二次函数最值问题复习专题

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二次函数复习二次函数解决最值问题的思路与策略

二次函数复习二次函数解决最值问题的思路与策略二次函数复习：解决最值问题的思路与策略二次函数在高中数学中是一个重要的内容，涉及到了最值问题的求解。

本文将从复习二次函数的基本形式开始，逐步介绍解决最值问题的思路与策略。

一、二次函数的基本形式二次函数一般具有如下基本形式：f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0)其中，a、b、c为实数，且a不等于0。

通过调整a、b、c的值，可以使二次函数的图像发生上下平移、左右平移和翻转等变化。

二、最值问题的定义在二次函数中，最值问题通常指的是求解函数的最大值或最小值。

最大值对应函数的顶点，最小值对应函数的谷点。

三、解决最值问题的思路解决最值问题的思路可以总结为以下几个步骤：1. 了解函数的基本形式：首先确定二次函数的基本形式，即f(x) = ax^2 + bx + c。

根据实际问题的给定条件，确定a、b、c的值。

2. 求解顶点坐标：通过平移变换，将二次函数的图像平移到合适的位置，使其顶点的坐标易于计算。

顶点的横坐标可通过 x = -b/(2a) 得到，而纵坐标可通过代入横坐标得到。

3. 判断最值类型：根据二次函数的开口方向（即a的正负）来判断最值类型。

当a>0时，函数开口向上，为最小值问题；当a<0时，函数开口向下，为最大值问题。

4. 求解最值：根据最值类型和顶点的坐标，可以直接得到函数的最值。

四、解决最值问题的策略解决最值问题的策略根据具体情况有所不同，下面列举了几种常见的策略：1. 利用函数的图像分析：通过观察二次函数的图像，分析函数在定义域上的变化趋势，找到最值所处的位置。

2. 利用对称性求解：当二次函数关于y轴对称时，可以利用对称性直接得到函数的最值。

3. 应用配方法：对于一些复杂的二次函数，可以通过配方法将其化简为标准的二次函数形式，然后再求解最值。

4. 利用一元二次不等式求解：通过将二次函数转化为一元二次不等式，可以得到函数的最值所在的区间，进而求解最值。

中考数学复习专题突破专题26 二次函数-最值问题(全国通用)

专题26 二次函数-最值问题1212x ,2x bm a-≤≤= 二次函数中的最值问题从知识点上看，有两个方面，二次函数的增减性上由自变量取值范围确定最值，即：自变量取值范围为x x 对称轴再结合对称轴的值在x ,x 之间还是之外，通过数形结合进行分类讨论解决问题；另一方面，通过两个几何公理两点之间线段最短和点线之间垂线段最短解决问题。

