江苏省泰州中学2023届高三下学期一模模拟数学试题+含解析

江苏省泰州中学2022-2023学年度第二学期高三一模模拟试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ，N 满足()M N N M ⋃⋃=，则（ ） A ．N =∅ B ．M NC ．M N ⊆D ．N M ⊆2．若复数z 满足|34i |12i z+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虛部是（ ） A ．103-B ．10i 3-C ．2iD ．23．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M ，N 到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（ ）A ．15πB ．36πC ．45πD ．48π4．已知平面单位向量a ，b ，c 满足2π,,,3a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=，则32a b c ++=（ ） A ．0B ．1CD5．记函数()()cos (0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为T ．若π4πT <<，且点π,02⎛⎫⎪⎝⎭和直线3π2x =分别是()y f x =图像的对称中心和对称轴，则T ＝（ ）A ．4π3B ．5π3C ．8π3D ．10π36．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r ．按复利计算，则小李每个月应还（ ） A ．()()1111111ar r r ++-元 B ．()()1212111ar r r ++-元C ．()11111a r +元D ．()12111a r +元7．在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>的左，右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于点,A B ，点T 在x 轴上，满足23BT AF =，且2BF 经过1BFT 的内切圆圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2CD 8．已知函数()ln x x xϕ=．设s 为正数，则在()2(),,(2)s s s ϕϕϕ中（ ） A ．()2s ϕ不可能同时大于其它两个 B ．(2)s ϕ可能同时小于其它两个C ．三者不可能同时相等D 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知nx ⎛ ⎝的展开式中共有7项，则（ ）A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为1C ．二项式系数最大的项为第4项D ．有理项共4项10．一组样本数据12,,,n x x x ⋯的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++⋯，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s '，则（ ） A ．2y x > B ．2y x = C ．s s '>D ．s s '=11．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=，且()()()12f x x x x x =---'，12x x <，则（ ） A ．2x 是函数()y f x =的一个极大值点 B ．()()12f x f x <C ．函数()y f x =在1223x x x +=处切线的斜率小于零 D ．1202x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，中心为O ，以O 为球心的球与四面体11AB CD 的四，则球O 的半径为（ ）A B C D 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年，让他们用一个关键词表达对中国的印象，使用频率前12的关键词为：高铁､移动支付､网购､共享单车､一带一路､无人机､大熊猫､广场舞､中华美食､长城､京剧､美丽乡村.其中使用频率排前四的关键词“高铁､移动支付､网购､共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”.从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的选法种数为___________（用数字作答）. 14．已知π3sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则πtan 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________.15．设221:1O x y +=与222:(2)4O x y +-=相交于,A B 两点，则AB =________．16．已知直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，,D E 分别为棱11A C ，AB 的中点，过点1,,B D E 作平面α将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为1212,()V V V V <，则2V =__________；平面α截此三棱柱的外接球的截面面积为__________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{}n a 是等差数列，11a =，且1a ，2a ，51a -成等比数列．给定*k ∈N ，记集合{}*2,k nn k an ≤≤∈N ∣的元素个数为k b ．(1)求1b ，2b 的值；(2)求最小自然数n 的值，使得122022n b b b ++⋯+>． