2017届高三数学一轮复习数系的扩充与复数的引入基丛点练理

第十二篇复数、算法、推理与证明(必修3、选修22)
第1节数系的扩充与复数的引入
基础对点练(时间:30分钟)
1.(2016资阳模拟)复数m2-1+(m+1)i是纯虚数,则实数m的值为( B )
(A)-1 (B)1 (C)±1 (D)±2
解析:若复数m2-1+(m+1)i是纯虚数,则m2-1=0且m+1≠0,解得m=1.
2.(2016重庆模拟)在复平面内,复数i·(1-i)对应的点位于( A )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:因为i·(1-i)=1+i,所以复数i·(1-i)对应的点的坐标为(1,1),显然位于第一象限.
3.(2016绵阳模拟)已知i是虚数单位,则等于( D )
(A)-1+i (B)-1-i
(C)1+i (D)1-i
解析:====1-i.
4.(2016宿州模拟)设i为虚数单位,若=b-i(a,b∈R),则a+b等于( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:因为=b-i(a,b∈R),
所以a+2i=bi+1,
所以a=1,b=2,
所以a+b=3.
5.(2015高考广东卷)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则等于( A )
(A)2-3i (B)2+3i (C)3+2i (D)3-2i
解析:因为i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i,
所以=2-3i,故选A.
6.(2015高考四川卷)设i是虚数单位,则复数i3-等于( C )
(A)-i (B)-3i (C)i (D)3i
解析:i3-=-i+2i=i.
故选C.
7.(2015高考新课标全国卷Ⅱ)若a为实数,且=3+i,则a等于( D )
(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4
解析:因为=3+i,所以2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,
又a∈R,所以a=4.
8.(2015高考湖南卷)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于( D )
(A)1+i (B)1-i
(C)-1+i (D)-1-i
解析:z===-i(1-i)=-1-i,故选D.
9.(2015高考安徽卷)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)等于( C )
(A)3+3i (B)-1+3i (C)3+i (D)-1+i
解析:(1-i)(1+2i)=1+i-2i2=3+i.故选C.
10.(2016岳阳模拟)已知集合M={x|x=a+(a2-1)i}(a∈R,i是虚数单位),若M⊆R,则a等于( C )
(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)0
解析:集合M={x|x=a+(a2-1)i}(a∈R,i是虚数单位),若M⊆R,可知复数x=a+(a2-1)i是实数,所以a2-1=0,解得a=±1.
11.(2016茂名模拟)复数1-(i为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标是( B )
(A)(1,1) (B)(1,-1) (C)(-1,1) (D)(-1,-1)
解析:因为复数1-=1+=1-i,在复平面上对应的点的坐标为(1,-1).
12.(2016黄冈模拟)是z的共轭复数,若z+=3,z-=3i(i为虚数单位),z的实部与虚部之和为( B )
(A)0 (B)3 (C)-3 (D)2
解析:设z=a+bi(a,b∈R),由z+=3,z-=3i,得
所以a=b=.
所以a+b=3.
13.(2016资阳诊断)在复平面内,复数1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为A,B,则线段AB的中点C对应的复数为( D )
(A)-4+2i (B)4-2i
(C)-2+i (D)2-i
解析:因为(1+i)(2-i)=3+i,所以A的坐标为(1,-3),B的坐标为(3,1),线段AB的中点C的坐标为(2,-1),
所以线段AB的中点C对应的复数为2-i.
14.(2016烟台模拟)设i是虚数单位,a∈R,若是一个纯虚数,则实数a的值为( C )
(A)- (B)-1 (C) (D)1
解析:==.
因为复数是纯虚数,所以解得a=.
15.(2015高考北京卷)复数i(1+i)的实部为.
解析:i(1+i)=i+i2=-1+i,所以实部为-1.
答案:-1
16.(2015高考天津卷)i是虚数单位,计算的结果为.
解析:===-i.
答案:-i
17.(2016龙岩模拟)已知a,b∈R,i为虚数单位,若a-i=2+bi,则a+b= .
解析:因为a-i=2+bi,所以a=2,-1=b,
所以a+b=2-1=1.
答案:1
18.(2016盐城模拟)已知复数z=(2-i)(1+3i),其中i是虚数单位,则复数z在复平面上对应的点位于第象限.
解析:复数z=(2-i)(1+3i)=5+5i,
复数z在复平面上对应的点(5,5)位于第一象限.
答案:一
19.(2016厦门模拟)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若复数z=3-i,则z·= .
解析:由z=3-i,得z·=|z|2=()2=10.
答案:10
20.(2016宁德模拟)复数z=(i是虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为.
解析:复数z==-i(1+i)=1-i.复数z=(i是虚数单位)在复平面上对应的点(1,-1)到原点的距离为.
答案:
能力提升练(时间:15分钟)
21.(2014高考浙江卷)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( A )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:当“a=b=1”时,“(a+bi)2=(1+i)2=2i”成立,
故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分条件;
当“(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i”时,“a=b=1”或“a=b=-1”,
故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的不必要条件;
综上所述,“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.
22.(2016钦州模拟)若复数(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为( B )
(A)-3 (B)3 (C)-6 (D)6
解析:因为==是纯虚数,所以a-3=0,a+3≠0,所以a=3.
23.在复平面内,复数z=(-1)+(2x-1)i的对应点位于第二象限,则实数x的范围是( C )
(A)(1,+∞) (B)(-∞,0)
(C)(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)
解析:因为复数z=(-1)+ (2x-1)i的对应点位于第二象限,
则解得0<x<1.
所以实数x的范围是(0,1).
24.(2016福州模拟)已知a,b∈R,i为虚数单位,若a-i=2+bi,则(a+bi)2= .
解析:由a-i=2+bi,得a=2,b=-1,所以(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.
答案:3-4i
25.(2016包头校级模拟)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,且z1=2+i,则= .
解析:因为复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,且z1=2+i,所以z2=-2+i,
所以=
=
=
=-+i,
所以==1.
答案:1
精彩5分钟
1.定义:z2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义,则复数-3+4i的平方根是( B )
(A)1-2i或-1+2i (B)1+2i或-1-2i
(C)-7-24i (D)7+24i
解题关键:利用复数相等的充要条件求解.
解析:设(x+yi)2=-3+4i,则
解得或
2.(2016黄山模拟)“复数(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是
“a<-1”的( B )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
解题关键:根据复数的几何意义先求出点位于第二象限时a的取值范围,再作出判断.
解析:复数==.因为复数(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限,所以解得a<-.所以“复数(a∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限”是“a<-1”的必要不充分条件.故选B.
【教师备用】 (2016泰安校级期中)定义运算 a bc d=ad-bc,若复数x=,y=4i
3-xi1+i x+i,则y= .
解题关键:理解新运算的含义.
解析:x==
=
=-i,
y=
=4xi-4-(3+3i-xi+x) =5xi-7-3i-x=-5.
答案:-5。