2020考研数一真题答案及详细解析
一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。
3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。
CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。
ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。
2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。
1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。
2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0X—r•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X3, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。
J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。
,Y o )处可微的充要条件i m 幻-J'.心X -J :t:,y = Q .汇�,Jt:,x 2 + t:,yZ因为f(x,y)在(0,0)处可微，则f(x,y)— Bf(O ,O ) r7f(O ,O ) :r －yax ay i m = 0 ,-酝。
_y -•O 妇2+ y 2 of(O,O ) of(O ,O ) 而n •(x,y,f(x,y)) = x +y -f釭，y).杠ay有i m n •(x,y,f位，y))= O , 即i m I n• (x ,y ,f 丘y))l=O ..r-Q .T 伽。
,J x z + y z 户°y-0正确答案选CA).(4)【答案】A,,/x 2 + y 2［解析】由阿贝尔定理，当Irl<R 时,I:a,, r "收敛，进而，级数:釭，产收敛．"=I=所以，当互沁.,r z "发散时，I r I?:, R. 答案选CA)., ,=!【评注】解析中用到了原命题成立时，它的逆否命题一定成立．(5)【答案】Bn-1【解析】矩阵A经初等列变换得到B,故存在初等矩阵P,(i = 1, 2, …，t)使AP1P2…P,= B 因P,均可逆，故有A=BP, I …1'21 r i l '记p = 1� 尸…P了P尸故应选CB).(6)【答案】c【解析】由直线标准方程知I 八心的方向向掀分别是a 1= (a 1 ,b 1 ,c 1)T,az = (a z ,bz ,C z )T , 直线I a 1 ,az,冠I =o L 1,L2分别经过A(a2,优，Cz),B(a3,仇，C3)两点．于是L 1,匕交于一点已{'即有a1 ,az不平行a1 a2 a3 -a2I a 1 ,a2, 商I=b1 b2 b3 -h 2 = I a 1 ,a 2 ,a 3 = 0 C1 Cz C:i -Cz于是a1,az,a 3线性相关且a 1,a z 线性无关．从而U3必可由a1,a 2线性表示．(7)【答案】D【解析】儿B ,C 中恰有一个事件发生即C A U BU C)—CAB U BC U AC). 因为P(AB)=趴故P(ABC)= 0, 所以恰有一个事件发生可以只考虑CA U BU C) -CBC U AC)的概率P C CA U B LJ C)-(BC U AC))= PCA).L P(B)+P CC)—PCBC) -P CAC)-P(BC) -P(AC) 1 1 l 1 1 l 1 5 =-+—.L —----———--=—4 4 I 4 ] 2 12 12 12 12答案选CD).(8)【答案】B【解析】:厂-+EX �上,D X � 上X ,独立同分布，方差存在，根据中心极限定理p了了2 4•6 •近似服从正态分布N (100 X ;=124100｀《5}�p {50,s;; 55三0}�..("o)�中(I )答案选(B).二、填空题(9)【答案】-1【解析】 1J i m [—--1 ln (l +x) -(e r -1)工--o e 工-1lnO+x)]=i, 四(e"-l)lnO +x)1lnO + x ) -e'+ 11 + x --' = J m2= Ji m ,._.o x --o Zx = li m心一会。
