利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题
二次函数是数学中重要的一类函数，它具有许多应用于实际问题的
能力。通过解决二次函数相关的实际问题，我们可以更好地理解和应
用这一数学工具。本文将通过几个实际问题的案例，详细介绍如何利
用二次函数解决这些问题。
案例一：抛物线的高度与水平距离的关系
假设一个小球以一定的初速度从地面上抛出，并以二次函数描述它
的高度与水平距离的关系。首先，我们可以建立抛物线方程：
h = ax² + bx + c
其中，h为小球的高度，x为水平距离，a、b、c为常数。当小球达
到最高点时，它的速度为零，根据这一条件，可以求得抛物线的顶点
坐标为（-b/2a，c-b²/4a）。通过这一顶点坐标和给定的初速度，可以解得a、b、c的具体值。有了这些参数，我们就能方便地计算小球在任意水平距离上的高度。
案例二：曲线拟合与数据预测
在实际问题中，我们常常需要通过一些已知数据点来拟合出一个曲线，并利用这个曲线对未知数据进行预测。二次函数是一种常用的曲
线模型，因为它能很好地适应一些非线性的数据分布。具体做法是，
通过最小二乘法来求得二次函数的参数，使得拟合曲线与已知数据点
之间的误差最小化。然后，利用这个拟合曲线，我们就可以对未知数
据进行预测。这一方法在经济预测、气象预报等领域有着广泛的应用。
案例三：最优化问题
二次函数也可以应用于最优化问题的求解。以抛物线形式的二次函
数为例，假设我们需要在一条直线上选择一个点，使得它到抛物线的
距离最小。这可以被看作是一个最优化问题，即求解抛物线与直线的
最短距离。我们可以通过求解二次函数和直线的交点来解决这个问题。具体的求解过程利用了二次函数的性质和一些微积分的知识。
总结：
通过上述几个案例，可以看出二次函数在实际问题中的广泛应用。
它可以用于描述抛物线的运动、拟合非线性数据以及求解最优化问题等。通过解决这些实际问题，我们不仅巩固了对二次函数的理解，也
提升了数学在实际应用中的能力。因此，在学习和应用二次函数时，
我们应该注重理论知识和实际问题的结合，这样才能更好地掌握和利
用二次函数。
二次函数解决实际问题
二次函数解决实际问题 1、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年蔬菜的销 售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬菜销售价与月 份之间的关系.观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？（至 少写出四条） 2、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投 2＋bx，若第一年的维修、产后，从第一年到第x 年维修、保养费累计 ．．为y（万元），且y＝ax 保养费为2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式. 3、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y (m) 与水平距离x (m) 之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度. 4、用6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
5、商场销售一批衬衫，每天可售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1 元，每天可多售出 2 件. ①设每件降价x 元，每天盈利y 元，列出y 与x 之间的函数关系式； ②若商场每天要盈利1200 元，每件应降价多少元？ ③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？ 6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中. ①求这条抛物线所对应的函数关系式. ②如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是多少？ 7、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m. （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式. （2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h 的函数关系式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航 行？ 8、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）
二次函数的实际应用问题解题技巧
二次函数的实际应用问题解题技巧 二次函数是一种在数学中非常重要的函数,它在各个领域都有广泛的应用, 比如物理、工程、经济学等等。本文将介绍二次函数的一些实际应用问题解题技巧,以及如何在实际问题中应用这些技巧。 正文: 1. 二次函数的实际应用问题 二次函数在数学中主要用于描述抛物线、双曲线等曲线的情况。在各个领域,二次函数都有广泛的应用,下面列举几个例子: - 物理学:在物理学中,二次函数主要用于描述质点的运动轨迹,如牛顿第二定律、万有引力定律等。 - 工程学:在工程学中,二次函数主要用于描述机械、电气、建筑等领域中的问题,如压力、张力、电流等。 - 经济学:在经济学中,二次函数主要用于描述供求关系、价格变化等。例如,抛物线可以用来描述通货膨胀率的变化。 2. 二次函数的解题技巧 在实际问题中,我们需要用到二次函数的一些基本性质和解题技巧,下面列 举一些常见的解题技巧: - 求抛物线与x轴的交点:通过用x=0和x=抛物线顶点式来求解。 - 求抛物线的对称轴:通过用y=-b/2a来求解,其中a和b是二次函数的系数。 - 求二次函数的极值:通过用抛物线的对称轴和x轴的交点来求解。 - 求二次函数的图像形状:通过用抛物线的顶点坐标和参数方程来求解。 3. 拓展
除了上述技巧,我们还可以利用二次函数的一些特殊性质来解决实际问题。例如,我们可以通过用二次函数的对称性来解决实际问题,如求解一个二次函数的极值、图像形状等。此外,我们还可以利用二次函数的性质来解决实际问题,如求解一个二次函数的方程、求抛物线的解析式等。 二次函数在数学中有着广泛的应用,而且在实际问题中,我们需要用到二次函数的基本性质和解题技巧来解决实际问题。掌握这些技巧,可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二次函数的实际应用题
