2017组合与组合数公式
组合计算的公式
组合计算的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：组合计算是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在组合中，我们关心的是从一个给定的集合中选择一定数量的元素，而不考虑元素的具体顺序。
在组合计算中，最基本的概念就是组合数，它表示从n个元素中选取k个元素的方法数。
组合数的计算公式如下：\[ C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]n表示总共有多少个元素，k表示选择多少个元素，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1，k!表示k的阶乘，(n-k)!表示n-k的阶乘。
组合数的计算方法有很多种，其中最常用的就是利用公式直接计算。
我们也可以通过排列组合的思想来理解组合数的计算过程。
我们可以将选取k个元素的过程看作是从n个元素中排列，然后再去除掉顺序不同但元素相同的排列，这样就能得到组合数。
除了求解组合数，组合计算还可以应用在很多实际问题中。
我们可以利用组合数来计算从一副扑克牌中取出一副手牌，或者从一组人员中选取一个团队。
在概率统计中，组合计算也有着重要的应用，比如计算事件发生的可能性等。
组合计算还与二项式定理密切相关。
二项式定理是一个常见的代数公式，可以用来展开一个二项式的幂。
在二项式定理中，系数与组合数有着密切的联系，这也进一步说明了组合计算的重要性。
组合计算是一个非常有趣的数学领域，它不仅有着丰富的理论基础，还有着广泛的应用场景。
通过深入学习组合计算，我们可以更好地理解数学中的各种概念，并且在实际生活中也能够运用它来解决一些问题。
希望大家能够对组合计算有一个更深入的了解，从而在数学领域有更出色的表现。
第二篇示例：组合计算是组合数学中的一项重要内容，它涉及到排列、组合、选择等概念。
在实际生活中，组合数学被广泛应用于统计学、概率论、计算机科学等领域，因此掌握组合计算的公式对于理解和解决许多实际问题非常重要。
组合计算的基本概念是指从n个不同元素中取出r个元素进行组合，组合数用C(n, r)表示，其中n为集合的元素个数，r为要取出的元素个数。
组合与组合数公式
解：（1） C83 56 ⑵
⑶
C
3 7
35
C72 21
我们发现：
C83
C72
C
3 7
为什么呢
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
从a1, a2 , a3,, an1这n 1个不同元素中， 每次取出m个元素。 （1）可以有多少个不同的组合？ （2）在这些组合里有多少个是含有a1的？ （3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？ （4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？
推广:
从 n个不同元素中取出 m个元素的每一个 组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一 对应，所以从 n个不同元素中取出 m个元素 的组合数，等于从这n 个元素中取出n-m 个元 素的组合数，即
c c m n
nm n
组合数的两个性质
定理1:
Cmn
Cnm n
.
证明: Cmn m（! nn！m）!,
例5、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分 法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本： （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2 本，一人 3本。
例6、某省的福利彩票中，不考虑次序的7个数码组 成一注，7个数码中没有重复，每一个数码都选自 数码1,2，…，36，如果电视直播公开摇奖时只有 一个大奖，计算：
a a a 推广:从
1,
2,
n1这n+1个不同的元素中，
a c a a a a a 取出m个元素的组合数
一类含 ，一1类不含
组合与组合数公式2
C
m n1
98 199 【例 2】 (1)计算C100 + C200 ; 3������ +6 (2)已知C18 = C18 , 求������; 4 8 4 4 4 (3)化简C5 + C6 + C7 + C8 + C8 . 分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解. 4������ -2
������ ������ -1 ������ -2 ������ ������ -1 ������ -1 ������ -2 (4)证明: C������ + 2C������ + C������ = C������ + C������ + C������ + C������ ������ ������ -1 ������ = C������ + C = C +1 ������ +1 ������ +2 .
������+1 ������ +1 ·C������ ; ������-������
(3)证明: ∵
������ C������
������! ������+1 ������+1 ������! ������+1 = ������!(������-������)! , ������-������ ·C������ = ������-������ ·(������+1)!(������-������-1)!