(10)【答案】—迈【解析】 1少=y '(t )=五言l I ＝ dx x (t)t t' v1fTT1 --e 工(1 +x)22=-1d 2 y 1 dt 豆＝（－了肛＝（－了）. t=-1 v'1+t2 v'1+t2 则琴r =I=-控．(11)【答案】n +aml 3 厂f (x)dx =-厂[f'(x)+af '(x)]dx =-J '(x)厂-af (x)尸。
【解析】只需求出J'(十=)=丿：巴J'(x)及f (十=)=I�巴f (x)即可．微分方程的特征方程为入2+a)..+l =O入1,2=—a 土Jc!-=了I2当a>Z 时，入I , A 2为两负实根，f 位）= C 1e'•工+C 2e 甲，当a=Z 时，入1=入2=-1,/(x) = CC1 + C 2x)e —r 'v'4=? v'4=? －和当O<a<Z 时，入1,2= (c 1cos工+C 2si nx)e 22. 不论如上哪种情形，均有f(十,I=) = li m f (x) =o ,f'<+=)=li m f (x) = 0. 因而工-+oo.r-十OO厂厂+oo +oof (x)釭＝－。
[/'(x)+af'(x)]dx =-f'(x) l o -af (x) lo = f'(0) + a f (0) = n +a m.(12)【答案】4e【解析】a 2 ff (x,y)有二阶连续偏导，利用一一－＝—一－a 2 f 3或y ayax·aJ -= xe ,(.ryl. ay•7 •2叮扫x所求主勹＝主LI ·= 4. OXO y CJ.I)0戒X (I 、!)(13【答案】矿(a 1-4) = .r '/ +x e x "/• 3归【解析】由行列式性质恒等变形，例如把2行加到1行，3行加到4行，再把1列的-1倍加到2列，4列的—1倍加到3列a O -l l a aO O a 00 0 0 a 1 -1 0 a l -1 0 a 2 -1—1 1 a ＝ O —1 1 a O= -1 2 a 01 -10 a O O a aO 00 a 2 a 2 = a 2 aI = a2(a 2—4 【评注】基本计算题，解法非常多，也可每列都加到第1列，再消o ,…(14)【答案】2 【解析】x�u(—牙号），Y = sin X,E X = 0. Cov (X Y) = E(X Y) -E X • EY = E (X Y = E (Xs i n X ) = r xs i n x· 上dx =�f fxsin xdx --"-六三、解答题2= -(sin :r-:r cos x) I 令=1-亢亢J : = 3x 2 -y = 0 1 1 (15)【解】由{/ 得驻点为(0,0,(--几=24y 2-X = 0 6'12).可计算A =几=6x,B=几=-1,C = f�y = 48y 判别式t::,.= AC -B 2 = 288xy-1. 在(0,0)点处，!::,.=-1<趴不是极值点；在尸上＝ 6 12 ）点处，t::,.= 3 > 0且A 1 >O 取极小值为I (上上）＝—16'12 215·(16【分析】挖去奇点(00用格林公式．【解】取L 1:丘+yz= e 2 (e 2足够小），方向为顺时针方向，则I =乎釭-y 2 d x + X + y z dy -§釭-Y 2 dx + x + y ?. d y L+L 1 4x 2+ y 丘-l-y 凸丘+y 4:r z + y 令P =4x-y 、工+y 4x z + yz , Q = 4. 甘+y 2'计算得aQ 抒-4x 2-8xy + y 2 ＝＝ 妇的(4:r z + y z )z 崎因而I=0 -2(4:r —y dx+(:r+ y dy =了2dxd yELEJJ 其中D 1= { (x,y ) I 4x 2 + y 2�E勹．所以I =今XrcXe:X主=TC.E2 o,(17)【分析】得到和函数的微分方程，解微分方程求出和函数．1 n +-【解】由阿达玛公式p=lim 生旦=l im -主=1." -�a ,, n-=n +l . •8 •=幕级数2牛x 的收敛半径R==1,所以，当I x I< 1时，�a ,,x "收敛．n-1Pn-1二。
