Ansys 断裂力学理论
断裂力学第三讲断裂力学理论
27
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K Y a
——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力
a ——裂纹尺寸，即裂纹长或深
Y——形状系数，与裂纹大小、位置有关
应力强度因子单位：N.m-3/2
28
应力强度因子
3
k
Hale Waihona Puke 1平面应力3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
同。选取应力函数
＝yReZII
II x
yReZII z
yII ReZIIzyImZIIz
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
2II x2
yReZII
z
2 y2II 2ImZIIzyReZIIz 2 xyII ReZIIzyImZIIz
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
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Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
KI 2ZΙΙI()
ZΙI ( )
ANSYS断裂分析
基于ANSYS的断裂参数的计算1 引言断裂事故在重型机械中是比较常见的，我国每年因断裂造成的损失十分巨大。
一方面，由于传统的设计是以完整构件的静强度和疲劳强度为依据，并给以较大的安全系数，但是含裂纹在役设备还是常有断裂事故发生。
另一方面，对于一些关键设备，缺乏对不完整构件剩余强度的估算，让其提前退役，从而造成了不必要的浪费。
因此，有必要对含裂纹构件的断裂参量进行评定，如应力强度因了和J积分。
确定应力强度因了的方法较多，典型的有解析法、边界配位法、有限单元法等。
对于工程上常见的受复杂载荷并包含不规则裂纹的构件，数值模拟分析是解决这些复杂问题的最有效方法。
本文以某一锻件中取出的一维断裂试样为计算模型，介绍了利用有限元软件ANSYS计算应力强度因子。
2 断裂参量数值模拟的理论基础对于线弹性材料裂纹尖端的应力场和应变场可以表述为：(1)其中K是应力强度因子，r和θ是极坐标参量，可参见图1，(1)式可以应用到三个断裂模型的任意一种。
图1 裂纹尖端的极坐标系(2)应力强度因子和能量释放率的关系：G=K/E" (3)其中：G为能量释放率。
平面应变：E"=E/(1-v2)平面应力：E=E"3 求解断裂力学问题断裂分析包括应力分析和计算断裂力学的参数。
应力分析是标准的ANSYS线弹性或非线性弹性问题分析。
因为在裂纹尖端存在高的应力梯度，所以包含裂纹的有限元模型要特别注意存在裂纹的区域。
如图2所示，图中给出了二维和三维裂纹的术语和表示方法。
图2 二维和三维裂纹的结构示意图3.1 裂纹尖端区域的建模裂纹尖端的应力和变形场通常具有很高的梯度值。
场值得精确度取决于材料，几何和其他因素。
为了捕获到迅速变化的应力和变形场，在裂纹尖端区域需要网格细化。
对于线弹性问题，裂纹尖端附近的位移场与成正比，其中r是到裂纹尖端的距离。
在裂纹尖端应力和应变是奇异的，并且随1/变化而变化。
为了产生裂纹尖端应力和应变的奇异性，裂纹尖端的划分网格应该具有以下特征：·裂纹面一定要是一致的。
X80管线钢的断裂失效分析与完整性评价(ANSYS)
硕士学位论文论文题目X80管线钢的断裂失效分析与完整性评价学科专业化工过程机械作者姓名肖筠指导教师张巨伟教授2010年4月学校代码：10148学号：01200703080619密级：√无□加密学院机械工程学院入学时间2007年9月论文起止时间2008.10~2010.4答辩时间2010.6研究成果声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得辽宁石油化工大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
特此申明。
