几个常用组合数公式.资料
排列组合数相关公式
排列组合数相关公式在咱们学习数学的道路上，排列组合数相关公式那可是相当重要的一部分。
就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多复杂问题的大门。
咱们先来说说排列数的公式。
排列数，简单说就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行排列的方式总数。
排列数的公式是：A(n, m) = n!/ (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如说 5! 就是 5×4×3×2×1。
给大家举个例子哈。
比如说学校要从 10 个同学中选出 3 个参加演讲比赛，并且要考虑他们上台的顺序，这时候就得用排列数来计算了。
那就是 A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10×9×8 = 720 种方式。
再来说说组合数的公式。
组合数呢，是从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，不考虑它们的顺序。
组合数的公式是：C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。
我记得有一次，班级里组织活动，要从 20 个同学中选出 5 个组成一个小组，这时候就不用考虑这 5 个人的顺序，只关心选出这 5 个人的组合情况，那就是 C(20, 5) = 20! / [5!(20 - 5)!] ，算出来有 15504 种组合方式。
在实际生活中，排列组合数的应用那可太多了。
比如说彩票抽奖，从一堆数字中选出几个数字，这就是组合数的应用。
再比如密码设置，不同数字、字母的排列组合，增加了密码的安全性，这就用到了排列数。
咱们做排列组合数的题目时，一定要仔细分析题目是要考虑顺序还是不考虑顺序，不然很容易出错哦。
总之，排列组合数相关公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做练习，多结合实际例子去理解，就一定能掌握好，让它成为咱们解决数学问题的有力武器！。
组合与组合数公式2
C
m n1
98 199 【例 2】 (1)计算C100 + C200 ; 3������ +6 (2)已知C18 = C18 , 求������; 4 8 4 4 4 (3)化简C5 + C6 + C7 + C8 + C8 . 分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解. 4������ -2
������ ������ -1 ������ -2 ������ ������ -1 ������ -1 ������ -2 (4)证明: C������ + 2C������ + C������ = C������ + C������ + C������ + C������ ������ ������ -1 ������ = C������ + C = C +1 ������ +1 ������ +2 .
������+1 ������ +1 ·C������ ; ������-������
(3)证明: ∵
������ C������
������! ������+1 ������+1 ������! ������+1 = ������!(������-������)! , ������-������ ·C������ = ������-������ ·(������+1)!(������-������-1)!
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
【最新精选】几个常用组合数公式
⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m mn n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n mn C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n nn n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A .注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？m m n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m m n nA A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m ！；解法二：（比例分配法）m m nn A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kk n n n n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!2/102022818C C C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有m m m m n m nm n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .4⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r kr n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有m n A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
组合与组合数公式
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
分别有多少种？用式子表示。
【做一做1】 给出下列问题: 2 2 2 A 或 C ①有10个车站,共需准备多少种车票? 10 10 A2 ②有10个车站,共有多少种不同的票价? C 2 10 2 2 2 ③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段? A16 或C16 A2 ④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话 2 多少次? C16 ⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞 4 4 赛,有多少种选派方法? 4 或C A
排列组合公式
排列组合公式[编辑本段]定义公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。
(P是旧用法，现在教材上多用A，Arrangement)公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。
[编辑本段]符号常见的一道题目C-组合数P-排列数（现在教材为A）N-元素的总个数R-参与选择的元素个数!-阶乘，如5！=5*4*3*2*1=120C-Combination 组合P-Permutation排列(现在教材为A-Arrangement)一些组合恒等式组合恒等式排列组合常见公式排列组合常见公式[编辑本段]历史1772年，旺德蒙德以[n]p表示由n个不同的元素中每次取p个的排列数。
而欧拉则于1771年以及于1778年以表示由n个不同元素中每次取出p个元素的组合数。
至1872年，埃汀肖森引入了以表相同之意，这组合符号（Signs of Combinations）一直沿用至今。
1830年，皮科克引入符号Cr以表示由n个元素中每次取出r个元素的组合数；1869年或稍早些，剑桥的古德文以符号nPr 表示由n个元素中每次取r个元素的排列数，这用法亦延用至今。
按此法，nPn便相当於现在的n!。
1880年，鲍茨以nCr及nPr分别表示由n个元素取出r个的组合数与排列数；六年后，惠特渥斯以及表示相同之意，而且，他还以表示可重复的组合数。
至1899年，克里斯托尔以nPr及nCr分别表示由n个不同元素中每次取出r个不重复之元素的排列数与组合数，并以nHr表示相同意义下之可重复的排列数，这三种符号也通用至今。
