概率统计
概率统计公式大全
2° ,
3° ,
4° 。
（3）
离散与连续型随机变量的关系
积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
（4）
分布函数
设 为随机变量， 是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（–∞，x]的概率。
直接判断，充要条件：
①联合概率密度函数可分离变量。
②正概率密度区间为矩形。
二维正
态分布
其中 是5个参数
随机变量
的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）
事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）f(x,y)≥0;
（2）
（2）
二维随机变量的本质
（3）
联合分布函数
设（X，Y）为二维随机向量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
概率与统计的基本概念及计算方法
概率与统计的基本概念及计算方法概率与统计是数学中的两个重要分支，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
概率与统计的基本概念及计算方法是我们理解和运用这两个概念的基础。
本文将从概率与统计的基本概念入手，深入探讨其计算方法，并结合实际案例进行说明。
一、概率的基本概念概率是研究随机现象的可能性的数学工具。
它描述了某一事件发生的可能性大小。
概率的基本概念包括样本空间、事件和概率的定义。
样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。
例如，掷一枚骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
事件是样本空间的一个子集，它表示我们感兴趣的结果。
例如，掷一枚骰子得到奇数的事件可以表示为{1, 3, 5}。
概率的定义是指一个事件发生的可能性大小，它的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
计算概率的方法有频率法和古典概型法。
频率法是通过实验的频率来估计概率。
例如，我们可以通过多次掷骰子的实验，统计出掷出奇数的频率，从而估计出掷出奇数的概率。
古典概型法是指在样本空间中，每个结果发生的可能性相等。
例如，掷一枚均匀的骰子，每个数字出现的可能性相等，所以每个数字的概率为1/6。
二、统计的基本概念统计是研究数据的收集、分析和解释的一门学科。
它通过对一定数量的数据进行分析，推断出总体的特征。
统计的基本概念包括总体和样本、参数和统计量、抽样和抽样误差。
总体是指研究对象的全体，它包含了我们感兴趣的所有个体。
例如，我们想研究全国人口的平均身高，那么全国所有人口就是我们的总体。
样本是从总体中选取的一部分个体，它是总体的一个子集。
参数是用来描述总体特征的数值，例如总体的平均值、方差等。
统计量是用来描述样本特征的数值，例如样本的平均值、方差等。
抽样是从总体中选取样本的过程。
为了保证抽样的公正性和代表性，我们通常采用随机抽样的方法。
抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
由于样本是从总体中选取的一部分，所以样本统计量与总体参数之间存在一定的误差。
概率与统计知识点总结
概率与统计知识点总结一、概率的基本概念概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛硬币，正面朝上的概率是 05，意思是在大量重复抛硬币的实验中，正面朝上的次数大约占总次数的一半。
随机事件，就是在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷骰子得到的点数就是随机事件。
必然事件，就是在一定条件下必然会发生的事件。
比如太阳从东方升起，这就是必然事件。
不可能事件，就是在一定条件下不可能发生的事件。
比如在地球上，水往高处流就是不可能事件。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。
二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。
它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
计算古典概型中事件 A 的概率公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率，基本事件总数是 8（5 个红球＋ 3 个白球），红球的个数是 5，所以摸到红球的概率就是 5/8。
三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。
比如在一个时间段内等可能地到达某一地点，或者在一个区域内等可能地取点。
几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
举个例子，在区间0, 10中随机取一个数，这个数小于 5 的概率就是 5/10 ＝ 05。
四、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
记事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率为 P(A|B)。
计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
比如说，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。
统计概率知识点梳理总结
统计概率知识点梳理总结统计概率是统计学中非常重要的一个分支，它研究随机现象的概率规律，为我们处理不确定性的问题提供了一种方法。
在统计概率的学习中，有一些基本概念和方法是必须掌握的。
本文将对统计概率的相关知识进行梳理总结，包括概率基本概念、概率分布、概率密度函数、概率函数、随机变量、概率质量函数、期望、方差等内容。
1.概率基本概念概率是一个介于0-1之间的数，用来度量一个事件发生的可能性。
概率的基本概念包括样本空间、随机事件、事件的概率、事件的互斥和事件的独立性等。
样本空间是指试验中所有可能结果的集合，随机事件是指样本空间中的一个子集，事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
事件的互斥指两个事件不可能同时发生，事件的独立性指两个事件之间的发生没有关系。
2.概率分布概率分布是描述随机变量所有可能取值及其对应概率的分布情况。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
离散型概率分布是指随机变量只能取其中的一个值的概率分布，如伯努利分布和泊松分布；连续型概率分布是指随机变量可以取任意实数值的概率分布，如正态分布和指数分布。
3.概率密度函数概率密度函数是描述连续型随机变量的概率分布的函数，用f(x)表示。
概率密度函数具有非负性、非减性和归一性等性质。
通过概率密度函数可以计算随机变量在其中一区间内取值的概率。
4.概率函数概率函数是描述离散型随机变量的概率分布的函数，它给出了随机变量取各个值的概率。
概率函数具有非负性和归一性等性质。
通过概率函数可以计算随机变量取一些特定值的概率。
5.随机变量随机变量是一个实数值函数，它的取值是试验结果的函数。
随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量通常用字母大写表示，如X；连续型随机变量通常用字母小写表示，如x。
随机变量可以有多种数学表达方式，如分布函数、概率密度函数和概率函数等。
6.概率质量函数概率质量函数是描述离散型随机变量的概率分布的函数，用p(x)表示。
概率统计公式(大全)
.
