组合及组合数公式作业
7.3.1组合与组合数公式
问题1：高二年段12个班要举行篮球赛，如果任意两 个班都比赛一次，需要安排几场比赛？ 问题2：列车从甲站到乙站中途停车8次，单程需要制 作多少种不同的火车票？
问题3：汽车公司从12辆客车中选3辆客车运送高二年 级同学，有多少种不同选法？
你能说说上面3问题 的特点吗？
从n个不同元素中取出m m n 个不同 元素，不论次序的构成一组, 称为一个组合。
3解法1
C C C C 9 604种. 解法2 抽出的 3 件产品中至少有 1件是次品 的抽法的种数 , 也就是从 100件中抽出 3 件的 抽法种数减去 3件中都是合格品的抽法 的种 数,即
3 C100 C3 . 98 161 700 152 096 9 604种
组合
排列
abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
m n m n
abc abd acd bcd
上述解释可以推广到一 般情形. 求从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数 , 可看作由以下 2个步骤得到的 :
性质1
m n
nm n
在推导性质1时, 我们运 用了证明组合相等 的一个常用而重要的方 法,即通过阐明等号 两边的不同表达式实际 上是对同一个组合 问题的两个不同的计数 方案, 从而达到证明 的目的 .
探究 你能根据上述的思想方 法, 利用分类 计数原理 ,证明下列组合数的性质 吗?
性质 2
m m1 Cm C C . n1 n n
m n m n m m
数公式. 因为 A m n
第一课时 组合与组合数公式
1．2.2第一课时组合与组合数公式一、选择题1．下列等式不正确的是()A．C m n＝n！m！(n－m)！B．C m n＝C n－mnC．C m n＝m＋1n＋1C m＋1n＋1D．C m n＝C m＋1n＋13．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成平行四边形的个数为()A．A2m A2n B．A2m C2n C．A2n C2m D．C2n C2m4．若C3n＋618＝C4n－218，则n的值为()A．8 B．2 C．2或8 D．185．现有男、女学生共8人，从男生中选2人、女生中选1人分别参加数学、物理、化学竞赛，共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别为()A．2,6 B．3,5 C．5,3 D．6,26．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有() A．60种B．63种C．65种D．66种二、填空题7．若C n＋1n＋3＝C n－1n＋1＋C n n＋1＋C n－2n，则n＝________.8．C45＋C46＋C47＋C48＝________.9．若C7n＋1－C7n＝C8n，则C n n＋2＝________.三、解答题10．已知1C m5－1C m6＝710C m7，求m的值．11．计算C111＋C211＋C311＋C411＋C511.12．计算C3n13＋n＋C3n－112＋n＋C3n－211＋n＋…＋C17－n2n.13．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30种1．2.2 第一课时 组合与组合数公式(解析)一、选择题1．下列等式不正确的是( ) A ．C m n ＝n ！m ！(n －m )！ B ．C m n ＝C n－mnC ．C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1D ．C m n ＝C m ＋1n ＋1解析：∵C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ＋1m ＋1·n ！m ！(n －m )！≠C m n ，∴D 不正确． 答案：D2．A 24－C 23＝( ) A ．9 B ．12 C ．15D ．3解析：A 24－C 23＝4×3－3×22×1＝12－3＝9，故选A. 答案：A3．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成平行四边形的个数为( )A ．A 2m A 2n B ．A 2m C 2n C ．A 2n C 2mD ．C 2n C 2m解析：分别从一组m 条中取两条，从另一组n 条中取两条，可组成平行四边形，即共有C 2n C 2m个平行四边形．答案：D4．若C 3n ＋618＝C 4n －218，则n 的值为( )A ．8B ．2C ．2或8D ．18解析：由题意得3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋4n －2＝18，∴n ＝2或n ＝8. 当n ＝8时，3n ＋6＝30>18，不符合组合数的定义故舍去，∴n ＝2. 答案：B5．(2019·正定中学高二月考)现有男、女学生共8人，从男生中选2人、女生中选1人分别参加数学、物理、化学竞赛，共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别为( )A ．2,6B ．3,5C ．5,3D ．6,2解析：设有男生x 人，则有女生(8－x )人，则C 2x C 18－x A 33＝90，即x (x －1)(8－x )＝30＝3×2×5，所以x ＝3，即男生有3人，女生有5人．故选B.答案：B6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种解析：从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类，取四个奇数，即C 45＝5种；第二类取两个奇数，两个偶数，即C 25C 24＝60种；第三类取四个偶数，即C 44＝1种，共有5＋60＋1＝66种，故选D.答案：D 二、填空题7．若C n ＋1n ＋3＝C n －1n ＋1＋C n n ＋1＋C n －2n ，则n ＝________.解析：由已知，可得n ≥2，且n ∈N *，∵C n ＋1n ＋3＝C n －1n ＋1＋C n n ＋1＋C n －2n ，∴C n ＋1n ＋3＝C n n ＋2＋C n －2n ，∴C 2n ＋3＝C 2n ＋2＋C 2n ， ∴C 2n ＋2＋C 1n ＋2＝C 2n ＋2＋C 2n ，∴C 1n ＋2＝C 2n ，即n ＋2＝n (n －1)2，解得n ＝－1或n ＝4， ∵n ≥2，且n ∈N *，∴n ＝4. 答案：48．C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝________.解析：C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 45＋C 55＋C 46＋C 47＋C 48－1 ＝C 56＋C 46＋C 47＋C 48－1＝C 47＋C 57＋C 48－1＝C 59－1＝125.答案：125 9．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则C nn ＋2＝________.解析：由C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n 得，C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，∴n ＝14， ∴C n n ＋2＝C 1416＝C 216＝16×152＝120. 答案：120 三、解答题10．已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求m 的值．解：由题意可得m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7·m ！(7－m )！10·7！，化简得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或m ＝21(不合题意舍去)． 所以m 的值为2.11．计算C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511.解：∵C 111＝C 1011，C 211＝C 911，C 311＝C 811，C 411＝C 711，C 511＝C 611，C 011＝C 1111， ∴C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511＝12(C 011＋C 111＋C 211＋C 311＋…＋C 1111)－12(C 011＋C 1111) ＝12×211－12×2＝210－1＝1 023. 12．计算C 3n 13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n. 解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3n ≤13＋n ，17－n ≤2n ，得173≤n ≤132，又n ∈N *，故n ＝6.∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112 ＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112＝19＋18＋17＋…＋12 ＝124.13．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．10种B ．15种C．20种D．30种解析：第一类：3∶0，有2种；第二类，3∶1，有2C13＝6种；第三类：3∶2，有2C24＝12种，共有2＋6＋12＝20种，故选C.答案：C。
