2017版高考数学一轮总复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及坐标运算模拟创新题
高三数学一轮复习课件--平面向量、数系的扩充与复数的引入
平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 第四节 数系的扩充与复数的引入
平面向量、数系的扩充与复数的引入
[知识能否忆起] 一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向 的量叫向量；向量的 大小叫做向量的 模 ． 2．零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于 1个单位 的向量． 4．平行向量：方向相同或 相反 的非零向量，又 叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向 相同 的向量． 6．相反向量：长度相等且方向 相反 的向量．
二、向量的线性运算
向量 运算
定义
法则(或几何意 义)
运算律
(1)交换律：a
加法
1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝ |a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行 且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(
)A．0
B．1
C．2
D．3
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相 同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行， 则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反 向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命 题的个数是3. 答案：D
得b＝λa .
[小题能否全取]
1．下列命题正确的是
()
A．不平行的向量一定不相等
B．平面内的单位向量有且仅有一个
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向
相同的向量
D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反
解析：对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于
高考数学一轮复习第五章平面向量、数系的扩充、复数的引入5.1平面向量的概念及线性运算课件文新人教B版
a-b=a+(-b)
λ(μa)= λμa ; (λ+μ)a= λa+μa ; λ(a+b)= λa+λb
-8知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3
3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使 得 b=λa .
-9知识梳理 双打“√”,错误的打“×”. (1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量. ( )
1.向量常用有向线段表示,但向量与有向线段是两个不同的概念, 有向线段由起点、终点唯一确定,而向量是由大小和方向来确定的. 向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 2.两个向量共线与共线向量不同,零向量的方向是任意的,它与任 何向量都平行(共线).而只有方向相同或相反的两个非零向量才是 共线向量. 3.向量共线与线段共线不同,前者可以不在同一条直线上,而后者 必须在同一条直线上.同样,两个平行向量与两条平行直线也是不 同的,因为两个平行向量可以移到同一直线上,而两条平行直线不 能平移到同一直线上.
名称 相等 向量 相反 向量
定
义
备注 如������������=a 记作-a
的有向线段表示同一向 同向且等长 量,或相等的向量 与向量 a 反向 反向量 且等长的向量,叫做 a 的相
-6知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运 算 律 (1)交换律:a+b = b+a (2)结合律: (a+b)+c = a+(b+c)
关闭
D
解析
答案
-12知识梳理 双基自测 自测点评
1 2 3 4
高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算课件
B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－b.]
5．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝ ________. 【导学号：51062134】
－13 [由已知得 a＋λb＝－k(b－3a)，
∴λ3＝k＝－1k，，
得 λ＝－13， k＝13.
]
平面向量的有关概念
给出下列六个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ②若A→B＝D→C，则 ABCD 为平行四边形； ③若 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线； ⑤λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零； ⑥a，b 为非零向量，a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中假命题的序号为________．
3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得_b_＝__λ_a_.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( )
(3)a∥b 是 a＝λb(λ∈R)的充要条件．( )
抓
基
础
·的扩充与复数的引入
学
课
习
时
第一节 平面向量的概念及线性运算
分 层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
1．向量的有关概念 (1) 向 量 ： 既 有 _大__小__ 又 有 _方_向___ 的 量 叫 做 向 量 ， 向 量 的 大 小 叫 做 向 量 的 _长_度__(或__模_)___． (2)零向量：__长_度__为_0____的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于__1_个_单__位____的向量． (4)平行向量：方向_相__同_或__相_反_____的非零向量．平行向量又叫_共__线_向__量____．规 定：0 与任一向量_平_行___． (5)相等向量：长度_相__等__且方向_相_同___的向量． (6)相反向量：长度_相_等___且方向_相_反___的向量．
大高考2017版高考数学一轮总复习平面向量数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及坐标运算课件理
→ → → → 解析 (1)设 AB 的中点为 D，由 5AM＝AB＋3AC，得 3AM－ → → → → → 3AC＝2AD－2AM，即 3CM＝2MD.如图所示，故 C，M，D 三 → 3→ 点共线，且MD＝ CD，也就是△ABM 与△ABC 对于边 AB 的 5 3 两高之比为 3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为5，选 C.
→ 【例 1】 (1)若点 M 是△ABC 所在平面内的一点， 且满足 5AM → → ＝AB＋3AC，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )
1 A.5 2 B.5 3 C.5 4 D.5
→ (2)(2015· 陕西西安二模)P 是△ABC 所在平面内一点，若CB＝ → → λPA ＋PB，其中 λ∈R，则 P 点一定在( ) A.△ABC 内部 C.AB 边所在直线上 B.AC 边所在直线上 D.BC 边所在直线上
【例 3】 (1)(2016· 广东揭阳模拟)设向量 a＝(1， 2)， b＝(2， 3)， 若向量 a－λb 与向量 c＝(－5，－6)共线，则 λ 的值为( )
4 A. 3
4 B. 13
4 C.－ D.4 9 (2)(2016· 甘肃嘉峪关一中模拟)已知向量 a＝(m，1－n)，b＝ 1 1 (1， 2)， 其中 m＞0， n＞0， 若 a∥b， 则m＋n的最小值是( ) A.2 2 C.4 2 B.3＋2 2 D.3＋ 2
4.两个向量共线定理
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ， 使得 b＝λa .
►一个易错点：忽视零向量的性质致误.
(1)[零向量的方向不确定， 所以在处理平行问题时， 一般规定零 向量与任何一个向量平行.在讨论两个向量共线时， 考生容易忽 视零向量.]下列叙述错误的是________(填序号). ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a 与 b 方向相同； ③向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使 得 b＝λa； ④若 λa＝λb，则 a＝b.