签名：日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解辽宁石油化工大学有关保留、使用学位论文的规定，其中包括：①学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；②学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；③学校可允许学位论文被查阅或借阅；④学校可以学术交流为目的,复制赠送和交换学位论文；⑤学校可以公布学位论文的全部或部分内容（保密学位论文在解密后适用本授权书）。
签名：日期：导师签名：日期：X80管线钢的断裂失效分析与完整性评价摘要使用管道运输石油天然气是目前为止最经济、最安全的运输方式。
随着科学技术以及建设需求的不断发展，我国的管道运输领域得以迅速发展。
从2005年我国首条X80输气管线应用工程正式开工到X80管线钢在西气东输二线主干线中的使用，我国油气长输管道行业发展迅速。
因而，相关领域的技术需求也日益增加，特别是在管道缺陷方面。
对于某一管道缺陷是否需要处理、何时处理、怎样处理之类问题的研究日益突出，让X80管线钢管的断裂失效分析及完整性评价显得尤为重要。
本文对X80管线钢研究现状及发展趋势进行梳理和总结，对相关的资料进行系统整理并加以详细归纳和介绍。
以断裂力学为基础，利用Newman-Raju公式来计算含半椭圆型表面裂纹管道的应力强度因子。
裂纹尖端断裂力学参数计算-资料
H C
XA,XB,XC为A，B，C节点的坐标 ， uA,uB,uC分别为三节点的水平位移。
裂纹线上任意一点的坐标x和 位移u都可以用形函数插值为：
x0.5(1)xA(1)1 ()xB0.5(1)xC u0.5(1)uA(1)1 ()uB0.5(1)uC (4) 11
20世纪50年代，美国北极星导弹固体燃料发动机 发射时发生低应力脆断。
1965年，英国某大型合成塔在水压试验时断裂成 两段。
事故调查发现 →断裂起源于构件中裂纹
1、裂纹尖端断裂力学参数研究意义
传统的强度理论
缺陷：传统强度理论并没有考虑材料中是否有缺陷， 对有缺陷的材料，对其安全可靠性不能做出正确的判 断。
2、裂纹尖端KI的计算方法
J积分法
J积分定义为与路径无关的曲线积分
tx xnx xyny ty yny xynx
tx, ty 分别为X,Y轴的引力分量 n为积分路劲上的单位法向量
间接求得
KI
JE 1- 2
缺点：只能应用于穿透性裂纹，对于表面椭 圆裂纹，剪切滑移等裂纹根本无法计算。
基于ANSYS的裂纹尖端应力强度 因子KI的计算
裂纹尖端应力强度KI研究的意义 裂纹尖端KI的计算方法 裂纹尖端应力奇异性处理 Ansys计算过程及结果
1、裂纹尖端断裂力学参数研究意义
随着现代高强材料和大型结构的广泛应用，一些 按传统强度理论和常规方法设计、制造的产品， 发生了不少重大断裂事故。
(6)
在极坐标中 xr,0 故(6)变为
x x u x u x1 r1 L [ 2u B (1 2 )u C ]
(7)
根据材料的本构关系，应力与应变成正比，故应力也与 1/ r 项成比例
断裂力学第二讲断裂力学理论Fracture Mechanics
5
C. E. Inglis
Sir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at King's College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire
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Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa.
The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa
断裂力学参量[整理版]
![断裂力学参量[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/b8a2a748814d2b160b4e767f5acfa1c7aa0082f3.png)
ANSYS求解断裂力学参量的理论方法工程上,线弹性断裂力学中常用应力强度因子K、J积分、G能量释放率这三个参量来描述裂纹场。