1904年，内托为一本百科辞典所写的辞条中，以表示上述nPr之意，以表示上述nCr之意，后者亦同时采用了。
这些符号也一直用到现代。
[编辑本段]组合数的奇偶对组合数C(n,k) (n>=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数。
组合数的奇偶性判定方法为:结论：对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
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THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
常用组合数公式及证明
常⽤组合数公式及证明n m =n n −m 选出补集的⽅案数等于选出原集合的⽅案数，即把补集去掉就是原集合n m =n m n −1m −1⽤通项式直接代⼊可得，吸收恒等式n ∑i =0n i =2n等号左⾯可以看做枚举⼦集的⼤⼩再枚举这个⼤⼩的⼦集个数，等号的右⾯则是直接枚举⼦集，故相等当然可以看成⼆项式定理的特殊情况m +nm =m∑i =0n i mm −i (n ≥m )看作有两个集合 A 和 B ，A 有 n 个元素，B 有 m 个元素左⾯即从 A ,B 中共选出 m 个元素的⽅案数，右⾯即枚举 A 集合中选多少个数，剩下的数在 B 集合中选2n n=n∑i =0ni 2上式的特殊情况n ∑i =0i m =n +1m +1这⾥给出⼀种有趣的组合解释：从 0,1,⋯,n 中选出 m +1 个数，选出的数中最⼤为 i 的⽅案数为 i mn m m k =n k n −km −k 左侧为从 n 个数选出 m 个数字，再从 m 个数字中选出 k 个我们可以直接从 n 个数中选出 k 个，再从剩下 n −k 个数中选出 m −k 个在第⼆轮淘汰的数n ∑i =0n −i i =F n +1F 表⽰斐波那契数列，展⽰出了斐波那契数列和组合数之间的关系，真奇妙设 G n =n∑i =0n −i i ，显然有 G 0=F 1=1,G 0=F 2=1我们只需要证明 G 满⾜斐波那契的递推式即可，即证明：G n +2=G n +1+G n()()()()()()()()()()()()()()()()()()()G n+G n+1=n∑i=0n−ii+n+1∑i=0n−i+1i=n∑i=0n−ii+n∑i=−1n−ii+1=n∑i=0n−ii+n∑i=0n−ii+1+1=n∑i=0n−ii+n−ii+1+1=n∑i=0n−i+1i+1+1=n+1∑i=1n−i+2i+1=n+1∑i=0n−i+2i=n+2∑i=0n−i+2i=Gn+2 ()() ()()()() (()())()() ()()Processing math: 100%。
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
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几个常用组合数公式.
⑸①几个常用组合数公式
②常用的证明组合等式方法例.
i. 裂项求和法. 如：（利用）
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法（即用递推）如：.
vi. 构造二项式. 如：
证明：这里构造二项式其中的系数，左边为
，而右边
四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：
①直接法. ②排除法.
③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”.
又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为.
②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.
③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.
注：①③区别在于①是确定的座位，有种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n –m+1≥m, 即m≤时有意义.
⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全
排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排
成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.
例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）.
⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.
例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有
（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？
（）
注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序
不变，共有多少种排法？有，当n –m+1 ≥m, 即m≤时有意义.
⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.
例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把
球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故
（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图
所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.
注意：若为非负数解的x个数，即用中等于，有
，进而转化为求a的正整数解的个数为 .
⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有.
例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？
固定在某一位置上：；不在某一位置上：或（一类是
不取出特殊元素a，有，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。
先C后A策略，排列；组合.
ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。
先C后A策略，排列；组合.
iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。
先C后A策略，排列；组合
.
II. 排列组合常见解题策略：
①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；
⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.
2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以.
例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为
②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为
例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：种.
若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有种
③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为.
例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为
④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为
…
例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为.。