限时训练(数列)
数学数列限时训练单选20题
数学数列单项选择题：共20小题，每小题5份，共100分1．数列{a n}为等差数列，且a2+a7+a12＝6，则{a n}的前13项的和为（）A．52B．C．26D．2．记S n为正项等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，4a3＝a5，则S10＝（）A．512B．511C．1023D．10243．数列{a n}是公差为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，则S4＝（）A．8B．12C．16D．244．已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．845．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．86．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100B．210C．380D．4007．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，则a11+a12+a13＝（）A．120B．105C．90D．758．已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）9．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100B．99C．98D．9710．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．1211．已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．12．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130B．170C．210D．26013．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．814．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n+1，则当n＞1时，S n＝（）A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n﹣1D．（﹣1）15．已知等差数列{a n}满足a2+a4＝4，a3+a5＝10，则它的前10项的和S10＝（）A．138B．135C．95D．2316．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（）A．B．7C．6D．17．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．18．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．1119．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝9，则a1＝（）A．B．C．D．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣2，S m＝0，S m+1＝3，则m＝（）A．3B．4C．5D．6数学数列单选答案1．数列{a n}为等差数列，且a2+a7+a12＝6，则{a n}的前13项的和为（）A．52B．C．26D．【分析】由等差数列的性质可求a7，然后代入到求和公式S＝＝13a7可求．【解答】解：由等差数列的性质可知，a2+a7+a12＝3a7＝6，故a7＝2，则{a n}的前13项的和S＝＝＝13a7＝26．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．2．记S n为正项等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，4a3＝a5，则S10＝（）A．512B．511C．1023D．1024【分析】结合已知及等比数列的性质可求公比q，然后结合等比数列的求和公式即可求．【解答】解：由4a3＝a5可得q2＝4，∵q＞0，所以q＝2，由等比数列的求和公式可得，S10＝＝1023．故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及性质的简单应用，属于基础试题．3．数列{a n}是公差为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等比数列，则S4＝（）A．8B．12C．16D．24【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】解：数列{a n}是公差d为2的等差数列，S n为其前n项和，且a1，a4，a13成等可得a42＝a1a13，即（a1+6）2＝a1（a1+24），解得a1＝3，则S4＝4a1+6d＝4×3+6×2＝24．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝（）A．21B．42C．63D．84【分析】由已知，a1＝3，a1+a3+a5＝21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1＝3，a1+a3+a5＝21，∴，∴q4+q2+1＝7，∴q4+q2﹣6＝0，∴q2＝2，∴a3+a5+a7＝＝3×（2+4+8）＝42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100B．210C．380D．400【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n＝10得出结果．【解答】解：d＝，a1＝3，∴S10＝＝210，故选：B．【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．7．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，则a11+a12+a13＝（）A．120B．105C．90D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3＝80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，∴a2＝5，∴a1a3＝（5﹣d）（5+d）＝16，∴d＝3，a12＝a2+10d＝35∴a11+a12+a13＝105故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的运算．8．已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝0，a2＝﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n＝0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1＝4由等比数列的求和公式可得，S10＝＝3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题9．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（）A．100B．99C．98D．97【分析】根据已知可得a5＝3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9＝＝＝9a5．∴9a5＝27，a5＝3，又∵a10＝8，∴d＝1，∴a100＝a5+95d＝98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．10．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴＝a1+a1+d+4a1+d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．已知等比数列{a n}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（）A．2B．1C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5＝4（a4﹣1），∴＝4，化为q3＝8，解得q＝2则a2＝＝．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．12．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130B．170C．210D．260【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m 表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，a1解得d＝，a1＝，∴s3m＝3ma1+d＝3m+＝210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100＝70×2，解得s3m＝210．故选C．a1【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．13．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，解得d＝﹣2，∴{a n}前6项的和为＝＝﹣24．故选：A．【点评】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n+1，则当n＞1时，S n＝（）A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n﹣1D．（﹣1）【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n＝2a n+1，得S n＝2（S n+1﹣S n），即3S n＝2S n+1，由a1＝1，所以S n≠0．则＝．∴数列{S n}为以1为首项，公比为的等比数列∴S n＝．故选：A．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知等差数列{a n}满足a2+a4＝4，a3+a5＝10，则它的前10项的和S10＝（）A．138B．135C．95D．23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4＝4，a3+a5＝10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）＝2d＝6，∴d＝3，a1＝﹣4，∴S10＝10a1+＝95．故选：C．【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．16．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝（）A．B．7C．6D．【分析】由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3＝5⇒a23＝5；a7a8a9＝10⇒a83＝10．【解答】解：a1a2a3＝5⇒a23＝5；a7a8a9＝10⇒a83＝10，a52＝a2a8，∴，∴，故选：A．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．