湖北省2021年普通高校对口单招体育模拟数学试卷

湖北省2021年普通高校对口单招体育模拟数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}A x x x =--<，4{|log 0.5}B x x =<，则（ ） A ．AB =∅ B ．B A ⊆C ．AB =RR D ．A B ⊆2．在复平面内，复数23i32i-+对应的点的坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．13(0,)9- C ．12(,1)13- D ．1213(,)99- 3．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） ①(||)y f x =；②()y f x =-；③()y xf x =；④()y f x x =+． A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④4．已知向量(1,2)a =-，(3,6)b =-，若向量c 满足c 与b 的夹角为120︒，(4)5c a b ⋅+=，则c =（ ）A ．1B 5C ．2D ．255．设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的 前10项和等于（ ）A ．10-B ．5-C ．0D ．5 6.某同学想求斐波那契数列0,1,1,2,（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内 应分别填入的语句是（ ）A ．c a =；9i ≤B ．b c =；9i ≤C ．c a =；10i ≤D ．b c =；10i ≤7．若不等式组0220x y x y x m-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是面积为169的三角形，则m 的值为（ ） A ．12 B ．23 C ．23- D ．568．F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为F ，交另一条0,1,3a b i ===S a b=+S S c=+c a b =+a b=1i i =+否是输出 S 结束开始y =2xx=1y Oyy =2y =2xO渐近线于点B ．若2AF FB =，则C 的离心率是（ ） A 2．2C 233D 1439．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．4B ．213C ．3312D 33122 10．如图是函数π()sin(2) (||)2f x A x ϕϕ=+≤图像的一部分，对不同的12,[,]x x a b ∈，若12()()f x f x =，有12()3f x x +=，则（ ） A ．()f x 在5ππ(,)1212-上是减函数 B ．()f x 在π5π(,)36上是减函数 C ．()f x 在5ππ(,)1212-上是增函数 D ．()f x 在π5π(,)36上是减函数 11．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点且斜率为2的直线与C 交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆与C 的准线有公共点M ，若点M 的纵坐标为2，则p 的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．812．已知函数3()(3)f x a x ax =--在[1,1]-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)12,+∞C ．[]1,12-D ．3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题:本大题共4小题，每小题5分． 13．532(x x展开式中的常数项为．14．A 、B 、C 三点在同一球面上，135BAC ∠=︒，BC =2，且球心O 到平面ABC 的距离为1，则此球O 的体积为．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积120()2x V dx π=⎰圆锥3101212x ππ==．据此类比：将曲线2(0)y x x =≥与直线2y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =．16．已知数列{}n a 满足(1)21(1)n n n n a a n +++=-，n S 是其前n 项和，若20151007S b =--，且10a b >，则112a b+的最小值为． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2222222sin sin sin C B a c b B b c a -+-=+-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3a =，sin 2sin C B =，求b 、c 的值．18．（本小题满分12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050，各类人群可正常活动．某市环保局在2021年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a 的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；19．（本小题满分12分）如图所示,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是梯形,//AD BC ,侧面11ABB A 为菱形,1DAB DAA ∠=∠.（Ⅰ）求证:1A B AD ⊥；（Ⅱ）若12,60AD AB BC A AB ==∠=,点D 在平面11ABB A 上的射影恰为线段1A B 的中点,求平面11DCC D 与平面11ABB A 所 成锐二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，A 是E 的右顶点，P 、Q 是E 上关于原点对称的两点，且直线P A 的斜率与直线QA 的斜率之积为34-． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过E 的右焦点作直线与E 交于M 、N 两点，直线MA 、NA 与直线3x =分别交于C 、D 两点，设△ACD 与△AMN 的面积分别记为1S 、2S ，求122S S -的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数221()ln ,(),2f x x mxg x mx x m R =-=+∈，令()()()F x f x g x =+. （Ⅰ）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数．．m 的最小值；（Ⅲ）若2m =-，正实数12,x x 满足1212()()0F x F x x x ++=，证明：12512x x -+≥．请考生在第22、23、24两题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲=如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C 、D 两点，交圆O 于E 、F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线， 交直线AF 于点H ．（Ⅰ）求证：B 、D 、H 、F 四点共圆；（Ⅱ）若2,22AC AF ==BDF 外接圆的半径．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合．点A 、B 的极坐标分别为(2,π)、π(,)4a （a ∈R ），曲线C 的参数方程为12cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)（Ⅰ）若22a =AOB ∆的面积；（Ⅱ）设P 为C 上任意一点，且点P 到直线AB 的最小值距离为1，求a 的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|||2|f x x x a =+-． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）若不等式2()f x a ≥对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．数学参考答案三、解答题17．解析：（1）由正弦定理得2sin sin cos sinB cos C B a B b A -=sin cos sin cos A BB A=所以2sin cos sin()sin C A A B C =+= 因为sin 0C ≠，故1cos 2A =，所以π3A = （2）由sin 2sin CB =，得2c b =，由条件3a =，π3A =， 所以由余弦定理得2222222cos 3a b c bc A b c bc b =+-=+-=，解得3,23b c ==18．解析：(Ⅰ)由题意，得(0.030.0320.010.008)101,a ++++⨯=解得0.02.a =50个样本中空气质量指数的平均值为0.150.2150.32250.3350.084525.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=由样本估计总体，可估计2021年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[]0,20内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则(2,0.3)B ξ.