会计学05-5

形式总是 dy f ( u)du.
一阶微分形式的不变性
第五章导数与微分
§5微分
例 设 y sin(2 x 1)，求dy.
解法1 y [sin(2 x 1)] 2cos(2 x 1),
dy f ( x )dx 2cos(2 x 1)dx.
解法2
y sin u, u 2 x 1.
2 d (dy ) ( f ( x )dx )dx f ( x )dx dx f ( x )(dx )
或写作 d 2 y f ( x )dx 2，称它为f 的二阶微分.
注 dx 2 =(dx )2，表示自变量x的一阶微分的平方; d 2 x 0，表示自变量x的二阶微分; d ( x 2 ) 2 xdx，表示函数x 2的一阶微分.
§5微分
3.可微与可导关系
定理5.9( P115)
证 [必要性]
函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函数 因为f ( x )在点x0可微，所以
f ( x )在点 x0处可导，且 A f ( x0 ).
y A x o( x ),
y o( x ) y o( x ) 有 A ， 则 lim A. A lim x 0 x 0 x x x x 即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
dy cos udu cos(2 x 1)d (2 x 1) cos(2 x 1) 2dx 2cos(2 x 1)dx.
例1,2(P116)
第五章导数与微分
§5微分
三 高阶微分 在dy f ( x )dx中变量x与dx相互独立.
已知y f ( x )，若f 二阶可导，那么dy对自变量x的微分
y f ( x)
）
P
M
dy y
x

x0
x0 x
x
第五章导数与微分
§5微分
二 微分公式与微分法则 1.基本初等函数的微分公式 (1) dc 0 (c为常数);
(2) dx x 1dx;
(3) da x a x ln adx , de x e x dx; 1 1 (4) d (log a x ) dx , dx(ln x ) dx; x ln a x (5) d (sin x ) cos xdx , d (cos x ) sin xdx , d (tan x ) sec 2 xdx , d (cot x ) csc2 xdx , d (sec x ) sec x tan xdx , d (csc x ) csc x cot xdx ;
三者不能混淆. 一般地，n阶微分是n 1阶微分的微分，记作d n y，即 d n y d (d n1 y ) ( f ( n1) ( x )dx n1 )dx f ( n ) ( x )dx n 对n 2的n阶微分均称为高阶微分.
第五章导数与微分
§5微分
对于y f ( x )，x为中间变量 ( x (t ))，我们有
d ( u v ) du dv; d ( uv ) vdu udv , d (cu) cdu; u vdu udv d . 2 v v
第五章导数与微分
§5微分
3.复合函数的微分法则 设函数 y f (u)有导数 f (u),
(1) 若u是自变量时，dy f (u)du;
(6) d (arcsin x ) 1
2
1 x 1 d (arctan x ) dx , 2 1 x
dx ,
d (arccos x )
1
2
1 x 1 d (arc cot) dx . 2 1 x
dx ,
第五章导数与微分
§5微分
2. 微分的四则运算法则
(1) (2) (3)
第五章导数与微分
§5微分
四 微分在近似计算中的应用( P118) 1.函数的近似计算 由函数增量与微分的关系 y f ( x0 )x o( x ) dy o( x ) 当 x 很小时 , 有y dy ,由此即得 , f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x 或当x x0时有f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x 0 x
2 S x0
2 x 0 x ( x ) 2 .
( )
( )
x 0 x
x0
( ) : 是x的线性函数，为S的主要部分;
( ) : 是x的高阶无穷小，当 x 很小时可忽略.
第五章导数与微分
§5微分
2.微分的定义
定义1( P114) 设函数 y f ( x )定义在点x0的某邻域内，如果 y f ( x0 x ) f ( x0 ) A x o(x ) 成立(其中A是与x无关的常数 )，则称函数 y f ( x )在点 x0可微， 并且称A x为函数 y f ( x )在点 x0 相应于自变量增量 x的微分，
(2) 若u是中间变量时，即u是另一变量 x 的可微函数 u g( x )，
则y f ( g( x )). 因此
dy [f ( g( x ))]dx f ( u) g( x )dx , 因为 g( x )dx du,
所以
结论
dy f ( u)du.
无论 u是自变量还是中间变量 , 函数y f ( u)的微分
2 2 2 ( t ) dt f ( ( t )) ( (t )) dt f ( ( t ))
f ( x )dx 2 f ( x )d 2 x .
第五章导数与微分
§5微分
例3(P117) 设 y = f(x) = sinx，x = φ(t) = t2，求 d2y . 解法1 根据公式(6)
解法2 根据公式(7)
d 2 y f ( x )dx 2 f ( x )d 2 x
sin xdx 2 cos xd 2 x 2 2 2 2 2 cos t 2d t (2 t ) d t sin t
(2cos t 2 4t 2 sin t 2 )dt 2 .
d 2 y [ f ( (t ))]dt 2 ,
但不能写成 d 2 y f ( x )dx 2 . 因为二阶微分不具有形式不变性：
2 d 2 y [ f ( (t ))]dt 2 [ f ( ( t )) ( t )]dt 2 [ f ( ( t ))( ( t )) f ( ( t )) ( t )] dt 2
解 dy ( x 3 ) x 3 x 2 x .
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
y
T N
o( x )
4.微分的几何意义(P115)
当y是曲线的纵坐标增 量时，dy就是切线纵坐标对 应的增量.
当 x 很小时，在点M的 附近，切线段 MP可近似代替 o 曲线段 MN .
记作 dy
x x0
或 df ( x0 )， 即dy
x x0
A x .
微分 dy也称为函数增量 y的线性主部.
注 (1) A是与x无关的常数，但与f ( x )和x0有关; (2) dy是自变量的增量x的线性函数; (3) 当 x 很小时，y dy .
第五章导数与微分
(4)
dy 因为 dy f ( x )dx, 所以 f ( x ). dx (3)函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数,
所以导数也叫 微商 .
(4)导数与微分的区别
导数是函数的变化率问题；微分是函数的增量问题.
第五章导数与微分
§5微分
例 求函数 y x 3 当 x 2, x 0.02 时的微分.
[充分性]
因为函数f ( x )在点y f ( x0 ) x o(x ). 故函数 f ( x )在点 x0可微，且 d y
x x0
f ( x0 )Δ x .
第五章导数与微分
§5微分
注 (1)
若函数 f 在区间 I 上每一点都可微，则称 f 是 I 上的
2.误差估计
第五章导数与微分
§5微分
习题：P120§5习题1-3题 习题：P120总练习题2-8题
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经济管理数学分析
第五章导数与微分
§5 微分
第五章导数与微分
§5微分
一 微分的概念 1.问题的提出 面积问题 设有一边长为x0的正方形:
如果边长由 x0 变到 x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
则正方形面积增量为
2 S ( x0 x )2 x0
2 2 2 2 d2 y [ f ( (t ))]dt 2 (sin t 2 )dt 2 [(sin t )]dt (cos t 2t ) dt
( sin t 22t 2t cos t 2) dt 2
2
(2cos t 2 4t 2 sin t 2 )dt 2 .
可微函数. f ( x ) 在 I 上的微分记为
d y f ( x )Δ x , x I , 它既依赖于 Δ x ，也与 x 有关.
(3)
(2)当y x时，dy dx xx x. 即x dx .
于是 (3) 式可改写成
d y f ( x )d x , x I .