组合与组合数公式PPT课件
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组合与组合数公式PPT课件
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
组合与组合数公式(修改的)PPT
1.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品 中任意抽出 3 件. (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
2.由 13 个人组成的课外活动小组，其中 5 个人只会跳舞，5 个人 只会唱歌，3 个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出 4 个会跳舞和 4 个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？
C．3 或 5
D．15
解析：选 C．由组合数的性质得 n＝2n－3 或 n＋2n－3＝12，解
得 n＝3 或 n＝5，故选 C．
3.若集合 A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合 A 中含有 4 个元素的 子集共有________个. 解析：共有 C45＝5 个. 答案：5
4.10 个人分成甲、乙两组，甲组 4 人，乙组 6 人，则不同的分组 种数为________．(用数字作答) 解析：从 10 人中任选出 4 人作为甲组，则剩下的人即为乙组， 这是组合问题，共有 C410＝210 种分法. 答案：210
1.2.2 组 合
第 1 课时 组合与组合数公式
1.组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素_合__成___一__组__，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
2.组合数的概念、公式、性质
组合数定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 _所__有__不__同__组__合___的个数，叫做从 n 个不同元素
【解】 (1)3C38－2C25＝3×83××72××61－2×52××41＝148. (2)利用组合数的性质 Cnm＋1＝Cnm＋Cmn －1， 则 C34＋C35＋C36＋…＋C310 ＝C44＋C34＋C35＋…＋C310－C44 ＝C45＋C35＋…＋C310－C44 ＝… ＝C411－1＝329.
组合与组合数公式课件
重复计算出错
【示例】 从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有多 少种？
错解：先保证各 1 台，再从剩下的电视机中任取 1 台，即 分三步．
第一步，从甲型电视机中取 1 台，有 C14种取法； 第二步，从乙型电视机中取 1 台，有 C15种取法； 第三步，从剩下的 7 台电视机中取 1 台，有 C17种取法．根 据分步乘法计数原理，共有 C14·C15·C17＝140 种取法．
8
(1)注意排列问题与组合问题的区别，关键看是否与元素的 顺序有关；
(2)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将 这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
(3)分析题目条件，避免选取时重复和遗漏，用直接法分类 复杂时，可用间接法处理．
排列、组合的概念辨析
【例1】 判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数， 这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这3个数字 组成一个集合，这样的集合共有多少个？ (3)从a，b，c，d四名学生中选2名学生，去完成同一件工 作有多少种不AA_mmnm____＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝_m_！___nn_！ －__m__！. 规定 Con＝_C_0n_＝__1___.
4．组合数的两个性质 (1)Cmn ＝_C__mn_＝__C_nn_－_m___；(2)Cmn＋1＝__C_nm_＋_1_＝__C_mn_＋__C_mn_－_1___.
(4)5个人相互通话一次，共通了多少次电话？ (5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？ 【解题探究】取出元素之后，在安排这些元素时，与顺序 有关则为排列问题，与顺序无关即为组合问题．
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[易错防范] 1．运用组合数公式转化为关于 m 的一元二次方程后， 易忽略 0≤m≤5 的取值范围，导致错误．解这类题目时， 要将 Cmn 中 m，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求 解． 2．应用组合数性质 Cnm＝Cpn可以得到 m＝p 或 m＋p＝n 两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了 m ＋p＝n 的情况，从而导致错误．
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[类题通法] 解答简单的组合问题的思考方法
(1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问 题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
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[活学活用] 现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名． (1)现要从中选 2 名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少 种？ (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不 同的选法？
为( )
A．14
B．24
C．28
D．48
解析：从 6 人中任选 4 人的选法种数为 C46＝15，其中没有
女生的选法有 1 种，故至少有 1 名女生的选法种数为 15－1
＝14.
答案：A
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3．按 ABO 血型系统学说，每个人的血型为 A，B，O，AB 四 种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型 是 AB 型时，子女一定不是 O 型，若某人的血型为 O 型， 则父母血型所有可能情况有________种． 解析：父母应为 A 或 B 或 O，共有 C13·C13＝9 种情况． 答案：9
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[化解疑难] 1．取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有 位置的要求，无序性是组合的本质． 2．只要两组合中的元素完全相同，则无论元素的顺 序如何，都是相同的组合.
[易错防范] 1．运用组合数公式转化为关于 m 的一元二次方程后， 易忽略 0≤m≤5 的取值范围，导致错误．解这类题目时， 要将 Cmn 中 m，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求 解． 2．应用组合数性质 Cnm＝Cpn可以得到 m＝p 或 m＋p＝n 两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了 m ＋p＝n 的情况，从而导致错误．
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[类题通法] 解答简单的组合问题的思考方法
(1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问 题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
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[活学活用] 现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名． (1)现要从中选 2 名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少 种？ (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不 同的选法？
为( )
A．14
B．24
C．28
D．48
解析：从 6 人中任选 4 人的选法种数为 C46＝15，其中没有
女生的选法有 1 种，故至少有 1 名女生的选法种数为 15－1
＝14.
答案：A
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3．按 ABO 血型系统学说，每个人的血型为 A，B，O，AB 四 种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型 是 AB 型时，子女一定不是 O 型，若某人的血型为 O 型， 则父母血型所有可能情况有________种． 解析：父母应为 A 或 B 或 O，共有 C13·C13＝9 种情况． 答案：9
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[化解疑难] 1．取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有 位置的要求，无序性是组合的本质． 2．只要两组合中的元素完全相同，则无论元素的顺 序如何，都是相同的组合.
