组合与组合数公式

4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
分别有多少种？用式子表示。
【做一做1】 给出下列问题: 2 2 2 A 或 C ①有10个车站,共需准备多少种车票? 10 10 A2 ②有10个车站,共有多少种不同的票价? C 2 10 2 2 2 ③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段? A16 或C16 A2 ④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话 2 多少次? C16 ⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞 4 4 赛,有多少种选派方法? 4 或C A
A20
20
4
其中,属于排列问题的有
①③⑤
. (只填序号)
判断一个问题是排列问题还是组合问题关键： 有无顺序
合作探究二
根据排列和组合之间的关系，思考一下 从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个不 同元素的排列数和组合数之间的关系?
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A
n n
m
m
m m
问题1 某娱乐公司要从周杰伦、潘韦泊、谢霆锋3名 大腕任意选出2名参加某天的一项活动，其中 一名参加上午活动，另外一名参加下午的活动， 试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法？
A 6
2 3
问题2：
某娱乐公司要从周杰伦、潘韦泊、谢霆锋3 名大腕任意选出2名参加某天的一项活动， 试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法？
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
m n
规定：
C
0 n
1
典例分析：计算
（1） C 4＋C3
7 7
（2） （3）
70
C C
6 10
C C
5 10
4 10பைடு நூலகம்
4 10
C
10 10
5 11
������ ������ -1 ������ -2 ������ ������ -1 ������ -1 ������ -2 (4)证明: C������ + 2C������ + C������ = C������ + C������ + C������ + C������ ������ ������ -1 ������ = C������ + C = C +1 ������ +1 ������ +2 .
C C C
5 10 0 10
251
思考：
（1）从10人中选出6人参加比赛，有多少种选法？
C
6 10
或C
4 10
（2）从10人中选出4人不参加比赛，有多少种选法？
C
4 10
6 或C10
5.组合数的性质:
������ 性质 1: C������ = C������ ������ -������
.
������ -1
1、试用列举法求解 周杰伦、潘韦泊 周杰伦、谢霆锋 潘韦泊、谢霆锋
2、每天安排的人你是怎样取出来的？你发现了什么 规律？ 任选2个
3、每天安排的2人可能是同一个人吗？你发现了什么 规律？ 不能
4、周杰伦、潘韦柏与潘韦柏、周杰伦是一种安排方式吗？ 你发现了什么规律？ 一样， 没有顺序，
组合：
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
1
1 2
.
4.已知C12 = C12 , 则������的值是( A.2 B.6
������ -2
2������ -4
解析:由组合数公式及其性质得, 0 ≤ ������-2 ≤ 12, 0 ≤ 2������-4 ≤ 12, ������-2 = 2������-4 或(������-2) + (2������-4) = 12. 解得 x=2 或 x=6. 答案:D
相同的组合： 元素相同
组合数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的 m 组合数。用符号 Cn 表示。
思考：
问题1、问题2有什么不同点？， 两个问题的根本区别是什么？
问题1
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.
������ + 1 ������! ������! ������ + 1 ������+1 ������ = · = , ∴ C������ = ������-������ ·C������ . (������ + 1)! (������-������)(������-������-1)! ������!(������-������)!
2 5.若A3 ������ = 12C������ , 则������ =
2 解析: A3 = ������ ( ������ − 1)( ������ − 2), C ������ ������ = ������(������ − 1),
由 n∈N+,且 n≥3,解得 n=8. 答案:8
所以 n(n-1)(n-2)=12× 2 ������(������ − 1).
������ ������ 性质 2: C������ . +1 = C������ + C������ 6 ������ 【做一做 5】 (1)若C10 = C10 , 则������ = 5 4 (2)C60 + C60 = . 5 答案:(1)6 或 4 (2)C61
;
98 199 【例 2】 (1)计算C100 + C200 ; 3������ +6 (2)已知C18 = C18 , 求������; 4 8 4 4 4 (3)化简C5 + C6 + C7 + C8 + C8 . 分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解. 4������ -2
C. 2 D. 2 或 6
1
)
C C 的值为()
5 8 6 8
A.36 B.84 答案:B C.88 D.504
【当堂检测】
1、 (1)C C
2 6
3 8
(2)C C
5 10
2 8
2、圆上有10个点（1）过每两个点可画一条弦，
一共可画多少条弦？ （2）过每3个点可画一个圆内接三角形，一共 可画多少个圆内接三角形？
例2 平面内有10个点，其中任意三点不共线，以其中每 2个点为端点的线段有多少条？ 平面内有10个点，其中任意三点不共线，以其中每 2个点为端点的有向线段有多少条？
组合与组合数公式
1、排列的定义： 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列。 2、排列数公式：
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
A
m n
n! (n m)!
问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组
有 顺 序
排列
组合
无 顺 序
有序排列，无序组合
思考： 下列问题是排列问题还是组合问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 组合 （2）10名学生中选2名做正、副组长 排列 (3)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合 （4）从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游 览顺序,有多少种不同的方法? 排列 （5）由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数; 组合 （6）五个队进行单循环比赛的比赛场次数; 组合 （7）由1,2,3组成两位数的不同方法数; 排列 （８）由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数. 排列
98 解:(1)C100
+
199 C200
=
2 C100
+
1 C200
=
3������ +6 (2)由C18 = C18 , 知3n+6=4n-2 或 3n+6+(4n-2)=18.解得 n=8 或 n=2. ∵3n+6≤18,且 4n-2≤18, ∴n≤4,且 n∈N+,∴n=2. 4 8 8 4 5 4 4 4 4 4 4 (3)C5 + C6 + C7 + C8 + C8 = C8 + C5 + C6 + C7 + C8 = C5 + 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 C5 + C6 + C7 + C8 = C6 + C6 + C7 + C8 = C7 + C7 + C8 = C8 + 5 4 4 C8 = C9 = C9 = 4×3×2×1 = 126.