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入3平面向量的数量积与平面向量的应用课件新人教A版
1
2
-1 =-6.
(3)设 a,b 的夹角为 θ.∵|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),
2
∴a·
(a-b)=a2-a·
b=1-1× 2×cos θ=0,∴cos θ= ,
2
2
∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ= .
2
-24考点1
考点2
考点3
考点 2
但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立,
原因是a·b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等.
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于
a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一
当 α=2kπ,k∈Z 时,2cos α+4 取得最大值,最大值为 6.
故 ·的最大值为 6.
(方法 2)设 P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),
=(x+2,y), ·=2x+4,故 ·的最大值为 6.
-20考点1
考点2
考点3
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(2)已知点 P 在圆 x2+y2=1 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则 ·
6
的最大值为
.
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
如图所示,选取, 为基底,则 = + + = +
1
1
1
2017高考理科数学一轮复习课件：第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第1讲
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
求 a 与 b 的相
减法 反向量－b 的
a－b＝a＋(－b)
和的运算
(1)|λa|＝ |λ||a| ， 求实数 λ 与向 (2)当 λ>0 时，λa 与 a 的 λ(μa)＝ (λμ)a ；
数乘 量 a 的积的运 方向相同；当 λ<0 时，λa (λ＋μ)a＝λa＋μa；
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 三分。
平面向量的线性运算
(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设 D，E，F 分别为△ABC 的三
边 BC，CA，AB 的中点，则E→B＋F→C＝( C )
→ A.BC
B.12A→D
→ C.AD
1→ D.2BC
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 三分。
[解析] 如图，E→B＋F→C＝E→C＋C→B＋F→B＋B→C＝E→C＋F→B＝12(A→C ＋A→B)＝12·2A→D＝A→D.
算
与 a 的方向相反 ；当 λ λ(a＋b)＝ λa＋λb
＝0 时，λa＝ 0
3.共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa .
第十页，编辑于星期六：二十二点 三分。
A，P，B 三点共线⇔A→P＝λA→B(λ≠0)⇔O→P＝(1－t)·O→A＋tO→B(O 为 平面内异于 A，P，B 的任一点，t∈R)⇔ O→P＝xO→A＋yO→B (O 为 平面内异于 A，P，B 的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
第一页，编辑于星期六：二十二点 三分。
第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
知识点
考纲展示
平面向量的 1.了解向量的实际背景．
北师大版版高考数学一轮复习平面向量数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入教学案理解析版
[考纲传真] １．理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.２．了解复数的代数表示法及其几何意义.３．能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．１．复数的有关概念（１）复数的概念：形如a＋b i（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数．（２）复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．（３）共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝—d（a，b，c，d∈R）．（４）复数的模：向量错误!的模r叫做复数z＝a＋b i的模，即|z|＝|a＋b i|＝错误!.２．复数的几何意义复数z＝a＋b i错误!复平面内的点Z（a，b）错误!平面向量错误!＝（a，b）．３．复数的运算（１）复数的加、减、乘、除运算法则设z１＝a＋b i，z２＝c＋d i（a，b，c，d∈R），则１加法：z１＋z２＝（a＋b i）＋（c＋d i）＝（a＋c）＋（b＋d）i；２减法：z１—z２＝（a＋b i）—（c＋d i）＝（a—c）＋（b—d）i；３乘法：z１·z２＝（a＋b i）·（c＋d i）＝（ac—bd）＋（ad＋bc）i；４除法：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i（c＋d i≠0）．（２）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z１，z２，z３∈C，有z１＋z２＝z２＋z１，（z１＋z２）＋z＝z１＋（z２＋z３）．３错误!１．（１±i）２＝±２i；错误!＝i；错误!＝—i.２．i４n＝１，i４n＋１＝i，i４n＋２＝—１，i４n＋３＝—i（n∈N*）．３．z·错误!＝|z|２＝|错误!|２，|z１·z２|＝|z１|·|z２|，错误!＝错误!，|z n|＝|z|n.[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若a∈C，则a２≥0．（）（２）已知z＝a＋b i（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数．（）（３）复数z＝a＋b i（a，b∈R）的虚部为b i. （）（４）方程x２＋x＋１＝0没有解．[答案]（１）×（２）×（３）×（４）×２．（教材改编）设复数z满足错误!＝i，则|z|等于（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２A[错误!＝i，则z＝错误!＝i，∴|z|＝１．]３．设i是虚数单位，则复数错误!在复平面内所对应的点位于（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限B[∵错误!＝错误!＝错误!＝i—１，∴该复数对应的点（—１,１）位于第二象限．]４．（教材改编）在复平面内，向量错误!对应的复数是２＋i，向量错误!对应的复数是—１—３i，则向量错误!对应的复数是（）Ａ．１—２i Ｂ．—１＋２iＣ．３＋４i Ｄ．—３—４iD[∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!＝—１—３i—２—i＝—３—４i，故选Ｄ．]５．（教材改编）已知（１＋２i）错误!＝４＋３i，则z＝________.２＋i [由（１＋２i）错误!＝４＋３i得错误!＝错误!＝错误!＝２—i.∴z＝２＋i.]复数的有关概念１．（２0１9·福州四校联考）如果复数z＝错误!，则（）Ａ．z的共轭复数为１＋i Ｂ．z的实部为１Ｃ．|z|＝２Ｄ．z的实部为—１D[∵z＝错误!＝错误!＝错误!＝—１—i，∴z的实部为—１，故选Ｄ．]２．（２0１9·江西九校联考）设（１＋２i）x＝x＋y i，其中x，y是实数，i为虚数单位，则错误!＝（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由x＋２x i＝x＋y i，x，y∈R，则y＝２x，错误!＝|２＋i|＝错误!，故选Ｄ．]３．如果复数错误!是纯虚数，那么实数m等于（）Ａ．—１Ｂ．0Ｃ．0或１Ｄ．0或—１D[错误!＝错误!＝错误!，因为此复数为纯虚数，所以错误!解得m＝—１或0，故选Ｄ．] [规律方法] 解决复数概念问题的方法及注意事项（１）复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．（２）解题时一定要先看复数是否为a＋b i（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部．【例１】（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）错误!＝（）Ａ．—错误!—错误!iＢ．—错误!＋错误!iＣ．—错误!—错误!iＤ．—错误!＋错误!i（２）（２0１9·山西八校联考）已知a，b∈R，i为虚数单位，若３—４i３＝错误!，则a＋b等于（）Ａ．—9 Ｂ．５C．１３Ｄ．9（３）已知复数z满足：（z—i）（１＋２i）＝i３（其中i为虚数单位），则复数z的虚部等于（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）D（２）A（３）C[（１）错误!＝错误!＝—错误!＋错误!i，故选Ｄ．（２）由３—４i３＝错误!得，３＋４i＝错误!，即（a＋i）（３＋４i）＝２—b i，（３a—４）＋（４a ＋３）i ＝２—b i ，则错误!解得错误!故a ＋b ＝—9，故选Ａ．（３）z ＝错误!＋i ＝错误!＋i ＝错误!＋i ＝—错误!＋错误!i ，故选Ｃ．] [规律方法] 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．＝（ ）Ａ．１Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!（２）（２0１9·皖南八校联考）设i 是虚数单位，且i ２ 0１9＝错误!，则实数k ＝（ ） Ａ．２Ｂ．１ Ｃ．0 Ｄ．—１（１）B （２）C [（１）由已知，得z ＝错误!＋i ＝错误!＋i ＝错误!—错误!i ＋i ＝错误!—错误!i ，则错误!·z ＝|z |２＝错误!２＋错误!２＝错误!，故选Ｂ．（２）因为i ２ 0１9＝i ５0４×４＋３＝i ３＝—i ，所以—i ＝错误!，可得k ＋i ＝i —k ，∴k ＝0，故选Ｃ．]复数的几何意义【例２】 （１）（２0１8·北京高考）在复平面内复数错误!的共轭复数对应的点位于（ ） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限（２）在复平面内与复数z ＝错误!所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） Ａ．