组合与组合数公式2
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组合和组合数公式解析
有
顺
序
排列
问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组
无
顺
组合
序
概念讲解
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
例5.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
课堂小结
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造 组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有
多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种
车票?
排列问题
组合是选择的结果， 有多少种不同的火车票价？
组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有
多少种排分法列? 是选择后再排序组的合问结题 果.
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手
多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
高中数学 组合与组合数公式
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴 中 美 中 古 中 俄 美 中 中国—古巴 美国—俄罗斯 美 古 美 俄 古 中 古 美 古 俄 中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯 俄 中 俄 美 俄 古
（2） 冠 军 亚 军
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 m 组合数，用符号 C 表示
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 组合问题 共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
abc abd acd bcd
求A 可分两步考虑： 3 4 求 可分两步考虑：
P4
第一步， C 4 （ 4）个；
第二步， A3 （ 6）个；
根据分步计数原理， A4
3
3
3
3
CA
3 4
3 3
.
P A 从而C 4 C3 3 P3
3
3
A
3 4 4
3 4
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.
组合与组合数公式(二)
abc ， abd ， acd ， bcd .
abc
abd
acd
bcd
C 4
3 4
d
c
b
a
C 4
1 4
abc
abd
acd
bcd
2 3
C 4
3 4
含元素a 的组合数: 不含元素a 的组合数:
C 3
C 1
3 3
C C C
3 4 2 3
3 3
定理 2 :
C
m n
m n 1
C C .
排列与组合
组合与组合数公式 （二）
播放时间：6月3日9:50－10:30
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
n ( n 1)( n 2) ( n m 1) P C m m! Pm
m n m n
n! C m !( n m ) !
m n
组合数的两个性质
定 理1 :
C C
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
例2 求证:
C C ; m 1 m 1 m m 1 ( 2 ) C n C n 2C n C n 2 .
(1) C
m n 1 m 1 n m n 1 m 1 n 1
C
证明: (2) (1)
C C (C C C C C
例5 在产品检验时,常从产品中抽出一 部分进行检查.现在从100件产品中任意 抽出3件: (1)一共有多少种不同的抽法?
(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
作业：
组合数常用公式
组合数常用公式
在组合数理论中，有几个常用的公式：
1. 组合数的定义公式：
组合数（Combination）表示从n个不同元素中选择r个元素，记作C(n,r)，计算公式为：
C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)
2. 二项式定理：
二项式定理表达了两个数的和的幂展开的公式，即：
(a + b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n
3. 杨辉三角形：
杨辉三角形是由组合数构成的一个数表，它具有以下特点：
- 每一行的两端元素都是1。
- 从第三行开始，每个元素的值等于它上方两个元素的和。
- 杨辉三角形可用于计算组合数。
这些是组合数理论中常用的公式，可用于计算组合数和展开二项式等问题。
组合与组合数公式
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
分别有多少种？用式子表示。
【做一做1】 给出下列问题: 2 2 2 A 或 C ①有10个车站,共需准备多少种车票? 10 10 A2 ②有10个车站,共有多少种不同的票价? C 2 10 2 2 2 ③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段? A16 或C16 A2 ④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话 2 多少次? C16 ⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞 4 4 赛,有多少种选派方法? 4 或C A
组合与组合数公式
基础步骤，证明n=1和n=2时的组合数公式 成立。
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
组合数的相关公式
组合数的相关公式组合数是组合数学中的一个重要概念，也称为二项式系数。
它在组合学、概率论和数论等多个领域都有广泛的应用。
本文将全面介绍组合数的相关公式，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 组合数的定义组合数是指从n个不同元素中选取r个元素的方式数，用C(n,r)或者表示。
其中n表示元素的个数，r表示选取的元素个数。
组合数的计算结果是一个非负整数。
2. 组合数的计算公式2.1. 基本公式组合数可以通过以下基本公式来计算：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，"!"表示阶乘运算，即将一个正整数n与小于等于它的所有正整数相乘。
例如，5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1。
2.2. 递推公式组合数也可以通过递推公式来计算：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)递推公式的意思是，从n个元素中选取r个元素，可以分为两种情况：选取第n个元素和不选取第n个元素。
如果选取第n个元素，那么就需要从剩下的n-1个元素中选取r-1个元素；如果不选取第n 个元素，那么就需要从剩下的n-1个元素中选取r个元素。
将这两种情况的结果相加，就可以得到总的组合数。
递推公式的优点是可以利用已知的组合数计算出其他组合数，从而减少重复计算的次数。
3. 组合数的性质组合数具有一些有趣的性质，对于计算和理解组合数的应用非常有用。
3.1. 对称性组合数具有对称性，即C(n,r) = C(n,n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素，等价于从n个元素中选取n-r个元素。
例如，从{1,2,3,4}中选取2个元素的方式数与从{1,2,3,4}中选取3个元素的方式数是相同的。
3.2. 组合数的加法如果有两个集合A和B，且A和B的元素个数分别为n和m，那么从A和B的元素中选取r个元素的方式数为C(n+m,r)。
这是因为可以将A和B的元素合并成一个集合，然后从合并后的集合中选取r个元素。
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C
m n1
98 199 【例 2】 (1)计算C100 + C200 ; 3������ +6 (2)已知C18 = C18 , 求������; 4 8 4 4 4 (3)化简C5 + C6 + C7 + C8 + C8 . 分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解. 4������ -2
������ ������ -1 ������ -2 ������ ������ -1 ������ -1 ������ -2 (4)证明: C������ + 2C������ + C������ = C������ + C������ + C������ + C������ ������ ������ -1 ������ = C������ + C = C +1 ������ +1 ������ +2 .