令S(x)=�a,,x", 则,,-]== = S'(x) =�n a ,,x '户i =�(n +l ),, 1 a ,汁1X +a1 =�(n +歹)a,,x "十1n-1n-1n-1 == == ll n X 上�a n x"十1=�na,,x"十上�a ,,x"+l = x心")'+ 2 2 n-1 n-1 n -1n -1l s '(x )1 1 即S 1(x) = xS'(x)+—S(x) + 1 = -• —一一．2'S (x) + 2 2 1-x 1In I S (x ) + 2 I =——In I 1-x曰I n C,2C1士CiI SCx)+21=,S (x)+2=二二．亦是S (x)+2 =C厂由S (O)= 0得C = 2, 所求和函数为S(x )=-2.2厂(18)【分析】利用投影轮换法．【解】，X曲面�:Z = /2二了的法向量n ={z x ,z:,-1} = {'y, —l立立｝』贝tlI ={P,Q,R}·{-z x , —z:, 1 }dxdy:!;=I f [_ x (汀(xy)+2x-y )_y (yf (xy)+2y+x)],J x 2 + v 2,J x z + v2＋寸(xy)+z d xd y＝』［－，二巧(xy)—2左二了三f(xy)+习dxd y= II左杠dyCD : 1�x 2 + y 2�4)＝厂叫:r • r dr =牛【评注】本题只给出j釭）连续，因而不能采取补曲面高斯公式计算．(19)【证明l(I >设If(c) = M.若c E(0,1], 由拉格朗日定理知存在t;E (O,c), 使J'(t;)= J(c) -f(O)f (c)＝c -0C 从而有I J'<�) I= -I J (c) I M =-�M.CC若cE0,2],同理存在肛EO,2汃使从而有I J'<�) I = j'(�) =f (2)—f (c) = -f (c)2-c2—c I J<c) I M =—一多M.2-c2-c 综上所述，存在扣E (0,2), 使得I f'化）l�M.< II)若cE[O,l),则•9 •M=I f (c ) =I f (c )—f(O) I = I j '(�) I C 冬Mc由于O �c <1, 则M =0. 同理，当cECl,2]时，也可得M=0. 若C = 1, 且M >OM = I/Cl) I =I ff '(x)dxI 勹:I /'Cx) I cl 工<M矛盾，则M =O.原题得证．(20)【韶】C I)二次型J经正交变换X =Qy化为二次型g.记二次型f,g的矩阵分别是A 和B.即A =[—\ -/],n =勹勹因A�B,于是�a,;=�b ,; , I A I = I B I , 即{:-勹，:5,又因a�从故a =4,b =l.c II )对二次型f=式—4X1X2+ 4式和g=4贞+4劝Y 2+ Y�,只要令｛：；二�2�1'即[:.:J= [_\ �][�:]Q =[o 1]是正交矩阵合于所求．-1 0【评注】如求出A的特征向量并单位化构造正交矩阵Qi=3s[_\ �],经X= Q 1z得X T Ax=5叶类似构造正交矩阵Qz使y T B y= 5云，即x=Q 1z ,y = Q 2z有z =Q21Y ,从而X = Q 1Q21Y 而得Q=Q 1Q21亦可．(21)【解】c I)因a#-0且a不是A 的特征向量．于是Aa#-ka,从而a与Aa不共线，即a,A a线性无关，故P=(a,Aa)可逆．或（反证法）若P不可逆，有IP I= Ia ,Aa I = o a与Aa成比例，于是Aa =k a. 又a#-0知a 是A 的特征向址与已知条件矛盾．([I ) (万法一）由A飞+Aa -6a = 0有A 2a = 6a —Aa A P = A(a,Aa) = (Aa,A 2a) =(Aa, 妞—Aa)因P可逆，于是=(a,Aa)[0 61_iJ0 6 P 一!A P =I _}—l 记B = [O 6l而I IB-B I =入—6=入2土－1 -1 -1入+1，入6特征值2, 3. 于是A 有2个不同特征值从而A可相似对角化．（方法二）因A 2+ A -6E = (A-2E) (A + 3E) = (A + 3E) (A -2E),由A 2a +Aa —6a = O , 即(A 2+A —6E)a = O ,于是(A -2E) (A + 3E)a = 0, 即(A —2E )(Aa 十3a)= O,即A(Aa 十3a)= 2(Aa 十3a),•10•a 从而入=2是A 的特征值，类似有入=-3是特征值．下略．