组合与组合数公式
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
分别有多少种？用式子表示。
【做一做1】 给出下列问题: 2 2 2 A 或 C ①有10个车站,共需准备多少种车票? 10 10 A2 ②有10个车站,共有多少种不同的票价? C 2 10 2 2 2 ③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段? A16 或C16 A2 ④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话 2 多少次? C16 ⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞 4 4 赛,有多少种选派方法? 4 或C A
人教A版高中数学选修2-3：组合与组合数公式 课时作业
组合与组合数公式一、题组对点训练 对点练一 组合概念的理解1．下列问题中是组合问题的个数是( ) ①从全班50人中选出5名组成班委会；②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积； ④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选 B ①③与顺序无关，属于组合问题；②④与顺序有关，属于排列问题，故选B.2．下列各事件是组合问题的有________．①8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ ②8个朋友相互写一封信，一共写了多少封信？③从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ ④从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？ 解析：①每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．②每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．③是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．④是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变.答案：①④对点练二 组合数公式3．下列计算结果为28的是( ) A ．A 24＋A 26 B ．C 77 C ．A 28D ．C 28解析：选D C 28＝8×72＝4×7＝28.4．若C 2n ＝36，则n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选C ∵C 2n ＝36，∴12n (n －1)＝36，即n 2－n －72＝0，∴(n －9)(n ＋8)＝0.∵n ∈N *，∴n ＝9.5．C 26＋C 57＝________.解析：C 26＋C 57＝6！4！×2！＋7！2！×5！＝6×52＋7×62＝15＋21＝36.答案：366．已知A 2n ＝4C 2n －1，则n ＝________.解析：因为A 2n ＝4C 2n －1，所以n (n －1)＝4×(n －1)(n －2)2，解得n ＝4(n ＝1舍去)．答案：47．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.对点练三 简单的组合应用题8．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建造“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64解析：选C 由于公路的修建问题是组合问题．故共需要建C 28＝28条公路．9．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 13A 27种D ．C 13C 27种解析：选D 每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C 13种选法；第二步，选男工，有C 27种选法．故共有C 13C 27种不同的选法．10．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称集合A 具有伙伴关系．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 将集合M 中除0,4外的元素分为四组，即－1；1；12，2；13，3.它们能组成具有伙伴关系的非空集合的个数为C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15，故选A.11．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法种数为C 410C 24C 12＝2 520.答案：2 52012．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)在选出11名上场队员时，还要确定其中一人为守门员，那么教练员有多少种方法做这件事情？解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C 1117＝12 376(种)． (2)教练员可以分两步完成这件事情．第1步， 从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1117种选法；第2步，从选出的11人中再选出1名守门员，共有C 111种选法．所以教练员做这件事情的方法数有C 1117×C 111＝136 136(种)．二、综合过关训练1．(C 2100＋C 97100)÷A 3101的值为( ) A ．6 B ．101 C.16D.1101解析：选C (C 2100＋C 97100)÷A 3101＝(C 2100＋C 3100)÷A 3101＝C 3101÷(C 3101A 33)＝1A 33＝16.2．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有( ) A ．C 23C 2198种 B ．(C 23C 3197＋C 33C 2197)种 C ．(C 3200－C 4197)种D ．(C 5200－C 13C 4197)种解析：选B 分为两类：第一类，取出的5件产品有2件次品3件合格品，有C 23C 3197种抽法；第二类，取出的5件产品有3件次品2件合格品，有C 33C 2197种抽法．因此共有(C 23C 3197＋C 33C 2197)种抽法．3．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．解析：根据题意，知所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．答案：604．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A 地到东北角B 地的最短路线共有________条．解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A 地到B 地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有C 49C 55＝126种走法，故从A 地到B 地的最短路线共有126条．