������+1 ������ +1 ·C������ ; ������-������
(3)证明: ∵
������ C������
������! ������+1 ������+1 ������! ������+1 = ������!(������-������)! , ������-������ ·C������ = ������-������ ·(������+1)!(������-������-1)!
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
m n
规定：
C
0 n
1
C 1
n n
组合数公式的性质：
C 1
n n
C C
m n
n m n
C C
m n
m1 n
(1)C C
n n1
n 2 n
(2)
C
2 100
( n 1) n( n 1) 2
C 3 A101
97 100
C A
2 10
3 101 3 101
1 6
2、圆上有10个点（1）过每两个点可画一条弦，
一共可画多少条弦？ C （2）过每3个点可画一个圆内接三角形，一共可画多 少个圆内接三角形？
98 解:(1)C100
+
199 C200
=
2 C100
+
1 C200
=
3������ +6 (2)由C18 = C18 , 知3n+6=4n-2 或 3n+6+(4n-2)=18.解得 n=8 或 n=2. ∵3n+6≤18,且 4n-2≤18, ∴n≤4,且 n∈N+,∴n=2. 4 8 8 4 5 4 4 4 4 4 4 (3)C5 + C6 + C7 + C8 + C8 = C8 + C5 + C6 + C7 + C8 = C5 + 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 C5 + C6 + C7 + C8 = C6 + C6 + C7 + C8 = C7 + C7 + C8 = C8 + 5 4 4 C8 = C9 = C9 = 4×3×2×1 = 126.
原式 C C C C C C C C
C C C C C C C C C C C C C C 4 C C C C C C C11
C C 的值为()
5 8 6 8
A.36 B.84 答案:B C.88 D.504
【当堂检测】
1
1 2
.
4.已知C12 = C12 , 则������的值是( A.2 B.6
������ -2
2������ -4
解析:由组合数公式及其性质得, 0 ≤ ������-2 ≤ 12, 0 ≤ 2������-4 ≤ 12, ������-2 = 2������-4 或(������-2) + (2������-4) = 12. 解得 x=2 或 x=6. 答案:D
2 5.若A3 ������ = 12C������ , 则������ =
2 解析: A3 = ������ ( ������ − 1)( ������ − 2), C ������ ������ = ������(������ − 1),
由 n∈N+,且 n≥3,解得 n=8. 答案:8
所以 n(n-1)(n-2)=12× 2 ������(������ − 1).
组合与组合数公式
1、排列的定义： 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列。 2、排列数公式：
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
A
m n
n! (n m)!
组合：
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
相同的组合： 元素相同
组合数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的 m 组合数。用符号 Cn 表示。
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
������ + 1 ������! ������! ������ + 1 ������+1 ������ = · = , ∴ C������ = ������-������ ·C������ . (������ + 1)! (������-������)(������-������-1)! ������!(������-������)!
C. 2 D. 2 或 6
1
)5Βιβλιοθήκη 计算：C3 3 C .... C
3 4
0 4 1 5 1 5 2 6 1 4 3 5 2 5 3 6 3 5 3 6 3 6 3 7 3 6 3 7 3 7 3 8
3 10
3 7 3 8 3 8 3 9 3 8 3 9 3 9 3 10 3 9 3 10 3 10 3 10
C
3 10