(22)【解】(l)CX,,Y 的分布函数F (x,y)F (x ,y = P {X 1�x,Y �y} = P{X, �x,X 3X 1 + (1-X 3)X 2�y )= P{X 3 = O)P{X, �x,X 3X 1 + O -X,)X 2�yI X 3 = 0) + P{X 3 = l)P{X 1�x,X,X, +O -X 3)X 2�y I X3 = 1} l 1 =�P{X, �x,X 2�y I X 3 = O} +-P{X 1�x,X, �y I X3 = 1) 221 1= -P{X, �x,X 2�y } +-P{X 1�x,X1�y ) 22 1 1 = -P{X, �x)P{X 2�y ) +-P{X 1�min (x,y)} 2 21 1 ＝一中釭）趴y )+-趴min (x ,y ))22C I I )Y 的分布函数氏(y)= P{X 3X 1 + (1-X 3)X 2�y ) = P{X 3 = O}P{X 3X 1 + C l -X 3)Xz �y I X 3 = O}十P {X1 = l }P{X 3X 1 + Cl -X 3)Xz �y I X 3 = 1} 1 1= -P {X 2�y I x 3 = 0) +-P{X, �y I x 3 = 1}221111= -P{X 2�y } +-P {X 1�y ) = -中(y)+-趴y )=趴y )2 2 2 2Y -N(O,l).(23)【解】F (t) = r--C令）''o , t m-1'?, O'f (x)�F '(x �厂行）· 沪－（令），t <o,o,Cl)P{T>t}=厂f (t)dt= F (t) += = F C +心-F C t)= -C 扩）"',t > 0.-(宁）,nP {T> s 十t!T>s}=P{T> s 十t ,T>s}=P {T>s十t }P{T>s} P {T>寸－（令）"'e= e-C宁）"'+ (令）m(JI)给定t I'tz'…, t,,'似然函数为““L (0) =III<t,) =订叫勹,,,_。
2020年考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2020年考研数学一真题及答案解析
（4）【答案】（A）.
【解析】若 anrn 发散，则 r R ，否则，若 r R ，由阿贝尔定理知， anrn
n 1
n 1
绝对收敛，矛盾. 故应选（A）.
（5）若矩阵 A 经过初等列变换化成 B ，则
（）
（A）存在矩阵 P ，使得 PA B.
（B）存在矩阵 P ，使得 BP A.
（C）存在矩阵 P ，使得 PB A.
x a2 a1
y b2 b1
z c2 c1
与直线 L2
:
x a3 a2
y b3 b2
z c3 c2
相交于一
ai
点，法向量 αi
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
（）
（A） α1 可由 α2 , α3 线性表示.
（B） α2 可由 α1, α3 线性表示.
（C） α3 可由 α1, α2 线性表示. （6）【答案】（C）.
f x
,
f y
, 1
0,0
fx0, 0, fy 0, 0 , 1 ，故
n x, y, f x, y fx0, 0 x fy 0, 0 y f x, y x2 y2 ，
3
n x, y, f x, y
x2 y2
则 lim
lim
0. 故应选（A）.
x, y0,0
x2 y2
x, y0,0
x2 y2
（4） 设 R 为幂级数 an xn 的收敛半径， r 是实数，则 n 1
（）
（A） anrn 发散时， r R . n 1
（B） anrn 发散时， r R . n 1
（C） r R 时， anrn 发散. n 1
2020-数一真题答案解析
e
1 x−
1
−
1 ln(1 +
x)
=
lim
x→0
ln(1+ x) − ex (ex −1) ln(1+
+1 x)
=
lim
x→0
ln(1 +
x) − x2
ex
+1
2020 数学（一）真题 第 5 页 共 13 页
1 − ex = lim 1+ x = −1.
x→0 2x
（10）若
=x y =
∑ 可得
P
100 i =1
Xi
55
的近似值为
(A) 1− Φ(1)
(B) Φ(1)
(C) 1− Φ(2)
(D) Φ(2)
【答案】B.
【解析】由题意= EX 1= ，DX 1 ，
2
4
∑ E
100 i =1
= Xi X
1= 00EX
50 ，
∑ D
1= i0=01 X i
1= 00DX
25 .
∞
∑ (C) | r | R 时， a2nr2n 发散 n=1
∞
∑ (B) a2nr2n 收敛时， | r | R n=1
∞
∑ (D) | r | R 时， a2nr2n 收敛 n=1
【答案】A.