ξ的可能取值为0，1，2，021224942(0)(0.3)(0.7),(1)(0.3)(0.7),100100P C P C ξξ==⨯===⨯=2229(2)(0.3)100P C ξ===ξ∴的分布列为：ξ12P49100421009100494290120.6100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=.(或者20.30.6E ξ=⨯=)， 故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为300.618⨯=天.19．解析：方法一：（1）因为侧面11ABB A 为菱形，所以1AB AA =， 又1DAB DAA ∠=∠，所以()11A B AD A A AB AD ⋅=+⋅1A A AD AB AD =⋅+⋅11cos()cos A A AD DAA AB AD DABπ=⋅-∠+⋅∠11cos cos 0AB AD DAA AB AD DAA =-⋅∠+⋅∠=，从而1A B AD ⊥.（2）设线段1A B 的中点为O ，连接DO 、1AB ，由题意知DO ⊥平面11ABB A .因为侧面11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥，故可分别以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图1所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ∠=︒可知OB a =，13OA OB a ==， 所以22OD AD OA a =-=，从而(030)A a ，，，(00)B a ，，，1(030)B a ，，， (00)D a ，，. 所以 11(30)CC BB a a ==-，，.由12BC AD =可得31()22C a a a ，，，所以31()22DC a a a =-，，. 设平面11DCC D 的一个法向量为000()m x y z =，，，由10m CC ⋅=，0m DC ⋅=， 得0000030310.22ax ay ax ay az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，取01y =，则03x =，033z =，所以(3133)m =，，. 又平面11ABB A 的法向量为(00)OD a =，，，所以333cos ==933131OD m a OD m a ODm⋅〈〉=，. 故平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为39331. 方法二：（Ⅰ）连接1AB 、1A D 、BD ，设1AB 交1A B 于点O ，连OD ，如图2所示.由1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠可得△1AA D ≌△ABD ， 所以1A D BD =.由于O 是线段1A B 的中点，所以1DO A B ⊥， 又根据菱形的性质1AO A B ⊥，所以1A B ⊥平面ADO ， 从而1A B AD ⊥.（Ⅱ）因为//AD BC ，2AD BC =，所以延长AB 、DC 交于点E ， 延长11A B 、11D C 交于点F ，且BE AB =，111B F A B =.连接EF ， 则1//EF BB .过点O 作1BB 的垂线交1BB 于点G ，交EF 于点H ， 连接DH ，如图3所示.因为1//EF BB ，所以OH EF ⊥. 由题意知DO ⊥平面11ABB A ，所以由三垂线定理得DH EF ⊥，图2故DHO ∠是平面11DCC D 与平面11ABB A 所成二面角的平面角.易知32OG =，3GH a =，所以332OH =.在Rt △DOH 中， 2222333122DH OH OD a a ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以333932cos 31312aOH DOH DH a ∠=故平面11DCC D 与平面11ABB A 3933120．解析：（1）设0000(,),(,)P x y Q x y --，则222202()b y a x a=-22000222000PA QAy y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==--+-，依题意有2234b a = 又1c =，所以解得224,3a b == 故E 的方程为22143x y +=（2）设直线MN 的方程为1x my =+，代入E 的方程得22(34)690m y my ++-=设1122(,),(,)M x y M x y ，则12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ 直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--，把3x =代入得111121C y y y x my ==--，同理221D y y my =-所以21221212||||||31()1C D y y CD y y m m y y m y y -=-==+-++ 所以2113||122S CD m =+，22122161||||234m S AF y y m +=⋅-=+221223611234m S S m m +-=++21(1)m t t +=≥，则221m t =-， 所以12262331t S S t t -=-+，记26()331t f t t t =-+，则2226(31)()30(31)t f t t -'=+>+所以()f t 在[1,)+∞单调递增地，所以()f t 的最小值为3(1)2f = ，故122S S -的最小值为3221．解析：⑴21(),0,2f x lnx x x =->211()(0)x f x x x x x -'=-=> 由()0,f x '>得210,x ->又0,x >所以01x <<．所以()f x 的单增区间为(0,1).（2）方法一：令21()()(1)(1)1,2G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+ 所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=． 当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>．所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)11(1)120,22G ln m m m =-⨯+-+=-+> 所以关于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立．当0m >时，21()(1)(1)1()m x x mx m x m G x x x -+-+-+'==-． 令()0,G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0;G x '>当1(,)x m∈+∞时，()0G x '<． 因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在1(,)x m∈+∞是减函数． 故函数()G x 的最大值为2111111()()(1)1ln .22G ln m m m m m m m m=-⨯+-⨯+=- 令1()ln ,2h m m m =-因为11(1)0,(2)20,24h h ln =>=-< 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <．所以整数m 的最小值为2．方法二：⑵由()1F x mx ≤-恒成立，得2112lnx mx x mx -+≤-在(0,)+∞上恒成立． 问题等价于2112lnx x m x x ++≥+在(0,)+∞上恒成立．令21()12lnx x h x x x ++=+，只要max ()m h x ≥． 因为221(1)()2(),1()2x x lnx h x x x +--'=+令()0,h x '=得102x lnx --=． 设1()2x x lnx ϕ=--，因为11()02x xϕ'=--<，所以()x ϕ在(0,)+∞上单调递减， 不妨设102x lnx --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0;h x '>当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '<．所以()h x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020*********()()11(1)22x lnx x h x h x x x x x x +++====++． 因为111()20,(1)0242ln ϕϕ=->=-< 所以011.2x <<此时max 0112,()(1,2).g x x <<∈所以2,m ≥即整数m 的最小值为2 （3）当2m =-时，2(),0F x lnx x x x =++>由1212()()0,F x F x x x ++=即22111222120lnx x x lnx x x x x ++++++=从而212121212()()()x x x x x x ln x x +++=⋅-⋅ 令12,t x x =⋅则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'= 可知()t ϕ'在区间（0，1）上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增。