本专题结合近些年中考题进行专项练习提升学生解题能力。

一、单选题2.y 2303x x x y =--≤≤1在二次函数中，当时，的最大值和最小值分别是（）A ．0，-4B ．0，-3C ．-3，-4D ．0，02．如果二次函数268y x x =-+在x 的一定取值范围内有最大值（或最小值）为3，满足条件的x 的取值范围可以是（） A ．15x -≤≤B ．16x ≤≤C ．24x -≤≤D ．11x -≤≤3．二次函数2y (x 1)6=+-有( ) A ．最大值5-B ．最小值5-C ．最大值6-D ．最小值6-4．二次函数22(4)5y x =--+的函数值有（）． A ．最大值5B ．最大值4C ．最小值5D ．最小值45．二次函数241y x x =-++有（） A ．最大值5B ．最小值5C ．最大值-3D ．最小值-36．已知二次函数2(2)3y x =-+，则当14x ≤≤时，该函数( ) A ．有最大值7，有最小值4 B ．只有最大值7，无最小值 C ．只有最小值3，无最大值D ．有最小值3，有最大值77．已知二次函数2(1)y a x b =-+有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 ( ) A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定8．已知二次函数y ＝﹣2x 2﹣4x +1，当﹣3≤x ≤2时，则函数值y 的最小值为（） A ．﹣15B ．﹣5C ．1D ．39．在平面直角坐标系中，二次函数223y x x =+-的图象如图所示，点()11,A x y ，()22,B x y 是该二次函数图象上的两点，其中1230x x -≤<≤，则下列结论正确的是（）A ．12y y <B ．12y y >C ．函数y 的最小值是3-D ．函数y 的最小值是4-10．已知二次函数y=x 2﹣2x +2在t ≤x ≤t +1时有最小值是t ，则t 的值是（） A ．1B ．2C ．1或2D ．±1 或211．已知二次函数y＝x 2＝2x＝2在m≤x≤m＝1时有最小值m ，则整数m 的值是（＝ A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．±1或212．已知二次函数()2y x h =-（h 为常数），当自变量x 的值满足-13x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最小值为4，则h 的值为（） A ．1或-5 B ．-5或3 C ．-3或1 D ．-3或5二、填空题13．二次函数y=2x 2 -4x+5,当＝3≤x ≤4时，y 的最大值是___________，最小值是___________. 14．二次函数223y x x =--，当03x ≤≤时，y 的最大值和最小值的和是_______． 15．当x =_______时，二次函数()2235y x =--的最小值是________．16．已知二次函数y=-x 2-2x+3的图象与x 轴分别交于A 、B 两点（如图所示），与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一动点，当PB+PC 取得最小值时，点P 的坐标为．17．二次函数y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：给出了结论：（1）二次函数y =ax 2+bx +c 有最小值，最小值为－3；（2）当－12＜x ＜2时，y ＜0；（3）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．则其中正确结论是_________ （填上正确的序号）18．已知二次函数y ＝2（x +1）2+1，﹣2≤x ≤1，则函数y 的最小值是_____，最大值是_____． 19．已知二次函数268y x x =-+，当0≤x≤4，y 的最小值是_____,最大值是__________. 20．已知二次函数2241y ax ax a =-+-，当x a ≥时，y 随x 的增大而增大．若点A （1，c ）在该二次函数的图像上，则c 的最小值为_________．21．二次函数22y x ax a =-+在 03x ≤≤的最小值是－2，则a =__________ 22．二次函数222y x x -=+的最小值是_________．23．二次函数22y x x m =-+的最小值为5时，m =________．24．二次函数2(2)3y x =--+，当15x ≤≤时，y 的最小值为_________．25．二次函数2y ax bx =+的图像如图，若一元二次方程20ax bx c ++=有实数根，则c 的最小值为______.26．已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：则当x ≥1时，y 的最小值是_____．27．如图，已知二次函数21199y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点D 关于x 轴的对称点为D ．点P 为x 轴上的一个动点，连接PD '，则12PA PD '+的最小值为__________．28．如图，在平面直角坐标系中，过点(,0)P x 作x 轴的垂线，分别交抛物线22y x =+与直线y x =-交于点A ，B ，以线段AB 为对角线作菱形ACBD ，使得60D ︒∠=，则菱形ACBD 的面积最小值为______．三、解答题29．如图，二次函数2y x ax c =++的图象与x 轴相交于A ，()10B ,两点，与y 轴交于点()0,3C -.（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到新二次函数图象，当06x ≤≤时，求新二次函数的最小值.30．如图1，已知二次函数1L ：()2230y ax ax a a =-++>和二次函数2L ：()()2110y a x a =-++>的图象的顶点分别为M 、N ，与y 轴分别交于点E 、F .(1)函数()2230y ax ax a a =-++>的最小值为___；当二次函数1L 、2L 的y 值同时随着x的增大而减小时，则x 的取值范围是___.(2)当EF MN =时，求证：四边形ENFM 为矩形.(3)若二次函数2L 的图象与x 轴的右交点为(),0A m ，当AMN ∆为等腰三角形时，求方程()2110a x -++=的解.31．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x 轴、y 轴相交于点A （，0），B （0，）两点，二次函数的图象经过点A ．（1）求一次函数的表达式；（2）若二次函数的图象的顶点在直线AB 上，求m ，n ；（3）＝设时，当时，求二次函数的最小值；＝反之若时，二次函数的最小值为，求m ，n 的值．32．已知二次函数()2221y x m x m m =--+-（m 是常数，且0m ≠）.（1）证明：不论m 取何值时，该二次函数图象总与x 轴有两个交点；（2）若()232A n n -+，、()212B n n ++，是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和n 的值；（3）若当01x ≤≤时，函数有最小值为1，求m 的值.33．根据下列二次函数部分图象信息，已知顶点D （1,4），与x 轴的一交点B (3,0)．（1）求二次函数的解析式；（2）当0y ＞时，直接写出x 的取值范围；（3）当-22x 时，求y 的最大值与最小值．34．如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(0,2)、(1,3)、(1,0)-三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点M 是该二次函数图象上的一点，且满足OAC ABM ∠=∠，求点M 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交BC ，y 轴与点E 、F ，若EBP ∆、EFC ∆的面积分别为1S 、2S ，求21S S -的最小值．35．如图，二次函数()22y x b =--+的图像与x 轴分别相交于A 、B 两点，点A 的坐标为()1,0-，与轴交于点C ．（1）求b 的值：（1）抛物线顶点为E ，EF x ⊥轴于F 点，点()2,P m 是线段EF 上一动点，(),0Q n 在x 轴上，且2n <，若90QPC ∠=︒，求n 的最小值．36．一次函数y =x −3的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．一个二次函数的图象经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标，并画出一次函数y =x −3的图象；（2）求二次函数的解析式及它的最小值．37．已知二次函数22y x 2mx m m(m =-+-为常数)()1若m 0≥，求证该函数图象与x 轴必有交点()2求证：不论m 为何值，该函数图象的顶点都在函数y x =-的图象上 ()3当2x 3-≤≤时，y 的最小值为1-，求m 的值38．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(3,0)-，与y 轴交于点C ，点(2,3)D --在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA PD +的最小值；（3）若抛物线上有一动点Q ，使ABQ △的面积为6，求点Q 的坐标．。