（5）若矩阵 A 经初等列变换化成 B ，则
(A) 存在矩阵 P ，使得 PA = B
(B) 存在矩阵 P ，使得 BP = A
1 x2 2 0
5
= 52 ⋅
1 2
2
⋅ x5 .
（2）设函数 f (x) 在区间 (−1，1) 内有定义，且 lim f (x) = 0 ，则 x→0
2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析
2020年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题及解析1. 【单项选择题】当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：2. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C参考解析：3. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：4. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：A参考解析：5. 【单项选择题】若矩阵A经初等列变换化成B，则( )．A. 存在矩阵P，使得PA=BB. 存在矩阵P，使得BP=AC. 存在矩阵P，使得PB=AD. 方程组Ax=0与Bx=0同解正确答案：B参考解析：6. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：C 参考解析：7. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：D 参考解析：8. 【单项选择题】A.B.C.D.正确答案：B参考解析：9. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-1【解析】10. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】11. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：n+am【解析】12. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：4e13. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：a4-4a2【解析】14. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：15. 【解答题】求函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：16. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：17. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：18. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：19. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：20. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：21. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：23. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：。
2020年考研数学(一)真题及解析
2020年考研数学（一）真题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1. +→0x 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）A.()⎰-xt dt e 012B.0ln(1x dt +⎰C.⎰xdt t sin 02sin D.⎰-xdt t cos 103sin【答案】D【解析】()A 22++3200(1)(1)1lim lim33xxt t x x e dt e dt x x →→--==⎰⎰，可知0x +→，2301(1)~3x t e dt x -⎰， ()B ++500222limlim ln(155xx x xx dt→→==+⎰，可知5202ln(1~5x dt x +⎰，0x +→ ()C +++s 3in 2200020sin sin(sin )co cos 1limlim lim 333s x x x xx x t dt x x x →→→===⋅⎰，可知sin 2301sin ~3x t dt x ⎰，0x +→()D ++1co 50s 0limlim x x x →→-===⎰，可知1cos 50~x -⎰，0x +→ 通过对比，⎰-xdt t cos 103sin 的阶数最高，故选()D2. 设函数()x f 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0=→x f x ，则（ ）A. 当()0lim=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.B. 当()0lim2=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.C. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim=→xx f x .D. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim2=→xx f x .【答案】C 【解析】当()f x 在0x =处可导时，由()0(0)lim 0x f f x →==，且0()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x →→-'==-，也即0()lim x f x x →存在，从而()0lim0=→xx f x ，故选C 3. 设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，()0,01,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂∂∂=y f x f n 非零向量d 与n 垂直，则（ ）A.()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在. B.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x n y x 存在.C. ()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x d y x 存在. D.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x d y x .【答案】A【解析】函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，(,)(0,0)(0,0)(0,0)0x y f x y f f x f y→→''---=，00(,)(0,0)(0,0)0x y f x y f x f y→→''--=由于()(),,,n x y f x y ⋅=(0,0)(0,0)(,)x y f x f y f x y ''+-，所以()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在4. 