运筹学[第十七章启发式方法]山东大学期末考试知识点复习
运筹学课件（13）运筹学中的启发式方法[全文]
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第十四章运筹学中的启发式方法Operational Research( OR )运筹学中的启发式方法启发式方法的概念应用问题举例启发式方法的概念一、启发式方法的提出良性结构的问题：问题的结构比较清晰，所含各元素之间的关系明确，边界清楚，容易为人们所认识，能够比较方便地通过建模和使用一定的算法求得解决。
概括地说良性结构问题具有以下特征：(1) 能建立起反映该问题性质的一种“可接受”模型，与问题有关的主要信息可纳入模型之中。
(2) 模型所需要的数据能够得到。
(3) 有判定解的可行性和最优性(或满意性)的明确准则。
(4) 模型可解，能拟定出求解模型的程序性步骤，而且得出的解能反映解决问题的可行方案。
(5) 求解工作所需的计算量不过大，所需费用不过多。
启发式方法的提出在解决非良性结构的问题时，保持问题的本来面目，建立基本符合问题实际情况的非标准模型。
由于模型涉及因素多，结构复杂，而与传统的标准模型相去甚远，难以套用已有的标准算法，为得到可用的近似解，分析人员必须运用自己的感知和洞察力，从与其有关而较基本的模型及算法中寻求其中的联系，从中得到启发，去发现和构想可用于解决该问题的思路和途径，人们称这种方法为启发式方法，用这种方法建立的算法为启发式算法。
启发式方法的特点启发式方法有下述优点：计算步骤简单，易于实施。
(2) 常不需要高深和复杂的理论知识，因而可由未经高级训练的人员实现。
(3) 与应用优化方法相比，常可以减少大量的计算工作量，从而显著节约开支和节省时间。
(4) 易于将定量分析与定性分析相结合。
启发式方法的策略三、启发式方法的策略13></a>. 逐步构解策略2. 分解合成策略3. 改进策略4. 搜索学习策略运筹学中的启发式方法启发式方法的概念应用问题举例应用问题举例一、多个工件在设备上加工的排序问题问题描述：在A、B两台设备上顺序加工n个工件(工件j=1,2,…,n)时，应如何排列这些工件的顺序，才能使总加工时间(从在A上开始加工第一个工件起到在B上加工完最后一个工件止)尽可能短。
运筹学复习
3x1+2x2≤12
目标函数
2019/6/29
x1≥0 , x2≥0 max f=3x1+4x2
线性规划问题(2)
3x1+2x2=12 2x1+4x2=10
2019/6/29
目标函数 f = 3x1+4x2 =13.5 可行解区域
最优解(3.5,0.75) 2x1+9x2=18
线性规划的单纯形
2
9
4
5
12
V1
3
8
V3
6
6
V5
V7
10 7
7
11
2019/6/29
∴最小树的权为24，最小树为
V4
Tree={v1v2,v1v3,v2v5,v5v6,v6v7,v6v4}
求最小生成树
求下图的最小 生成树
2019/6/29
最大流问题
256810
6
1 3
v16 4 3
1
2019/6/29
0
v2 3 2
2019/6/29
运输问题
产销平衡的运输问题 表上作业法
初始基可行解的求法：
最小元素法、西北角法、沃格尔法
检验数的求法
闭回路法、位势法
解的最优性的判别 迭代：
进基变量、出基变量的确定
2019/6/29
最大流最小树
不计费用的和最小费用的最大流 问题
最大流问题的网络图论解法
解法思路 标准型的线性规划问题，标准化 初始基可行解的寻找
基、基向量、非基向量 基变量、非基变量
最优性的检验
检验数、最优解的判别定理:σi非正
(整理)《运筹学》期末考试试题及参考答案
《运筹学》试题参考答案一、填空题（每空2分，共10分）1、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为 可行解 。
2、在线性规划问题中，图解法适合用于处理 变量 为两个的线性规划问题。
3、求解不平衡的运输问题的基本思想是 设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式 。
4、在图论中，称 无圈的 连通图为树。
5、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有 最小费用法 、 西北角法 两种方法。
二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题： 1）max z = 6x 1+4x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ， 解：此题在“《运筹学》复习参考资料.doc ”中已有，不再重复。
2）min z =－3x 1+2x 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤-≤+-≤+0,137210422422121212121x x x x x x x x x x 解：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹、⑺⑴⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹可行解域为abcda ，最优解为b 点。