第三讲：二次函数大题之应用题 题型一：利润问题 例题1：某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=80时，y=40；x=70时，y=50． （1）求一次函数y=kx+b的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 例题2：某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求与之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？ 变式训练： 1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
2、青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元∕天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元∕天·间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？ 3、为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元). (1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式. (2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元? 4、某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500． （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利 润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题 类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题） 1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m2． (1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式；(2)当x为何值时，广告牌面积S 最大？最大值为几？ 2、如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？ (2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成, 并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少? 4、明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？
☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题） 1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？ ▲2、（讨论）某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?最大利润为多少？ 3、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩。预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使收益最大？最大收益是多少？ 4、某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）之间的 函数关系是t=-3x+204. （1）写出商场每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）的函数关
用二次函数解决生活问题
用二次函数解决生活问题 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的常见的数学模型．将实际问题中的变量关系转化成二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型． 一、以现实的生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数确定二次函数的表达式例1 如图1，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的关系式． 分析：由函数图象的对称轴为y轴，故可设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y=ax2+k（a≠0，k≠0）． 解：设函数关系式为y=ax2＋k（a≠0）， 由题意可知，A、B两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）． 则 2 1.5 3.05 3.5. a k k ?+= ? = ? ， 解得a=－0.2， ∴抛物线对应的函数关系式为y=-0.2x2＋3.5． 例2 如图2，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图3中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF． 图2 图3
分析：观察图3的图象可知抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y=ax2＋6．又因为AB＝20，所以OB＝10，故B（10，0）又在抛物线上，可代入求值． 解：设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2＋6． 依题意，得B（10，0）． ∴a×102＋6＝0． 解得a=－0.06．即y=－0.06x2＋6． 当y=4.5时，－0.06x2＋6=4.5，解得x=±5． ∴DF＝5，EF＝10． 即水面宽度为10米． 二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y与x 的关系式 例3 如图4，用长为l2 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为Sm2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值． 分析：本题可通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三角形、特殊四边形的面积问题来解决． 解：连结EC，作DF⊥EC，垂足为F． ∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°， ∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°． ∵DE=CD，∴∠DEC=∠DCE=30°，∴∠CEA=∠ECB=90°． ∴四边形EABC为矩形， ∴∴AE=6－DE =6－x，DF=1 2 x，EC=x3．