ANSYS软件能较好地计算裂纹周围区域的应力分布，并能计算裂纹的应力强度因子K、J积分以及能量释放率G等，其特点是简单、经济、精度高。
下面主要介绍在ANSYS中如何求解应力强度因子K和J积分。
（1）求解应力强度因子ANSYS软件中提供了所谓的“位移外推”法(displacement extrapolation) 来计算应力强度因子[5]。
在线弹性范围内,对于三维裂纹,裂纹尖端的局部位移场与应力强度因子的关系为[6]：)2)22IIIIIIKu kGKv kGKwG⎧=+⎪⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪=⎪⎩式中: u、v、w—如图2.5所示裂纹尖端局部直角坐标系下裂纹前端位移；r—如图2.5所示裂纹尖端局部柱坐标系下坐标；G—材料剪切模量；K I、K II、K III—应力强度因子；v—为泊松比；34()3()1vk vv-⎧⎪=⎨-⎪+⎩平面应变或轴对称平面应力当利用裂纹尖端节点的位移进行计算时，应力强度因子和裂纹面节点的位移差存在下列关系：IIIIIIKKK⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩三维裂纹的局部坐标在使用有限元法进行应力强度因子计算时,由于常规单元在裂纹尖端存在奇异性,为使计算准确,必须在裂纹尖端使用细小的单元;如果使用奇异元,即使用二次三角(或五面体)单元,并将靠近裂纹尖端的中间节点置于1/4处,则位于沿裂纹尖端的单元边上的应力和应变与1/消除了奇异性，也就是说，可以用相对比较稀疏的单元得到精度较高的结果。
（2）求解J积分J积分定义为一个围绕裂尖的线积分(二维) 或一个围绕裂纹前沿的面积分。
它用计算裂纹尖端的奇异应力和应变,与积分路径无关。
为了避开裂纹尖点的奇异性,取得较好的精度,积分路径一般取得离裂纹尖点较远。
J积分形式如图2.6所示，其表达式如下：()yxx yuuJ Wdy t t dsx yΓΓ∂∂=-+∂∂⎰⎰式中：W—应变能密度(单位体积应变能)；Г—围绕裂纹尖点任意路径；xt—X 方向的作用向量,x x xy yt nσσ=+;yt—Y方向的作用向量,y y xy xt nσσ=+;n—积分路径的外法向向量；s —积分路径距离；围绕裂纹尖端的任意一条J 积分路径在ANSYS 中，为了计算位移向量的偏导数x u x ∂∂与y u y ∂∂，将积分路径向x 正负方向分别移动Δx/2，并求出路径Γ+Δx/2上各点的位移u x1和u y 1以及路径Γ-Δx/2上各点的u x 1和u y 1，则：2121()()x x x y y y u x u u xu y u u y∂∂=-∆⎧⎪⎨∂∂=-∆⎪⎩ ANSYS 具有强大的后处理功能,利用此功能,在求解后可以通过ANSYS 通用后处理器中的单元列表功能,很方便地把各变量映射到自定义的路径中去。
在ANSYS中计算裂缝应力强度因子的技巧
在ANSYS中计算裂缝应力强度因子的技巧在ANSYS中计算裂缝应力强度因子的技巧裂缝应力强度因子用ANSYS中怎么求呀。
另外，建模时，裂纹应该怎么处理呀，难道只有画出一条线吗？首先说一下裂纹怎么画，其实裂纹很简单啊。
只要画出裂纹的上下表面（线）就可以了，即使是两个面（线）重合也一定要是两个面（线）；如果考虑道对称模型就更好办了，裂纹尖点左面用一个面（线），右边用另外一个面（线），加上对称边界约束。
再说一下裂尖点附近网格的划分。
ansys提供了一个kscon的命令，主要是使得crack tip的第一层单元变成奇异单元，用来模拟断裂奇异性(singularity)。
当然这个步骤不是必须的，有的人说起用ansys算强度因子的时候就一定要用奇异单元，其实是误区（原因下面解释）好了，回到强度因子的计算。
其实只要学过一些断裂力学都知道，K的求法很多。
就拿Mode I的KI来说吧，Ansys自己提供了一个办法（displacement extrapolation），中文可能翻译作“位移外推”法，其实就是根据解析解的位移公式来对计算数据进行fitting的。
分3步走，如果你已经算完了：第一步，先定义一个crack-tip的局部坐标系，这是ansys帮助文件中说的，其实如果你的裂纹尖端就是整体坐标原点的话，而且你的x-axis就顺着裂纹，就没有什么必要了。
