组合与组合数公式及性质
☆☆☆☆组合与组合数公式解读
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端 点的有向线段共有多少条？
解：(1) (2)
C
2 10
45
A
2 10
90
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件 次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有 多少种？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
组合数的两个性质
定理1:
Cmn
Cnm n
.
证明:
C
m n
m（! nn！m）!,
Cnm n
(n
n！ m)
巩固练习
3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
小结
1.组合数公式:
2
n
C C (2)当m n时,公式 m nm变形为
n
n
C C n 0
n
n
C C 又 n 1,所以规定: 0 1即0! 1
n
n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组
合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组
C C 合数 性质1
m
nm
n
n
证明: 根据组合数的公式有:
Cm
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
C C 与 9 11
2;
11
C C 7 与 10
3 10
;
的关系,并发现什么规律?
C 9 11
11! 1110 9!2! 2!
C7 10
共有多少条不同的路线
?
B A
将一条路经抽象为如下的一个
排法(5-1)+(8-1)=11格:
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→
A
1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
组合与组合数公式
解：（1） C83 56 ⑵
⑶
C
3 7
35
C72 21
我们发现：
C83
C72
C
3 7
为什么呢
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
从a1, a2 , a3,, an1这n 1个不同元素中， 每次取出m个元素。 （1）可以有多少个不同的组合？ （2）在这些组合里有多少个是含有a1的？ （3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？ （4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？
推广:
从 n个不同元素中取出 m个元素的每一个 组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一 对应，所以从 n个不同元素中取出 m个元素 的组合数，等于从这n 个元素中取出n-m 个元 素的组合数，即
c c m n
nm n
组合数的两个性质
定理1:
Cmn
Cnm n
.
证明: Cmn m（! nn！m）!,
例5、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分 法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本： （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2 本，一人 3本。
例6、某省的福利彩票中，不考虑次序的7个数码组 成一注，7个数码中没有重复，每一个数码都选自 数码1,2，…，36，如果电视直播公开摇奖时只有 一个大奖，计算：
a a a 推广:从
1,
2,
n1这n+1个不同的元素中，
a c a a a a a 取出m个元素的组合数
一类含 ，一1类不含
组合和组合数公式
组合和组合数公式组合是组合数学中的一个重要概念，用来计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
组合数公式是用来计算组合数的公式。
本文将详细介绍组合和组合数公式，并说明其应用和性质。
1.组合的定义组合由n个元素中选取r个元素所组成的集合，称为从n个元素中选取r个元素的组合。
组合中的元素是无序的，即选取的元素的顺序对组合没有影响。
2.组合的表示方法组合通常用C(n,r)来表示，其中n是总的元素个数，r是选取的元素个数。
例如，从4个元素中选取2个元素的组合可以表示为C(4,2)。
组合数公式用于计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
常用的组合数公式有以下几种：3.1乘法法则根据乘法法则，从n个元素中选取r个元素的方式数等于从n中选择1个元素的方式数乘以从n-1个元素中选取r-1个元素的方式数。
这一公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)*n/r3.2递推公式根据递推关系，可以通过前一项的组合数计算后一项的组合数。
递推公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)3.3组合公式组合公式是计算组合数的一种常用方法。
组合公式可以表示为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*14.组合的性质组合具有以下几个重要的性质：4.1对称性组合数具有对称性，即C(n,r)=C(n,n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素的方式数与从n个元素中选取n-r个元素的方式数是一样的。
4.2递推性组合数具有递推性，即可以通过递推公式计算组合数。
这使得计算大规模组合数变得更加高效。
4.3性质的递推公式组合数的性质也可以通过递推公式计算。