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin bC A B a=--. (1)求A ；(2)设2a =，当b 的值最大时，求△ABC 的面积．19．如图，在四棱锥E -ABCD 中，//AB CD ，12AD CD BC AB ===，E 在以AB 为直径的半圆上（不包括端点），平面ABE ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为DE ，BC 的中点．(1)求证：//MN 平面ABE ；(2)当四棱锥E -ABCD 体积最大时，求二面角N -AE -B 的余弦值．20．某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75,100]内)进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和22⨯列联表．(1)请完成上面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在[95,100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在[90,95)内的岗位等级初定为二级，但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在[85,90)内的岗位等级初定为三级，但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；①若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率． 参考公式：22()n ad bc χ-=，.n a b c d =+++)0k0.152.07221．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F P 为椭圆上的动点.当12F PF ∠取最大值时，12PF F △（1）求椭圆的方程：（2）若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0OA OB ⋅=，是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切？若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由22．已知函数e 1()e 1x x f x -=+（e为自然对数的底数）.(1)若不等式e 1()e 1f x ->+恒成立，求实数x 的取值范围； (2)若不等式1()ln 23f x ax a <+-在(ln 2,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.1．D 【分析】利用并集和子集的定义即可求解 【详解】由()M N N M ⋃⋃=可得,M N M N M ⋃⊆⊆，故D 正确；当{}{}1,1,2N M ==，所以{}{}{}()1,211,2M N N M ⋃⋃=⋃==，故ABC 不正确 故选：D 2．D 【分析】根据复数的运算法则求得z 即可求得虚部. 【详解】 由已知|34i |12i z +=-，故()55=12i =12i 12iz z -⇒=+-， 故z 的虛部是2. 故答案为：D 3．C 【分析】为(1218)+ 的圆柱体积的一半，即可求解答案. 【详解】如图为圆柱的轴截面图，过M 作容器壁的垂线，垂足为F, 因为MN 平行于地面，故30MNF ∠=︒ ，椭圆长轴上的顶点M ，N 到容器底部的距离分别是12和18， 故18126NF =-= ,在Rt MFN △中，tan 30MF NF ︒==⨯，(1218)+ 的圆柱体积的一半，即为2130452ππ⨯⨯⨯= ，故选：C. 4．C 【分析】根据2π,,,3a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=可得b c a +=-，替换a ，利用数量积的运算即可求解. 【详解】如图，设,a OA =，,b OB =c OC =， 因为2π,3b c 〈〉=，所以平行四边形OCDB 为菱形， 则ODB △为正三角形，所以1OD =，且,OA OD 反向，所以b c a +=-，所以323()222a b c b c b c b c b c ++=--++=--=+， 因为2222π1244cos 14411332b c b c b c ⎛⎫+=++=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以23b c +=， 故选:C. 5．A 【分析】求出对称中心和对称轴之间的距离关系，根据周期的取值范围即可确定周期的值 【详解】 解：由题意在()()cos (0)f x x ωϕω=+>中，设对称点和与对称轴在x 轴上的交点间的距离为x 对称中心：()1ππZ 2x k k ωϕ+=+∈对称轴：()2πZ x k k ωϕ+=∈ 由几何知识得，12x x x =-解得：42T Tx K =+⋅（K 为属于*N 的参数） ①π4πT <<，且点π,02⎛⎫⎪⎝⎭和直线3π2x =分别是()y f x =图像的对称中心和对称轴①3πππ4222T T x K =+⋅=-= 解得：()4πN 21T K K *=∈+ ①π4πT << ①1K =,4π3T = 故选：A. 6．A 【分析】小李的还款x 元每月要产生复利，小李的贷款a 元每月也要产生复利.这是本题的关键所在. 【详解】设每月还x 元，按复利计算，则有()()()()2101111111x r r r a r ⎡⎤+++++++=+⎣⎦即()()()1111111111r x a r r ⎡⎤⨯-+⎣⎦=+-+ 解之得()()1111111ar r x r +=+-，故选：A 7．C 【分析】根据双曲线的定义先推出2ABF △为正三角形，然后根据余弦定理解决. 