【真卷】2017年四川省成都七中高考数学热身试卷(文科)

2017年四川省成都七中高考数学热身试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=2+5i，i是虚数单位，则z的共轭复数的虚部是（）A．5i B．﹣5i C．5 D．﹣52．（5分）双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知x、y的取值如下表所示：若从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+，则的值等于（）A．2.6 B．6.3 C．2 D．4.54．（5分）在等差数列{a n}中，已知a2与a4是方程x2﹣6x+8=0的两个根，若a4＞a2，则a2018=（）A．2018 B．2017 C．2016 D．20155．（5分）命题p：“∀x＞e，a﹣lnx＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥1 D．a＞16．（5分）《孙子算经》中有道算术题：“今有百鹿人城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；再每3户共分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如下，则输出的值是（）A．74 B．75 C．76 D．777．（5分）如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为（）A．B． C．D．8．（5分）有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，朝上数字为b，若|a﹣b|≤1就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=e3x+me2x+（2m+1）e x+1有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，1﹣）B．[﹣，1﹣]C．（﹣∞，1﹣）D．（﹣∞，1﹣）∪（1+，+∞）10．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=4，a5=7，m，n∈N+，满足a1m+a2m+a3m+…+a n m=a n+1m，则n等于（）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2和411．（5分）若f（x）=sin（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x+）=f（﹣x），f （）=﹣1，则实数b的值为（）A．﹣2或0 B．0或1 C．±1 D．±212．（5分）已知F1，F2为双曲线的左右焦点，过F1的直线l与圆x2+y2=b2相切于点M，且|MF2|=2|MF1|，则直线l的斜率是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（5，0），=（﹣2，1），⊥，且=t+（t∈R），则t=．14．（5分）将参加冬季越野跑的600名选手编号为：001，002，…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，把编号分50组后，在第一组的001到012这12个编号中随机抽得的号码为004．这600名选手分穿着三种颜色的衣服，从001到301穿红色衣服，从302到496穿白色衣服，从497到600穿黄色衣服．则抽到穿白色衣服的选手人数为．15．（5分）已知直线l与x轴不垂直，且直线l过点M（2，0）与抛物线y2=4x 交于A，B两点，则=．16．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在其表面上运动，且|PA|=x，把点的轨迹长度L=f（x）称为“喇叭花”函数，给出下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是：．（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量与平行．（1）求的值；（2）若bcosC+ccosB=1，△ABC周长为5，求b的长．18．（12分）微信运动和运动手环的普及，增强了人民运动的积极性，每天一万步称为一种健康时尚，某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步”活动，经过几个月的扎实落地工作后，学校想了解全校师生每天一万步的情况，学校界定一人一天走路不足4千步为不健康生活方式，不少于16千步为超健康生活方式者，其他为一般生活方式者，学校委托数学组调查，数学组采用分层抽样的办法去估计全校师生的情况，结合实际及便于分层抽样，认定全校教师人数为200人，高一学生人数为700人，高二学生人数600人，高三学生人数500，从中抽取n人作为调查对象，得到了如图所示的这n人的频率分布直方图，这n人中有20人被学校界定为不健康生活方式者．（1）求这次作为抽样调查对象的教师人数；（2）根据频率分布直方图估算全校师生每人一天走路步数的中位数（四舍五入精确到整数步）；（3）校办公室欲从全校师生中速记抽取3人作为“每天一万步”活动的慰问对象，计划学校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓励0元，超健康生活方式者表彰奖励20元，一般生活方式者鼓励性奖励10元，利用样本估计总体，将频率视为概率，求这次校办公室慰问奖励金额X的分布列和数学期望．