答案：1265．若C 4n ＞C 6n ，则n 的集合是________．解析：∵C4n＞C6n，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n ＞C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！＞n ！6！(n －6)！，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10＜0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜n ＜10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9.∴n 的集合为{6,7,8,9}． 答案：{6,7,8,9}6．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的数的个数为C 36＝6×5×43×2×1＝20.7．(1)在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌．一名参赛者可能得到多少手不同的牌(用排列数或组合数表示)?(2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？解：(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元素作为一组的组合问题，共有C 1352种不同的可能．即一名参赛者可能得到C 1352手不同的牌．(2)需分两步：第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C 812种选法； 第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C 47种选法． 根据分步乘法计数原理，此人有C 812·C 47＝17 325种不同的投资方式．。
课时作业10：第1课时 组合及组合数公式
1.2.2 组合第1课时 组合及组合数公式一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是( )A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地2.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107D ．6 3．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n，则n 等于( ) A ．14 B ．12 C ．13 D ．154．若集合M ＝{x |C x 7≤21}，则组成集合M 的元素共有( )A ．1个B ．3个C ．6个D ．7个5．若C m n ＋2∶C m ＋1n ＋2∶C m ＋2n ＋2＝35∶1∶1，则m ，n 的值分别为( ) A ．m ＝5，n ＝2B ．m ＝5，n ＝5C ．m ＝2，n ＝5D ．m ＝4，n ＝4 6．下列等式不正确的是( )A ．C m n ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －m n C ．C m n ＋1＝C m n ＋C m －1nD ．C m n ＝C m ＋1n ＋1 7．计算C 5－n n ＋C 9－n n ＋1的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．16或58．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则是：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则4位同学不同得分情况的种数是( )A ．48B ．36C ．24D ．18二、填空题9．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n＝________.10．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821＝________. 11．不等式C x 5＋A 3x <30的解集为________．12．以下四个式子：①C m n ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m.其中正确的个数是________．三、解答题 13．现有1克，2克，4克，10克的砝码各一个，在天平上能称出多少种不同质量的物体．(只允许砝码放在天平右边的盘子里)四、探究与拓展14．从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法有n 种，在这些取法中，若以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则m n等于( ) A.110 B.15 C.310 D.2515．已知⎩⎪⎨⎪⎧C x n ＝C 2x n ，C x ＋1n＝113C x －1n ，试求x 和n 的值．答案精析1．C 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.D 8．B 9.91 10.7 315 11.{3,4} 12.313．解 按使用砝码的个数进行分类列举：(1)若使用一个砝码，则能称1克、2克、4克、10克，共4种质量的物体．(2)若使用两个砝码，则能称(1＋2)克，(1＋4)克，(1＋10)克，(2＋4)克，(2＋10)克，(4＋10)克，共6种质量的物体．(3)若使用三个砝码，则能称(1＋2＋4)克，(1＋2＋10)克，(1＋4＋10)克，(2＋4＋10)克，共4种质量的物体．(4)若使用四个砝码，则能称(1＋2＋4＋10)克，共1种质量的物体．所以，总共能称4＋6＋4＋1＝15(种)不同质量的物体．14．B15．解 由C x n ＝C 2x n ，得x ＝2x 或x ＋2x ＝n ，即x ＝0或n ＝3x .显然当x ＝0时，C x －1n 无意义， 把n ＝3x 代入C x ＋1n ＝113C x －1n ，得C x ＋13x ＝113C x －13x ， 即(3x )！(x ＋1)！(2x －1)！＝113·(3x )！(x －1)！(2x ＋1)！， 所以1x ＋1＝116(2x ＋1)， 解得x ＝5.所以n ＝15.即所求x 的值为5，n 的值为15.。
组合及组合数公式作业
组合及组合数公式作业组合问题在数学中是非常重要的一类问题，它涉及到集合中的元素的选择和排列方式。
组合数是指从一组元素中选择若干个元素形成的集合，无关顺序。
在概率论、统计学、计算机科学等领域中都有广泛应用。
一、基本定义：在组合问题中，我们通常使用C(n,k)来表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
其中，n表示总的元素数，k表示要选择的元素数。
二、组合数的计算方法：1.递推关系：组合数满足以下递推关系式：C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)这个递推关系可以通过杨辉三角来直观地理解。
即每个数字是它上一行左右两个数字的和。
2.公式计算：组合数还可以通过公式进行计算。
组合数的公式如下：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即从1到n的所有自然数相乘。
k!表示k的阶乘，(n-k)!表示(n-k)的阶乘。
三、组合数的性质：1.对称性：组合数具有对称性，即C(n,k)=C(n,n-k)。
这是因为选择k个元素等价于不选择(n-k)个元素。
2.全组合：从n个元素中选择0个元素、1个元素、2个元素、..、n个元素，共有2^n种组合方式。
3.互异分配律：对于两个集合A和B，它们的并集中共有n个元素，其中n个元素要分配给A集合，那么选择分配给A集合的元素的不同方式个数等于C(n,k)。
同时，分配给B集合的元素也是C(n,k)。
四、组合数的应用：组合数在数学中有着丰富的应用，也在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景。
1.概率论：在概率论中，组合数常用于计算排列和组合的概率。
例如，在一副扑克牌中，从中抽取5张牌的组合数可以用C(52,5)来计算。
2.统计学：在统计学中，组合数可以用于计算样本空间的大小以及事件的可能性。