１＋iＢ．１—i Ｃ．—１—i Ｄ．—１＋i（３）若复数（１—i ）（a ＋i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．（—∞，１）Ｂ．（—∞，—１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（—１，＋∞）（１）D（２）B（３）B[（１）错误!＝错误!＋错误!，其共轭复数为错误!—错误!，对应点位于第四象限，故选Ｄ．（２）因为z＝错误!＝错误!＝i（１—i）＝１＋i，所以点A的坐标为（１，—１），其对应的复数为１—i.（３）因为复数（１—i）（a＋i）＝a＋１＋（１—a）i在复平面内对应的点在第二象限，所以错误!解得a＜—１．][规律方法] 对复数几何意义的理解及应用（１）复数z、复平面上的点Z及向量错误!相互联系，即z＝a＋b i（a，b∈R）⇔Z（a，b）⇔错误!.（２）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．（１）如图，在复平面内，复数z１，z２对应的向量分别是错误!，错误!，则复数z１·z２对应的点位于（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限（２）若复数z满足|z—i|≤错误!（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为________．（１）D（２）２π[（１）由已知错误!＝（—２，—１），错误!＝（0,１），所以z１＝—２—i，z２＝i，z１z２＝１—２i，它所对应的点为（１，—２），在第四象限．（２）设z＝x＋y i（x，y∈R），由|z—i|≤错误!得|x＋（y—１）i|≤错误!，所以错误!≤错误!，所以x２＋（y—１）２≤２，所以z在复平面内所对应的图形是以点（0,１）为圆心，以错误!为半径的圆及其内部，它的面积为２π.]１．（２0１8·全国卷Ⅰ）设z＝错误!＋２i，则|z|＝（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．错误!C[因为z＝错误!＋２i＝错误!＋２i＝—i＋２i＝i，所以|z|＝１，故选Ｃ．]２．（２0１8·全国卷Ⅲ）（１＋i）（２—i）＝（）Ａ．—３—i Ｂ．—３＋iＣ．３—i Ｄ．３＋iD[（１＋i）（２—i）＝２＋２i—i—i２＝３＋i.]３．（２0１7·全国卷Ⅲ）复平面内表示复数z＝i（—２＋i）的点位于（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限C[∵z＝i（—２＋i）＝—１—２i，∴复数z＝—１—２i所对应的复平面内的点为Z（—１，—２），位于第三象限．故选Ｃ．]４．（２0１6·全国卷Ⅰ）设（１＋i）x＝１＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２B[∵（１＋i）x＝１＋y i，∴x＋x i＝１＋y i.又∵x，y∈R，∴x＝１，y＝x＝１．∴|x＋y i|＝|１＋i|＝错误!，故选Ｂ．]５．（２0１6·全国卷Ⅲ）若z＝１＋２i，则错误!＝（）Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．i Ｄ．—iC[因为z＝１＋２i，则错误!＝１—２i，所以z错误!＝（１＋２i）（１—２i）＝５，则错误!＝错误!＝i.故选Ｃ．]6．（２0１6·全国卷Ⅱ）已知z＝（m＋３）＋（m—１）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）Ａ．（—３,１）Ｂ．（—１,３）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（—∞，—３）A[由题意知错误!即—３＜m＜１．故实数m的取值范围为（—３,１）．]。
高考数学一轮复习第五章 平面向量与复数
第五章 平面向量与复数1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景.②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.③理解向量的几何表示. (2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义. ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2.数系的扩充和复数的引入 (1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.(2)了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义.§5.1 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念 (1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________.(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的.(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________.－a|a |是一个与a ________的单位向量.(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量.平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量____________.(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量.(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量.(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示.2.向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1).推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝___________.图1 图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的__________就是a 与b 的和(如图2).在图2中，BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式.③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)；(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)； a ＋0＝____________＝a . (2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图).3.向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4.两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________.自查自纠：1.(1)大小 方向 长度 ||AB → (2)长度为0 任意(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2.(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b 3.(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4.b ＝λa如果a ，b 是两个单位向量，则a 与b 一定( )A.相等B.平行C.方向相同D.长度相等 解：|a |＝|b |＝1，故选D.如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝()A.0B.BE →C.AD →D.CF →解：BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，故选D.设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( ) A.a ＝－b B.a ∥bC.a ＝2bD.a ∥b 且|a |＝|b |解：由题意a |a |＝b|b |表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线.故选C.(2013·四川)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝__________.解：由向量加法的平行四边形法则得AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2.故填2.如图，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C在AB 上，OC ⊥AB ，用OA →和OB →来表示向量OC →，则OC →等于__________________.解：OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14(OB →－OA →)＝34OA →＋14OB →.故填34OA →＋14OB →.类型一 向量的基本概念下列五个命题：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ②向量a ≠b ，则a 与b 的方向必不相同； ③|a |＞|b |，则a ＞b ；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线；⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量一定是平行向量.其中正确的是( )A.①⑤B.④C.⑤D.②④解：温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错；a ≠b ，a 与b 的方向可以相同，②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，③错；正方形ABCD 中AB →与CD →共线，但A ，B ，C ，D 四点不共线，④错；作图易得⑤正确.故选C.点拨：(1)与向量相关的概念比较多，为了不致混淆，应牢记各概念的内涵与外延，紧紧抓住各概念的本质；(2)概念是学习新理论的基础，概念又衍生出公式、定理、性质、新概念甚至新理论体系，因此应重视对概念的学习；(3)课本上给出的概念(定义)都是非常准确、简洁的，熟记这些概念(定义)并逐步熟练应用是学习新知识的好习惯.给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||a ＝||b ，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确．．．