第二步，定义一个始于crack-tip的path,什么什么？path怎么定义？？看看帮助吧，在索引里面查找fracture mechanics，找到怎么计算断裂强度因子。
（my god,我这3步全是在copy 帮助中的东东啊）。
第三步，Nodal Calcs>Stress Int Factr ，别忘了，这是在后处理postproc中啊。
办法是好，可是对于裂纹尖端的单元网格依赖性很大，所以用kscon制造尖端奇异单元很重要。
curtain的经验是path路径取的越靠近cracktip得到的强度因子就越大，所以单元最好是越fine越好啊。
断裂力学-ansys
Create)用于指定关键点周围的单元大小，它特别适用于断裂模型。本命令自动围绕指定的关键点产 生奇异单元。命令的其他选项可以控制第一行单元的半径，以及控制周围的单元数目等，图4-5 显 示用 KSCON 命令产生的断裂模型。
图4-5 断裂样本和2D有限元模型 建立2-D模型的其他建议：
尽可能利用对称条件。在许多情况下根据对称或反对称边界条件，只需要模拟裂纹区的一 半，如下所示：
图4-6 利用对称性 为获得理想的计算结果，围绕裂纹尖端的第一行单元，其半径应该是八分之一裂纹长或更 小。沿裂纹周向每一单元最好有30-40角度。 裂纹尖端的单元不能有扭曲，最好是等腰三角形。 4.2.1.2 3-D线弹性断裂问题 三维模型推荐使用的单元类型为 20 节点块体元 SOLID186，如图4-4b所示。围绕裂纹前缘的第 一行单元应该是奇异单元。这种单元是楔形的，单元的KLPO 面退化成 KO 线。 产生三维断裂模型要比二维模型复杂，KSCON 命令不能用于三维模型，必须保证裂纹前缘沿着 单元的 KO 边。 建立三维断裂模型的建议如下： 推荐的单元尺寸与二维模型一样。此外在所有的方向上，单元的相邻边之比不能超过 4：1。 在弯曲裂纹前缘上，单元的大小取决于局部曲率的数值。例如，沿圆环状弯曲裂纹前缘， 在 15-30°的角度内至少有一个单元。 所有单元的边(包括在裂纹前缘上的)都应该是直线。 4.2.2 计算断裂参数 ANSYS中可以计算如下断裂参数： J-积分 应力强度因子（KI, KII, KIII） J-积分的计算要在求解层执行而结果存储在后处理用的结果文件（.rst）中。执行J-积分运算时 ， 要使用CINT命令。应力强度因子的计算要使用后处理器中的KCAL命令。详细信息参见《Numerical Evaluation of Fracture Mechanics Parameters》。
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第四章断裂力学文献来源：/document/200707/article796_2.htm4.1 断裂力学的定义在许多结构和零部件中存在的裂纹和缺陷，有时会导致灾难性的后果。
断裂力学在工程领域的应用就是要解决裂纹和缺陷的扩展问题。
断裂力学是研究载荷作用下结构中的裂纹是怎样扩展的，并对有关的裂纹扩展和断裂失效用实验的结果进行预测。
它是通过计算裂纹区域和破坏结构的断裂参数来预测的，如应力强度因子，它能估算裂纹扩展速率。
一般情况下，裂纹的扩展是随着作用在构件上的循环载荷次数而增加的。
如飞机机舱中的裂纹扩展，它与机舱加压及减压有关。
此外，环境条件，如温度、或大范围的辐射都能影响材料的断裂特性。
典型的断裂参数有：与三种基本断裂模型相关的应力强度因子(K I,K II,K III)(见图4-1)；J积分，它定义为与积分路径无关的线积分，用于度量裂纹尖端附近奇异应力与应变的强度；能量释放率(G)，它反映裂纹张开或闭合时功的大小；注意--在本节大部分的图形中裂纹的宽度被放大了许多倍。
图4-1 裂缝的三种基本模型4.2 断裂力学的求解求解断裂力学问题的步骤为：先进行线弹性分析或弹塑性静力分析，然后用特殊的后处理命令、或宏命令计算所需的断裂参数。
本章我们集中讨论下列两个主要的处理过程。
裂纹区域的模拟；计算断裂参数。
4.2.1 裂纹区域的模拟在断裂模型中最重要的区域，是围绕裂纹边缘的部位。
裂纹的边缘，在2D模型中称为裂纹尖端，在3D模型中称为裂纹前缘。
如图4-2所示。
图4-2 裂纹尖端和裂纹前缘在线弹性问题中，在裂纹尖端附近(或裂纹前缘)某点的位移随而变化，γ是裂纹尖端到该点的距离，裂纹尖端处的应力与应变是奇异的，随1/变化。