由方程组⎩⎨⎧==+02242221x x x 解出x 1=11，x 2=0∴X *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x =（11，0）T ∴min z =－3×11+2×0=－33三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：A B C 甲 9 4 3 70 乙 4 6 10 1203602003001）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）2）用单纯形法求该问题的最优解。
（10分） 解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙产品的生产数量应为x 1、x 2，则x 1、x 2≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =70x 1+120x 2s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0300103200643604921212121x x x x x x x x ， 2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量x 3，x 4，x 5，得到等效的标准模型：max z =70x 1+120x 2+0 x 3+0 x 4+0 x 5s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++5,...,2,1,03001032006436049521421321j x x x x x x x x x x j 列表计算如下：∴X *=（11，11，11，0，0）T∴max z =70×11100+120×11300=1143000四、（10分）用大M 法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型：min z =5x 1＋2x 2＋4x 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0,,10536423321321321x x x x x x x x x解：用大M 法，先化为等效的标准模型：max z / =－5x 1－2x 2－4x 3 s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥=-++=-++5,...,2,1,010********214321j y x x x x x x x x j增加人工变量x 6、x 7，得到：max z / =－5x 1－2x 2－4x 3－M x 6－M x 7 s.t⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+-++=+-++7,...,2,1,010*********2164321j x x x x x x x x x x x j大M 法单纯形表求解过程如下：∴x *=（32，2，0，0，0）T最优目标函数值min z =－max z / =－（－322）=322五、（15分）给定下列运输问题：（表中数据为产地A i 到销地B j 的单位运费）1）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；（5分） 2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。
运筹学期末考试知识点(16级)
运筹学期末考试知识点绪论1.运筹学的研究对象，研究内容（运筹学的分支）；线性规划2.可行解、基解、基可行解的基本含义、性质及区别；3.单纯形法求解LP问题的基本思路，单纯形法求解；4.解的判断（唯一最优解、多重最优解、无界解、无可行解）；对偶及灵敏度分析5.求某一LP问题的对偶问题，对偶问题和原问题之间的关系；6.强弱对偶理论等相关定理与推论；7.对偶单纯形法的求解思路；8.根据单纯形表得出原问题和对偶问题的最优解；9.灵敏度分析包含的内容，掌握目标函数价值系数c、右端向量b的灵敏度分析的计算；运输问题10.运输问题模型的特点；11.运输问题检验数的实际含义；12.产销不平衡、道路不通的运输问题的处理；存储论13.描述存储策略的指标；评价存储策略优劣的指标；14.掌握4种确定性存储模型的存储状态图；15.4种确定性存储模型的T0、Q0、C0的求解；16.有批发折扣价存储模型的求解；17.K、R、P、c1、c2、c3等参数的改变对T0、Q0、C0的影响；18.报童问题的特点；动态规划；19.动态规划的研究对象、基本思路及包含的几类典型问题；20.理解阶段变量、状态变量、决策变量、状态转移方程、阶段指标函数、过程指标函数、边界条件等的含义以及根据具体问题定义上述变量；21.两类动态规划问题（资金分配问题和资源动态分配问题）的求解；排队论22.熟练掌握排队系统的分类（X/Y/Z/A/B/C），了解其中每个符号的含义；23.理解λ和μ的含义，掌握λ和μ的确定方法；24.理解ρ的含义；25.求解M/M/1 排队系统的各运行指标ρ、p0、L、L q、W、W q等。