的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5解：两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不一定有相同的起点和终点，故①不正确；||a ＝||b ，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确，正确的是④⑤.故选B.类型二 向量的线性运算(1)如图所示，下列结论正确的是()①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A.①②B.③④C.①③D.②④解：由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS →＝PT →＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误.故正确的为①③，故选C.(2)(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解：易知OA →＝OM →＋12CA →，OB →＝OM →＋12DB →，OC →＝OM →＋12AC →，OD →＝OM →＋12BD →，而CA →＝－AC →，DB →＝－BD →，∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D.点拨：向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础.对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握.(1)(2013·北京模拟)如图，在△ABC中，BD ＝2D C.若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A.23a ＋13bB.23a －13bC.13a ＋23bD.13a －23b 解：∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →，又∵AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .故选C.(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A .类型三 向量共线的充要条件及其应用 已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性. 若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，∴存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →)，∴OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝－m ＋1＋m＝1，即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(2)再证充分性. 若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →， ∴BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ， ∴A ，B ，C 三点共线.综合(1)(2)可知，原命题成立.点拨：证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合.注意：本例的结论可作定理使用.(1)如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911 B.511C.311 D.211解：注意到N ，P ，B 三点共线，因此我们有AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1⇒m ＝511.故选B.(2)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A.A ，B ，DB.A ，B ，CC.B ，C ，DD.A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线.故选A.(3)已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A.－1或3B. 3C.－1或4D.3或4解：∵向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，∴m a－3b ＝λ[]a ＋（2－m ）b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，－3＝λ（2－m ）.解得m ＝－1或m ＝3.故选A.1.准确理解向量的概念，请特别注意以下几点： (1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形； (2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/ a ＝±b ；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，向量的共线与向量的平行是一致的.2.向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合.向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.3.平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算，在学习的时候要注意它们的联系与区别.4.对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的； (2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线.因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件.1.下列命题中正确的是( ) A.若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB.若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bC.对于任意向量a ，b ，有|a ＋b |≥|a －b |D.对于任意向量a ，b ，有|a |＋|b |≥|a ＋b | 解：对于选项A ，若b ＝0，结论不一定成立，A 错；对于选项B ，模相等方向不一定相同或相反，B 错；对于选项C ，若非零向量a 与b 方向相反，则|a ＋b |＜|a －b |，C 错；D 正确.故选D.2.(2014·武汉调研)如图所示的方格纸中，有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝()A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →解：如图，取点M ，由向量加法的平行四边形法则有OP →＋OQ →＝OM →＝FO →，故选C.3.已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB→＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A.点M 在线段AB 上B.点B 在线段AM 上C.点A 在线段BM 上D.O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，∴点B 在线段AM 上.故选B.4.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a, AC →＝b ，则AD →＝()A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b解：连接OD ，CD ，显然∠BOD ＝∠CAO ＝60°，则AC ∥OD ，且AC ＝OD ，即四边形CAOD 为菱形，故AD →＝AO →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.5.(2013·湖北八校联考)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A.平行且方向相反B.平行且方向相同C.互相垂直D.既不平行也不垂直解：由题意得AD →＝AE →＋ED →＝13AC →＋23AB →，BE →＝BD →＋DE →＝13BC →＋23BA →，CF →＝CD →＋DF →＝23CB →＋13CA →，则AD →＋BE →＋CF →＝－13BC →.故选A.6.△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 解：∵CD 为∠ACB 的角平分线，∴BD AD ＝BC AC ＝12，∵AB →＝CB →－CA →＝a －b ，∴AD →＝23AB →＝23a －23b ，∴CD →＝CA →＋AD →＝b ＋23a －23b ＝23a ＋13b ，故选B.7.如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝______.解：由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →.又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.故填12.8.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP→|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →－OA →＝AD→⇒AP →＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1，故填1.9.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a ＋(－b )＋12a＝14a －b .10.在△ABC 中，设D 为边BC 的中点，求证：3AB →＋2BC →＋CA →＝2AD →.证明：∵D 为BC 的中点， ∴AB →＋AC →＝2AD →.左边＝3AB →＋2BC →＋CA →＝AB →＋2(AB →＋BC →)＋CA →＝AB →＋2AC →＋CA →＝AB →＋AC →＝2AD →＝右边，得证.11.已知线段AB 和AB 外一点O ，求证：(1)若M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)；(2)若AP →＝tAB →(t ∈R )，则OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.证明：(1)如图甲，由三角形法则可得OA →＋AM →＝OM →，OB →＋BM →＝OM →，图甲∴OA →＋OB →＋AM →＋BM →＝2 OM →. ∵M 是AB 的中点， ∴BM →＝－MB →＝－AM →， ∴AM →＋BM →＝0.于是OA →＋OB →＝2OM →，故OM →＝12(OA →＋OB →).