17．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【分析】由题意可得a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42＝a2•a8，即a42＝（a4﹣4）（a4+8），解得a4＝8，∴a1＝a4﹣3×2＝2，∴S n＝na1+d，＝2n+×2＝n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．18．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5＝3，则S5＝（）A．5B．7C．9D．11【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5＝3＝3a3，解得a3＝1．则S5＝＝5a3＝5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2+10a1，a5＝9，则a1＝（）A．B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3＝a2+10a1，a5＝9，∴，解得．∴．故选：C．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1＝﹣2，S m＝0，S m+1＝3，则m＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m＝0可求得a1，再由通项公式及a m＝2可得m值．【解答】解：a m＝S m﹣S m﹣1＝2，a m+1＝S m+1﹣S m＝3，所以公差d＝a m+1﹣a m＝1，S m＝＝0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1＝﹣2，所以a m＝﹣2+（m﹣1）•1＝2，解得m＝5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•＝+，即有0＝+，解得m＝5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）＝﹣2，m（a1+a m）＝0，（m+1）（a1+a m+1）＝3，可得a1＝﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1＝+＝0，解得m＝5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．。
2020年高考数学二轮限时训练数列、不等式5理
第四部分：数列、不等式（5）（限时：时间45分钟，满分100分）1=x + - — 2(x<0)，贝U f(x)x【解析】 T x<0, •— x>0,1 1—x •二—2 3 =—4,等号成立的条件是—x =二,即 x = — 1.【答案】 C2 .若0<x<1，则f （x ） = x （4 — 3x ）取得最大值时，x 的值为（）【解析】•/ 0<x<1,.・.4— 3x>0, 1• x(4 — 3x) = 3 • 3x(4 — 3x)2当且仅当3x = 4 — 3x ，即x = 3时取得等号.【答案】 D3 .函数 y = log 2X + log x (2x)的值域 是()A . ( —a, — 1]B . [3 ,+s)C. [ — 1,3]D. ( —a, — 1] u [3 , +a) 【解析】 由题意可知x>0且X M 1, 1• y = log 2x + log x 2 + 1 = log 2x ++ 1,log 2x 当 x>1 时，log 2X>0, 1 /• log 2x + +1 >2 log 2X •+ 1 = 3,log 2x \jlog 2X、选择题A .最大值为 B .最小值为0C. 最大值为—4 D .最小值为—4 已知f （x ） 1••• x + 一一 2=1—x +— 2W —2231 3x + 4 —3x2 4 w _ •= _3 2 3'当且仅当(log 2x) = 1，即卩 log 2x = 1, 即x = 2时取得等号. 当 0<x<1 时，log 2x<0,1 1•••log 2x + + 1 = - — log 2x + + K- 2log 2X - log 2x21即(log 2x) = 1,即卩log 2x =- 1, x = °时取得等号.【答案】 D14. (2020 年九江模拟)函数 f(x) = x 2-2x, x € (0,3)，贝U ( )x — 2x 十 1A . f(x)有最大值7B . f(x)有最小值一1 C. f(x)有最大值1 D . f(x)有最小值1【解析】••• x € (0,3) ,• x - 1€ ( — 1,2),即x = 2时取等号， •••当x = 2时，函数f(x)有最小值1. 【答案】 D5 .当点(x , y)在直线x 十3y -2 = 0上移动时，表达式 3x + 2十1的最小值为( )A . 3B . 5 C. 1 D . 7【解析】 由x 十3y - 2= 0得3y =- x 十2, • 3 + 27y + 1= 3 + 3y + 1= 3 + 3 十 1=3x 十器十1>2 3x •争十1 = 7.9当且仅当3x =彳，即3x = 3，即x = 1时取得等号. 【答案】 D :■、填空题-log 2x •1—log 2x 卜 1 = - 1. 当且仅当一 log 2X =1—log 2x'•••(x — 1)2€ [0,4) ,• f(x) =(x — 1)2+ (x — 1)21>2{(x - 1)2・占—1 = 2— 1= 1.当且仅当(x - 1)2=1(x - 1)2，且 x € (0,3)26. 设皿是厶ABC 内一点，且 A E •AC = 2 ：3,/ BAC= 30°，定义 f( M)= (m , n , p)，其 1 1 4 中 m n 、p 分.别是△ MBC A MCA A MAB 的面积，若 f(M) = -, x , y ，则了 + y 的最小值是【解析】 根据题意A B- AC = |AB| •l 尿Ceos / BAC= 2 '3,可得 |A B | -|AC| = 4,所以 &ABC = 1|AB||AC |sin Z BAC= 1, 1 1 贝U2+x + y = 1，即 x +y = 2, 1 41 4 所以- = 2(x + y) -+ - x yx yy 4x=2 1 + 4 +—+— >2X (5 + 4) = 18x y 当且仅当x = 1, y = 3时取等号. 【答案】187. (2020年汕头二模)已知a 、b 、c 都是正数，且 a + 2b + c = 1, 1 1 1 ，+ 则-+「+ -的最小值是 ”.a b c 【解析】T a 、b 、c 都是正数，且a + 2b + c = 1,1 1 1 1 1 1•••一— -+ + — (a + 2b + c) a b c a b c2b ac a c 2b4 2 =4 + a+ b + _ + a c+ 匚+一 > 6+ b c (当且仅当a = c = 2b 时取等号).【答案】 6+ 4 .2n 1 2 009 ，+8. ----------------------------------------- 已知0<x<=, f(x) = + —: 的最小值为2 ' ' ' sin x 1 — sin x ------------- 【解析】 将函数变形为： 2 009[sin x + (1 — sin x)]1 — sin x> 2 010 + 2 2 009f(x)sin x + (1 — sin x) sin x=2 010 +1 — sin x2 009si n x+ 1 — sin x~当且仅当sin x = 年％_4时等号成立•2 UU8 【答案】 2 010 + 2 -2 009 三、解答题9. （2020年广东六校联考）某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示，操场的两头是 半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能 大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】 设中间矩形区域的长，宽分别为 x m ，y m ,中间的矩形区域面积为 S,则半圆的周长为-， 因为操场周长为400, 所以 2x + 2X 于=400,400 即 2x +n y = 400 0<x<200, 0<y<冗x = 100当且仅当200y =—n 即把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和200 mn10.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系式为920vy= v 5 + 3v + 1 600 （V >0）.（1）在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精4 1• S =xy =•(2x) •(n y)三 2n2x +ny 220 000n ，2x =ny 由2x +n y = 400，解得x = 100200y =T时等号成立,时，矩形区域面积最大.确到0.1千辆/小时）；【解析】 ⑴依题意， 920920920y =W=,3+ v + 1 6003+ 2 ；1 60083v即v = 40时，上式等号成立. 所以y max = 920 ~ 11.1(千辆/小时).83所以当v = 40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为 11 . 1千辆/小时.920v(2)由条件得 v 2+ 3v + 1 600 >10， 整理得 v - 89v + 1 600<0 , 即(v — 25)(v — 64)<0 , 解得 25<v<64.所以如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时.当且仅当 1 600v =。
数列限时训练4