高中数学 1.2.2.1 组合与组合数公式课件 新人教A版选修23
2.题(2)证明的关键是什么？
第十九页，共43页。
【探究提示】1.选用组合数公式的乘积式，
即
Cmn
A mn A mm
n(n－1)(n－2)…(n－m 1) . m!
2. 有关组合数恒等式的证明，关键是化简，应先考虑利用组合数
的阶乘( jiē chénɡ)式形式作答.
第二十页，共43页。
【自主(zìzhǔ)解答】(1)原C式140－＝A37＝140392－8717×6×5 ＝210－210＝0.
【证明】右边=
n n－m
Cm n－1
n n－m
n－1! m! n－1－m
!
n!
m!n－m
!
Cnm
,
左边= Cmn ,所以左边=右边,所以原式成立.
第二十二页，共43页。
【方法技巧】关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用
n n－m
Cm n－1
n n－m
n－1! m! n－1－m !
第十三页，共43页。
知识点2 组合数与组合数公式 1.组合数公式的两种形式的适用范围
形式
适用范围
乘积式
含具体数字的组合数的求值
要注阶意乘性式质(xìngzhì)含字母的组合的数顺的用有、关逆变用形、变及形证用明.顺用是将一
个组合数拆成两Cmn个1 ；C逆nm用 则Cnm是－1“合二为一”；变形式
=
(2)
C18 20
C220
20 19 21
190.
答案：190
(3)
C399
C929＝C1300
100 99 98 3 21
161
700.
答案：161 700
1.3 第一课时 组合与组合数公式 课件(北师大选修2-3)
的子集有多少个？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有 多少种不同的可能？ (3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有 多少种不同的可能？
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(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若 选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？ (5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有 多少种分配方法？
(3)C38 n＋C3n＋n. 3n 21 [思路点拨] [精解详析] 用组合数公式和组合数的性质解决．
4 (1)原式＝C10－A3 7
10×9×8×7 ＝ －7×6×5＝210－210＝0. 4×3×2×1
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100×99 98 199 2 1 (2)C100＋C200＝C100＋C200＝ ＋200 2 ＝4 950＋200＝5 150.
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n m－1 m 4．证明：Cn ＝ Cn－1 . m
n－1！ n m－1 n 证明：∵m· n－1 ＝m· C m－1！[n－1－m－1]！ n！ ＝ [m· m－1！]n－m！ n！ ＝ ＝Cm， n m！n－m！ n m－1 m ∴Cn ＝ Cn－1 成立. m
4 解：由已知，得2C5 ＝Cn＋C6 ， n n
n！ n！ n！ 所以2· ＝ ＋ ， 5！n－5！ 4！n－4！ 6！n－6！ 整理，得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14. 要求C12的值，故n≥12，所以n＝14， n 14×13 12 2 于是C14＝C14＝ ＝91. 2×1
(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性
质化简，再用组合数的阶乘形式证明．
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2．计算：①C6＝________；②3C2－2C2＝________. 8 5 4
人教版数学高二《组合与组合数公式》 名师课件
高中数学
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
组合与组合数公式 课件
(4)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为
C130 120.
(5)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序 区别的，排列数为 A130 720.
【想一想】区分排列和组合的关键是什么？区分有无顺序的方 法是什么？ 提示：(1)判断一个问题是排列问题还是组合问题的关键是正 确区分事件有无顺序. (2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来， 然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变 化．若有新变化，即说明有顺序；若无新变化，即说明无顺序.
C
m n
乘 积
Cmn
A
m n
A
m m
式 n n 1n 2n m 1
m!
阶 乘
Cmn
n!
m!n
m!
式
性质 备注
Cmn
Cnnm，Cmn1
Cmn
Cm1 n
①n，m N * 且m n ②规定：C0n 1
1．在 Cmn 中有m，n∈N*，且m≤n，为什么有 C0n 1? 提示：C0n 是1 为了运算需要规定的，没有实际意义. 2.什么是两个相同的组合？
(A) C42 013
(B) C52 013
(C) C42 013 1 (D) C52 013 1
2.计算：C37 C74 C85 C96 =________.
3.求证：Cnm2
有关组合数的计算和证明
关于组合数计算公式的选取
关于组合数计算公式的选取
(1)涉及具体数字的可以直接用公式
Cmn
A
m n
A
m m
n n 1n 2
m!
(2)涉及字母的可以用阶乘式
n Cmn
m
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组合与组合数公式
兆麟中学高二数学组
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
bcd acd abd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dabห้องสมุดไป่ตู้abd bad cad dac
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
3
4
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 求34可P34可分分两两步步考考虑虑：：
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
组合数，用符号 Cnm表示
如: C32 3
C42 6
C 思考:如何计算:
3 4
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
a
b c
d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
例2求证：
C
m n
m 1 n． m
C
m1 n
兆麟中学高二数学组
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
bcd acd abd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dabห้องสมุดไป่ตู้abd bad cad dac
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
3
4
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 求34可P34可分分两两步步考考虑虑：：
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
组合数，用符号 Cnm表示
如: C32 3
C42 6
C 思考:如何计算:
3 4
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
a
b c
d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
例2求证：
C
m n
m 1 n． m
C
m1 n