考试时间：120分钟；考试形式：闭卷（允许带计算器）；考试题型及分值：是非题（每题1分×10题=10分）单选题（每题2分×10题=20分）线性规划综合题（15分）动态规划（20分）存储论（20分）排队论（15分）练习题1、求解以下线性规划问题Max z＝2x1＋3x2＋x3x1＋x2＋x3≤3s.t. x1＋4x2＋7x3≤9x j≥02、已知某LP问题单纯形法求解过程如下表，求：（1）本问题的最优解；其对偶问题的最优解；（2）对c1进行灵敏度分析；（3）当资源系数b1由6变为8时，最优解是否变化？最优基是否变化？3、某公司有资金4万元，可向A、B、C三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，求最大回报。
211山东大学网络教育 运筹学-本科 期末考试试题及参考答案
一、简答题
1、线性规划对偶问题可以采用哪些方法求解？
正确答案：（1）用单纯形法解对偶问题；
（2）由原问题的最优单纯形表得到；
（3）由原问题的最优解利用互补松弛定理求得；
（4）由Y=C=B1求得，其中B为原问题的最优基
2、运筹学的系统特征是什么？
正确答案：运筹学的系统特征可以概括为以下四点
（1）用系统的观点研究功能关系
（2）应用各学科交叉的方法
（3）采用计划方法
（4）为进一步研究揭露新问题
3、简述什么是0-1规划问题、纯整数规划问题和混合整数规划问题。
正确答案：（1）0-1规划问题：在线性规划问题中，如果要求所有的决策变量只能取0或1，这样的问题称为0-1规划。
（2）纯整数规划：如果要求所有的决策变量都取整数，这样的问题成为纯整数规划问题。
（3）混合整数规划：在线性规划问题中，如果要求部分决策变量取整数，则称该问题为混合整数规划。
4、若某线性规划问题有无穷多最优解，则应满足什么条件？
正确答案：（1）非基变量检验数为零；（2）基变量中没有人工变量；（3）所有6，s0。
5、简述什么是影子价格。
正确答（1）对偶变量Y表示与原问题的第个约束条件相对应的资源的影子价格；（2）在数量上表现为，当该约束条件的右端常数增加一个单位时（假设原问题的最优解不变），原问题目标函案：数最优值增加的数量。
6、简述一般决策问题的四个约束条件。
运筹学要掌握的知识点汇总
问老师后总结的
第一章
1、单纯形法的计算方法(书本20-37里面的大M法也要掌握
2、对于各类不同问题，掌握它的设决策变量、目标函数及约束条件(36-43但我个人认为这里可以不看书去看老师这节的PPT，个类题型都总结了。
大家看自己喜欢那种就选哪种
第二章
1、掌握写某些问题的对偶问题(求最大值、最小值都看53-59
2、影子价格了解下(60
3、灵敏度不是重点，大家稍微看下(64-69不懂也没事
第三章
1、表上作业法中的最小元素法和伏格尔法(比最小元素法重要点知道应用(79-83
2、最优解的判别(闭回路法和位势法，位势法重要点(83-86
3、产销不平衡的调节方法(89-91
第五章
1、分支定界法(115-118
2、割平面法(118-121
3、0-1型整数规划(122-126
4、指派问题(126-131
1、掌握整数规划的基本概念(193-195
2、求最优解(如最短路线等的方法(196-200
第九章
1、资源分配问题的解法(213-220
2、生产与存储问题的解法(224-233
3、背包问题的解法(233-236
第十章
1、了解基本概念(254-268
2、网络最大流问题的解法(268-274
3、最小费用最大流的问题解法(274-276
4、中国邮递员问题的解法(276-280
第十一章
重点掌握
第十三章
第十五章
询问以前考过同学的意见，其中的第一、二、五、十、十一章是出大题的章节，大家注意下
仅个人观点，大家就参考下吧。
有什么问题都可以找我。
运筹学复习整理(保准管用)
1. 简答题（1） 运筹学的工作步骤提出和形成问题：即要弄清问题的目标，可能的约束，问题的可控变量以及相关的参数，搜集相关资料；建立模型：即把问题中可控变量，参数，目标与约束之间的关系用模型表示出来；求解：用各种手段将模型求解，解可以是最优解，次优解，满意解。
复杂模型的求解需用计算机，解得精度要求可有决策者提出；解的检验：首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查解是否反映现实问题；解的控制：通过控制解的变化过程决定对解是否做一定的改变； 解的实施：是指将解用到实际中必须考虑的实际问题，如向实际部门讲清解的用法，在实施中可能产生的问题和修改。
（2）退化产生原因及解决办法单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存在两个以上相同的最小比值，这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这就出现退化解。
勃兰特规则：1.选取cj-zj ＞0中下标最小的非基变量xk 为换入变量，即k=min(j ｜cj-zj ＞0)2. 当按θ规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选取下标最小的基变量为换出变量。
（3）对偶问题的经济解释• 这说明yi 是右端项bi 每增加一个单位对目标函数Z 的贡献。
• 对偶变量 yi 在经济上表示原问题第i 种资源的边际价值。
• 对偶变量的值 yi*所表示的第i 种资源的边际价值，称为影子价值。