(2)如图乙，∵AP →＝tAB →，图乙∴OP →＝OA →＋AP → ＝OA →＋tAB → ＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A.C 可能是线段AB 的中点B.D 可能是线段AB 的中点C.C ，D 可能同时在线段AB 上D.C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB→(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C 选项错误；对于选项D ，若C ，D同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确.故选D.§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________.2.向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图).(2)向量夹角θ的范围是_______________.a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________.3.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解.(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示.与a 相等的向量的坐标也为________.显然，i ＝______， j ＝______，0＝______.4.平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝________________________.(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________. (4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________.※5.线段的分点坐标设点P 是线段P 1P 2上的一点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y ).当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 特别地：①当λ＝1时，点P 为线段P 1P 2的中点，其坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.②G (x ，y )为△ABC 的重心，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则AB 中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.再由CG →＝2GD →，我们便得到了三角形的重心坐标G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33).自查自纠：1.a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2.(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3.(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4.(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0(2013·辽宁)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解：AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.故选A.如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么以下表述正确的是( )A.若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B.空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数C.对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解：依平面向量基本定理，选项B ，C ，D 都错，只有A 的表述是正确的，故选A.已知点A (－1，1)，点B (2，y )，向量a ＝(1，2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A.5B.6C.7D.8解：AB →＝(3，y －1)，a ＝(1，2)，AB →∥a ，则2×3＝1×(y －1)，解得y ＝7，故选C.(2014·广东)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝________.解：易知b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1).故填(2，－1).(2013·北京模拟)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，1)，c ＝(3，2).若向量c 与向量k a ＋b 共线，则实数k ＝________.解：k a ＋b ＝k (1，3)＋(－2，1)＝(k －2，3k ＋1)，因为向量c 与向量k a ＋b 共线，所以2(k －2)－3(3k ＋1)＝0，解得k ＝－1.故填－1.类型一 向量共线充要条件的坐标表示(1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )A.－2B.－13C.－1D.－23解：λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，∴(λ＋2)×(－2)－2λ×1＝0，∴λ＝－1，故选C.(2)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，m )，若2a －b 与a ＋3b 共线，则m ＝ ____________.解：2a －b ＝(5，2－m )，a ＋3b ＝(6，1＋3m )，由2a －b 与a ＋3b 共线得5(1＋3m )－6(2－m )＝0，解得m ＝13.故填13.点拨：此类题目在近几年高考中多次出现，既考查了向量的线性运算及向量的坐标表示，又考查了学生对向量共线充要条件的理解及计算能力.解决此类题目，我们只需要牢记向量共线充要条件的坐标表示形式：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0即可.(1)(2013·陕西)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A.－ 2B. 2C.－2或 2D.0解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，∴m ＝±2.故选C.(2)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4).若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C.1 D.2 解：因为a ＋λb ＝(1，2)＋λ(1，0)＝(1＋λ，2)，又∵(a ＋λb )∥c ，∴(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.故选B.类型二 平面向量基本定理及其应用 (1)设e 1，e 2是相互垂直的单位向量，e 1绕起点沿逆时针方向旋转90°到e 2.设向量v 的模|v |＝r ，e 1绕原点旋转到v 的方向所成的角为α.则v 在基e 1，e 2下的坐标为________.解：如图示，在平面上建立直角坐标系，O 是原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴正方向，e 1，e 2的模为单位长.设v ＝OP →，则v 的坐标就是点P 的坐标 (x ，y ).|OP |＝r ，α＝∠xOP.当r ＞0时，由三角函数定义知cos α＝x r ，sin α＝y r，从而x ＝r cos α，y ＝r sin α.v ＝OP →＝(r cos α，r sin α)，当r ＝0时显然也成立.故填(r cos α，r sin α).(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45bC.－25a ＋45bD.－25a －45b解：设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →.而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ，DH →＝μDE →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b .因此，μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a . 由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ. 解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝25. 故AH →＝λAF →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .故选B.点拨：①平面上任意一个向量v 可分解为不共线向量e 1，e 2的线性组合：v ＝x e 1＋y e 2，若向量u ＝a e 1＋b e 2与v ＝x e 1＋y e 2相等，则对应系数相等，即a ＝x 且b ＝y ，一个平面向量方程相当于两个普通方程.②若e 1，e 2是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，简单地说，就是平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一.特别地，当a ＝0即λ1e 1＋λ2e 2＝0时，必有λ1＝λ2＝0.③此题利用的是“基底方式”，即用a ，b 作为基底，选择两个参数λ，μ，然后将同一向量DH →作两种表示，由平面向量基本定理知系数对应相等，即可得关于λ，μ的方程组.应注意这种题型及相应的解法，它在近几年各地模拟题中频繁出现.(1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)解：选项A ，C ，D 中，e 1与e 2共线，故不存在实数λ，μ使得a ＝λe 1＋μe 2；选项B 中，e 1与e 2不共线，设存在实数λ，μ使得(3，2)＝λ(－1，2)＋μ(5，－2)，解得λ＝2，μ＝1，∴a ＝2e 1＋e 2.故选B.(2)(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示.若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12. 所以λμ＝4.故填4.类型三 求向量的坐标设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A.(2，6)B.(－2，6)C.(2，－6)D.(－2，－6)解：设d ＝(x ，y ).