【详解】23BT AF =，①2AF BT ∥，①2212,AF B TBF AB AF ∠=∠=，①2BF 经过1BFT 内切圆圆心，①2BF 为1F BT ∠的角平分线，①122F BF TBF ∠=∠．①22ABF BF A ∠=∠，①2AB AF =， 21112a AF AF AB AF AF =-=-=，122,4AF a AF a ∴==，12122236a BF BF AF BF a BF =-=-=-①24BF a =，于是224AB AF BF a ===， ①2ABF △为正三角形，1223F AF π∠=．12F AF 中，由余弦定理，222144162242c a a a a ⎛⎫=+⋅⋅⋅- ⎝-⎪⎭①e故选：C.8．D 【分析】利用导数分析函数()x ϕ的单调性和最值，并结合2,,2s s s 的大小关系，通过赋值或分类讨论分析判断. 【详解】 ①()21ln xx x ϕ-'=，则当0e x <<时，()0x ϕ'>，当e x >时，()0x ϕ'<， 故()x ϕ在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则()()1e ex ϕϕ≤=，且()()ln 2242ϕϕ==，对A ：若2e s =，则2s s ==()()22(),(2)s s s s ϕϕϕϕ<<，A 错误；对B 、C ：当01s <≤时，则2022e s s s <≤<≤<，故()2()(2)ss s ϕϕϕ≤<；当12s <<时，则224s s <<<，故()()()(2)24s s ϕϕϕϕ=<<； 当2s =时，则224s s ==，故()()()22()(2)4s s s ϕϕϕϕϕ====；当2s >时，则242s s <<，故()()22s s ϕϕ>；综上所述：(2)s ϕ不可能同时小于()()2,s s ϕϕ，B 、C 错误；对D ：构建()()26ln 146x x f x x x +=+-+，则()()()320123x f x x x '=-<++当()0,2x ∈时恒成立， 故()f x 在()0,2上单调递减，则()()00f x f <=，令1x =，可得()71ln 2010f =-<，则7ln 210<，故ln 212e<<，即()02,4x ∃∈，使得()0f x =反证：假设()2(),,(2)s s s ϕϕϕ()2,,22,4s s s ∈，显然不成立，假设不成立，D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：在比较ln 2()()26ln 146x x f x x x +=+-+，结合导数分析判断. 9．ACD 【分析】由题意可得6n =，对于A ，所有项的二项式系数和为2n ，对于B ，令1x =可求出所有项的系数和，对于C ，由二项式展开式的系数特征求解即可，对于D ，求出二项式展开式的通项公式，可求出所有的有理项 【详解】因为nx ⎛⎝的展开式中共有7项，所以6n =，对于A ，所有项的二项式系数和为6264=，所以A 正确，对于B ，令1x =，则所有项的系数和为6111264⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以B 错误，对于C ，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C 正确，对于D ，6x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为366216612r rr r r r r T C x C x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，当0,2,4,6r =时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D 正确，故选：ACD 10．BC 【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】 由题意322nx n xy x n+⋅==， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==-+-++-=-∑，同理222222211(3)9nnkk k n k n ns xn x xnx =+=+=-⋅=-∑∑两式相加得22221210nk k ns x nx ==-∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx =='=-⋅=-∑∑，所以2222ns ns '>，s s '>． 故选：BC ． 11．AB 【分析】根据导数符号与单调性的关系，以及极值的定义逐项分析判断. 【详解】 令0fx，解得12x x x <<，则()f x 在()12,x x 上单调递增，令()0f x '<，解得2x x >或1x x <，则()f x 在()()12,,x x -∞+∞,上单调递减， 故2x 是函数()y f x =的一个极大值点，()()12f x f x <，A 、B 正确； ①121223x x x x +<<，则12203x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，故函数()y f x =在1223x x x +=处切线的斜率大于零，C 错误； 又①12122x x x x +<<，则()()12122x x f x f f x +⎛⎫<< ⎪⎝⎭，但无法确定函数值的正负，D 错误； 故选：AB. 12．BC 【分析】根据正四面体性质可求得球心O 到正四面体每个面的距离d ；当正四面体每个面截得的曲线为一个圆时，可求得小圆的半径r ，由222R r d =+可求得R ；当正四面体每个面截得的曲线为三段等差的圆弧时，可得πcos 3⎛= ⎝⎭构造函数()πcos 3f r ⎛= ⎝⎭利用导数可求得()f r 在()0,∞+上单调递增，可确定其唯一零点r =由222R r d =+可求得结果. 