中考专题复习二次函数实际应用类最值问题(无答案)

知识点一销售中的最值问题（一）例1 某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，为使每天所获销售利润最大，销售单价应定为元．1-1某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．1-2某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x 天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？1-3俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？例2 某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（1）求这种产品第一年的利润W1（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W至少为多少万元．22-1 （2018张家口桥东模拟26）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为20元/件，第x天销售量为p件，销售单价为q元，经跟踪调查发现，这40天中p与x的关系保持不变，前20天（包含第20天），q与x的关系满足关系式q=30+ax；从第21天到第40天中，q是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与x成反比．且得到了表中的数据．（1）请直接写出a的值为；（2）从第21天到第40天中，求q与x满足的关系式；（3）若该网店第x天获得的利润y元，并且已知这40天里前20天中y与x的函数关系式为y=﹣x2+15x+500i请直接写出这40天中p与x的关系式为：；ii求这40天里该网店第几天获得的利润最大？知识点二销售中与图象有关的最值问题（二）例2 (2018唐山市路北区一模)月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售。

二次函数求最值的六种考法(含答案)

二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值．【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0，即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0，解得x 1＝1，x 2＝5．如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5．则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值．【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2，解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38；故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值．【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2，又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4，解得a =−14，故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ．【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2．故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8．故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值．【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）．（2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）．设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，则{−3m +n =0n =−3，解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t，解得{k =−12t =52，故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152；（Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1，故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4，解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q，解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t，解得{a =1t =2，故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0），抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4．故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5，故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）．【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）．【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。