初中数学教案：运用二次函数解决实际问题
初中数学教案：运用二次函数解决实际问题一、引言 二次函数是中学数学中常见的一种函数类型，它的图像呈现出一个弧线的形状，具有许多重要的性质和应用。本教案将介绍如何使用二次函数解决实际问题，帮助初中生掌握并应用这一概念。 二、二次函数的基本概念 在学习如何运用二次函数解决实际问题之前，我们首先要确保对二次函数的基 本概念有清晰的理解。二次函数的一般形式为： f(x) = ax² + bx + c 其中，a、b、c 是实数常数，且a ≠ 0。a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是 常数项。 二次函数的图像为一个抛物线，可以向上开口或向下开口，具体形状取决于二 次项系数 a 的正负。 三、从实际问题中构建二次函数 要将二次函数应用于实际问题，我们需要先理解问题的背景和要求，然后通过 建立数学模型来解决问题。 例如，一个研究小组做实验测量了在某台机器上加工一种金属零件的时间和其 所用工具的寿命之间的关系。研究人员发现，时间与寿命之间存在二次函数关系。 根据实验数据，他们确定了寿命和时间之间的关系为： 寿命 = -7t² + 35t + 60 其中，寿命是以小时为单位，时间是以分钟为单位。
这样，他们就建立了一个二次函数模型来描述两者之间的关系。通过解析这个 二次函数，他们可以推导出在给定寿命下所需要的加工时间，并有效地规划各个工序的时间和资源分配。 四、利用二次函数解决实际问题的步骤 在解决实际问题时，我们可以按照以下步骤运用二次函数： 1. 理解问题：仔细阅读问题陈述，确定需要解决的问题是什么。 2. 建立模型：根据问题的背景和要求，构建二次函数模型。确定二次函数的各 个参数的含义。 3. 解析函数：对建立的二次函数进行解析，寻找函数的极值点、零点、对称轴 等重要特征。这些特征可以帮助我们更好地理解函数的行为。 4. 问题求解：将问题中给定的条件代入函数中，并使用数学方法求解。注意转 换单位、计算精度等问题。 5. 结果解释：将计算所得的结果用符合问题背景的语言进行解释。对于实际问题，往往需要对结果进行一定的解释和合理性判断。 五、实例解析 现在我们通过一个实例来具体说明如何使用二次函数解决实际问题。 问题：一个人投掷一个小球，并观察其上升和下降的运动过程。根据实验数据，球的高度与时间之间存在二次函数关系。已知球的高度（h）与时间（t）的关系由 以下公式表示：h = -5t² + 20t + 10。 求解：我们要求解的是小球的最大高度及其对应的时间。 根据给定的二次函数公式，我们知道函数的二次项系数 a = -5，一次项系数 b = 20，常数项 c = 10。
二次函数的实际问题求解技巧
二次函数的实际问题求解技巧二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在实际问题中有着广泛的应用。掌握二次函数的实际问题求解技巧，可以帮助我们解决各种与实际相关的数学难题。本文将介绍一些二次函数实际问题的求解技巧，帮助读者更好地理解和应用二次函数。 1. 问题分析 在解决二次函数实际问题时，首先需要对问题进行充分的分析。这包括理解问题的背景、已知条件以及需要求解的未知量。例如，假设我们要求解某个抛物线的最高点坐标，我们需要明确已知的抛物线方程以及需要求解的顶点坐标。 2. 绘制函数图像 绘制函数图像可以直观地了解二次函数的性质，帮助我们更好地解答问题。对于给定的二次函数，我们可以利用平移、缩放等变换来确定其图像的形状和位置。通过观察图像，我们可以得到一些关于函数的重要信息，如最值、对称轴等。 3. 求解函数的零点 二次函数的零点即函数与x轴的交点，求解函数的零点对解决实际问题非常重要。可以使用解二次方程或者图像法来求解函数的零点。解二次方程通常是使用配方法或求根公式，而图像法可以通过观察函数图像上与x轴的交点来得到零点的近似值。
4. 求解函数的最值 对于实际问题求解，常常需要求解函数的最值，这些最值往往与问题的关键指标有关。求解函数最值的方法主要有两种：一是利用函数图像的几何性质，如抛物线的顶点即为函数的最值点；二是利用导数的性质，通过求解函数的导数为零的点来确定最值。 5. 利用模型求解问题 在实际问题中，我们往往需要根据已知的情况构建二次函数模型，并通过求解模型来得到问题的答案。这需要灵活运用二次函数的性质和求解技巧。例如，我们可以根据已知的关系式构建二次函数方程，然后通过求解方程来得到问题的解。 6. 检验结果的合理性 在解决实际问题时，我们应该对得到的结果进行合理性检验。这包括对结果进行估算和比较，看是否符合实际情况。如果结果与实际情况相差太大，就需要回顾整个求解过程，找出问题所在并进行修正。 综上所述，二次函数的实际问题求解技巧涉及问题分析、绘制函数图像、求解函数的零点和最值、利用模型求解问题以及检验结果的合理性等方面。通过熟练掌握和灵活运用这些技巧，我们可以更好地解决各种与实际相关的数学难题，提高数学问题解决能力。
二次函数的实际问题
二次函数的实际问题 二次函数是数学中的一个重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。通过二次函数可以描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、 金融领域的利润分析等。本文将通过几个不同的实际问题，来说明二 次函数在各个领域中的应用。 问题一：投掷运动 考虑一个常见的物理问题，即投掷运动。假设有一个物体从地面上 以初始速度v₀竖直向上抛出，受到重力的作用下落。我们希望能够描 述物体的运动轨迹，并找到物体在空中的最高点和落地点。 首先，我们可以建立一个二次函数来表示物体的高度y与时间t之 间的关系。假设物体的初始高度为h₀，则物体的高度可以表示为：y(t) = -gt² + v₀t + h₀ 其中g表示重力加速度。通过这个二次函数，我们可以计算出物体 的运动轨迹，以及物体在空中的最高点和落地点的时间和高度。 问题二：利润分析 在金融领域中，我们经常需要对企业的利润进行分析和预测。假设 一个企业的销售额与广告投入之间存在某种关系，我们可以建立一个 二次函数来描述销售额与广告投入之间的关系。 假设销售额为P，广告投入为x，则二次函数可以表示为： P(x) = ax² + bx + c
其中a、b、c为常数。通过这个二次函数，我们可以分析销售额与 广告投入之间的关系，并找到使得利润最大化的最优广告投入额。 问题三：物质衰变 在化学领域中，物质的衰变速率也可以用二次函数来描述。假设一 个物质的衰变速率与时间的关系可以用二次函数表示： R(t) = -kt² + bt + c 其中k、b、c为常数。通过这个二次函数，我们可以分析物质的衰 变速率与时间之间的关系，并预测物质的衰变情况。 总结： 通过以上三个实际问题的例子，我们可以看到二次函数在不同领域 中的应用之广泛。二次函数可以方便地描述并解决各种实际问题，例 如物体的运动轨迹、企业的利润分析以及物质的衰变情况等。掌握二 次函数的概念和应用，对我们理解和解决实际问题具有重要意义。 本文通过具体的实际问题，说明了二次函数的应用。无论是物理学、经济学还是化学等领域，二次函数都有着广泛的应用。希望通过本文 的介绍，读者可以更好地理解二次函数的概念和应用，并能够在实际 问题中灵活运用。