因为4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)，依题意，有4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6.故选D.点拨：将三角形法则推广后，便可得：在如图所示的n 边形A 0A 1…A n 中，有A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n＝A 0A n →，A 0A 1→＋A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＋A n A 0→＝0.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝( )A.(2，4)B.(3，5)C.(－3，－5)D.(－2，－4) 解：如图，BD →＝BC →＋CD →＝(AC →－AB →)＋BA →＝AC →＋2BA →＝(1，3)＋2(－2，－4)＝(－3，－5).故选C.1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础.(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸.(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0.2.向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标.两个向量相等，当且仅当其坐标相同.1.(2014·北京)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( )A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9) 解：2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).故选A .2.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )A.a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B.a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C.a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D.a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底.故选B.3.在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ，B ，C所对的边，S 为△ABC 的面积.若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，且满足p ∥q ，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 解：由p ∥q 得4S ＝3(a 2＋b 2－c 2)＝2ab sin C ，结合余弦定理得tan C ＝3，C ＝π3.故选B.4.(2014·安徽六校联考)“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2，1)与向量b ＝(2，2－x )共线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解：由向量a 与b 共线得(x ＋2)(2－x )－2＝0，∴x ＝±2，∴“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2，1)与向量b ＝(2，2－x )共线”的充分不必要条件.故选A .5.(2013·北京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值是( )A.3，1B.1, 3C.－1, 3D.－3，1 解：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.依题意，OC →＝(λ，μ)，λ＝|OC |cos 5π6＝－3，μ＝|OC |sin 5π6＝1.故选D.6.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A.若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B.a ⊙b ＝b ⊙aC.对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D.(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解：若a 与b 共线，则有a ⊙b ＝0，故A 正确；因为b ⊙a ＝pn －qm ，而a ⊙b ＝mq －np ，所以a ⊙b ≠b ⊙a ，故B 错误，易验证C ，D 皆正确.故选B.7.(2014·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝____________.解：a ∥b ⇔sin2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ，tan θ＝12.故填12.8.(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23B C.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____________.解：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＋λ2＝12.故填12.9.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(5，－3)，OC →＝(4－m ，m ＋2)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足什么条件？解：AB →＝OB →－OA →＝(2，1)，AC →＝OC →－OA →＝(1－m ，m ＋6)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则A ，B ，C三点不共线.当A ，B ，C 三点共线时，AB →＝λAC →，(2，1)＝λ(1－m ，m ＋6)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ（1－m ），1＝λ（m ＋6），解得m＝－113.∴当m ≠－113时，点A ，B ，C 能构成三角形.10.已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t ).若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0. ∴t ＜－23. (2)∵OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2. 此方程无解. 故四边形OABP 不可能成为平行四边形.11.如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，试利用向量方法求AC 和OB 交点P 的坐标.解：设OP →＝tOB →＝t (4，4)＝(4t ，4t )， ∴AP →＝OP →－OA →＝(4t －4，4t )， AC →＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6). ∵AP →与AC →共线，∴(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，得t ＝34.∴OP →＝(4t ，4t )＝(3，3)，即P 点坐标为(3，3).在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A.(－72，－2)B.(－72，2)C.(－46，－2)D.(－46，2)解法一：将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则向量OQ →与向量OP →的模相等，夹角为3π4，设OQ →＝(x ，y )，由OP →·OQ →＝6x ＋8y ＝－502，||OP →＝||OQ →＝x 2＋y 2＝10，解得x ＝－72，y＝－2，或x ＝2，y ＝－72，结合图形知Q 点在第三象限.则A 正确.解法二：设OP →＝(10cos θ，10sin θ)⇒cos θ＝35，sin θ＝45，则OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4，10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝(－72，－2).故选A.§5.3 平面向量的数量积1.数量积的概念已知两个非零向量a 与b ，我们把数量________________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作____________，其中θ是a 与b 的夹角，||b cos θ叫向量b 在a 方向上的____________，即a ·b|a|. a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于____________2.数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律①交换律：___________________；②数乘结合律：_________________________； ③分配律：______________________. (2)常用结论①(a ±b )2＝________________________； ②(a ＋b )·(a －b )＝_________________；③ a 2＋b 2＝0⇔______________________； ④|||a －||b |________||a ＋||b . 3.数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则① e ·a ＝____________. ② a ⊥b ⇔____________.③当a 与b 同向时，a ·b ＝____________； 当a 与b 反向时，a ·b ＝____________. 特别地，a ·a ＝____________或||a ＝____________.④ cos θ＝____________. ⑤||a ·b ≤____________. 4.数量积的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则①a ·b ＝________________；a 2＝________________；||a ＝________________.② a ⊥b ⇔____________________.③||x 1x 2＋y 1y 2≤________________________.自查自纠：1.||a ||b cos θ a ·b 投影 a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||b cos θ的乘积2.