【详解】由题意可知：四面体11AB CD 为正四面体，设球O 的半径为R ；正方体棱长为1，∴， 设球心O 到正四面体各个面的距离为d ，正四面体体积11114111323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=，表面积142S =⨯=3V d S ∴==①若正四面体的一个面截球如图所示，设小圆半径为r ，则12π4r ==，解得：r =222548R r d ∴=+=，解得：R =①若正四面体的一个面截图如图所示，每个面截球所得的曲线长为14=，MQ ∴，设小圆半径为r ，1O 为正四面体侧面的中心，E 为MN 中点，1QO M ∴∠=113O E =12π3QO N ∠=， 1π3MO E ∴∠=π6cos 3r ⎛∴== ⎝⎭令()πcos 3f r ⎛=⎝⎭()πsin 3f r ⎛'∴=- ⎝⎭，2630636r -=>恒成立，()f r ∴在()0,∞+上单调递增，又ππcos 031222f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭，r ∴=， 222512R r d ∴=+=，解得：R = 综上所述：球O 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题考查球的截面截球所得曲线相关问题的求解，解题关键是能够通过分类讨论的方式，确定正四面体各个侧面截球所得曲线的不同情况，从而根据不同情况下曲线长度来求解截面圆的半径. 13．164 【分析】从这12个关键词中选择3个不同的关键词，分为包含一个、二个、三个“新四大发明”关键词的情况计算可得答案. 【详解】把12个的关键词分为两组：高铁、移动支付、网购、共享单车一组，余下的为一组， 从这12个关键词中选择3个不同的关键词，且至少包含一个“新四大发明”关键词的情况有3211244848164++=C C C C C 种.故答案为：164. 14．7- 【分析】根据同角三角函数基本关系求出πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正切公式计算πππtan tan 1264αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π2π7π,636α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为π3sin 065α⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以π2π,π63α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4cos 65α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以π3sin π365tan 4π6cos 546ααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+===- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 所以ππ3tan tan 1πππ644tan tan 73ππ1264111tan tan464αααα⎛⎫+--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-===- ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦-⨯++ ⎪⎝⎭， 故答案为：7-. 15【分析】先求出两圆的公共弦所在的直线方程，然后求出其中一个圆心到该直线的距离，再根据弦长、半径以及弦心距三者之间的关系求得答案. 【详解】将221:1O x y +=和222:(2)4O x y +-=两式相减：得过,A B 两点的直线方程：14y = ， 则圆心1(0,0)O 到14y =的距离为14，所以AB ==，16． 176269π 【分析】取AC 中点1D ，取1AD 中点F ，连,EF DF ，1EF DB ，求出棱台的体积1V ，再由柱体体积减去台体体积可得2V ；利用向量法求出外接球球心到平面α距离d ，从而求出小圆的半径，即可得到答案； 【详解】取AC 中点1D ，取1AD 中点F ，连,EF DF ，1EF DB∴平面α为平面1DB EF ，1111A B D S =△，14AEF S =△ 11117123426V ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭，21717222266V =⨯⨯⨯-=，=如下图建系，(0,0,0)B ，1(0,0,2)B ，(1,1,2)D --，(0,1,0)E -，设平面α的法向量(,,)n x y z =，100n B D n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，020x y x z --=⎧∴⎨-=⎩，不妨设1z =，则2,2-==y x ，(2,2,1)n =- ∴球心(1,1,1)M --到平面α距离113MB n d n⋅==， r ∴==2269S r ππ==．故答案为：176，269π 17．(1)12b =，23b =； (2)11 【分析】（1）利用等比数列的性质求得{}n a 公差，得通项公式n a ，写出1,2k =时的集合可得元素个数，即12,b b ；（2）由（1）可得n b ，然后分组求和法求得和12n b b b +++，用估值法得10n =时和小于2022，11n =时和大于2022，由数列的单调性得结论．【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，51a -成等比数列，得2152(1)a a a -=，21(141)(1)d d ⨯+-=+，解得1d =，所以n a n =，1k =时，集合*{|12,}n n n ≤∈≤N 中元素个数为12b =， 2k =时，集合*{|24,}n n n ≤∈≤N 中元素个数为23b =；（2）由（1）知21kk b k =-+，2122(12)(1)2(21)12222n nn n n n n b b b n -++++=-+=--+-，10n =时，22(21)22nn n --+=2001<2022，11n =时，22(21)22nn n --+=4039>2022，记12n n T b b b =+++，显然数列{}n T 是递增数列，所以所求n 的最小值是11.18．