导数 方程的根

1 已知函数f (x )=a ln x +bx 2

图象上点P （1，f (1))处的切线方程为2x -y -3=0. (Ⅰ)求函数y = f (x )的解析式；

(Ⅱ)函数g (x )= f (x )+m -ln4,若方程g (x )=0在[1

e

,2]上恰有两解，求实数m 的取值范围.

【答案】22.解：(Ⅰ)当x =1时，f (1)=2×1-3=-1. …………1分

f ′( x )=

2a

bx x

+， ……………2分 ∴(1)22

(1)1

f a b f b '=+=⎧⎨

==-⎩ ………………4分

解得a =4,b =-1 ……………5分 ∴y =f (x )=4ln x -x 2

. ……………6分 (Ⅱ)(方法一)：g (x )=f (x )+m -ln4=4ln x -x 2

+m -ln4. …………………7分 令g (x )=0得m =x 2

+4ln x + ln4，则此方程在[1,2e

]上恰有两解. …………8分 记ϕ (x)= x 2

+4ln x + ln4

令ϕ′( x )=2

x-24242(0x x x x x x

-+-===，得

[1,2e ] (9)

分

x ∈

(1

e

ϕ′( x )＜0，ϕ (x)单调递减；

x ∈

2), ϕ′( x )＞0，ϕ (x)单调递增. ……11分

又222ln 221

1()42ln 2(2)44ln 22ln 242ln 2e

e ϕϕϕ⎧=-=⎪

⎪=++⎨⎪=-+=-⎪⎩

……………13分

∵ϕx)的图像如图所示（或∵ϕ1

()e

≥ϕ（2））

∴2＜m ≤4-2ln2. ………………………14分

(方法二)：(Ⅱ)g (x )=f (x )+m -ln4=4ln x -x 2

+m-ln4. ………………7分 令g ′( x

)=

4)

20,x x x x x

-==得x

[1,2e ], ……………8分

因为g ′( x )

在区间（1

e

2）上小于0，

所以g ( x )在区间

[1e

上单调递增，在区间

2]上单调递减， …………10分 由于g ( x )=0在[1,2e

]上恰有两解，

所以只需满足不等式组222ln 420111()4ln 442ln 2(2)4ln 24ln 4(42ln 2)0g m m g m m e

e e g m m ⎧=+-=->⎪

⎪⎛⎫

=--+-=-++⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=-+-=--≤⎩

≤0

………………………………………………………………………………12分 其中4+

2

1

e +2ln2＞4-2ln2，解得2＜m ≤4-2ln2. ………14分 2 （山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）已知函数

nx x x f 1)(=.

(1)若函数2)()(2+++=ax x x f x g 有零点,求实数a 的范围; (2)若))(1()(Z k x k x f ∈+≥恒成立,求k 的最大值.

【答案】

3 （山东省聊城市堂邑中学2014届高三上学期9月假期自主学习反馈检测数学（理）试题）已

知函数,在点处的切线方程为. (Ⅰ)求函数的解析式;

(Ⅱ)若对于区间上任意两个自变量的值,都有,求实

),(3)(2

3

R b a x bx ax x f ∈-+=))1(,1(f 02=+y )(x f ]2,2[-21,x x c x f x f ≤-|)()(|21

数的最小值;

(Ⅲ)若过点,可作曲线的三条切线,求实数 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)

根据题意,得 即

解得

(Ⅱ)令,解得 f(-1)=2, f(1)=-2,

时,

则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值,都有

所以所以的最小值为4. (Ⅲ)设切点为

, 切线的斜率为 则

即,

因为过点,可作曲线的三条切线 所以方程有三个不同的实数解 即函数有三个不同的零点, 则

令

()0,0 2.g x x x '===解得或c )2)(,2(≠m m M )(x f y =m 323)(2-+='bx ax x f

⎩⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f ⎩

⎨⎧=-+-=-+,0323,

23b a b a ⎩⎨

⎧==.

0,1b a .3)(3

x x x f -=∴33)(2

-='x x f 0=1±=x 2)2(,2)2(=-=-f f [2,2]x ∴∈-当max min ()2,() 2.f x f x ==-12,x x 12max min |()()||()()|4f x f x f x f x -≤-=4.c ≥c 3

00000(,),3x y y x x =-则200()33f x x '=-∴2

03 3.x -3

2

00003332

x x m x x ---=-32

002660x x m -++=(2,)(2)M m m ≠()y f x =3

2

002660x x m -++=3

2

()266g x x x m =-++2

()612.g x x x '=-