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
组合与组合公式
4 m,
所以m-3=4，m=7. 答案：7
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系. （1）有序与无序的区别. （2）同是从n个不同元素中取m个元素，但是组合
一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序. 2.理解组合数的定义与公式
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有 组合数 不同组合的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取 定义 出 m 个元素的组合数 表示法 组合数 公式
个不同的和？ 个不同的商？
组合问题, C
2 4
③从1，3，5，9中任取两个数相除，可得多少
排列问题,但不是求 A
2 4
例2、计算：
（ 1） C
4 7
（ 2） C
7 10
例3：解含组合数的方程
(1)方程 Cx 1 C2x 3 的解为__________. 13 13 【解析】(1)由原方程得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13，
0 x 1 13, 0 2x－3 13, 所以x=4或x=5，又由 x 1 N*, 2x－3 N *. 3 得 2 ≤x≤8且x∈N*，所以原方程的解为x=4或x=5.
答案：x=4或x=5
17n 3n C C 例4：求值： 2n 13 n .
所有不同排列的个数叫做从n个不同的元素中取
m 出m个元素的排列数.用符号 n 表示.
A
排列数与排列数公式
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 排列数 的 所有不同排列的个数 ，叫做从 n 个不同 定义 元素中取出 m 个元素的排列数 排列数 表示法 乘积 形式 阶乘 形式
m Cn
乘积形式 阶乘形式
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
组合数公式
组合数编辑
从m个不同元素中，任取n(n≤m)个元素并成一组，叫做从m个不同元素中取出n个元素的一个组合；从m个不同元素中取出n(n≤m)个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。
在线性写法中被写作C(m,n)。
c(m,n)=p(m,n)/n!=m!/((m-n)!*n!)
1.互补性质
组合数性质如右图所示：
即从m个不同元素中取出n个元素的组合数=从m个不同元素中取出(m-n)个元素的组合数组合数性质
组合数性质
这个性质很容易理解，例如C(9,2)=C(9,7)，即从9个元素里选择2个元素的方法与从9个元素里选择7个元素的方法是相等的。
规定：C(m,0)=1
2.组合恒等式
若表示在n个物品中选取m个物品，则如存在下述公式：C(n,m)= C(n,n-m)= C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。
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一个因数少1,最后一个因数是1．
注意区别: Anm n(n 1)(n 2)L (n m 1)
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 3可分两步考虑： 4
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列.
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
C C C 例6 计算：⑴
4 7
⑵
7 10
⑶
7 35
C A (5) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
C ⑷
197 200
例7.计算:
(1)C929
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请
赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
C 以计算 3 为例,来推导组合数公式 4
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
a
b c
d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 共需握手多少次? 组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2）
冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的组合数，用符号 Cnm 表示
如: C32 3 C42 6
C 思考:如何计算: m n
组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
问题三：从1、2、3三个数字中选两个数字,能 组成多少个没有重复数字的两位数？
3
4
3 3.
3
A 从而 3 C4
4 3
A3
A C A m m m
n
n
m
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
0 n
Cn11
C2 n2
C3 n3
C m1 n m 1
C m1 nm
例4:计算
(1)C33n8n
C 3n n 21
(2)C133nn
C 3n1 12 n
C3n2 11 n
C17n 2n
例5:解不等式
1 Cn3
1 Cn4
2 Cn5
Cnm
n! m!(n
m)!
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
这里m、n N *,且m≤n，这个公式叫组合数公式.
它有以下三个特点： (1)分子和分母都是m个连续正整数连乘; (2)分子的第一个因数是n,后面每一个因数比它前面
a
b
c
d
所有的组合为：
abc ， abd ， acd ， bcd .
所有的排列为：
abc bac cab bca acb cba dab abd bad dba adb bda cad dac acd cda dca adc bcd cbd dbc bdc cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
A32 6
有顺序
问题四：从1、2、3三个数字中选两个数字,能 构成多少个不同的集合？
{1,2}；{1,3}；{2,3}
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中取出m (m≤n)个
Anm
(n
n! m)!
Cnm
n! m!(n
m)!
规定: 0! 1
Cn0 1
由组合数公式知: Cnn 1
例1: 求证
C
m n
m 1 nm
C m1 n
例2: 求证
(1)
Cnm
C nm n
(2)
Cm n1
C m1 n
Cnm
组合数的两个 重要性质
例3:
求证
C