例如，在选取一个班级中的学生担任职务时，可以用组合数来计算不同职务的组合方式。
3.计算机科学：在计算机科学中，组合数可用于描述算法和数据结构中的问题。
例如，在生成组合算法中，需要计算组合数。
编号29：组合与组合数公式
高 二 数学 导学案
编号：29 课型：新课 主备人：李晓华、郜文霞 审核人;申彦斌、宋书强 时间： 课题：组合与组合数公式
【学习目标】：掌握组合定义及与排列的区别，会计算组合数
1．组合的概念
，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
排列与组合的区别
判断下列.问题是组合问题还是排列问题．
(1)某铁路上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个同学
3．组合数及组合数公式
（1） ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 表示。
推导：一般地，m n A 可以理解为：
（2）组合数公式 m m n n
m m A c A == = （3）组合数的性质：m n c = 1m n c +=
求值
（1）228n c = 则n= （2）48495050c c += （3）591n n n n c c --++= 探究： 组合数公式的应用
例1，课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，且男女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法
（1） 只有一名女生当选
（2） 两名队长当选
（3） 至少一名队长当选
（4） 至多有两名女生当选
（5） 即要有队长，又要有女生当选。
．
例2，赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，5人左右两舷都能划，现在选出6人上艇，平均分配到两舷上划浆，有多少种选法
【反思总结】：
【课后作业】：。
初中排列组合公式例题
初中排列组合公式例题.(共11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--排列组合公式复习排列与组合考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。
考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。
2）理解排列、组合的意义。
掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。
重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。
难点：不重不漏。
知识要点及典型例题分析：1．加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。
而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。
例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。
解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。
（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。
（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。
故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。
例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。
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组合与组合数公式
一、选择题
1．若C x 6＝C 26，则x 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．4或2
D ．3
2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为 ( )
A ．4
B ．8
C ．28
D ．64
3．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( )
A ．14
B ．12
C ．13
D ．15
4．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A ．60种
B ．48种
C ．30种
D ．10种
5．平面直角坐标系中有五个点，分别为O (0,0)，A (1,2)，B (2,4)，C (－1,2)，D (－2,4)．则这五个点可以确定不同的三角形个数为( )
6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A ．60种
B ．63种
C ．65种
D ．66种
二、填空题
7．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________．
8．不等式C 2n －n <5的解集为________．
9．若对任意的x ∈A ，则1x
∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合．集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________． 10．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77；
(2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55；
(3)C n n ＋1·C n －1n .
11．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)
(1)图中有多少个矩形？
(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？
12．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？
(1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有2件次品．
组合与组合数公式
CCACCD 7.20 8.{2,3,4} 9.15
10.解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. (2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25
)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. (3)原式＝C n n ＋1·C 1
n ＝n ＋1！n ！·n ＝n ＋1·n ！n ！
·n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n .
11.解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩
形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出
6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．
12.解：(1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有C 597种．
(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有C 397
C 23种．
(3)至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有两类：
第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C 397C 23种．
第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有C 297C 33种．
按分类计数原理有C 397C 23＋C 297C 33种．
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