例如，根据乘法法则和递推公式可以推导出组合数的对称性。
5.组合数的应用组合数在组合数学、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1排列组合组合数可以用于计算排列组合的方式数。
排列是组合的一种特殊情况，它要求选取的元素有序。
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
组合数的相关公式
组合数的相关公式组合数是组合数学中的一个重要概念，也称为二项式系数。
它在组合学、概率论和数论等多个领域都有广泛的应用。
本文将全面介绍组合数的相关公式，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 组合数的定义组合数是指从n个不同元素中选取r个元素的方式数，用C(n,r)或者表示。
其中n表示元素的个数，r表示选取的元素个数。
组合数的计算结果是一个非负整数。
2. 组合数的计算公式2.1. 基本公式组合数可以通过以下基本公式来计算：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，"!"表示阶乘运算，即将一个正整数n与小于等于它的所有正整数相乘。
例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1。
2.2. 递推公式组合数也可以通过递推公式来计算：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)递推公式的意思是，从n个元素中选取r个元素，可以分为两种情况：选取第n个元素和不选取第n个元素。
如果选取第n个元素，那么就需要从剩下的n-1个元素中选取r-1个元素；如果不选取第n 个元素，那么就需要从剩下的n-1个元素中选取r个元素。
将这两种情况的结果相加，就可以得到总的组合数。
递推公式的优点是可以利用已知的组合数计算出其他组合数，从而减少重复计算的次数。
3. 组合数的性质组合数具有一些有趣的性质，对于计算和理解组合数的应用非常有用。
3.1. 对称性组合数具有对称性，即C(n,r) = C(n,n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素，等价于从n个元素中选取n-r个元素。
例如，从{1,2,3,4}中选取2个元素的方式数与从{1,2,3,4}中选取3个元素的方式数是相同的。
3.2. 组合数的加法如果有两个集合A和B，且A和B的元素个数分别为n和m，那么从A和B的元素中选取r个元素的方式数为C(n+m,r)。
这是因为可以将A和B的元素合并成一个集合，然后从合并后的集合中选取r个元素。
组合数学 常见结论
组合数学常见结论
组合数学是数学的一个分支，主要研究从给定的元素中抽取若干元素的组合方式，以及这些组合的性质和规律。
以下是一些常见的组合数学结论：
1. 组合恒等式：从n个元素抽取r个元素的组合数C(n,r)等于从n-1个元素抽取r-1个元素的组合数C(n-1,r-1)加上从n-1个元素抽取r个元素的组合数C(n-1,r)。
2. 组合计数公式：从n个元素中抽取r个元素的组合数C(n,r)等于
n!/(r!(n-r)!)，其中"!"表示阶乘。
3. 乘法原理：如果有多个无放回的抽取过程，那么总的组合数等于各个过程中组合数的乘积。
4. 加法原理：如果有两个或多个独立的选取过程，那么总的组合数等于各个过程中组合数的和。
5. 二项式定理：对于任意实数x和q，(x+q)^n的展开式中，除首项和末项外，其余每一项都大于或等于0。
以上只是一些基本的组合数学结论，组合数学的研究还包括许多其他的问题，如排列组合、组合计数、组合设计等。
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10.3组合与组合数公式及性质
达标要求
1．理解组合的概念．
2．掌握组合数公式．
3．理解排列与组合的区别和联系。
4．熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的 应用问题．
基础回顾
1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有组合的个数，叫做 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m
n C 表示．．
3．组合数的公式：
(1)(2)(1)!m m
n n m m A n n n n m C A m ---+== 或()!!!
m n n C m n m =-（,n m N +∈且m n ≤） 4．组合数性质：
（1）m n m n n C C -=
（2）111m m m n n n C C C ++++=
典型例题
例题1 4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组。
(1) 共有多少种选法？
(2) 其中男生甲不能参加，有多少种选法？
(3) 若至少有1个男生，问组成方法共有多少种？
解：(1) 共有310120C =种。
(2) 共有3984C =种
(3) 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，
分别有34C ，2146C C ，1246C C ，
所以一共有3211244646100C C C C C ++=种方法．
解法二：（间接法）33106100C C -=
例题2 100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．
(1) 都不是次品的取法有多少种？
(2) 至少有1件次品的取法有多少种？
(3) 不都是次品的取法有多少种？
解：（1）4
902555190
C=
（2）441322314 10090109010901090101366035
C C C C C C C C C
-=+++=
（3）441322314 10010109010901090903921015
C C C C C C C C C
-=+++=。