组合与组合数公式

组合与组合数公式
从
个不同元素中取出
个元素并成一组，叫做从
个不同元素中取出
个
元素的一个组合．
组合数公式：
从
个不同元素中取出
个元素的所有组合的个数，称之，用符号
表示，
如从6个元素中取出2个元素的组合数为
.
【评述】
区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．
求从
个不同元素中取出
个元素的排列数
，可分为以下两步：
第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为
；
第2步，求每一个组合中
个元素的全排列数为
．
根据分步计数原理，得到
公式1：
公式2：
组合数的两个性质
(1)m n C =m
n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .
例1 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4。

6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．
分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。

解：第一类：五位数中不含数字零。

第一步：选出5个数字，共有
种选法．
第二步：排成偶数—先排末位数，有 种排法，再排其它四位数字，有
种排法．
∴
（个）
第二类：五位数中含有数字零．
第一步：选出5个数字，共有种选法。

第二步：排顺序又可分为两小类；
（1）末位排零，有种排列方法；
（2）末位不排零．这时本位数有种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有
种排法，其余3个数字则有种排法．
∴
∴符合条件的偶数个数为
（个）
说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解．请读者自行完成．
例2有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。

现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？
分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人}
先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。

第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在中选3人，即有种选法。

因是分步问题，所以有种选法。

第②类，划左舷的人在A中选2人，有种选法，
在C中选1人，有种选法，划右舷的在中剩下的8个人中选3人，有种选
法。

因是分步问题，所以有种选法。

类似地，第③类，有种选法。

第④类有种选法。

因为是分类，所以一共有种选法。

解：
种
答：一共有2174种不同选法．
说明：这种比较复杂的在若干个集合中选取元素的问题，只要能运用分类思想正确对所
求选法分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步骤，就可以顺利地求得解答．在分类时，要注意做到既不重复也不遗漏．
这里是以集合A为基准进行分类，也可以集合B或集合C为基准进行分类，其结果是相同的，但一般都选择元素个数较少的集合作为基准来分类，这样可以减少分类，方便运算．例3甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方由1号队员出赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，试求所有可能出现的比赛过程的种类．
分析与解：若甲队取胜，比赛结果，可能是，，，，，，
．
只有一个过程；
共8场，乙队在前7场中胜一场，有种不同的过程；
共9场，乙队在前8场中胜二场，有种不同的过程；
共10场，乙队在前9场中胜三场，有种不同的过程；
………………
∴甲队取胜的过程种数是：
类似乙队取胜也有同样的过程种数
∴共有种不同的比赛过程．
小结：一个排列与另一个排列的区别有两点，一点是元素不同，另一点是顺序不同（在元素相同时）；而一个组合与另一个组合不同点仅是元素不同，由此可知，排列是有顺序问题，组合是无顺序问题．本题是一应用问题，根据实际确定是组合问题．。