(1)①a ·b ＝b ·a ②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c(2)①a 2±2a ·b ＋b 2 ②a 2－b 2③a ＝0且b ＝0 ④≤3.①|a |cos θ②a ·b ＝0 ③|a ||b | －|a ||b ||a |2a ·a ④a ·b |a ||b |⑤|a ||b |4.①x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21 x 21＋y 21②x 1x 2＋y 1y 2＝0 ③x 21＋y 21x 22＋y 22(2014·山东)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ).若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A.2 3B. 3C.0D.－ 3 解：a ·b ＝3＋3m ＝|a ||b |cosπ6＝2·9＋m 2·32，解得m ＝3.故选B. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形解：AB →·BC →＋AB →2＝0⇒AB →·(BC →＋AB →)＝0⇒AB →·AC →＝0⇒AB →⊥AC →.则△ABC 必定是直角三角形.故选B.(2013·北京海淀一模)若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( )A.－12B.12C.－1D.1解：∵|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，∴2a ·b ＝－1，故a ·b ＝－12.故选A.(2014·江西)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解：∵a ＝3e 1－2e 2，∴|a |2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12e 1·e 2＝9，∴|a |＝3.故填3.(2013·全国新课标Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝____________.解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则||a ＝||b ＝2.且a ·b ＝0.∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ·(b －a )＝b 2－12a 2＝4－12×4＝2.故填2.类型一 数量积的定义及几何意义(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列说法正确的是____________.(填写序号即可)①a ·b ＝±||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数.故填①②.(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且||OA →＝||AC →，则向量BA →在向量BC→方向上的投影为( )A.32B.32C.3D.－32解：由已知可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形.且∠A ＝π2，又因为|OA →|＝|CA →|＝|OC →|，∴∠C ＝π3，∠B ＝π6，∴AB ＝3，AC ＝1，故BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos π6＝32.故选A.点拨：数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2(其中两向量夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)).其几何意义是：a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题.(1)(2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解：设a 与b 的夹角为θ，则|a ·b |＝||a |·|b |cos θ|＝|a |·|b ||cos θ|＝|a |·|b |，则向量a ，b 夹角为0或π或者两个向量a ，b ，至少有一个为0，故a ∥b ，充分性成立；反之，若a ∥b ，则|a ·b |＝|a |·|b |，必要性成立.故选C.(2)(2013·湖北)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( )A.322B.3152C.－322D.－3152解：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴由向量数量积的几何意义知向量AB →在CD →方向上的投影为|AB→|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＋52＝322.故选A. 类型二 数量积的基本运算已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________.解：因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以k ＋(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＝0，解得k ＝54.故填54.点拨：实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如a ·b ＝0a 或b 为0，a ·b ＝a ·c b ＝c ，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )等.(2014·全国)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A.－1B.0C.1D.2解：(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos60°－|b |2＝2×1×1×12－12＝0.故选B.类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系(1)已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A.x ＝－12B.x ＝－1C.x ＝5D.x ＝0 解：由向量垂直的充要条件得2(x －1)＋2＝0，所以x ＝0.故选D.(2)已知两个非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则下面结论正确的是( )A.a ∥bB.a ⊥bC.||a ＝||bD.a ＋b ＝a －b解法一：∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得a ·b ＝0，∴a ⊥b .解法二：a ＋b ，a －b 分别是以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线.∵|a ＋b |＝|a －b |，∴平行四边形的对角线相等.∴该平行四边形为矩形，∴a ⊥b .故选B.点拨：两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为我们又可视零向量与任意向量垂直.(1)(2014·湖北)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.解：由(a ＋λb )⊥(a －λb )，得(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0，即18－2λ2＝0，∴λ＝±3.故填±3.(2)(2013·广西)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1解：易知m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0，∴－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B.类型四 向量的夹角与模(1)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a－b )＝－2，则a 与b 的夹角为________.解：设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12，∴θ＝π3.故填π3.(2)(2014·全国)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A.2B. 2C.1D.22解：∵(a ＋b )⊥a ，∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，又|a |＝1，∴a ·b ＝－1.又(2a ＋b )⊥b ，∴(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0，∴b 2＝2，即|b |＝2.故选B.点拨：由向量数量积的定义a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.(1)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________.解：由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ＝12|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.(2)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a－c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1B.1C. 2D.2解：|a ＋b －c |＝（a ＋b －c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ， 由于a ·b ＝0，a ，b ，c 为单位向量，所以上式＝3－2c ·（a ＋b ），又由于(a －c )·(b －c )≤0，得(a ＋b )·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ·（a ＋b ）≤1，故选B.。
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第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概
念及坐标运算模拟创新题 文 新人教A 版
一、选择题
1.(2016·济宁市高三统考)如图，在平行四边形ABCD 中，M 为CD 中点，若AC →＝λAM →＋μAB →
，则μ的值为( ) A.14 B.13 C.12
D.1
解析 ∵AC →
＝AB →
＋AD →
，AM →
＝AD →
＋12
AB →
，
∴AC →＝12AB →＋AM →
，故μ＝12.