(1)π4(2)125【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和和三角函数公式化简等式，即可得出A .（2）根据正弦定理将b 转化为关于B 的三角函数式，利用三角变换和正弦函数的性质可求其最值，从而求出,b c ，即可求出△ABC 的面积 【详解】 （1）由题意 在△ABC 中，()sin sin bC A B a=--，πA B C ++=， 由正弦定理得，sin sin b B a A= ①()sin sin πsin sin bC A B a A B C b Ba A ⎧=--⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎩，整理得到sin 2cos sin sin BA B A =，而B 为三角形内角，故sin 0B >，故sin 21A =，而()20,2πA ∈， 故π22A =即π4A =.（2）由题意及（1）得在△ABC 中，2a =，π4A =，故外接圆直径2πsin 4aR ==，故2sin 2sin sin 4b R B R C B B π⎤⎛⎫==+ ⎪⎥⎝⎭⎦))sin sin cos 2sin cos B B B B B =++=+，()B ϕ=+，其中cos ϕϕ==π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为3π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3π,4B ϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，而3π3π5π,444ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故()sin B ϕ+的最大值为1，此时π2B ϕ+=，故sin cos B ϕ==cos sin B ϕ==故b ==，且)πsin sin sin cos 4C B B B ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭故c ==此时1112sin 225ABCSbc A ===. 19．(1)证明见解析【分析】（1）取EC 的中点的F ，连接MF ，NF ，证得//MF DC ，得到//MF AB ，利用线面平行的判定定理得到MF ∥平面ABE ，同理得到//NF 平面ABE ，证得平面//MNF 平面ABE ，进而得到//MN 平面ABE .（2）过E 作EO AB ⊥交AB 于O ，证得EO ⊥平面ABCD ，取CD 的中点G ，连接OG ，以O 为原点，分别以AB 为x 轴，以OE 为y 轴，以OG 为z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面AEN 和平面ABE 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，取EC 的中点的F ，连接MF ，NF ， 因为M ，F 分别为ED 和EC 的中点，所以//MF DC ， 因为//AB DC ，所以//MF AB ，因为AB ⊂平面ABE ，MF ⊄平面ABE ，所以MF ∥平面ABE ， 同理可得//NF 平面ABE ， 因为MF NF F =，MF ⊂平面MNF ，NF ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面ABE ，因为MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面ABE .（2）解：如图所示，过E 作EO AB ⊥交AB 于O ，因为平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ⋂平面ABCD AB =，EO ⊂平面ABE ， 所以EO ⊥平面ABCD ，故EO 为四棱锥E -ABCD 的高，要使四棱锥E -ABCD 体积最大，则E 为弧AEB 的中点，所以O 与AB 的中点， 取CD 的中点G ，连接OG ，因为//AB CD ，12AD DC CD AB ===，所以OG AB ⊥， 因为EO ⊥平面ABCD ，所以EO AB ⊥，EO OG ⊥，所以EO ，AB ，OG 两两垂直， 以O 为原点，分别以AB 为x 轴，以OE 为y 轴，以OG 为z 轴建立空间直角坐标系， 设12AD DC CD AB a ====，所以AE EB =， 可得()0,,0A a -，(),0,0E a，30,4N a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则(),,0AE a a =，70,4AN a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面AEN 的一个法向量(),,n x y z =，则00AE n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得0704ax ay ay +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 令1x =，则平面AEN的一个法向量为1,n ⎛=- ⎝⎭， 平面ABE 的一个法向量为()0,0,1m =，则733cos ,55m n m n m n⋅<>===由图可知二面角N AE B --的平面角为锐角， 所以二成角N AE B --20．(1)表格见解析，没有； (2)①310；①925.【分析】（1）根据频率直方图求出得分不低于90分的人数，结合所给的公式和数据进行求解判断即可；（2）①根据古典概型的计算公式，结合和事件的概率公式进行求解即可；①分类运算即可得解.