组合及组合数公式
☆☆☆☆组合与组合数公式解读
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端 点的有向线段共有多少条？
解：(1) (2)
C
2 10
45
A
2 10
90
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件 次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有 多少种？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
组合数的两个性质
定理1:
Cmn
Cnm n
.
证明:
C
m n
m（! nn！m）!,
Cnm n
(n
n！ m)
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴 中 美 中 古 中 俄 美 中 中国—古巴 美国—俄罗斯 美 古 美 俄 古 中 古 美 古 俄 中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯 俄 中 俄 美 俄 古
（2） 冠 军 亚 军
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 m 组合数，用符号 C 表示
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 组合问题 共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
abc abd acd bcd
求A 可分两步考虑： 3 4 求 可分两步考虑：
P4
第一步， C 4 （ 4）个；
第二步， A3 （ 6）个；
根据分步计数原理， A4
3
3
3
3
CA
3 4
3 3
.
P A 从而C 4 C3 3 P3
3
3
A
3 4 4
3 4
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.
组合数常用公式
组合数常用公式
在组合数理论中，有几个常用的公式：
1. 组合数的定义公式：
组合数（Combination）表示从n个不同元素中选择r个元素，记作C(n,r)，计算公式为：
C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)
2. 二项式定理：
二项式定理表达了两个数的和的幂展开的公式，即：
(a + b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n
3. 杨辉三角形：
杨辉三角形是由组合数构成的一个数表，它具有以下特点：
- 每一行的两端元素都是1。
- 从第三行开始，每个元素的值等于它上方两个元素的和。
- 杨辉三角形可用于计算组合数。
这些是组合数理论中常用的公式，可用于计算组合数和展开二项式等问题。
1.2.2.1 组合及组合数公式
注意：
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个 元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m
次不放回地取出．
2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺 序，亦即元素没有位置的要求． 3．相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完
全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．
四、练习：
2 8
例2．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个， 写出所有不同的组合． 解：要想列出所有组合，就要先将元素按照一 定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个 组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
2 3 例 3 计算 C3 和 C ＋ C 7 6 6；
解答： (1)已知集合的元素具有无序性，因此含 3 个 元素的子集个数与元素的顺序无关， 是组合问题， 共有 C3 7个． (2)因为发件人与收件人有顺序区别，与顺序有关是排 列问题，共写了 A2 8个电子邮件． (3)同时通电话，无顺序，是组合问题，共通了 C 次电 话． (4)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数 是排列问题，有 A2 4种飞机票；票价只与两站的距离有关，故 票价的种数是组合问题，有 C2 4种票价．
【解析】
) C．8 D．9
B．7
2
xx－1 2 ∵Cx ＝ ＝36，
∴x(x－1)＝72，∴x＝9.
【答案】
D
3．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的 积的个数为________．
【解析】 【答案】 从四个数中任取两个数的取法为C2 4＝6. 6
4、在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
数学组合数计算公式
数学组合数计算公式
组合数，也称为组合，是一个重要的数学概念，用来表示从n
个不同元素中取出m个元素的方式数目。
组合数通常用符号C(n, m)来表示，其计算公式为：
C(n, m) = n! / (m! (n m)!)。
其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n (n-1) (n-2) (2)
1。
这个公式可以用来计算从n个不同元素中取出m个元素的所有可
能的组合数。
另外，组合数还有一些特性和性质，比如：
1. 对称性，C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个元素中取出m个
元素的组合数等于从n个元素中取出n-m个元素的组合数。
2. 递推关系，C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)，即组合
数满足递推关系，可以通过递推计算出组合数的值。
3. 组合数的性质还涉及到排列组合、二项式定理等方面的内容，
在实际问题中有着广泛的应用。
总之，组合数的计算公式是C(n, m) = n! / (m! (n m)!)，并且具有一些特性和性质，这些知识对于数学和概率统计等领域都有着重要的意义。
组合数学中的组合数问题
组合数学中的组合数问题组合数学是数学的一个分支，研究的是选择、排列和组合的问题。
其中，组合数问题是其中一个重要的研究方向。
本文将围绕组合数问题展开讨论，讲述其基本概念、应用以及解决方法。
一、基本概念组合数是由元素个数有限的集合中取出若干元素（不考虑有序）的不同选择数，用C(n, k)来表示，公式为：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!),其中，n表示集合中元素的个数，k表示选择的元素个数，!表示阶乘。
二、组合数的应用1. 应用于排列组合问题排列组合问题是组合数学中的一个重要问题，它研究的是从给定元素中选取若干个元素进行排列或组合的问题。
例如，在一组数字中选取三个数字排列成不同的序列，即是一个排列问题；而从一组数字中选取三个数字组合成不同的组合，即是一个组合问题。
组合数正是解决这类问题的数学工具。
2. 应用于概率论在概率论中，组合数被广泛应用于计算随机事件发生的可能性。
以抽奖为例，假设有5个奖品，现有10个人参与抽奖，其中3个人将获得奖品。
那么，我们可以通过组合数来计算不同情况下的中奖概率。
具体计算公式为：中奖概率 = C(10, 3) / C(5, 3)。
通过组合数的使用，我们可以准确地计算出各种随机事件的概率。
三、组合数问题的解决方法1. 公式计算法组合数问题的最直接解决方法就是使用组合数公式进行计算。
在计算C(n, k)时，我们可以先通过计算n的阶乘，然后分别计算k和(n-k)的阶乘，最后将结果相除即可得到组合数。
这种方法适用于n和k较小的情况，计算较为方便。
2. 递推法递推法是一种高效地计算组合数的方法。
通过观察组合数的性质，我们可以得到递推公式：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k),通过计算已知组合数的值，不断利用递推公式进行计算，最终得到所需的组合数。
3. 组合数的性质组合数具有一些重要的性质，可以用于简化计算。
例如：C(n, k) = C(n, n-k)，C(n, 0) = C(n, n) = 1等。
组合与组合数公式124
acd
acd cad dac adc cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 3可分两步考虑： 求4P34 可分两步考虑：
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 3 C A 4
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题 (握4)手10相人互聚问会候，，见共面需后握每手两多人少之次间?要组合问题 (5)从4个风景点中选出2个安排游览, 组合问题 (6有)从多4少个种风不景同点的中方选法出?2个,并确定这2个风景
问题
有5本不同的书： （ 1 ） 取 出 3 本 分 给 甲 、 乙 、 丙 三
人每人1本，有几种不同的分法？ （ 2 ） 取 出 4 本 给 甲 ， 有 几 种 不 同
的取法？
问题（1）中，书是互不相同的，人也 互不相同，所以是排列问题．
问题（2）中，书不相同，但甲所有 的书只有数量的要求而无“顺序”的要求， 因而问题（2）不是排列问题．
引例3
1. 北京、上海、广州三个民航站之 间的直达航线，需要准备多少种不同 的飞机票？
2. 北京、上海、广州三个民航站 之间的直达航线，有多少种不同的飞 机票价？
引例总结
以上两个引例所研究的问 题是不同的，但是它们有数量上 的共同点，即它们的实质都是：
从3个不同的元素里每 次取出2个元素，不管怎样 的顺序并成一组，一共有多 少不同的组？