三角函数零点个数解题技巧

三角函数零点个数解题技巧
三角函数零点个数解题技巧
一、引言
在学习高中数学时，我们会接触到三角函数的概念和相关的应用。

而在解题过程中，求出三角函数的零点是非常重要的一步。

本文将介绍三角函数零点个数解题技巧，帮助大家更好地掌握这一知识点。

二、三角函数的定义及性质
1. 三角函数的定义
正弦函数：$y = \sin x$
余弦函数：$y = \cos x$
正切函数：$y = \tan x$
余切函数：$y = \cot x$
正割函数：$y = \sec x$
余割函数：$y = \csc x$
2. 三角函数的周期性
对于任意实数 $x$，有以下周期性：$\sin (x + 2k\pi) = \sin x, k\in Z$ $\cos (x + 2k\pi) = \cos x, k\in Z$ $\tan (x + k\pi) = \tan x, k\in Z$ $\cot (x + k\pi) = \cot x, k\in Z$ $\sec (x + 2k\pi) = \sec x, k\in Z$ $\csc (x + 2k\pi) = \csc x, k\in Z$ 3. 三角函数的奇偶性
对于任意实数 $x$，有以下奇偶性：
$\sin (-x) = -\sin x$
$\cos (-x) = \cos x$
$\tan (-x) = -\tan x$
$\cot (-x) = -\cot x$
$\sec (-x) = \sec x$
$\csc (-x) = -\csc x$
4. 三角函数的单调性
对于 $0<x<\pi$，有以下单调性：正弦函数：增函数
余弦函数：减函数
正切函数：增函数
余切函数：减函数
正割函数：减函数
余割函数：增函数
三、三角函数零点个数的判定方法
1. 正弦和余弦的零点个数判定方法
当 $f(x)=a\sin x+b\cos x$ 时，可以使用以下方法求解：
令 $t=\arctan(\frac{b}{a})$，则 $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+t)$。

当 $\sqrt{a^2+b^2}=0$ 时，方程无解；当
$\sqrt{a^2+b^2}>0$ 时，方程有两个解。

当 $\sin x=0$ 或 $\cos x=0$ 时，方程有一个解；当 $\sin x=\cos x$ 时，方程有两个解。

综上所述，当 $f(x)=a\sin x+b\cos x+c=0$ 时，可以按照以下步骤求解：
① 求出 $t=\arctan(\frac{b}{a})$。

② 判断 $\sqrt{a^2+b^2}$ 是否等于 $0$，若等于 $0$，则方程无解；否则，进入下一步。

③ 求出 $\sin(x+t)=\frac{-c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 的解。

④ 根据 $\sin x=0$ 或 $\cos x=0$ 以及 $\sin x=\cos x$ 的情况，求出方程的所有解。

2. 正切和余切的零点个数判定方法
当 $f(x)=a\tan x+b\cot x+c=0$ 时，可以按照以下步骤求解：
① 求出 $t=\arctan(\frac{1}{b})$ 或 $t=\arctan(-\frac{1}{b})$。

② 求出 $\tan(x+t)=\frac{-c}{a}$ 的解。

③ 根据 $\tan x=0$ 或 $\cot x=0$ 的情况，求出方程的所有解。

3. 正割和余割的零点个数判定方法
当 $f(x)=a\sec x+b\csc x+c=0$ 时，可以按照以下步骤求解：
① 求出 $t=\arccos(\frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}})$ 或 $t=-
\arccos(\frac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}})$。

② 求出 $\sec(x+t)=\frac{-c}{a}$ 的解。

③ 根据 $\cos x=0$ 或 $\sin x=0$ 的情况，求出方程的所有解。

四、例题分析
1. 求 $2\sin^2x+3\cos x-1=0$ 的解。

解：将该方程转化为 $2(1-\cos^2x)+3\cos x-1=0$，可得到
$2\cos^2x+3\cos x-3=0$。

根据一元二次方程的求根公式，可得：
$$
\begin{aligned}
&\Delta = 9+24 = 33 > 0 \\
&x_1 = \frac{-3+\sqrt{33}}{4} \\
&x_2 = \frac{-3-\sqrt{33}}{4}
\end{aligned}
$$
因此，原方程的解为 $x_1,x_2$。

2. 求 $\tan^4x+\cot^4x=50$ 的解。

解：将该方程转化为 $(\tan^2x+\cot^2x)^2-
2\tan^2x\cot^2x=50$，可得到 $\sec^4x-2=50$。

即 $\sec
x=\pm 3$。

当 $\sec x=3$ 时，$\cos x=\frac{1}{3}$，$\sin x=\pm
\frac{\sqrt{8}}{3}$。

因此，原方程的解为
$k\pi+\arcsin(\frac{\sqrt{8}}{3})$ 和 $k\pi-
\arcsin(\frac{\sqrt{8}}{3})$，其中 $k\in Z$。

当 $\sec x=-3$ 时，$\cos x=-\frac{1}{3}$，$\sin x=\pm
\frac{\sqrt{8}}{3}$。

因此，原方程的解为 $k\pi+\arcsin(-
\frac{\sqrt{8}}{3})$ 和 $k\pi-\arcsin(-\frac{\sqrt{8}}{3})$，其中
$k\in Z$。

五、总结
本文介绍了三角函数的定义及性质，并详细介绍了三角函数零点个数
的判定方法。

通过例题分析，我们可以发现，在解三角函数的零点时，
需要根据具体情况选择不同的方法进行求解。

希望本文能够对大家掌握三角函数零点个数解题技巧有所帮助。