19．（12分）已知球内接正四棱锥P﹣ABCD的高为3，AC，BC相交于O，球的表面积为，若E为PC中点．（1）求异面直线BP和AD所成角的余弦值；（2）求点E到平面PAD的距离．20．（12分）已知椭圆的右焦点，且经过点，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A在x轴的上方）（1）求椭圆C的方程；（2）若|AM|=2|MB|，且直线l与圆相切于点N，求|MN|的长．21．（12分）已知函数，直线l：x﹣ty﹣2=0．（1）若直线l与曲线y=f（x）相切，求切点横坐标的值；（2）若函数，求证：f（x）＞g（x）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2017年四川省成都七中高考数学热身试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=2+5i，i是虚数单位，则z的共轭复数的虚部是（）A．5i B．﹣5i C．5 D．﹣5【解答】解：∵复数z=2+5i，∴z的共轭复数是2﹣5i，故其虚部是﹣5，故选：D．2．（5分）双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可知a2=4，b2=5，则c2=a2+b2=4+5=9，则a=2，c=3，即双曲线的离心率e==，故选：B．3．（5分）已知x、y的取值如下表所示：若从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+，则的值等于（）A．2.6 B．6.3 C．2 D．4.5【解答】解：∵=4.5，∴这组数据的样本中心点是（2，4.5）∵y与x线性相关，且=0.95x+，∴4.5=0.95×2+a，∴a=2.6，故选：A．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a2与a4是方程x2﹣6x+8=0的两个根，若a4＞a2，则a2018=（）A．2018 B．2017 C．2016 D．2015【解答】解：x2﹣6x+8=0，解得x=2，4，由a2与a4是方程x2﹣6x+8=0的两个根，a4＞a2，∴a4=4，a2=2．∴公差d==1，a1=2﹣d=1．则a2018=1+2018﹣1=2018．故选：A．5．（5分）命题p：“∀x＞e，a﹣lnx＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥1 D．a＞1【解答】解：∀x＞e，a﹣lnx＜0，则a＜（lnx）min，∴a≤1．∴命题p：“∀x＞e，a﹣lnx＜0”为真命题的一个充分不必要条件a＜1．故选：B．6．（5分）《孙子算经》中有道算术题：“今有百鹿人城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；再每3户共分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如下，则输出的值是（）A．74 B．75 C．76 D．77【解答】解：由题意，输出的值是100÷（1+）=100÷=75．故选：B．7．（5分）如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为（）A．B． C．D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的组合体．设正三棱柱的底面边长为a，高为b，底面正三角形的内切圆的半径为r，则由，得r=．圆柱的高为b．∴棱柱的体积为，圆柱的题为．则几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为．故选：A．8．（5分）有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，朝上数字为b，若|a﹣b|≤1就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件有36种，其中“甲、乙两人‘默契配合’”所包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16种．∴甲乙两人“默契配合”的概率为P==．故选：D．9．（5分）函数f（x）=e3x+me2x+（2m+1）e x+1有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，1﹣）B．[﹣，1﹣]C．（﹣∞，1﹣）D．（﹣∞，1﹣）∪（1+，+∞）【解答】解：令t=e x，则t＞0，则y=f（x）=e3x+me2x+（2m+1）e x+1，可化为：y=g（t）=，则g′（t）=t2+2mt+2m+1，若函数f（x）=e3x+me2x+（2m+1）e x+1有两个极值点，则g′（t）=t2+2mt+2m+1=0有两个正根，∴，解得：m∈（﹣，1﹣），故选：A．10．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=4，a5=7，m，n∈N+，满足a1m+a2m+a3m+…+a n m=a n+1m，则n等于（）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2和4【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，a5=7，∴a1+d=4，a1+4d=7，解得a1=3，d=1，∴a n=3+n﹣1=n+2．