2023学年数学中考复习重难点突破——二次函数的最值

2023学年数学中考复习重难点突破——二次函数的最值一、单选题1．当二次函数y=x 2+4x+9取最小值时,的值为( )A ．-2B ．1C ．2D ．92．对于二次函数y ＝2（x+1）（x ﹣3），下列说法正确的是（）A ．图象过点（0，﹣3）B ．图象与x 轴的交点为（1，0），（﹣3，0）C ．此函数有最小值为﹣6D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小3．二次函数y=ax 2+bx+a （a≠0）的最大值是零，则代数式|a|+ 2244a b a- 化简结果为（）A ．aB ．1C ．﹣aD ．04．已知a≥2，m 2﹣2am+2=0，n 2﹣2an+2=0，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是（）A ．6B ．3C ．﹣3D ．05．二次函数 23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 的图象 ()13x ≤≤ 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y 的取值范围是（）A ．1y ≥B ．13y ≤≤C ．334y ≤≤ D ．03y ≤≤6．如图，在△ABC 中，△B=90°，tan△C=34，AB=6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm27．若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D( 2, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是().A．y1< y2< y3B．y1 < y3< y2C．y3< y2< y1D．y2< y3< y18．二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表，x…-3-2-1012345…y…1250-3-4-30512…下列四个结论：①二次函数y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为-3；②抛物线与y轴交点为（0，-3）；③二次函数y=ax2+bx+c 的图像对称轴是x=1；④本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c的解是x1=-1,x2=3.其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．19．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M为对角线AC上的一个动点（不与端点A，C重合），过点M作ME△AD，MF△DC，垂足分别为E，F，则四边形EMFD面积的最大值为（）A．6B．12C．18D．2410．已知函数y＝22(0)(0)x x xx x x⎧-⎨--<⎩，当a≤x≤b时，﹣14≤y≤14，则b﹣a的最大值为（）A．1B2+1C 221+D2二、填空题11．已知二次函数y=x 2﹣4x+m 的最小值是﹣2，那么m 的值是． 12．二次函数y=x 2﹣2x ﹣5的最小值是．13．如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别从点A 、B 、C 、D 同时出发，均以1cm/s 的速度向点B 、C 、D 、A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是 cm 2．14．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数关系式是S=80t ﹣2t 2，飞机着陆后滑行的最远距离是 m ．15．已知二次函数 2y ax bx c =++ (a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m(am+b)，(m≠l 的实数)．其中正确的结论有 (只填序号)．三、解答题16．把函数y=3x 2+6x+10转化成y=a （x-h ）2+k 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．17．如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y(cm 2)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．18．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= 2x，y=2(x-1)2+1的最大值和最小值．（2）对于二次函数y=2(x-m)2+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．19．由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）完成下列表格，并直接写出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式及售价x 的取值范围；售价（元/台）月销售量（台）400200▲ 250x▲（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？20．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA 向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（△）求直线y=kx+b的函数解析式；（△）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d 关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（△）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】2 12．【答案】-6 13．【答案】3；18 14．【答案】800 15．【答案】③④⑤16．【答案】解： 2222236103(2)103(211)10y x x x x x x =++=++=++-+23(1)1101x ⎡⎤=+-++⎣⎦23(1)310x =+-+ 23(1)7x =++ ．图象开口向上，对称轴是 1x =- , 顶点坐标（-1,7）,最小值是7．17．【答案】解：(1)∵S △PBQ ＝12PB·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ， ∴y ＝12(18－2x)x ，即y ＝－x 2＋9x(0<x≤4)； (2)由(1)知，y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－292x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋814， ∵当0<x≤92时，y 随x 的增大而增大，而0<x≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.18．【答案】（1）解：∵在函数y=2x+1中，k=2>0，∴函数y 随x 的增大而增大，∴y=2x+1的最大值为9，最小值为5；2=yx在函数中，k=2>0，∴函数y随x的增大而减小，则函数y=2x的最大值为1，最小值为12；y=2(x+1)2-1的最大值为19，最小值为3.（2）解：①当m=2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式，解得m= 52（舍去）或m=1∴m=1②当2≤m≤4时，m-2=1，∴m=3③当m>4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式，无解．综上所述：m=1或m=319．【答案】（1）解：根据题意，月销售量y与售价x之间的函数关系式为y=200+50× 40010x-=-5x+2200，当y=250时，得-5x+2200=250，解得：x=390，补全表格如下：售价（元/台）月销售量（台）400200390250x-5x+2200由30052200450xx≥⎧⎨-+≥⎩，得300≤x≤350.（2）解：∵w=（x-200）（-5x+2200）=-5（x-320）2+72000，∴当x=320时，w最大=72000，答：当售价x定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．20．【答案】解：如图，∵在Rt△ABC中，△C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根据勾股定理，得：22AC BC+．（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP△△ABC时，APAC=AMAB，即524t-=45t-，解得t=32；②当△APM△△ABC时，AMAC=APAB，即：44t-=525t-，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t=32时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．如图，过点P作PH△BC于点H．则PH△AC，∴PHAC=BPBA，即4PH=25t，∴PH=85t，∴S=S△ABC-S△BPH=12×3×4-12×（3-t）•85t=45（t-32）2+215（0＜t＜2.5）．∵45＞0，∴S有最小值．当t=32时，S最小值=215．答：当t=32时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是215．21．【答案】解：（△）由题意可得403k bb-+=⎧⎨=⎩，解得343kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线解析式为y= 34x+3；（△）如图1，过P作PH△AB于点H，过H作HQ△x轴，过P作PQ△y轴，两垂线交于点Q，则△AHQ=△ABO ，且△AHP=90°， ∴△PHQ+△AHQ=△BAO+△ABO=90°， ∴△PHQ=△BAO ，且△AOB=△PQH=90°， ∴△PQH△△BOA ，∴PQ OB = HQ OA = PHAB，设H （m ， 34 m+3），则PQ=x ﹣m ，HQ= 34m+3﹣（﹣x 2+2x+1），∵A （﹣4，0），B （0，3）， ∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d ，∴3x m - = ()2332144m x x +--++ = 5d ，整理消去m 可得d= 45 x 2﹣x+ 85 = 45 （x ﹣ 58 ）2+10380， ∴d 与x 的函数关系式为d= 45 （x ﹣ 58 ）2+10380， ∵45＞0， ∴当x= 58 时，d 有最小值，此时y=﹣（ 58 ）2+2× 58 +1=11964， ∴当d 取得最小值时P 点坐标为（ 58 ， 11964）；（△）如图2，设C 点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E ，∴CE+EF=C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，∵C（0，1），∴C′（2，1），由（△）可知当x=2时，d= 45×（2﹣58）2+10380=145，即CE+EF的最小值为145．11/ 11。