05限时规范特训A 级 基础达标1．[2014·杭州模拟]数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400解析：S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3) －…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案：B2．[2014·江南十校联考]若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14n B ．1－12n C.23(1－14n ) D.23(1－12n )解析：a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝(12)2n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋(12)3＋…＋(12)2n －1 ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )． 答案：C3．[2014·锦州模拟]设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n解析：∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ，f (n )＝n 2＋n . ∴1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n －1)＋1f (n )＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：A4．[2014.西安模拟]数列1,1＋2,1＋2＋4，...，1＋2＋22＋ (2)－1，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：∵1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n .若S n >1020，则2n ＋1－2－n >1020，∴n ≥10. 故选D 项． 答案：D5．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，∴a 1q 4·a 1q 2n －6＝22n ，即a 21·q 2n －2＝22n ⇒(a 1·q n －1)2＝22n ⇒(a n )2＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋(2n －1)2·n ＝n 2. 答案：C6．[2014·景德镇质检]已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(n 为奇数)，－n 2(n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2014等于( )A ．－2013B ．－2014C ．2013D ．2014解析：当n 为奇数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)；当n 为偶数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1.所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2014＝2(－1＋2－3＋4＋…－2013＋2014)＝2014.答案：D7．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n＝3(n ∈N *)，则满足1817<S 2n S n<87的所有n 的和为________．解析：由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n ≥2)，两式相减，得2a n＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝12(n ≥2)，由已知求出a 2＝34，易得a 2a 1＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝32[1－(12)n ]1－12＝3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<S 2nS n<87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7.答案：78．[2014·北京西城区月考]已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，∴a n ＝2·2n －1＝2n ，∴1a 2n＝(14)n ，即数列{1a 2n}是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝14(1－14n )1－14＝13(1－14n )． 答案：2 13(1－14n )9．[2014·武汉模拟]若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n＝n2＋3n(n∈N*)，则a12＋a23＋…＋a nn＋1＝________.解析：令n＝1，得a1＝4，即a1＝16.当n≥2时，a n＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，所以a n＝4(n＋1)2，当n＝1时，也适合，所以a n＝4(n＋1)2(n∈N*)．于是a nn＋1＝4(n＋1)，故a12＋a23＋…＋a nn＋1＝2n2＋6n.答案：2n2＋6n10．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n＋2a n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)设数列{a n}的公差为d，由a1＝2和a2，a3，a4＋1成等比数列，得(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝2或d＝－1.当d ＝－1时，a 3＝0，与a 2，a 3，a 4＋1成等比数列矛盾，舍去． ∴d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ， 即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n ＋22n ＝2n ＋4n ，∴S n ＝(2＋41)＋(4＋42)＋…＋(2n ＋4n )＝(2＋4＋…＋2n )＋(41＋42＋ (4))＝n (2＋2n )2＋4(1－4n)1－4＝n 2＋n ＋43(4n －1). 11．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝15，且a 3＋1为a 1＋1和a 7＋1的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n ；(2)设T n 为数列{1S n}的前n 项和，问是否存在常数m ，使T n ＝m [n n ＋1＋n 2(n ＋2)]，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，可得 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝15，得a 2＝a 1＋d ＝5， 由a 3＋1为a 1＋1和a 7＋1的等比中项，可得(6＋d )2＝(6－d )×(6＋5d )，化简得d 2－2d ＝0， 解得d ＝0(不合题意，舍去)或d ＝2，当d ＝2时，a 1＝3，其通项公式为a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1，前n 项和S n ＝n (n ＋2)．(2)由(1)知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n (n ＋2)， 则有1S n ＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，T n ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝12[n n ＋1＋n2(n ＋2)]． 故存在常数m ＝12，使得T n ＝m [n n ＋1＋n 2(n ＋2)]成立．12．[2014·温州模拟]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2.当n ≥2时，S n －1＋1，a n ，S n ＋1成等差数列．(1)求证：{S n ＋1}是等比数列； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)证明：∵S n －1＋1，a n ，S n ＋1成等差数列， ∴2a n ＝S n ＋S n －1＋2(n ≥2)．∴2(S n －S n －1)＝S n ＋S n －1＋2，即S n ＝3S n －1＋2， ∴S n ＋1＝3(S n －1＋1)(n ≥2)．∴{S n ＋1}是首项为S 1＋1＝3，公比为3的等比数列． (2)由(1)可知S n ＋1＝3n ，∴S n ＝3n －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －1. 又a 1＝2，∴a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．na n ＝2n ·3n －1∴T n ＝2＋4×3＋6×32＋…＋2(n －1)×3n －2＋2n ×3n －1，① 3T n ＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2(n －1)×3n －1＋2n ×3n ，② 由①－②得，－2T n ＝2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n －1－2n ×3n ＝2(1－3n )1－3－2n ×3n ＝3n －1－2n ×3n ，∴T n ＝(2n －1)×3n ＋12. B 级 知能提升1．[2014·长春第一次调研]数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2014＝( )A.40242013 B.40282015 C.20102011D.20092010解析：令m ＝1得a n ＋1＝a n ＋n ＋1， 即a n ＋1－a n ＝n ＋1，于是a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)， 上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ， 所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 当n ＝1时，a 1＝1满足上式，所以a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)， 因此1a n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2014＝2(1－12＋12－13＋…＋12014－1 2015) ＝2(1－12015) ＝40282015 答案：B2．[2014·海南中学统考]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋a n ＋1＝1(n ∈N *)，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2007－2S 2006＋S 2005的值为________．解析：当n 为偶数时，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝…＝a n －1＋a n ＝1，故S n＝n2；当n 为奇数时，a 1＝2，a 2＋a 3＝a 4＋a 5＝…＝a n －1＋a n ＝1，故S n ＝2＋n －12＝n ＋32.故S 2007－2S 2006＋S 2005＝1005－2×1003＋1004＝3.答案：33．设数列{a n }中，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }的前2014项和为________．解析：由“凸数列”的定义，可知，b 1＝1，b 2＝－2，b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，…，故数列{b n }是周期为6的周期数列，又b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋b 6＝0，故数列{b n }的前2014项和S 2014＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝1－2－3－1＝－5.答案：－54．