m，n∈N+，满足a1m+a2m+a3m+…+a n m=a n+1m，n=2时，32+42=52，满足上式；n=3时，33+43+53=63，满足上式．故选：B．11．（5分）若f（x）=sin（2x+φ）+b，对任意实数x都有f（x+）=f（﹣x），f （）=﹣1，则实数b的值为（）A．﹣2或0 B．0或1 C．±1 D．±2【解答】解：由f（x+）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈z．当直线x=经过函数图象的最高点时，可得φ=；当直线x=经过函数图象的最低点时，可得φ=﹣，∴f（x）=sin（2x+）+b，或f（x）=sin（2x﹣）+b．若f（x）=sin（2x+）+b，则由f（）=﹣1=sin+b=﹣1+b，∴b=0．若f（x）=sin（2x﹣）+b，则由f（）=﹣1=sin+b=﹣1+b，∴b=﹣2．综上可得，b=0，或b=﹣2，故选：A．12．（5分）已知F1，F2为双曲线的左右焦点，过F1的直线l与圆x2+y2=b2相切于点M，且|MF2|=2|MF1|，则直线l的斜率是（）A．B．C．D．【解答】解：设F1，F2为（﹣c，0），（c，0），设直线l的斜率为k，可得直线l的方程为y=k（x+c），由过F1的直线l与圆x2+y2=b2相切，可得=b，平方可得b2（1+k2）=k2c2，①在直角三角形OMF1中，可得|MF1|==a，即有|MF2|=2|MF1|=2a，由OM为三角形MF1F2的中线，可得（2|OM|）2+（|F1F2|）2=2（|MF1|2+|MF2|2），即为4b2+4c2=2（a2+4a2），即有10a2=10（c2﹣b2）=4b2+4c2，即有3c2=7b2，代入①可得，1+k2=k2，解得k=±．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（5，0），=（﹣2，1），⊥，且=t+（t∈R），则t=﹣2．【解答】解：=t+，可得==（5+2t，﹣t）．∵⊥，∴﹣2（5+2t）﹣t=0，解得t=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）将参加冬季越野跑的600名选手编号为：001，002，…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，把编号分50组后，在第一组的001到012这12个编号中随机抽得的号码为004．这600名选手分穿着三种颜色的衣服，从001到301穿红色衣服，从302到496穿白色衣服，从497到600穿黄色衣服．则抽到穿白色衣服的选手人数为16．【解答】解：由题意知间隔为，故抽到的号码为12k+4，（k=0，1，…49），列出不等式302≤12k+4≤496，解得．所以穿白色衣服抽41﹣26+1=16人．故答案为：1615．（5分）已知直线l与x轴不垂直，且直线l过点M（2，0）与抛物线y2=4x交于A，B两点，则=．【解答】解：直线l：x=ky+2．由，得y2﹣4ky﹣8=0，∴y1+y2=4k，y1y2=﹣8．AM2=（1+k2）y，BM2=（1+k2）y则===故答案为：．16．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在其表面上运动，且|PA|=x，把点的轨迹长度L=f（x）称为“喇叭花”函数，给出下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是：②③④．（填上你认为所有正确的结论序号）【解答】解：∵动点P在其表面上运动，且|PA|=x，∴点的轨迹是以A为球心，PA为半径的球的球面与正方体的面的交线，①当0＜x≤1时，点的轨迹如图（1），则f（x）=3×，所以，故①错；②当1时，点P的轨迹在六个面都有，x=时，在与A相邻的三个面上的圆弧的圆心角为，在另外三个面上都是四分之一圆弧，∴=，故③正确③当x=时，如图（3）点P的轨迹是三段相等圆弧，圆弧的长是四分之一个圆，半径是1，∴这条轨迹的长度是：3×，故②正确；④当时，点P的轨迹是三段相等圆弧，在与点A不相邻的三个面上，圆弧半径R=，圆弧的圆心角为，∴f，故④正确；故答案为：②③④三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量与平行．（1）求的值；（2）若bcosC+ccosB=1，△ABC周长为5，求b的长．【解答】解：（1）由已知向量与平行∴b（cosA﹣2cosC）=（2c﹣a）cosB，由正弦定理，可设，则（cosA﹣2cosC）ksinB=（2ksinC ﹣ksinA）cosB，即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，…（3分）化简可得sin（A+B）=2sin（B+C），又A+B+C=π，所以sinC=2sinA，因此．…（6分）（2），…（8分）由（1）知，∴c=2，…（10分）由a+b+c=5，得b=2．…（12分）18．（12分）微信运动和运动手环的普及，增强了人民运动的积极性，每天一万步称为一种健康时尚，某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步”活动，经过几个月的扎实落地工作后，学校想了解全校师生每天一万步的情况，学校界定一人一天走路不足4千步为不健康生活方式，不少于16千步为超健康生活方式者，其他为一般生活方式者，学校委托数学组调查，数学组采用分层抽样的办法去估计全校师生的情况，结合实际及便于分层抽样，认定全校教师人数为200人，高一学生人数为700人，高二学生人数600人，高三学生人数500，从中抽取n人作为调查对象，得到了如图所示的这n人的频率分布直方图，这n人中有20人被学校界定为不健康生活方式者．