二次函数最值知识点总结典型例题及习题

二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。

一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。

例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。

分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。

c - b^2/4a)。

因此，对称轴为x = -b/2a。

当a。

0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。

结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。

2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。

当a < 0时，情况类似。

二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。

t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。

二次函数最值问题(含答案)

二次函数最值问题一．选择题（共8小题）1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．20132．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．63．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣34．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125 B．4 C．2 D．06．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或37．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9二．填空题（共2小题）9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上，=6．当线段OM最长时，点M的坐标为．点M在x轴负半轴上，S△ABM三．解答题（共3小题）11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．12．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）．（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）；（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．13．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y 随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x 的增大而减小．二次函数最值问题（含答案）一．选择题（共8小题）1．A；2．D；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．C；9．1；9；10．（﹣3，0）；三．解答题（共3小题）11．【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又∵A（2，0），点E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得x=2﹣．有y=tx=2t﹣．∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得m=或m=．则m=或m=即为所求．12.解：（1）将x=﹣2代入，得y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0，故不论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0）．（2）①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k=0符合题意．②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0）、（0，﹣2）∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可．综上，k的取值范围是k≤0．（3）若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值，若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3，则=﹣3，且k＞0，解得：k=符合题意，∴当k=时，函数存在最小值﹣3．13．解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2，解得m1=2，m2=﹣3，所以满足条件的m值为2或﹣3；（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=﹣x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．。

