，我学习三角形基本上也是经历了这样的过程。

如果要给三角形一个比较准确的定义的话，那我将其总结为“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形”。

而且，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

——不过球面三角形我并不是很感兴趣，总感觉少了三角形的一些魅力，所以我着重学习和研究的是平面三角形！众所周知，角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的，所以我一直觉得学好三角形就基本上等于学好了平面几何！在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。

（注：在非欧几何中，三角形的内角和有可能大于180度也有可能小于180，此时的三角形也从平面也变为了球面或者伪球面——当然，正如我所说，现在只是探讨一下欧氏几何中的平面三角形，忽略球面三角形和非欧几何中三角形的所有性质）至于证明，根据三角形的外角和等于内角是可以证明的，这里简单推导一下吧——如何证明三角形的内角和等于180°？方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为180°。

这个方法“最笨”，而且不精确，但是最容易理解，数学上很多问题可以用实际生活中的例子去验证，当然，这个并不能代表严格的证明过程——不然数学家都没饭碗了~方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180°。

下面给出这样的例题来加以说明具体应该怎么证明：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（随便画一个三角形就可以了，而且ABC顶点标定的顺序无所谓——这其实就是三角形最大的好处，从四边形开始，顶点标定的顺序在许多数学问题上都是有关系的，不同的标定方法也许需要采用不同的处理方法，同时很有可能得出的结论也是不一样的——我在高中解析几何的学习中早已深有体会——当然，在立体几何中，顶点标定顺序的重要性就更加明显了，它甚至将直接影响整个几何体的形状）——我的证明大致如下：做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E ∵AB∥CE（已知）∴∠ABC=∠ECD(两直线平行，同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行，内错角相等) ∵∠BCD=180°∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质）∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换）——当然，因为证明内角和为180度这个问题因为本身比较简单，所以证明的方法也是层出不穷——数学史上，早在公元前几百年数学家欧几里得就证明过了！）当然，我最感兴趣的也是学习研究主干要点的就是——解三角形！这是一个相当广泛的领域，许许多多的数学家在这个方面奉献了毕生的精力，提出了难以统计的重要定理，为三角形的研究做出了巨大的贡献！当然，由于我学术尚浅，只对一些简单情况进行研究和学习，我还是先按比较清晰的逻辑归纳一下一般方法吧！——定义：已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

1.解直角三角形（斜三角形特殊情况）：最常用的工具就是——勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”，其实论数学史的话，中国很早以前就已经得出了中国结论，但是并没有经过像外国那样的系统性的总结，而且外国似乎不太愿意承认这个定理最早是由中国人给出的）——a2+b2=c2（其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边）。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。

比如：3，4，5。

他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26;等等.（对于a n+b n=c n这种整数解的求法牵涉到费马大定理——很难证的定理，也是数论中一个比较典型的问题，我曾看过一些介绍和简略版的证明过程，完全一头雾水）2.解斜三角形：在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) ——不得不说，三角形还有一个很良好的性质就是很多定理、问题都牵涉到圆！——而圆是几何中性质最好，最“和谐”的图形！（2）余弦定理a2=b2+c2-2bc*CosA b2=a2+c2-2ac*CosBc2=a2+b2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况，主要是因为Cos90o=0，所以没有显式表达出来（3）余弦定理变形公式cosA=(b2+c2-a2)/2bc cosB=(a2+c2-b2)/2ac cosC=(a2+b2-c2)/2ab ——斜三角形的解法：（我只是一般归纳，不完全具有普适性）1.一边和两角（如a、B、C,或a、A、B）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c——在有解时有一解。

2.两边和夹角(如a、b、C) 余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

3.三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C ——在有解时只有一解。

4.两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理（或余弦定理）——由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。

（或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C）这里，我还给出不太常用的公式（这个主要用于求三角形的面积用）——海伦公式先设定公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]然后我可以将公式这样来拓展：已知三条中线求面积已知三条中线Ma,Mb,Mc，则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 最后，我还想介绍一下关于一些三角形的性质，虽然定义在很多教科书上都有，不过，在学了数学这么长的一段时间之后，总结了一些经验教训，简短地做出下列总结：射影定理（欧几里得定理）——在任何一个直角三角形中，作出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积。

当然这是用我们一般的自然语言对定理进行描述，如果要有专业的几何语言来描述的话，我认为大致可以这样：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，则BD2=AD×DC 射影然后我对定理进行如下拓展：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，(1)AB2=AD·AC (2)BC2=CD·AC (3)ABXBC=ACXBD定理的证明很简单，就是利用直角上的勾股定理！把对三角形核心内容的理解、认知阐述了一下之后，我稍微向代数方面伸一伸手吧——当然，主体还是三角形想必这个词大家都很熟悉——三角函数！因为牵涉到三角形，而且三角函数在几何代数中地位很重要（在物理、工程学等工科领域重要性更为明显！），所以我还是简单谈谈对三角函数的认识吧！首先，我必须得说三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。