（1）求这次作为抽样调查对象的教师人数；（2）根据频率分布直方图估算全校师生每人一天走路步数的中位数（四舍五入精确到整数步）；（3）校办公室欲从全校师生中速记抽取3人作为“每天一万步”活动的慰问对象，计划学校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓励0元，超健康生活方式者表彰奖励20元，一般生活方式者鼓励性奖励10元，利用样本估计总体，将频率视为概率，求这次校办公室慰问奖励金额X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[0，4）的频率为0.05×4=0.2，于是，由分层抽样的原理知这次作为抽样调查对象的教师人数为人．（2）由频率分布直方图知[0，4）的频率为0.2，[4，8）的频率为0.25，[8，12）的频率为0.3，设中位数为x，则0.2+0.25+（x﹣8）×0.075=0.5，于是（千步）；（3）有频率分布直方图知不健康生活方式者概率为0.2，超健康生活方式者的概率为0.1，一般生活方式者的概率为0.7，0≤X≤60，X的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，则，，，，P（X=60）=0.13=0.001．E（X）=0×0.008+10×0.084+20×0.306+30×0.427+40×0.153+50×0.021+60×0.001=27（元）所以这次校办公室慰问奖励金额X的数学期望为27元．19．（12分）已知球内接正四棱锥P﹣ABCD的高为3，AC，BC相交于O，球的表面积为，若E为PC中点．（1）求异面直线BP和AD所成角的余弦值；（2）求点E到平面PAD的距离．【解答】解：由球的表面积公式S=4πR2，得球的半径，设球心为O1，在正四棱锥P﹣ABCD中，高为PO，则O1必在PO上，连AO1，则，则在Rt△O1OA，有，即OA=2，可得正方形ABCD的边长为，侧棱．（1）在正方形ABCD中，BC∥AD，∠PBC是异面直线BP和AD所成的角或其补角，取BC中点M，在等腰△PBC中，可得PM⊥BC，斜高，则在Rt△PMB中，，∴异面直线BP和AD所成的角的余弦值为；（2）由O，E为CA，CP中点，得OE∥AP，且满足OE⊄平面PAD，AP⊂平面PAD，∴OE∥平面PAD，∴E到平面PAD的距离等于O到平面PAD的距离，又∵，再设O到平面PAD的距离为h，则由V E=V O﹣PAD=V P﹣AOD，﹣PAD可得，则，∴点E到平面PAD的距离．20．（12分）已知椭圆的右焦点，且经过点，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A在x轴的上方）（1）求椭圆C的方程；（2）若|AM|=2|MB|，且直线l与圆相切于点N，求|MN|的长．【解答】解：（1）由题意知：，a2=3+b2＞3，解得：a2=4，b2=1，故椭圆C的方程为；（2）设M（m，0），直线l：x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由|AM|=2|MB|，有y1=﹣2y2，由，得（t2+4）y2+2my+m2﹣4=0，由韦达定理得：，由，得，即，化简得（m2﹣4）（t2+4）=﹣8t2m2，①原点O到直线的距离，又直线l与圆相切，∴，即，②联立①②得：21m4﹣16m2﹣16=0，即（3m2﹣4）（7m2+4）=0，解得，此时，满足△＞0，得，在Rt△OMN中，可得，∴|MN|的长为．21．（12分）已知函数，直线l：x﹣ty﹣2=0．（1）若直线l与曲线y=f（x）相切，求切点横坐标的值；（2）若函数，求证：f（x）＞g（x）．【解答】解：（1）由，得f′（x）=，易知x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，根据直线l的方程x=ty+2，可得l恒过点（2，0），①当t=0时，直线l：x=2垂直x轴，与曲线y=f（x）相交于一点，即交点横坐标为2；②当t≠0时，设切点A（x0，y0），直线l可化为，斜率，又直线l和曲线y=f（x）均过点A（x0，y0），则满足，所以，两边约去t 后，可得，化简得，切点横坐标，综上所述，切点的横坐标为；（2）证明：函数，要证f（x）＞g（x），即证＞（x＞0），即证e x＞x2，即证＞，可令h（x）=（x＞0），h′（x）=，当x＞2时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得x=2时，h（x）取得极小值，且为最小值，由于＜，可得f（x）＞g（x）恒成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为参数），∴消去参数φ，得圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2=1，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ．（2）设P（ρ1，θ1），则有ρ1=2cosθ1，Q（ρ2，θ1），则有，∴，∵tanθ1＞0，∴0＜|OP||OQ|＜6．故|OP|•|OQ|的范围是（0，6）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（5分）（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…（10分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。