∑∑=====n j mi i i j j y b x c Z 11ωiiy b Z=∂∂若原问题的价值系数Cj 表示单位产值，则yi 称为影子价格； 若原问题的价值系数Cj 表示单位利润，则yi 称为影子利润。
影子价格不是资源的实际价格，而是资源配置结构的反映，是在其它数据相对稳定的条件下某种资源增加一个单位导致的目标函数值的增量变化。
（4）分枝定界法步骤a) 先求出整数规划相应的LP(即不考虑整数限制)的最优解， b) 若求得的最优解符合整数要求，则是原IP 的最优解； c) 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件的变量来构造新的约束，在原可行域中剔除部分非整数解。
运筹学知识点总结学习资料
运筹学知识点总结运筹学考试时间：2009-1-4 10:00-12:00考试地点：金融1、2：（二）201，会计1、2：（二）106人资1、2：（二）203，工商1、2：（二）205林经1、2：（二）306答疑时间：17周周二周四上午8：00-11：00 18周周一周三上午8：00-11：00 地点：基础楼201线性规划如何建立线性规划的数学模型；线性规划的标准形有哪些要求？如何把一般的线性规划化为标准形式？如何用图解法求解两个变量的线性规划问题？由图解法总结出线性规划问题的解有哪些性质？如何用单纯形方法求解线性规划问题？如何确定初始可行基或如何求初始基本可行解？（两阶段方法）如何写出一个线性规划问题的对偶问题？如果已知原问题的最优解如何求解对偶问题的最优解？（对偶的性质，互补松紧条件）对偶单纯形方法适合解决什么样的问题？如何求解？对于已经求解的一个线性规划问题如果改变价值向量和右端向量原最优解/基是否仍是最优解/基？如果不是，如何进一步求解？1、建立线性规划的数学模型：特点：（1）每个行动方案可用一组变量（x 1，…，x n ）的值表示，这些变量一般取非负值；（2）变量的变化要受某些限制，这些限制条件用一些线性等式或不等式表示；（3）有一个需要优化的目标，它也是变量的线性函数。
2、线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？目标求极小；约束为等式；变量为非负。
min b 0T z C X AX X ==⎧⎨≥⎩例：把下列线性规划化为标准形式：121212112max 2328 1 20,0z x x x x x x x x x =++≤⎧⎪-+≥⎪⎨≤⎪⎪≤<>⎩解：令13245,,x x x x x =-=-标准型为：,3453456345738min 23()2()8 () x 1 +x 20,3,4,5,6,7,8iz x x x x x x x x x x x x i =-+--+-+=⎧⎪++--=⎪⎨-=⎪⎪≥=⎩ 3、如何用图解法求解两个变量的线性规划问题？由图解法总结出线性规划问题的解有哪些性质？例：参看ppt （唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无解） 线性规划解的性质：（基、基本解、基本可行解、凸集、顶点） 定理1 线性规划的可行域是凸集。
聊城大学《运筹学》期末复习题及参考答案
《运筹学》练习题及参考答案4 .下列图像所包含的区域不是凸集的是（ ）»A.圆形B.三角形C.圆环5 .树的性质不包括下列哪个（ ）。
A.无圈B.连通C.任意两点有唯一链6 .求解产销不平衡的运输问题，当销大于产时，雷增加（A.虚拟产地B.虚拟销地C.都可以D.都不可以7 .求解产销不平衡的运输问题，当产大于销时，需增加（ ）.A.虚拟产地 B,虚拟销地 C.都可以 D,都不可以 8,常系数h k 增加（ ）而带来的最优值的改变量称为第k 个约束条件的影子价格。
A,五个单位B.一个单位C.若干单位D.都对 9 .一个居民住宅区的道路构成图是（ ）°A.树B.不连通图C.连通图 D,有向图 10 .线性规划模型一般形式、标准形式的关系是（ ）.A.等价B.•般形式最•般C.标准形式最特殊D.都不对 参考答案：CDACDABBCA二、填空题1 .在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为O2 .线性规划的目标函数的系数是其对偶问题的.而若线性规划为极大化问题，则对偶问题为问题.3 .当网络图中找不到时，网络中的流量达到最大4 .在将线性规划模型化成标准形式时，不等式A 或≤的约束条件要在不等式左端加入或o5 .求解纯整数规划的方法是，求解混合整数规划的方法是n6 .任一树中的数必定是它的数减1.参考答案：一、单项选择题I.下列图像所包含的区域不是凸集的是（ A.椭圆形 B.三角形 2 .线性规划模型的特点是（ ）.A.目标函数是决策变量的线性函数 C.所有约束函数都是决策变量的线性函数 C.弯月形 D.长方形 3 .用闭回路法调整调运方案时，卜.列做法正确的是（ ）。
B.有一个约束函数是决策变量的线性函数D.目标函数和所有约束函数都是决策变量的线性函数 A.奇数点处加调整量，偶数点处减调整量 C.奇数点偶数点同时加或减调整量 B.奇数点处减调整量，偶数点处加调整量D.都不对D.正方形 D.有回路存在 ）.1.可行解2.约束条件的右端项、极小化3.增广链4.松弛变量、剩余变量5.割平面法、分枝定界法6.边、点。
运筹学期末复习提纲ppt课件
min w 5y1 4 y2 9 y3
s.t.
