断裂力学第三讲断裂力学理论
断裂力学第三讲断裂力学理论
27
应力强度因子
应力强度因子一般写为：
K Y a
——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力
a ——裂纹尺寸，即裂纹长或深
Y——形状系数，与裂纹大小、位置有关
应力强度因子单位：N.m-3/2
28
应力强度因子
3
k
Hale Waihona Puke 1平面应力3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
同。选取应力函数
＝yReZII
II x
yReZII z
yII ReZIIzyImZIIz
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
2II x2
yReZII
z
2 y2II 2ImZIIzyReZIIz 2 xyII ReZIIzyImZIIz
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
19
Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
KI 2ZΙΙI()
ZΙI ( )
断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算教学文案
y
KⅡcossincos3 2r 2 2 2
xz yz 0
z (xy) 平面应变
z 0
平面应力
u4 K G Ⅱ 2r[(2k3)sin2sin32 ] v4 K G Ⅱ 2r[(2k2)cos2cos32 ]
3
k
1
平面应力
3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
Ⅲ型裂纹求解
选取函数 ZⅢ(z)
l z
z2 a2
满足边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处， Z III z 只有实部而无虚部，有 yz 0
满足裂纹表面处 的边界条件
当 y 或 x ，都有 ZIIT z l ，即 ReZIII zl
ImZIII z0
由非零应力分量公式知，yz l,xz 0
断裂力学第三讲 Shanghai University
断裂力学 Fracture Mechanics
郭战胜 davidzsguo@ 办公地点：延长校区力学所317室 平时答疑：每周一：5-6节 晚修答疑:每周一：18：00-20：30
地点：HE108或HE104b
1
裂纹尖端附近的应力场和位移计算
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
断裂力学基本概念
第一节 缺口的应力应变集中
在拉伸试验中，取σ（应力）＝P（载荷） ÷A（试样截面积）。实际上这只是一种标称应 力，因为实际的应力并非任何时候都在整个截 面上均匀分布。
生产和生活实践均证明，缺口的存在会带来 更大的危险。这就是应力应变集中的结果。
若一块单向（y方向）受均匀拉应力口的大薄板 中心有一个半径为a的圆孔（图3－1），按弹性力 学可求得板中某点的径向应力、切向应力和剪应 力分别为：
s
而应力的增长较慢（若是理想塑性体，则
m ≡ s ）。在弹性载荷范围内（即 m＞ s
＞ ），随外载增大，即 标称应力增高，屈
服区域会逐步扩大，应力逐步均匀化；一旦进入塑
性载荷，即塑性区伸展到整个截面时，叫做整体屈
服，此时 ＞ s 。
第二节 裂纹扩展的能量理论
一个裂纹体的受力状态及裂纹的扩展方式可有图 3—4所示的三种典型情况，或者它们的组合。其中I 型叫张开型，II型叫做滑开型，III型叫做撕开型。 由于张开型是最危险的状态，因而最具代表性。我 们下面仅以I型受力状态来讨论。
果 KI a 。其中φ为裂纹组态、试样几何 的函数。在图3—7条件下， 。对于Ⅱ、Ⅲ 型裂纹的KⅡ、KⅢ 也有类似的结果。
由（3—9）式可知，属于 xy 0 的面θ=0处:
y x
KI
2r
故是最易发生正断之处。