2024年中考数学复习考前专项训练--二次函数最值问题

2024年中考数学复习考前专项训练--二次函数最值问题一、单选题1．已知二次函数222y x x -=+，当0x t ≤≤时，函数最大值为M ，最小值为N ．若5M N =，则t 的值为（）A ．0.5B ．1.5C ．3D ．42．已知函数245y x ax =-+（a 为常数），当4x ≥时，y 随x 的增大而增大，()11,P x y ，()22,Q x y 是该函数图象上的两点，对任意的1226a x -≤≤和2226a x -≤≤，1y ，2y 总满足21254y y a -≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．34a ≤≤B ．31224a ≤≤C ．12a ≤≤D ．31224a -≤≤ 3．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值： x … 3- 0 3 5 …y … 16 5- 8- 0 …则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（）A ．图象的顶点在第一象限B ．有最小值8-C ．当9t >-时，二次函数的图象与y t =有2个交点D ．当05x <<时，0y >4．已知二次函数2222y ax ax a a =+++-（a 为常数）在21x -≤≤时，y 的最大值为10，则a 的值是（）A ．6-B ．3C ．6-或23D ．2或23-5．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系2205h t t =-．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为4s ；①小球飞行的最大高度为20m ；①小球的飞行高度为15m 时，小球飞行的时间是1s ．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知二次函数2222y x ax a =-+-+（a 为常数），当31x -≤≤时，函数的最大值与最小值的差为9，则a 的值为（）A ．6-B ．4C ．02-或D ．60-或7．竖直上抛物体离地面的高度()m h 与运动时间()s t 之间的关系可以近似地用公式2005h t v t h =-++表示，其中()0m h 是物体抛出时离地面的高度．()0m/s v 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面0.5m 的高处以20m /s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A ．205m .B ．21.5mC ．22.5mD ．23.5m 8．如图，A 半径为1，圆心()03A ，，点B 是A 上动点，点C 在二次函数21y x =-图象上运动，则线段BC 的最小值为（）A 1-B ．1C D二、填空题9．二次函数222y x x -=-中，当34x ≤≤时，y 的最小值是．10．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为元．11．已知二次函数()2222y x m x m =+--+的图象与x 轴最多有一个公共点，若221y m tm =--的最小值为2，则t 的值为．12．某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系数1a =-，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使商品的销售利润最大，销售单价应定为元． 13．对某一函数给出如下定义：如果存在常数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ≤，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如函数()212,2y x y =-++≤，因此是有上界函数，其上确界是2．如果函数22y x x m =--+的上确界是5，则m 的值为．三、解答题14．已知二次函数24y x x m =--+．(1)若该二次函数的最大值为2m ，求m 的值；(2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x 轴有2个交点，求m 的取值范围．15．定义：对于一次函数y kx m =+（k ，m 是常数，0k ≠）和二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠），如果2k a =，m b =，那么一次函数y kx m =+叫做二次函数2y ax bx c =++的牵引函数，二次函数2y ax bx c =++叫做一次函数y kx m =+的原函数．(1)若二次函数2112y ax x =-+（a 是常数，0a ≠的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a 的值；(2)已知一次函数22y x m =-是二次函数221y ax bx m =+++的牵引函数，在二次函数221y ax bx m =+++上存在两点()11,A m y -，()22,B m y +．若()32,M y 也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A ，M 之间的部分为图象G （包括M ，A 两点），记图象G 上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t ，且21t y y ≥-，求m 的取值范围．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 ²y x bx c =-++的图象经过点()0,2A ，点()1,0B -．(1)求此二次函数的解析式；(2)当 22x -≤≤时，求二次函数 2y x bx c =-++的最大值和最小值；(3)点 P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点 P 作PQ x ∥轴，点Q 的横坐标为 21m --．已知点 P 与点 Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而增大，求m 的取值范围．17．某企业设计了一款旅游纪念工艺品，每件的成本是60元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，当销售单价是100元/件时，每天的销售量是80件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出4件，但要求销售单价不得低于成本．(1)写出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式．(2)求出当销售单价定为多少元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？18．在复习过程中，小明从“函数视角”21x+初步探究x……3-2-1-0123……21x+……105m12510……（1）表中m=；（22117x+x=．探究发现若令21=+x，该式的值y都是唯一确定的，因此y是x的y x函数．（3）请你写出该函数具有的两条性质（4）若2-+，则y有最值（填“大”或“小”），此时x=．489y x x探究应用如图，甲船位于海平面的点A处，乙船位于甲船正东26千米的B处．现在甲、乙两船分别从A，B两处同时出发，甲船以12千米/小时的速度朝正北方向行驶，乙船以5千米/小时的速度朝正西方向行驶．行驶了x小时后，甲船到达A'点，乙船到达B'点．试求x为何值时，两船距离最近，最近距离是多少？。