[2014·惠州调研]已知数列{a n }中，a 1＝2，a n －a n －1－2n ＝0(n ≥2，n ∈N *)．(1)写出a 2，a 3的值(只写结果)，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，若对任意的正整数n ，当m∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)∵a 1＝2，a n －a n －1－2n ＝0(n ≥2，n ∈N *)， ∴a 2＝6，a 3＝12.当n ≥3时，a n －a n －1＝2n ，a n －1－a n －2＝2(n －1)， 又a 3－a 2＝2×3，a 2－a 1＝2×2， ∴a n －a 1＝2[n ＋(n －1)＋…＋3＋2]，∴a n ＝2[n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1]＝2×n (n ＋1)2＝n (n ＋1)． 当n ＝1时，a 1＝2；当n ＝2时，a 2＝6，也满足上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)． (2)b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n2n 2＋3n ＋1 ＝1(2n ＋1n )＋3. 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16.要使对任意的正整数n ，当m ∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，则需t 2－2mt ＋16>(b n )max ＝16， 即t 2－2mt >0对∀m ∈[－1,1]恒成立，∴⎩⎨⎧ t 2－2t >0t 2＋2t >0，解得t >2或t <－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．。
第6章《数列》限时练2
中专部2017级数学2019—2020学年上学期数学限时练 制作人：宋志涛 2020年1月勿以恶小而为之勿以善小而不为 精诚所至金石为开中专部2017级数学《等比数列》限时练班级:___________姓名：___________学号：___________成绩：___________一、选择题（本大题共15小题，共30分）1. 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12，则a 5+a 6=()A. 3B. 15C. 48D. 632. 等比数列{a n }中，a 1=18，q =2，则a 4与a 8的等比中项是()A. ±4B. 4C. ±14 D. 143. 在等比数列{a n }中，a 1=8，a 4=64，则公比q 为()A. 2B. 3C. 4D. 84. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1+2a 2=4，a 42=4a 3a 7，则a 5=()A. 18B. 116C. 20D. 405. 已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 2+a 3=6，则a 7=()A. 64B. 81C. 128D. 2436. 在等比数列{a n }中，a 3=4，a 7=12，则a 11=()A. 16B. 18C. 36D. 487. 已知数列{a n }}满足a n+1=12a n ，若a 4=8，则a 1等于()A. 1B. 2C. 64D. 1288. 设等比数列{a n }的公比q =2，前n 项和为S n ，则S4a 4=()A. 2B. 4C. 158D. 1789. 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=()A. −4B. −6C. −8D. −1010. 已知数列{a n }为等比数列，且a 3=−4，a 7=−16，则a 5=()A. 8B. −8C. 64D. −6411. 已知等比数列{a n }满足a 3=14，公比q =12，则a 6=()A. 1128B. 164C. 132D. 11612. 已知{a n }是等比数列，a 1=2，a 4=16，则数列{a n }的公比q 等于()A. 2B. −2C. 12D. −1213. 已知数列{a n }满足a 1=3，a n+1=2a n ，那么a 4=()A. 24B. 18C. 16D. 1214. 设等比数列{a n }满足a 1+a 2=−1，a 1−a 3=−3，则a 4=()A. 8B. −8C. 4D. −415. 在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3为()A. 4B. 32 C. 169D. 2二、填空题（本大题共15小题，共30分）16. 已知各项均为正数的等比数列{a n }，满足a 1⋅a 7=34，则a 4= ______ ．17. 数列{a n }满足a n+1=3a n ，且a 2=6，则首项a 1=______，前n 项和S n =______． 18. 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=___________． 19. 在等比数列{a n }中，已知a 1=−1，公比q =2，则该数列前6项的和S 6的值为______ ．20. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则S 4=______． 21. 等比数列{a n }的公比为12，若a 1+a 2=3，则S 5=______．22. 如果1，3，x 成等比数列，则实数x =______．23. 已知{a n }是等比数列，它的前n 项和为S n ，且a 3=4，a 4=−8，则S 5=______ 24. 已知数列{a n }是等比数列，且a 1=32，a 6=−1，则公比q = ______ ．25. 已知数列{a n }为等比数列，a 1=1，a 4=8，则{a n }的前5项和S 5=______． 26. 已知等比数列{a n }中，a 3=4，a 6=12，则公比q = ______ ．27. 在数列{a n }中，a n+1=2a n ，若a 5=4，则a 4a 5a 6= ______ ． 28. 等比数列{a n }中，已知a 2=4，a 6=6，则a 10= ______ ．29. 在等比数列{a n }中，已知a 1=1，且ana n−1=2，则数列{a n }的通项公式为______ ．35、在等比数列{a n}中，a2=2，a5=54，求a4.30.已知等比数列{a n}满足a1⋅a7=3a3a4，则数列{a n}的公比q=______ ．三、解答题（共5大题，共40分）31、已知等比数列{a n}中，a1=2，a4=−16，求S10.32、等比数列{a n}中，a5−a1=15，a4−a2=6，求a1与q.33、等比数列{a n}中，a3=18，a5=162，求S5.34、等比数列{a n}中，若a2=10，a3=20，求S5.。
2020版 课后限时集训31 数列求和
课后限时集训(三十一)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400 D．－400B[S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]2．在数列{a n}中，a1＝2，a2＝2，a n＋2－a n＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为()A．990 B．1 000C．1 100 D．99A[n为奇数时，a n＋2－a n＝0，a n＝2；n为偶数时，a n＋2－a n＝2，a n＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.]3．数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数n为()A．120 B．99C．11 D．121A[a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n(n＋1＋n)(n＋1－n)＝n＋1－n，所以a1＋a2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1＝10.即n＋1＝11，所以n＋1＝121，n＝120.]4.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为( ) A.n ＋12(n ＋2)B.34－n ＋12(n ＋2)C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2C [因为1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.] 5．S n ＝12＋12＋38＋…＋n2n 等于( ) A.2n －n 2n B.2n ＋1－n －22nC.2n －n ＋12n ＋1D.2n ＋1－n ＋22nB [由S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ， ① 得12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1， ②①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －22n .]二、填空题6．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11S k ＝________.2nn ＋1 [由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝1.∴S n ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2， 1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴∑nk ＝1 1S k＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.]7．有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________． 2n ＋1－n －2 [a n ＝1＋2＋4＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n－1， 则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋ (2))－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.]8．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1的结果是________．2n ＋1－n －2 [因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，① 2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，②所以①－②得，－S n ＝n －(2＋22＋23＋…＋2n )＝n ＋2－2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1－n －2.]三、解答题9．