资料
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
ba
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他，
均匀分布
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
x
F (x) f (x)dx
。
（2） 连续型随 机变量的 分布密度
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 ,
的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
（5） 八大分布
二项分布 即 B(n,p)
P( X
k)
Pn(k )
C
k n
p k q nk
，
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
其中
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
（3） 重复排列和非重复排列（有序）
一 些 常 见 对立事件（至少有一个）
排列
顺序问题
（4） 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，
随 机 试 验 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试
概率统计公式大全
a≤x≤b
0，x<a，
1，x>b。
当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（ ）内的概率为
。
指数分布
,
0, ,
其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。
X的分布函数为
,
x<0。
记住积分公式：
正态分布
设随机变量 的密度函数为
， ，
其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1） ， ， （2） 。
（2）
连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有
，
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）f(x,y)≥0;
（2）
（2）
二维随机变量的本质
（3）
联合分布函数
设（X，Y）为二维随机向量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。联合分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：
（8）二维均匀分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。
例如图3.1、图3.2和图3.3。
y
1
D1
O1x
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2Fx,y分别对x和y是非减的,即
当x2>x1时,有Fx2,y≥Fx1,y;当y2>y1时,有Fx,y2≥Fx,y1;
3Fx,y分别对x和y是右连续的,即
4
5对于
.
4
离散型与连续型的关系
5
边缘分布密度
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
;
连续型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
6
条件分布
离散型
在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为
均匀分布
设随机变量 的值只落在a,b内,其密度函数 在a,b上为常数 ,即
a≤x≤b
其他,
则称随机变量 在a,b上服从均匀分布,记为X~Ua,b;
分布函数为
a≤x≤b
0,x<a,
1,x>b;
当a≤x1<x2≤b时,X落在区间 内的概率为
;
指数分布
,
0, ,
其中 ,则称随机变量X服从参数为 的指数分布;
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2的F分布,记为F～fn1, n2.
第四章 随机变量的数字特征
1
一维随机变量的数字特征
离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变量,其分布律为P ＝pk,k=1,2,…,n,
要求绝对收敛
设X是连续型随机变量,其概率密度为fx,
要求绝对收敛
对于连续型随机变量, ;
5
八大分布
0-1分布
即B1,p
PX=1=p, PX=0=q
二项分布
即Bn,p
在 重贝努里试验中,设事件 发生的概率为 ;事件 发生的次数是随机变量,设为 ,则 可能取值为 ;
统计概率知识点归纳总结大全
统计概率知识点归纳总结大全统计概率是数学中的一个重要分支，它是一门研究数据收集、分析、解释和预测的学科。
在我们的日常生活中，统计概率也是不可避免的。
在我们购买彩票、浏览社交媒体的统计数据、选举、医学实验中的分析等方面，统计学都在起着重要的作用。
下面我们就来对统计概率的知识点进行归纳总结。
一、基本概念1. 概率是指某一事件发生的可能性大小，通常表示为P。
2. 样本空间是指所有可能的结果构成的集合，一般用S表示。
3. 事件是指样本空间S的子集，即可能发生的结果的集合。
4. 随机变量是指样本空间S中的元素与实数集之间的一个函数。
5. 概率分布是指随机变量每个可能取值的概率。
二、概率公式1. 概率加法规则：P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)，其中A 且B是指A和B同时发生的概率。
2. 概率乘法规则：P(A且B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)是指在A发生的前提下，B发生的概率。
3. 贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)，其中P(A|B)是指在B发生的前提下，A发生的概率。
4. 全概率公式：P(A) = ∑ P(A|B_k) × P(B_k)，其中B_k是划分样本空间的一组事件。
三、概率分布1. 离散型随机变量的概率分布：P(X=x_i) = p_i，其中X为随机变量，x_i为可能取值，p_i为取值为x_i的概率。
2. 离散型随机变量的期望：E(X) = ∑ x_i × p_i，其中x_i为可能取值，p_i为取值为x_i的概率。
3. 连续型随机变量的概率密度函数：f(x)，其中f(x)为概率密度函数的值，表示X落在一个x到(x+dx)的范围内的概率为f(x) × dx。
4. 连续型随机变量的期望：E(X) = ∫ x × f(x)dx。
5. 方差： Var(X) = E(X²) - [E(X)]²。
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1.(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
2.(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
3.(2018·广州模拟)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． (1)求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数 受年入流量X 限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
4.[典例] (2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X 的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产
过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x ＝116∑i ＝1
16
xi ＝9.97，s ＝
116∑i ＝1
16
－x
＝
116⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫∑i ＝116x2i －16x 2≈0.212，其中xi 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2，…，16. 用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^
)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．
附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.
5.(2018福州质检)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －
，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)． ①利用该正态分布，求P(87.8<Z<112.2)；
②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X 表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：150≈12.2，若Z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 5.
6.[典例] (2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种 的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如右图： 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．。