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二次函数之最值问题研究
成都市天府新区籍田中学吴磊
【教学目标】建立二次函数数学模型，并用数学模型求最值；
【教学重点】根据题意建立数学模型运用适当的数学思想方法解决问题；
【教学难点】建立二次函数的数学模型，运用数学思想方法解决问题；
一、知识回顾
求最值问题的基本解题步骤：
1．审题．读懂问题，分析问题各个量之间的关系；
2．列数学表达式．用数学方法表示它们之间的关系，即建立二次函数关系式；
3．求值．利用顶点坐标公式24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
（对称轴法）或配方法求得最值；对称轴法：（1）把2b x a
=-
代入2y ax bx c =++即可求出其最值；（2）自变量不能够取得2b x a
=-时， ①当0a >时，离对称轴越远函数值越大，离对称轴越近，函数值越小； ②当0a <时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近，函数值越大. 配方法：将二次函数2y ax bx c =++转化为2()y a x h k =-+的形式，对称轴为x h =． (1)当0a >时，y 有最小值，即当x =h 时，=y k 最小值；
(2)当0a <时，y 有最大值，即当x =h 时，=y k 最大值．
4．检验．检验结果的合理性．（函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围）
二、分类问题处理:
第一类常规求最值问题
【例1】（1）抛物线y=23
x 2－4x ＋21的最小值是（） A.21 B.－21 C. 15 D.－15 （2）二次函数281y x x k =++-的最小值是5，则k 的值是（）
A.22 B －22 C.21 D.－21
〖变式训练〗
（1）抛物线21432
y x x =--+的最大值是（） A.3 B.－3 C. -11 D.11 （2）抛物线24y x ax =--的最大值是（）
A.24a
B.2
4a - C.4 D.-4
第二类含自变量取值限制的求最值问题
【例2】（1）二次函数245y x x =-++，求当61x -≤≤的最值。

练习：1、二次函数2614y x x =--，求当19x -≤≤的最值。

2.二次函数2229y x x =---上有三个点A 111,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B 225,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、C 37,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则123y y 、、y 的大小关系是；
第三类实际应用下的最值问题研究
【例3】家惠商场服装部为促进营销、吸引顾客，决定试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，试销过程中发现，销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在如图所示的一次函数关系。

（1）求y 关于x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；
（2）求试销期间该服装部销售该品牌服装获得利润W （元）与销售单价x （元）的函数关系式；销售单价定为多少元时，服装部可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）如果在试销期间该服装部想要获得500元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（4）若在试销期间该服装部获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的取值范围。

y/
三、自我挑战：已知二次函数1422-++=a ax ax y ，当14≤≤-x 时，y 的最大值为5，则实数a 的值为
四、谈谈你的收获：
五、课后作业
1、二次函数1542--=x x y 上有三个点A （1,29y -）、B （2,23y ）、C （3,2
15y -），则1y 、2y 、3y 的大小关系为
2、已知抛物线23
12+-=x y ，当51≤≤x 时，y 的最大值是 3、已知二次函数542++-=x x y ，其中32≤≤-x ，y 的最值是 4、为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
评课：1、这节课应由图贯穿始终，体现数形结合的思想，其实就是应该看图说话
2、选题应该看此题可能在试卷哪里可以放得下
、 3 、要借题讲方法（1）数据信息藏在题中的问题是函数背景还是方程背景
（2）找函数背景的共性，找套路
教学反思：
二次函数探究题是中考的重点和热点，用二次函数求解最大利润问题是其典型代表，是中考中B卷第26题常考的话题。

这次选用的例题，就该班学生的学情来说，函数背景较为清楚和简单，学生能比较容易的列出函数关系式。

但在求最大利润的过程中，最大利润在何时取到是该题考查的一个重点之一。

为了让学生更好的解决这个问题，所以，在例一和例二都设计了二次函数求最值的问题。

本以为同学们在这基础上解决好例三应该不存在问题，但是在巡视的过程中，发现依然有同学在取值的过程中犯错，虽然通过同学们的纠正后改正，但这也成为了我的困惑：为什么这种错误常讲常犯？听了谭老师点评后，受益匪浅，其实就是要让学生动手画图，就是让学生会看图说话。

反思自己，这一类题让学生看图说话的引导的确做的还不够。

包括例三最后一个问，表面上看是解一元二次不等式，这是初中阶段学生不能完成的问题，但是通过数形结合，就能很轻松地解决出来。

但是同学们“舍不得”动手画图，没有将函数关系式与其图像结合起来，做起来就显得比较吃力。

另外，在对二次函数求最值时，同学们最喜欢用的是配方法，其实，配方法相对较难，而且如果有分数还容易错，可以考虑用公式法，或者带对称轴进行计算。