【详解】（1）得分不低于90分的人数为：40(0.040.02)512⨯+⨯=，所以填表如下：所以2240(812416)0.317 2.706(84)(1612)(816)(412)χ⨯⨯-⨯=≈<++++， 因此没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；（2）不低于85分的员工的人数为：40(0.060.040.02)524⨯++⨯=，直接定为一级的概率为0.025401246⨯⨯=， 岗位等级初定为二级的概率为：0.045401243⨯⨯=， 岗位等级初定为三级的概率为：0.065401242⨯⨯=. ①甲的最终岗位等级为一级的概率为：112363510+⨯=； ①甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为：2333390.0250.0450.0450.0655555525⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 21．（1）2214x y +=；（2）存在，2245x y += 【分析】（1）根据余弦定理和基本不等式确定点P 为椭圆短轴端点时，12F PF ∠取最大值，再根据三角形面积及222a b c =+，求得2a =，1b =，c =（2）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理可得d =可得到答案；【详解】（1）依题意可得c e a = 设12F PF θ∠=，由余弦定理可知：22212124||||2||||cos c PF PF PF PF θ=+-⋅， 所以2222212122221cos 2||||||||b b b PF PF PF PF aθ⎛⎫+=⋅= ⎪⋅+⎝⎭， 当且仅当12||||PF PF =（即P 为椭圆短轴端点）时等号成立，且12F PF ∠取最大值； 此时12PFF △的面积是122c b bc ⋅= 同时222a b c =+，联立bc =c a =解得2a =，1b =，c = 所以椭圆方程为2214x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x n =，所以2244n n +=，245n =，此时d = 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，原点O 到直线1的距离为d d =， 整理得()2221m d k =+， 由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()222418440k x kmx m +++-=，()()()()2222284414416410km k m k m ∆=-+-=-+>， 122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+ ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224484414141m km m k k km m k k k ---=⋅+⋅+=+++ 2222212122224445440414141m m k m k OA OB x x y y k k k ----⋅=+=+==+++ 225440m k --=， ()22251440d k k +--=，恒成立， 即()()225410d k -+=恒成立 ，所以2540d -=，所以d =， 所以定圆C 的方程是2245x y += 所以当0OA OB ⋅=时 ， 存在定圆C 始终与直线l 相切 ， 其方程是2245x y +=. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、圆的方程求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对直线的斜率分存在不和存在两种情况的讨论.22．(1)1x >； (2)4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）先判断()f x 在R 上单调递增，再利用单调性解不等式得解； （2）等价于e 11ln 20e 13x x ax a --+-<+对(ln 2,)x ∀∈+∞恒成立，令e 11()ln 2e 13x x g x ax a -=-+-+，利用二次求导对a 分类讨论求函数()g x 的最大值得解. 【详解】（1）解：e 122()1e 1e 1x x x f x +-==-++，由复合函数的单调性原理得()f x 在R 上单调递增，由e 1()e 1f x ->+得e 1e 1e 1e 1x x -->++，即()(1),1f x f x >∴>.（2）解：e 11ln 20e 13x x ax a --+-<+对(ln 2,)x ∀∈+∞恒成立 令e 11()ln 2e 13x x g x ax a -=-+-+，22e ()(e 1)xx g x a '=-+， 32e (1e )()0(e 1)x x x g x -''=<+，()g x '∴在(ln2,)+∞上单调递减， 4()(ln 2)9g x g a ''∴<=-， 若409a -≤，即49a ≥时，()0g x '<在(ln 2,)x ∈+∞上恒成立，则()g x 在(ln2,)+∞上单调递减，()(ln 2)0g x g <=符合题意. 若409a ->，即49a <时， （i ）若0a ≤，则()0g x '>，()g x 在(ln2,)+∞上单调递增，()(ln 2)0g x g >=这与题设矛盾，舍去.（ii ）若409a <<，则存在0x 使00()g x '=，且当0(ln 2,)x x ∈时，()0,()g x g x >'单调递增，此时()(ln 2)0g x g >=这与题设也矛盾，舍去.综上：实数a 的取值范围为4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。