设R 为幂级数1nn n a r∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）A.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥. B.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≤.C.R r ≥时，1nn n a r∞=∑发散. D. R r ≤时，1nn n a r∞=∑发散.【答案】A【解析】R 为1nn n a r∞=∑的收敛半径，所以1nn n a r∞=∑在(,)R R -必收敛，所以1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥.故选A5. 若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（ ）A. 存在矩阵P ，使得B PA =.B.存在矩阵P ，使得A BP =.C.存在矩阵P ，使得A PB =.D. 方程组0=Ax 与0=Bx 同解. 【答案】B【解析】A 经过初等列变换化成B ，存在可逆矩阵1P 使得1AP B =,令11PP -=，得出A BP =,故选B6. 已知直线12121212:c c b b y a a x L -=-=-与直线23232322:c c b b y a a x L -=-=-相交于 一点，法向量i i i i a b c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3,2,1=i . 则 A. 1a 可由32,a a 线性表示. B. 2a 可由31,a a 线性表示. C.3a 可由21,a a 线性表示. D. 321,,a a a 线性无关. 【答案】C【解析】令22211112:x a y b c L t a b c ---===，即有21212121=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由2L 方程得32323223=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两条线相交，得2132++t t αααα=即2123123+(1)t t t t ααααααα-=⇔+-=，故选C 7. 设A ，B ，C 为三个随机事件，且()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ， ()()121==BC P AC P ，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 A. 43. B. 32. C. 21. D. 125. 【答案】D【解析】()()()(())P ABC P ABUC P A P A BUC ==-111()()()()004126P A P AB P AC P ABC =--+=--+=()()()(())P BAC P B AUC P B P B AUC ==-111()()()()004126P B P AB P BC P ABC =--+=--+=()()()(())P CAB P C AUB P B P C AUB ==-1111()()()()04121212P C P CB P CA P ABC =--+=--+=所以1115()()()661212P ABC P ABC P ABC ++=++= 8. 设n x x x ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，其中()()2110====X P X P ， ()x Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=100155i i X P 的近似值为A. ()11Φ-.B. ()1Φ.C.()2,01Φ-.D.()2,0Φ. 【答案】B【解析】由题意12EX =，14DX =,根据中心极限定理1001~(50,25)i i X N =∑,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑=100155i i X P=10050(1)iX P ⎛⎫- ⎪≤=Φ⎝⎭∑二、填空题：9~14小题，每小题2分，共24分.请将解答写在答题纸指定位置上. 9. ()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--→x e x x 1ln 111lim 0 . 【答案】-1【解析】()()()()2000ln 11ln 1111lim lim lim 1ln 1(1)ln 1x x x x x x x x e x e e x e x x →→→⎡⎤⎡⎤+-++-+-==⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦ =()2222001111ln 1122lim lim 1xx x x x x x x e x x→→----++-+==-10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧++=+=1ln 122t t y t x ，则==122t dx y d .【答案】【解析】1dy dy dt dx dx dt t ===22231=dy dy d d d y dt dx dt dx dx dt dx t t t⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===--得212t d y dx==11. 若函数()x f 满足()()()()00>=+'+''a x f x f a x f ，且()m f =0，()n f ='0，则()f x dx +∞=⎰.【答案】n am +【解析】特征方程210a λλ++=，则1212,1a λλλλ+=-⋅=，所以两个特征根都是负的。
2020考研数学(一)答案解析
π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )2π
x sin x
dx
02x sin xdx
π
π
2
2
π
2
π
π
02xd cos x
x cos x|0202cos xdx
π
π
2
sin x|
π
2
.
02
π
π
9
故 cov( X , Y )2π0π2.
三、解答题
（15）（本题满分10分）
f ( x) 0.
x
x
综上，
f ( x )d x
f ( x ) af ( x)
lim
f
( x ) af ( x )
f (0) af (0)
am n.
0
0
x
2f
12.f(x,y)0xyext2dt，则
．
x y
(1,1)
（12）【答案】4e.
【解析】因为
2f
2f
，又
f
ex xy2xxex3y2,
x y
y x
x , y0,0x2y2
x , y0,0
x2y2
（4） 设R为幂级数anxn的收敛半径，r是实数，则
（
）
n1
（A）anrn发散时，
r
R.
n 1
（B）anrn发散时，
r
R.
n 1
（C）
r
R时，anrn发散.
n 1
（D）
r
R时，anrn发散.
n 1
（4）【答案】（A）.