(2019·福州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)设b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，所以a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，a n ＝2n －1， 所以b n ＝(2n －1)×2n －1，所以T n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，① 2T n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，② 由①－②得－T n ＝1＋2×(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)×2n ＝1＋2×2－2n －1×21－2－(2n －1)×2n＝(3－2n )×2n －3， 所以T n ＝(2n －3)×2n ＋3.10．(2019·唐山模拟)已知数列{a n }满足：1a 1＋2a 2＋…＋n a n＝38(32n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n n ，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1.[解] (1)1a 1＝38(32－1)＝3，当n ≥2时，n a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋2a 2＋…＋n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋2a 2＋…＋n －1a n －1＝38(32n －1)－38(32n －2－1)＝32n －1，当n ＝1时，na n ＝32n －1也成立，所以a n ＝n32n －1.(2)b n ＝log 3a nn ＝－(2n －1)，因为1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. B 组 能力提升1．1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋1＋12＋14＋…＋1210的值为( )A ．18＋129 B ．20＋1210 C ．22＋1211D ．18＋1210B [设a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .则原式＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋1211＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12111－12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1211＝2⎝⎛⎭⎪⎫11－1＋1211＝20＋1210.] 2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( ) A ．22 016－1 B ．3·21 008－3 C ．3·21 008－1D ．3·21 007－2B [a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列， ∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2(1－21 008)1－2＝3·21 008－3.故选B.]3．(2019·龙岩模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，对n ∈N *都有S n ＝1－a n ，若b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝________.n n ＋1[对n ∈N *都有S n ＝1－a n ，当n ＝1时，a 1＝1－a 1，解得a 1＝12.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－a n －(1－a n －1)，化为a n ＝12a n －1. ∴数列{a n }是等比数列，公比为12，首项为12.∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴b n ＝log 2a n ＝－n . ∴1b n b n ＋1＝1－n (－n －1)＝1n －1n ＋1. 则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.] 4．(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n .(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n .。
数列限时训练
数列限时训练（1）一、选择题1、在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122- 2、设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( )A.3B.4C.5D.63、{a n }是等比数列，a 4 a 7=－512，a 2+a 9=254，且公比为整数，则数列的a 12是（ ）(A)－2048 (B)1024 (C)512 (D)－5124、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150， 则n 等于 ( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)125、已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim n n na S →∞= （A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 6、若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab +的最大值为 A.1552 B.42 C.55 D.22 二、填空题1、已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a2、数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+ ，求n a 3、已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________ 4、等差数列{n a }前n 项和为n S 。
已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m S -=38, 则m= .三、解答题1.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S2、数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2 （Ⅰ）求a 3，a 5；（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；（Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .。
数列限时训练题(二)
数列限时训练题（二）一、选择题1.等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1＞a n ”的( D ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.(2009·广东高考)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝ ( C ) A.n (2n －1) B.(n ＋1)2 C.n 2 D.(n －1)23.(2010·宁波模拟)已知数列{a n }是首项为a 1的等比数列，则能保证4a 1，a 5，－2a 3成等差数列的公比q 的个数为 ( B) A. 3 B. 2 C. 1 D. 04.(2010·嘉兴模拟)等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1·a 2·…·a n ，则当f (n )最大时，n 的值为 ( C) A.7 B.8 C.9 D.105.设数列{a n }是首项为m ，公比为q (q ≠1)的等比数列，S n 是它的前n 项和，对任意的n ∈N *，点⎝⎛⎭⎫a n ，S 2n S n ( A ) A ．在直线qx －my ＋m ＝0上 B ．在直线mx ＋qy －q ＝0上 C ．在直线qx ＋my －q ＝0上 D ．不一定在一条直线上6.在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则在11S a ，22Sa ，…，1515S a 中最大的是 ( B ) A .11S a B .88S a C .99S a D .1515S a7．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为 ( C ) A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 48.已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n ).若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n ＜m 时，a n 等于 ( A )A. －12n －1B.12n －2C. －12n －2D.12n －1二、填空题9. 设f (x )是定义在R 上恒不为0的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n 为常数)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是 [12，1).10.已知数列{a n }中，a 1＝1，na n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)·a n －1(n ≥2)，则a n ＝ .11.设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为 1941 .12.在所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为 1 .三、解答题13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上. (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b ＞0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列，又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1. 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2，故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1. 14. 