y1 2 2 y1
y2 y2
4y3 3y3
3 2
y1, y2 , y3 0
解：由X=〔1.5，1〕’得 x12x23.55
y1 0
x10,x2 0
2y1y1 2yy22
4y3 3y3
3 2
联立求解得： y10 ,y20 .5 ,y30 .5
s .t .
A'Y Y
0
C
'
对偶规划的根本性质
3.2.2 弱对偶性定理： 假设X、Y分别是原问题和对偶问题的一个可行
解，那么其对应的原问题的目的函数值不大于对偶问
题的目的函数值，也即CX£b'Y
证明：由于X、Y分别是原问题〔3.1〕与对偶问题〔3.2〕的可行解，故：
AX £ b
X
0
所以
A'Y C'
目的规划模型的普通方式：
K
Min ﹛Pl〔∑〔 wlk-dk- + wlk+dk+ 〕〕,l=1,2…,L﹜ k =1
n
∑aij xj
≤〔=，≥〕 bi
，i =1，2，…，m
j =1
n
S.t.
∑ckj xj + dk- - dk+ = gk ， k =1，2，…，
Kj =1
xj ≥ 0 ,
j =1，2，…，n
s.t. x11 +x12 +x13 +x14
=7
x21 +x22 +x23 +x24
=4
x31 +x32 +x33 +x34
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第十七章启发式方法
1．常用的启发式策略
(1)逐步构解策略：一个完整的解通常由若干分量组成。
当用该策略时，应建立某种规则，按一定次序每次确定解的一个分量，直至得到包含所有解分量的一个完整的解为止。
(2)分解合成策略：为求解一个复杂的大问题，可首先将其分解为若干个小的子问题，再选用合适的方法按一定顺序求解每个子问题，根据子问题之间及其与总问题的关系，将子问题的解作为下一阶子问题的输入，或在相容原则下将子问题的解进行综合，经合成最后得到总问题合乎要求的解。
(3)改进策略：首先从一个初始解出发，然后对解的质量进行评价，并采用某种启发式方法设计改进规则，对解加以改进，反复进行如上的评价和改进，直至得到满意的解为止。
(4)搜索学习策略：包括在解空间中的定向搜索以及在搜索过程中发现和收集新的信息，并根据对新信息的分析，重新确认或改变搜索方向，修正搜索参数，消去不必要的搜索范围，以有效提高搜索效率，尽快获得问题的解。
2．最短旅行线路的几何法
从几何角度，最短旅行线路应具有以下直观性质：
(1)线路自身不相交。
(2)各段线路应处于由所有访问点形成的凸包上或其凸包内部。
凸包指包含所有访问点的最小凸集。
迭代步骤：
(1)找出由访问各点构成的凸包。
(2)在凸包上的点，按其出现的自然顺序访问(注要不要使旅行线路自交)，
从而形成一初始旅行线路。
(3)将不在初始旅行线路上的各个点I(位于凸包内的访问点)，与已在旅行
线路上的所有点相连。
设P与Q已在旅行线路上的任两个相邻点，∠P
0I
Q
为所
有∠PIQ角度中的最大者，则将I
0插入到P
和Q
之间。
(4)重复进行步骤(3)，每次在旅行线路上增加一个新点，直至所有访问点都被引入到旅行线路中为止。