为选取应变奇异点，相应的裂纹面需与它一致，围绕裂纹顶点的有限元单元应该是二次奇异单元，其中节点放到1/4边处。
图4-3表示2-D和3-D模型的奇异单元。
图4-3 2-D和3-D模型的奇异单元4.2.1.1 2-D断裂模型对2D断裂模型推荐采用PLANE2单元，其为六节点三角形单元。
围绕裂纹尖端的第一行单元，必须具有奇异性，如图4-3a所示。
PREP7 中KSCON命令(Main Menu>Preprocessor>-Meshing-Shape & Size>-Concentrat KPs-Create)用于指定关键点周围的单元大小，它特别适用于断裂模型。
本命令自动围绕指定的关键点产生奇异单元。
命令的其他选项可以控制第一行单元的半径，以及控制周围的单元数目等，图4-4显示用KSCON命令产生的断裂模型。
图4-4 断裂样本和2D有限元模型建立2-D模型的其他建议：尽可能利用对称条件。
在许多情况下根据对称或反对称边界条件，只需要模拟裂纹区的一半，如下所示：图4-5 利用对称性为获得理想的计算结果，围绕裂纹尖端的第一行单元，其半径应该是八分之一裂纹长或更小。
沿裂纹周向每一单元最好有30-40角度。
裂纹尖端的单元不能有扭曲，最好是等腰三角形。
4.2.1.2 3-D断裂模型三维模型推荐使用的单元类型为20 节点块体元SOLID95，如图4-3b所示。
围绕裂纹前缘的第一行单元应该是奇异单元。
这种单元是楔形的，单元的KLPO 面退化成KO 线。
产生三维断裂模型要比二维模型复杂，KSCON命令不能用于三维模型，必须保证裂纹前缘沿着单元的KO 边。
建立三维断裂模型的建议如下：推荐的单元尺寸与二维模型一样。
此外在所有的方向上，单元的相邻边之比不能超过4：1。
在弯曲裂纹前缘上，单元的大小取决于局部曲率的数值。
例如，沿圆环状弯曲裂纹前缘，在15-30°的角度内至少有一个单元。
所有单元的边(包括在裂纹前缘上的)都应该是直线。
4.2.2 计算断裂参数在静态分析完成后，可以通过通用后处理器POST1 来计算断裂参数，如前面提到的应力强度因子、J积分及能量释放率等。
4.2.2.1 应力强度因子用POST1 中的KCALC命令((Main Menu>General Postproc>Nodal Calcs>Stress Int Factr)计算复合型断裂模式中的应力强度因子(K I,K II,K III)。
该命令仅适用于在裂纹区域附近具有均匀的各向同性材料的线弹性问题。
使用KCALC命令的步骤如下：1、定义局部的裂纹尖端或裂纹前缘的坐标系，以X轴平行于裂纹面(在三维模型中垂直于裂纹前缘)，Y 轴垂直于裂纹面，如图4-6 所示。
注意--当使用KCALC命令时，坐标系必须是激活的模型坐标系[CSYS]和结果坐标系[RSYS]。
命令：LOCAL (或CLOCAL ，CS，CSKP等)GUI：Utility Menu>WorkPlane>Local Coordinate Systems>Create Local CS>At Specified Loc图4-6 裂缝坐标系2、定义沿裂纹面的路径，应以裂纹尖端作为路径的第一点。
对于半个裂纹模型而言，沿裂纹面需有两个附加点，这两个点都沿裂缝面；对于整体裂纹模型，则应包括两个裂纹面，共需四个附加点，两个点沿一个裂纹面，其他两个点沿另一个裂纹面。
图4-7 给出了二维模型的情况。
命令：PATH，PPATHGUI：Main Menu>General Postproc>Path Operations>Define Path图4-7 典型路径定义(a)半个裂纹模型；(b)整个裂纹模型3、计算K I,K II,K III，KCALC命令中的KPLAN域用于指定模型是平面应变或平面应力。
除了薄板的分析，在裂纹尖端附近或其渐近位置，其应力一般是考虑为平面应变。
KCSYM域用来指定半裂纹模型是否具有对称边界条件、反对称边界条件或是整体裂纹模型。
命令：KCALCGUI：Main Menu>General Postproc>Nodal Calcs>Stress Int Factr4.2.2.2 J 积分J积分的最简单形式，可以定义为与路径无关的曲线积分，它能度量裂纹尖端附近的奇异应力和应变的强度。
式（4-1）是二维情况下的定积分表达式。