【解析】若anrn发散，则
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
XXX 时，下列无穷小量中最高阶是（）A。
$\int_{x^2}^{et-1}dt$B。
$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C。
$\int_0^x\frac{\sin x}{\sin t^2}dt$D。
$\int_0^x\frac{1-\cos x}{\sin t^2}dt$2.设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$，则（）A。
当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{|x|}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。
B。
当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。
C。
当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。
D。
当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。
3.设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$ 非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）A。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$ 存在。
B。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$ 存在。
2020年考研数学一真题及答案(全)
2020年考研数学一真题及答案(全)全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1.若函数 $f(x)=\begin{cases}1-\cos x。
& x>0 \\ a x + b。
& x\leq 0\end{cases}$ 在 $x$ 连续，则 $ab=$答案：A详解：由 $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$ 得 $ab=1$。
2.设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x)f'(x)>0$，则A) $f(1)>f(-1)$；(B) $f(1)f(-1)$；(D) $f(1)<f(-1)$。
答案：C详解：$f(x)f'(x)>0$ 表示 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和$(0,+\infty)$ 上单调，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在$(0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $f(1)>f(-1)$。
3.函数 $f(x,y,z)=xy+z$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量$n=(1,2,2)$ 的方向导数为A) $12$；(B) $6$；(C) $4$；(D) $2$。
答案：D详解：方向余弦$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{1}{3}$，$\cos\beta=\frac{2}{3}$，$\cos\gamma=\frac{2}{3}$，偏导数$f_x'=2xy$，$f_y'=x^2$，$f_z'=2z$，代入 $\cos\alphaf_x'+\cos\beta f_y'+\cos\gamma f_z'$ 即可。
2020-数一真题答案解析
由α1 ，α2 线性表示，故应选(C).
（ 7 ） 设 A，B ，C 为 三 个 随 机 事 件 ， 且 P= ( A) P= (B) P= (C) 1 ，P(= AB) 0 , 4
P= ( AC) P= (BC) 1 ，则 A，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 12
(A) 3 4
(B) 2 3
L
4x 4x2
− +
y y2
dx
+
x+ y 4x2 + y2
dy
，其中
L
是
x2
+
y2
= 2 ，方向
为逆时针方向.
【解析】
2020 数学（一）真题 第 8 页 共 13 页
0= ，n
∂f ∂x
，∂f ∂y
，−1
(0 ，0)
且非
零向量 d 与 n 垂直，则
(A) lim | n ⋅ (x ，y ，f (x ，y)) | = 0 存在
( x ，y)→(0，0)
x2 + y2
(B) lim | n× (x ，y ，f (x ，y)) | = 0 存在
( x ，y)→(0，0)
y= − b2 b1
z
− c2 c1
与直线
L2
：x= − a3 a2
y= − b3 b2
z − c3 相交于 c2
一点，法向= 量 αi = abii ，i 1，2 ，3.则 ci
(A) α1 可由 α2 ，α3 线性表示 (C) α3 可由 α1 ，α2 线性表示
(B) α2 可由 α1 ，α3 线性表示 (D) α1 ，α2 ，α3 线性无关
x a3 a2
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版附答案解析
t2dt) '
=
sin
x2
cos
x
~
x2
；
0
1-cos x
D 选项 (
sin3 tdt) ' = sin x
sin3(1− cos x) ~
1 x4 .
0
2
2.设函数 f ( x) 在区间（-1,1）内有定义，且 lim f (x) = 0 ，则（） x→0 A 当 lim f (x) = 0 ， f ( x) 在 x = 0 处可导。 x→0 x B 当 lim f (x) = 0 ， f ( x) 在 x = 0 处可导。 x→0 x C 当 f ( x) 在 x = 0 处可导时， lim f (x) = 0 。 x→0 x
a1 a2 a2 − a3 点组成的向量与两直线的方向向量共面，故 b1 b2 b2 − b3 = 0 ，故选 C .
c1 c2 c2 − c3
7. 设 A, B,C 为 三 个 随 机 事 件 ， 且 P(A) = P(B) = P(C) = 1 , P(AB) = 0
4
P(AC) = P(BC) = 1 ，则 A, B,C 中恰有一个事件发生的概率为
A 存在矩阵 P ，使得 PA = B B 存在矩阵 P ，使得 BP = A
C 存在矩阵 P ，使得 PB = A
D 方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解
答案：B
解析：矩阵 A 经初等列变换化成 B ，根据左行右列，应该选 B .
6.
已
知
直
线
L1：x
− a2 a1
=
y − b2 b1
=
z − c2 c1
12 A. 3