答案 C
2.(2016·石家庄质量检测)已知点A (－1，2)，B (3，4)，若AB →
＝2a ，则向量a ＝( ) A.(－2，－1) B.(1，3) C.(4，2)
D.(2，1) 解析 设a ＝(x ，y )，则由题意得2a ＝AB →
＝(4，2)，即⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＝4，
2y ＝2，解得x ＝2，y ＝1，所以
a ＝(2，1)，故选D.
答案 D
3.(2015·长春第一次调研)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →
，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →
等于( ) A.(－2，7) B.(－6，21) C.(2，－7)
D.(6，－21)
解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA →
＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21). 答案 B 二、填空题
4.(2014·青岛调研)若向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，ν＝2a －b ，且u∥ν，则x ＝________.
解析 u ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(1，2)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，4).
v ＝2(1，2)－(x ，1)＝(2，4)－(x ，1)＝(2－x ，3).
由u∥v ，一定存在λ∈R ，使u ＝λv ， 则有(2x ＋1，4)＝((2－x )λ，3λ).
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝（2－x ）λ，4＝3λ.∴2x ＋1＝43(2－x )，
解得x ＝1
2.也可由下面的方法求得：
由u∥v ，得(2x ＋1)·3－4(2－x )＝0.∴x ＝1
2.
答案 12
创新导向题
平行向量的坐标运算问题
5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，
cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于( ) A.36 B.34 C.33
D.32
解析 ∵m ∥n ，∴(3b －c )·cos A －a cos C ＝0，
即：(
3sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，
3sin B cos A ＝sin B ，
∵B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，故cos A ＝3
3.
答案 C
利用向量运算求面积问题
6.已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →
＝34BC →
－23
BA →
，则△PBC 与△ABC 的面积的比为
( ) A.1
3 B.12 C.23
D.34 解析 以点B 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设A (x A ，y A )，C (x C ，0)，P (x P ，y P )，则由AP →
＝34BC →－23BA →得(x P －x A ，y P －y A )＝34(x C ，0)－2
3
(x A ，y A )，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝34x C ＋1
3
x A ，
y P
＝1
3y A
，
所以
S △PBC
S △ABC ＝y P y A ＝1
3
，故选A.
答案 A
专项提升测试 模拟精选题
一、选择题
7.(2016·江西八所重点中学联考)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝4DC →
，则AD →
等于( ) A.23b ＋13c B.53c －2
3b C.45b －15
c D.45b ＋15
c 解析 ∵BD →＝4DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝4DC →＝4(AC →－AD →
)， ∴5AD →＝4AC →＋AB →，∴AD →＝45AC →＋15AB →＝4
5b ＋15c .
答案 D
8.(2015·湖南四大名校检测)已知向量a ，b ，c 都不平行，且λ1a ＋λ2b ＋λ3c ＝0(λ1，λ2，
λ3∈R )，则( )
A.λ1，λ2，λ3一定全为0
B.λ1，λ2，λ3中至少有一个为0
C.λ1，λ2，λ3全不为0
D.λ1，λ2，λ3的值只有一组
解析 在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →
＝c ，则a ，b ，c 都不平行，且a ＋b ＋c ＝0，排除A ，B ；又2a ＋2b ＋2c ＝0，排除D.故选C. 答案 C
二、填空题
9.(2014·汕头模拟)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →
＝2DB →
，CD →
＝13CA →
＋λCB →
，
则λ＝________.
解析 由图知CD →＝CA →＋AD →
，①
CD →＝CB →＋BD →
，②
且AD →＋2BD →
＝0.
①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →
， ∴CD →＝13CA →
＋23CB →，∴λ＝2
3.
答案 2
3
创新导向题
平面向量基本定理的应用
10.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 的中点，则AG →
＝( ) A.23AB →＋13AD → B.13AB →＋23AD →
C.34AB →＋34
AD → D.23AB →＋23
AD → 解析 由G 为EF 中点，得AG →
＝12(AE →＋AF →)＝12(AD →＋DF →)＋12(AB →＋BE →)＝12(AD →＋12DC →)＋
1
2(AB →＋12BC →
)＝12(AD →＋12AB →)＋12(AB →＋12AD →)＝34AB →＋34AD →
.
答案 C
11.平面向量加、减的几何表示与运算
△ABC 是边长为1的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝a ＋b ，AC →
＝a －b ，则下列结论错误的是( ) A.|a |＝3
2
B.|b |＝1
2
C.(a ＋b )·a ＝1
4
D.a ⊥b
解析 ∵AB →－AC →＝2b ＝CB →，|CB →
|＝1， ∴|b |＝1
2，设边BC 的中点为D ，
AB →
＋AC →
＝2a ＝2AD →
，|AD →
|＝3
2＝|a |，
∵AD →
⊥BC →
，∴a ⊥b ，(a ＋b )·b ＝b 2＝14
. 答案 C。