等差数列{}n a 的前n项和为1319n S a S =+=+，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 14.解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-+=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n Sb n n==假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列， 则2q p r b b b =．即2((q p r +=++．2()(20q pr q p r ∴-+--= p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．15．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足(p －1)S n ＝p 2－a n (p >0，p ≠1)，且a 3＝13.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝12－log 3a n，数列{b n b n ＋2}的前n 项和为T n ，若对于任意的正整数n ，都有T n <m 2－m ＋34成立，求实数m 的取值范围．15.解：(1)由题设知(p －1)a 1＝p 2－a 1，解得p ＝a 1或p ＝0(舍去)． 由条件可知(p －1)S 2＝(p －1)(a 1＋a 2)＝p 2－a 2，解得a 2＝1.再由(p －1)S 3＝(p －1)(a 1＋a 2＋a 3)＝p 2－a 3，解得a 3＝1p . 由a 3＝13可得1p ＝13，故p ＝3＝a 1.所以2S n ＝9－a n ，则2S n ＋1＝9－a n ＋1，以上两式作差得2(S n ＋1－S n )＝a n －a n ＋1，即2a n ＋1＝a n －a n ＋1，故a n ＋1＝13a n .可见，数列{a n }是首项为3，公比为13的等比数列．故a n ＝3(13)n －1＝32－n .(2)因为b n ＝12－log 3a n ＝12－(2－n )＝1n ，所以b n b n ＋2＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，T n ＝b 1b 3＋b 2b 4＋b 3b 5＋…＋b n b n ＋2＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n －1n ＋2)]＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<34.故要使T n <m 2－m ＋34恒成立，只需34≤m 2－m ＋34， 解得m ≤0或m ≥1.故所求实数m 的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．。
高三数学限时训练(数列)
高三数学限时训练（数列）高三数学限时训练(数列)班级_______姓名__________1.“Lgx、lgY和LGZ形成一个等差序列”由“y2=XZ”_________________________2.设等差数列{an}的前n项和为sn，若a2＋s3＝－4，a4＝3，则公差为_______23.已知等比序列{an}的前n项之和为SN。
如果s2n=4（a1+a3+A5+？+a2n-1），a1a2a3=27，A6=22434.在等比数列{an}中，an>0，若a1a5＝16，a4＝8，则a5＝________165.众所周知，公差D≠ 等轴测序列{an}的0，A1，A5和A17依次形成一个等轴测序列，那么这个等轴测序列的公共比率是________三6.已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7a14的最大值是_________257.设等比数列{an}的公比为q，前n项和为sn，且a1>0，若s2>2a3，则q的取值范围是1__________ (－，0)∪(0,1)28.在算术序列{an}中，7a5+5a9=0，和A59.已知等差数列{an}的前n项和为sn，满足a2021＝s2021＝2021，则a1＝________－202110.在直角坐标系中，o是坐标原点，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)是第一象限内的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△op1p2的面积是________由等差、等比数列的性质，可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，∴p1(2,2)，p2(3,4)，∴s△o p1p2＝1.111.函数f（x）=ABX的图像经过点a（2，）和B（3,1）。
如果an=log2f（n）（n∈ n*），Sn是序列{an}2的前n项和，则sn的最小值是________．[答案]－3nπnπ12.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，则该数列的前18项和为2213.定义等积数列：在一个数列中，若每一项与它的后一项的积是同一常数，那么这个数列叫做等积数列，且称此常数为公积．已知在等积数列{an}中，a1＝2，公积为5，当n为奇数时，这个数列的前n项和sn＝________.[答]9n－1四14.已知向量a＝(2，－n)，b＝(sn，n＋1)，n∈n*，其中sn是数列{an}的前n项和，若a⊥anb，则数列{}的最大项的值为________．安＋1安＋41[答]9。
数列限时训练
高三限时训练（1）1.已知数列{a n}是等比数列，若a2=1，a5=18，则a1a2+a2a3+a3a4+a4a5=( )A. 25532B. 8532C. 2552D. 8532.已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则a7−a9a5−a7的值为()A.3B. 5C. 9D. 253.已知数列{a n}是公差大于0的等差数列，且满足a1+a5=4，a2a4=−5，则数列{a n}的前10项的和等于()A.23B. 95C. 135D. 1384.已知数列{a n}中，a1=1，前n项和为S n，且点P(a n,a n+1)在直线y=x+1上，则1 S1+1S2+1S3+⋯+1S n=()A. 2nn+1B. 2n(n+1)C. n(n+1)2D. n2(n+1)5.数列{a n}满足a1=12，且对于任意n∈N+都满足a n+1=a n3a n+1，则数列{a n⋅a n+1}的前n项和为()A. 13n+1B. n3n+1C. 13n−2D. n2(3n+2)6.已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，12a3，2a2成等差数列，则a20+a19a18+a17=()A.1B. 3C. 6D. 97.已知数列{a n}的前n项和S n=2n−1，则数列{log2a n}的前10项和等于()A.1023B. 55C. 45D. 358.已知等比数列{a n}中，有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7=a7，则S13=()A.26B. 52C. 78D. 1049.已知数列满足S n=2n2−n+1，则通项公式a n=______ ．10.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n−4(n∈N∗)，则a n=______；数列{log2a n}的前n项和为______．11.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，n∈N∗．2(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n+(−1)n a n，求数列{b n}的前2n项和．12.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a10=30，a15=40．(1)求通项a n；(2)若S n=210，求n．高三限时训练（2）13.数列3，6，12，21，x，48…中的x等于()A.29B. 33C. 34D. 2814.已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n−1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列{a n}通项公式a n为()A.3n−1 B. 3n+1−8C. 3n−2D. 3n15.已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则()A.a1d>0，dS4>0B. a1d<0，dS4<0C. a1d>0，dS4<0D. a1d<0，dS4>016.等差数列{a n}的前n项和是S n，且a3=1，a5=4，则S13=()A.39B. 91C. 48D. 5117.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A.13项B. 12项C. 11项D. 10项18.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a7a4=2，则S13S7的值为()A.1314B. 2 C. 713D. 26719.等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=( )A.18B. 116C. 20D. 4020.已知a1=5，a n=2a n−1+3(n≥2)，则a6=______ ．21.已知等比数列{a n}为递增数列.若a1>0，且2(a4+a6)=5a5，则数列{a n}的公比q=______ ．22.已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，则a1+a3+a6a2+a4+a10=______．23.设S n为数列{a n}的前n项和，2a n−a n−1=3⋅2n−1(n≥2)，且3a1=2a2．(1)设b n=a n2n−1，证明数列{b n}是等比数列；(2)记T n为数列{na n+S n }的前n项和，求Tn．24.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=4，a n+12=6S n+9n+1，n∈N∗，各项均为正数的等比数列{b n}满足b1=a1，b3=a2．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n=(3n−2)⋅b n，数列{c n}的前n项和T n高三限时训练（3）25. 在等比数列{a n }中，a 3=2，a 6=16，则数列{a n }的公比是( )A. −2B. √2C. 2D. 426. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )A. 2B. 4C. 8D. 1627. 已知数列{a n }满足a n+1+(−1)n+1a n =2，则其前100项和为( )A. 250B. 200C. 150D. 10028. 已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1·a 3=4，a 4=8，则a 1+q 的值为( )A. 3B. 2C. 3或−2D. 3或−329. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n =2a n −3n ，则a 2018=( )A. 22018−1B. 32018−6C. (12)2018−72D. (13)2018−10330. 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=14，a 3=8，则a 6=()A. 16B. 32C. 64D. 128 31. 已知{a n }是公差为12的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 2，a 6，a 14成等比数列，则S 5=( ) A. 352B. 35C. 252D. 2532. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=−1，a n+1=S n S n+1，则S n =______．33. 已知两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别是S n ，T n ，若S nT n=2n+33n−1，则a7b 7=______ ．34. 已知数列{a n }中，a 1=20，a n+1=a n +2n −1，n ∈N ∗，则数列{a n }的通项公式a n =______．35.在等差数列{a n}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d<0．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)求数列的前n项和S n的最大值及相应的n值．36.设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．高三限时训练（4）37.在公差不为零的等差数列{a n}中，2a5−a72+2a9=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则log2(b5b9)=()A.1B. 2C. 4D. 838.数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+⋯+a20=10，则数列{a n}前21 项的和等于()B. 21C. 42D. 84A.21239.已知等差数列{a n}的前3项和为4，后3项和为7，所有项和为22，则项数n为()A.12B. 13C. 14D. 1540.已知各项都为正的等差数列{a n}中，a2+a3+a4=15，若a1+2，a3+4，a6+16成等比数列，则a10=( )A.19B. 20C. 21D. 2241.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=()A.−4B. −6C. −8D. −1042.设{a n}是首项为a1，公差为−2的等差数列，S n为前n项和，若S1,S2,S4成等比数列，则a1=( )A.2B. −2C. 1D. −143.数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=a n+1−a n(n∈N∗)，则a2017=()A.1B. −1C. −2D. 244.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a6+a7+a8=()A.63B. 45C. 39D. 2745.数列{a n}满足a n+1+(−1)n a n=2n−1，则{a n}的前20项和为______．46.已知等比数列{a n}的公比不为−1，设S n为等比数列{a n}的前n项和，S12=7S4，则S8=______．S447.已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，其前n项和为S n．(Ⅰ)求{a n}的通项公式及S n；(n∈N∗)，求数列{b n}的前8项和．(Ⅱ)令b n=1S n−n48.已知等比数列{a n}中，a1=2,a4=16．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a3,a5分别是等差数列{b n}的第8项和第20项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．高三限时训练（5）49.在等比数列{a n}中，a1，a4是方程x2−2x−3=0的两根，则a2⋅a3=()A.2B. −2C. 3D. −350.各项为正数的等比数列{a n}中，若a1⋅a7=36，则a4的值是()A.6B. 8C. 5D. 751.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织()尺布．A.12B. 815C. 1631D. 162952.已知数列{a n}的通项为a n=(−1)n(4n−3)，则数列{a n}的前50项和T50=( )A.98B. 99C. 100D. 10153.已知各项均为正数的等比数列{a n}，a3⋅a5=2，若f(x)=x(x−a1)(x−a2) (x)a7)，则)A.8√2B. −8√2C. 128D. −12854.在等比数列{a n}中，已知a7⋅a19=8，则a3⋅a23=()A.6B. 7C. 8D. 955.等差数列{a n}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为______ ．56.已知三个数12，x，3成等比数列，则实数x=______ ．57.已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n+1)=n+1，则数列{a n}的通项公式为______．58.若等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=40，则公比q=______ ．59.在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S n2=a n(S n−12)．(1)求a n；(2)令b n=S n，求数列{b}的前项和T．60.已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n为数列{a n}的前n项和，b n=a n+1S n S n+1，求数列{b n}的前n项和T n．61.已知数列{a n}满足a1=12，a n=a n−12−a n−1(n≥2)．(1)求证：{1a n−1}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；(2)若b n=2n−1a n，求{b n}的前n项和S n．62.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2(n+1)n a n，设b n=a nn，n∈N∗．(Ⅰ)证明{b n}是等比数列；(Ⅱ)求数列{log2b n}的前n项和T n．高三限时训练（6）63.已知{a n}为等差数列，a2+a8=43，则S9等于______ ．64.已知数列{a n}，若a1+2a2+⋯+na n=2n，则数列{a n a n+1}的前n项和为______．65.已知数列n∈N∗，前n项和S n=n2+2n−1(n∈N∗)，则a1=______ ；数列{a n}的通项公式为a n=______ ．66.设等比数列{a n}满足a n>0，且a1+a3=516，a2+a4=58，则log2(a1a2…a n)的最小值为____．67.已知数列{a n}的前n项和S n=2n+n，则a3=______．68.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P(b n,b n+1)在x−y+2=0上，n∈N∗．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n=b na n，求数列{c n}的前n项和T n．69.设{a n}为等比数列，S n为其前n项和，已知a n+1=2S n+1．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和H n．70.已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．(Ⅰ)求a n及S n；(Ⅱ)设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2−(a4+1)q+S4=0.求{b n}的通项公式及其前n项和T n．71.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和为T n，求T n．(2)若数列{n+1a n72.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=6，S5=40.求数列{a n}的通项公式和前n项和．73.已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=n−a n，(n=1,2，3，…)(Ⅰ)求a1，a2，a3的值；(Ⅱ)求证：数列{a n−1}是等比数列；。
〖2021年整理〗理科二轮专题限时集训4 数列
专题限时集训四数列1．2021·全国卷Ⅰ记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为A．1 B．2 C．4 D．8C[设公差为d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1＋7d＝24，S6＝6a1＋错误!d＝6a1＋15d＝48，联立错误!，解得d＝4，故选C．]2．2021·全国卷Ⅱ已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝A．21 B．42 C．63 D．84B[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21∴1＋q2＋q4＝2＝2或q2＝－3舍去．∴a3＋a5＋a7＝q2a1＋a3＋a5＝2×21＝．]3．2021·全国卷Ⅰ记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝A．－12 B．－10 C．10 D．12B[设等差数列{a n}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3错误!＝2a1＋d＋4a1＋错误!d，解得d＝－错误!a1，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×－3＝－．]4．2021·全国卷Ⅲ已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝A．16 B．8 C．4 D．2C[设正数的等比数列{a n}的公比为q，则错误!，解得错误!，∴a3＝a1q2＝4，故选C．]5．2021·全国卷Ⅱ我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏B[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝错误!＝错误!＝381，解得a1＝3故选B．]6．2021·全国卷Ⅰ记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10C．S n＝2n2－8n D．S n＝错误!n2－2nA[设等差数列{a n}的公差为d，∵错误!