它假定裂缝位于总体直角坐标X-Y平面，而X轴平行于裂缝。
（4-1）其中：γ=围绕裂纹尖端的任意积分路径；W=应变能密度(单位体积的应变能)；t x=沿X轴的牵拉力向量σx n x + σxy n y；t y=沿Y轴的牵拉力向量σy n y + σxy n x；σ=应力分量；n=路径γ的单位外法向矢量分量；u=位移矢量；s=路径γ的距离。
图4-8 围绕裂纹尖端的J积分路径二维模型计算J积分的步骤：1、读入所要的结果。
命令:SETGUI：Main Menu>General Postproc>First Set2、存储每个单元的应变能和体积。
命令:ETABLEGUI：Main Menu>General Postproc>Element Table>Define Table3、计算每个单元的应变能密度。
命令:SEXPGUI：Main Menu>General Postproc>Element Table>Exponentiate4、定义线积分路径。
见图4-9。
命令:PATH,PPATHGUI：Main Menu>General Postproc>Path Operations>Define Path图4-9 J积分路径示例5、将步骤1存储在单元表中的应变能密度映射到积分路径上。
命令:PDEFGUI：Main Menu>General Postproc>Path Operations>Map Onto Path6、对总体Y轴积分。
命令:PCALCGUI：Main Menu>General Postproc>Path Operations>Integrate7、将积分的最后值赋值给一个参数，它就是式（4-1）的第一项。
命令:*GET,NAME,PATH,,LASTGUI：Utility Menu>Parameters>Get Scalar Data8、将应力分量SX、SY和SXY映射到积分路径上。
命令:PDEFGUI：Main Menu>General Postproc>Path Operations>Map Onto Path9、定义路径法向量。
命令:PVECTGUI：Main Menu>General Postproc>Path Operations>Unit Vector10、计算式（4-1）中的TX和TY。
命令:PCALCGUI：Main Menu>General Postproc>Path Operations>operation11、沿X轴的正方向和负方向沿路径移动一小段距离，计算位移向量的导数(δu x/δx和δu y/δy)。
这涉及到下面的步骤（如图4-10所示）：计算路径移动的距离DX。
一般情况下取为路径总长度的1%。
可以通过下面的命令得到路径的总长度：*GET，Name，PATH，，LAST，S沿X轴的的负方向移动DX/2 距离[PCALC,ADD,XG,XG,,,,-DX/2]，将UX 和UY 映射到路径上[PDEF]，取名为UX1 和UY1。
沿X轴的的正方向移动DX 距离[PCALC,ADD,XG,XG,,,,DX/2]（即从原点处移动DX/2 的距离），将UX 和UY 映射到路径上，取名UX2 和UY2。
把路径移回原点(距离-DX/2)，然后采用PCALC 计算(UX2-UX1)/DX 和(UY2-UY1)/DX ，它就分别代表σu x/σx和σu y/σy。
参见《ANSYS Coupled-Field Analysis Guide》对*GET, PCALC和PDEF命令的讨论。
图4-10 计算位移矢量的导数12、采用第10步和第11步计算得到的数据，计算J积分的第二项[PCALC]，并对路径的距离S[PCALC]积分，得到方程4-1中的第二项。
13、采用5～7和12步所获得的数值，根据式（4.1）计算J积分值。
可把上述步骤写入一个宏，以简化J积分计算，参见《ANSYS APDL Programers Guide》。
4.2.2.3 能量释放率能量释放率用于计算裂纹张开或闭合时所用的功(能量改变)。
计算能量释放率的一个方法是虚拟裂纹扩展方法。
在虚拟裂纹扩张方法中，必须做两次分析：一次是裂纹长度为a，另一次是裂纹长度为a+Δa。
如果这二种情况下的位能U(应变能)被储存，能量释放率就可从下列公式算出：(4.2)其中B 是断裂模型的厚度。