二次函数解决实际问题
二次函数解决实际问题 【文章主题】二次函数解决实际问题 【引言】 二次函数是高中数学中的重要概念，它可以用来解决各种实际问题。二次函数不仅具有图像美观和数学特性丰富的优点，还能够帮助我们解决现实生活中的一系列实际问题。本文将深入探讨二次函数对于解决实际问题的具体应用，并结合示例来进一步加深理解。 【正文】 1. 什么是二次函数？ 二次函数是一种具有形式为y = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 为常数，且a不等于0。它的图像通常呈现出一个开口向上或向下的U型曲线，称为抛物线。二次函数的解析式和图像特性使得它成为解决实际问题的有力工具。 2. 二次函数的实际问题应用 2.1 抛物线的轨迹 由于二次函数具有抛物线形状，因此它在物理学中的应用非常广泛。在炮弹的抛射问题中，我们可以利用二次函数来描述弹道的形状和轨迹，从而计算出炮弹的射程、最高点和最大高度等重要参数。二次函
数还可以应用于天体运动的研究、桥梁设计的拱形以及运动物体的轨迹预测等领域。 2.2 最值问题 二次函数在经济学和管理学中也有广泛的应用，尤其是涉及利润、成本和收益等问题。在销售决策中，我们可以建立一个二次函数模型来找到最大利润所对应的产量或价格，从而为企业的营销活动提供科学依据。二次函数还能够帮助我们解决最小成本和最大效益的问题，为管理决策提供指导。 2.3 预测与优化问题 二次函数在预测和优化问题中也有重要应用。在金融领域，我们可以利用二次函数来建立股票价格的模型，预测未来趋势和价格波动。二次函数还可以用于优化问题，例如最佳化分工与生产，最佳投资组合等。 3. 示例分析 为了更好地理解二次函数解决实际问题的应用，我们以一个典型例子进行分析。假设有一块田地，面积为1000平方米，现在需要修建一个矩形花坛在田地中。我们想要找到面积最大的花坛。 我们需要建立数学模型。设田地的长为x米，宽为(1000/x)米，花坛的面积为A(x) = x*(1000/x) = 1000米^2。
二次函数解决实际问题归纳
二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤： 1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性； 最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。 （1）利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。 例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0) ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 （2）利用二次函数解决面积最值 例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF 问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少 2、用二次函数解抛物线形问题
常见情形 具体方法 抛物线 形建筑 物问题 几种常见的抛物线形建筑物 有拱形桥洞、涵洞、隧道洞口、 拱形门窗等 （1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状 的图形放到坐标系之中； （2）从已知和图象中获得求二次函数表达式所需 条件； （3）利用待定系数法求出抛物线的表达式； （4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问 题。 运动路 线（轨 迹）问题 运动员空中跳跃轨迹、球类飞 行轨迹、喷头喷出水的轨迹等 牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立二次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可 解； （3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函 数的表达式最为简单。 巧记实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点； 抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。 练习 1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么 2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为。这辆汽车能否顺利通过大门若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元 （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元 4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。（1）试求a 的值； （2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现试销量y（件）与每件售价x（元）满足关系式y=–10x+800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元) 与每件售价x（元）之间的函数关系式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大最大利润是多少
经典二次函数应用题(含答案)
二次函数应用题 1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？ （2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？ 2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 及x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为x 米．矩形的面积为S 平方米． （1）求S 及x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠），当2b x a =-时，244ac b y a -= 最大(小)值) 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）及月份x 之间满足函数关系 502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）及月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况 如下表： 月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台 （1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？ （2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了 %m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买 新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）． 34 5.83135 5.91637 6.08338 6.164） 5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量 y （件）及销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =； 75x =时，45y =． （1）求一次函数 y kx b =+的表达式； （2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 及销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
二次函数与实际问题
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实际问题与二次函数 一、利用函数求图形面积的最值问题 一、 围成图形面积的最值 1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗 圃。 （1） 设矩形的一边长为 米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； （2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大最大面积是多少 解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得：x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0 180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81) 1(4180442 2max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大 解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（ 250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252 1)250(2+-=-=； 又∵500,02 500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=2 1-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)2 1(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为 2625平方米。 3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结(含答案)
二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结 【题型1 利用二次函数解决几何图形问题】 【例1】（2020春•萧山区月考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（π取3） （1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围． （2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑） 【解题思路】（1）根据2AB+7半径+弧长＝6列出代数式即可； （2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可． 【解答过程】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6， 整理得：AB＝3﹣5x； 根据3﹣5x＞0， 所以x的取值范围是：0＜x＜3 5； （2）设面积为S，则S＝2x（3﹣5x）+3 2x 2=−17 2x 2+6x=−17 2（x− 6 17） 2+18 17，
当x=6 17时，S最大= 18 17． 【变式1-1】（2020•安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花， ②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼． （1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式； （2）求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值． 【解题思路】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根据正方形AEFG和正方形JKCI 形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同，得到DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答过程】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12， ∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状形状大小相同，AG＝x，∴DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x， ∵S矩形LJHF＝FL•LJ， ∴y＝（2x﹣12）（16﹣2x）＝﹣4x2+56x﹣192； （2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x﹣192＝﹣4（x﹣7）2+4， ∵FL＝2x﹣12＞0，LJ＝16﹣2x＞0， ∴6＜x＜8， ∵a＝﹣4＜0， ∴当x＝7时，y的最大值＝4； 故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4m2． 【变式1-2】（2020•富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．