∴错误!解得错误!∴a n＝a1＋n－1d＝－3＋2n－1＝2n－5，S n＝na1＋错误!d＝n2－．]7．2021·全国卷Ⅱ数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a＋1＋a＋2＋…＋a＋10＝215－25，则＝A．2 B．3 C．4 D．5C[令m＝1，则由a m＋n＝a m a n，得a n＋1＝a1a n，即错误!＝a1＝2，所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列，所以a n＝2n，所以a＋1＋a＋2＋…＋a＋10＝aa1＋a2＋…＋a10＝2×错误!＝2＋1×210－1＝215－25＝25×210－1，所以＋1＝5，解得＝4，故选C．]8．2021·全国卷Ⅰ设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝A．3 B．4 C．5 D．6C[∵{a n}是等差数列，S m－1＝－2，S m＝0，∴a m＝S m－S m－1＝2∵S m＋1＝3，∴a m＋1＝S m＋1－S m＝3，∴d＝a m＋1－a m＝1又S m＝错误!＝错误!＝0，∴a1＝－2，∴a m＝－2＋m－1·1＝2，∴m＝5]9．2021·大纲版已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列错误!的前100项和为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!A[设等差数列的公差为d，由题意可得，错误!解得d＝1，a1＝1由等差数列的通项公式可得，a n＝a1＋n－1d＝1＋n－1×1＝n，∴错误!＝错误!＝错误!－错误!∴S100＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝1－错误!＝错误!，故选A．]10．2021·全国卷Ⅱ数列{a n}满足a n＋1＋－1n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830D[由于数列{a n}满足a n＋1＋－1n a n＝2n－1，故有a2－a1＝1，a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a50－a49＝3＋a1＝2，a4＋a2＝8，a7＋a5＝2，a8＋a6＝24，a11＋a9＝2，a12＋a10＝40，a15＋a13＝2，a16＋a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2＋错误!＝1 830，故选D．]11．2021·全国卷Ⅱ0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2…a n…满足a i∈{0,1}i＝a i i＝1,2，…成立，则称其为0-1周期序列，并称满足a i ＝1,2，…，且存在正整数m，使得a i＋m＝a i i＝1,2，…的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0-1序列a1a2…a n…，C＝错误!＋m错误!a i a i＋＝1,2，…，m－1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足C≤错误!＝1,2,3,4的序列是A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…C[对于A，因为C1＝错误!＝错误!，C2＝错误!＝错误!，不满足C≤错误!，故A不正确；对于B，因为C1＝错误!＝错误!，不满足C≤错误!，故B不正确；对于C，因为C1＝错误!＝错误!，C2＝错误!＝0，C3＝错误!＝0，C4＝错误!＝错误!，满足C≤错误!，故C正确；对于D，因为C1＝错误!＝错误!，不满足C≤错误!，故D不正确．综上所述，故选C．]12．2021·全国卷Ⅰ几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是2021下来的两项是20211，再接下来的三项是20211,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是A．440 B．330 C．22021D．110A[设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n，前n组的项数和为错误!由题意知，N>100，令错误!>100⇒n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．第n组的各项和为错误!＝2n－1，前n组所有项的和为错误!－n＝2n＋1－2－n设N是第n＋1组的第项，若要使前N项和为2的整数幂，则第n＋1组的前项的和2－1应与－2－n互为相反数，即2－1＝2＋n∈N*，n≥14，＝og2n＋3⇒n最小为29，此时＝5，则N＝错误!＋5＝．]13．2021·全国卷Ⅰ记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1＝错误!，a错误!＝a6，则S5＝________ 错误![法一：设等比数列{a n}的公比为q，因为a错误!＝a6，所以a1q32＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝错误!，所以q＝3，所以S5＝错误!＝错误!＝错误!法二：设等比数列{a n}的公比为q，因为a错误!＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝错误!，所以q＝3，所以S5＝错误!＝错误!＝错误!]14．2021·全国卷Ⅱ设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________ －错误![∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝S n S n＋1，∴S n＋1－S n＝S n S n＋1∵S n≠0，∴错误!－错误!＝1，即错误!－错误!＝－1又错误!＝－1，∴错误!是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴错误!＝－1＋n－1×－1＝－n，∴S n＝－错误!]15．2021·全国卷Ⅰ设等比数列{a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为________．64[设等比数列{a n}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝qa1＋a3＝5，知q＝错误!又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8故a1a2…a n＝a错误!q1＋2＋…＋n－1＝23n·错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝f1＝错误!，in∴λ≥错误!，∴λ的最小值为错误!]31．2021·开封模拟已知正项数列{a n}满足a1＝错误!，a错误!＝a错误!＋2n，n∈N*，T n为a n的前n项的积，则使得T n＞218的n的最小值为________．9[正项数列{a n}满足a1＝错误!，a错误!＝a错误!＋2n，n∈N*，可得：a错误!＝a错误!＋21，a错误!＝a错误!＋22，a错误!＝a错误!＋23，…，a错误!＝a错误!＋2n－1，累加可得：a错误!＝2＋2＋22＋23＋…＋2n－1＝2＋错误!＝2n，∴a n＝2错误!，T n为a n的前n项的积，T n＝a1·a2·a3…a n＝2错误!＝2错误!×n＝2错误!，T n＞218，可得2错误!＞218，n∈N*，即n2＋n－72＞0，解得n＞8，故n的最小值为9 ]。
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限时训练（数列）
1.一个等差数列共有3m 项，若前2m 项的和为100，后2m 项的和为200，则中间的m 项的和是( ) A. 50 B. 75 C. 100 D. 125
2.一个等比数列的前n 项和12n
n S a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则a 的值为 （ ）
A.
12 B. 1 C. 2
1
- D. -1 3.已知{}n a 是递增数列，且()2n a n n n N λ=+∈，则实数λ的取值范围是 （ ） A. ),0(+∞ B.)0,(-∞ C. }0{ D. ),3(+∞- 4.已知数列{}n a 的通项()98
99
n n a n N n -=
∈-，则数列{}n a 的前30项中最大项是（ ）
A. 30a
B.10a
C.9a
D. 1a 5.设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则
()
2
1212
a a
b b +的取值范围是（ ）
A. ),4[+∞
B. ),4[]0,(+∞-∞
C. )4,0[
D.),4[)4,(+∞--∞ 6.在等比数列{a n }中，)0(,109≠=+a a a a ,b a a =+2019,则10099a a +的值为（ ）
A ．89a b
B ．（a b ）9
C ．910
a
b D ．10)
(a b 7.已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为（ ）
A ．32
B ．313
C ．12
D ．15
8.已知数列{}n a 为等差数列，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
9.设{a n }是首项大于零的等比数列，则“21a a <”是“数列}{n a 是递增数列”的 ( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 10.已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( )
A. (],1-∞-
B.()(),01,-∞+∞
C.[)3,+∞
D.(][),13,-∞-+∞
11.数列{}n a 的通项公式cos
2
n n a n π
=,其前n 项和为n S ,则2012S 等于 （ ）
A ．1006
B ．2012
C ．503
D ．0
12.设函数3
()(3)1
f x x x =-+-,{}n a 是公差不为0的等差数列,127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=,则=++721a a a
（ ）
A ．0
B ．7
C ．14
D ．21
13.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若11
2a =,2
3S a =,则2a =________.
14.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和为n S 与n T ，若
231
n n S n
T n =+，则n n a b = .
15.在等差数列｛a n ｝中，a 1=25
1
,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是 。
16.在等差数列{}n a 中，若其前n 项和n n S m =，前m 项和m m
S n
=（m n ≠，,*m n N ∈），则m n S +的取值范围为 。