二、脆断判据及GI与Kl之关系 由（3—9）式，同上节所述之GI相似，KI
a
E
即
2E a
（3－4b）
在平面应变条件下，E' E / 1 2 ，于是
2E
1 2 a
实际上，由于金属不是绝对脆性物质，在断裂时 断口两面的金属都要发生程度不同的塑性变形。故体
断裂力学与断裂韧度
就会突然破裂
传统力学或经典的强
度理论解决不了带裂 纹构件的断裂问题
断裂力学应运而生
断裂力学就是研究带裂纹体的力学，它给出了含 裂纹体的断裂判据，并提出一个材料固有性能的 指标——断裂韧性，用它来比较各种材料的抗断 能力。
§3.2 格里菲斯(Griffith)断裂理论 3.2.1 理论断裂强度 金属的理论断裂强度可由原子间结合力的图形算出
某点的位移则有
平面应力情况下 位移
平面应力情况时
3. 应力强度因子K1 由上述裂纹尖端应力场可知，如给定裂纹尖端某点
§3.3 材料的断裂韧度
3.3.1 裂纹尖端的应力场
1.三种断裂类型 根据裂纹体的受载和变形情况，可将裂纹分为三种类 型：
张开型(或称拉伸型)裂纹 滑开型(或称剪切型)裂纹 撕开型裂纹
张开型(或称拉伸型)裂纹
外加正应力垂直于裂纹面，在应力作用下裂纹尖端 张开，扩展方向和正应力垂直。这种张开型裂纹通 常简称I型裂纹。
对于大多数金属材料，虽然裂纹尖端由于应力集中 作用，局部应力很高，但是一旦超过材料的屈服强 度，就会发生塑性变形。在裂纹尖端有一塑性区， 材料的塑性越好强度越低，产生的塑性区尺寸就越 大。裂纹扩展必须首先通过塑性区，裂纹扩展功主 要耗费在塑性变形上，金属材料和陶瓷的断裂过程 不同，主要区别也在这里。
设裂纹扩展单位面积所耗费的能量为R，则
R 2( s p )
而裂纹扩展的动力，对于上述的Griffith试验情况来说， 只来自系统弹性应变能的释放
定义
也就是G表示弹性应变能的释放率或者为裂纹扩展力。 因为G是裂纹扩展的动力，当G达到怎样的数值时， 裂纹就开始失稳扩展呢?
按照Griffith断裂条件G≥R R=s 按照Orowan修正公式G≥R R=2( s+ p)
断裂力学理论及应用研究
断裂力学理论及应用研究断裂是指材料在外部加载下受到破坏产生裂纹或破片分离的物理过程，是所有材料科学中重要的研究领域之一。
断裂力学理论涉及力学、物理、化学等学科，是从宏观探讨结构构件断裂行为规律的一门学科。
本文主要从断裂力学理论的基本概念、发展历程、应用研究等方面进行探讨。
一、断裂力学理论的基本概念断裂力学理论的基本概念包括断裂韧性、应力场、应变场等。
1. 断裂韧性断裂韧性是材料断裂过程中抵抗裂纹扩展的能力。
对于材料强度越高的材料，其断裂韧性一般也越高。
一个材料的断裂韧性大小可以通过测量其断裂过程中断裂面上的裂纹扩展能量来确定。
当裂纹扩展时，其边缘会释放出能量，断裂韧性就是指在裂纹在材料中传播的过程中能够消耗这些能量的材料性质。
2. 应力场在载荷下，一个构件内的所有部分都会承受不同的应力。
应力场指的是构件内各点的应力分布状态。
应力场是描述材料内部应力状态的最基本模型。
例如，当一个材料受到拉压载荷时，其内部就会产生相应的拉伸和压缩应力。
3. 应变场应变是指材料受到外力后的形变程度，是衡量材料变形能力的重要指标。
与应力场类似，应变场指的是材料内部各点的应变状态。
例如，在机械制造过程中，材料会受到剪切应力，这会导致材料存在剪切应变。
二、断裂力学理论的发展历程断裂力学理论的发展历程可以简单划分为以下阶段：经验试验阶段、线弹性断裂力学阶段、实验与理论相结合阶段、转捩点理论阶段以及非线性断裂力学阶段。
1. 经验试验阶段经验试验阶段是断裂力学理论的雏形阶段。
在这个阶段，人们通过实验来探究材料的断裂行为，并总结出了一些经验规律。
例如，在实验中，人们发现时强度与应力之间成正比关系，这就为后来的弹性断裂力学理论的发展提供了依据。
2. 线弹性断裂力学阶段线弹性断裂力学阶段是断裂力学理论的基础阶段。
这个阶段出现了很多具有代表性的理论，例如弹性理论、能量释放率理论以及裂纹扩展跟踪技术等。
在这个阶段中，人们主要依靠线弹性理论来探究材料断裂规律。
理论与应用断裂力学
理论与应用断裂力学断裂力学是研究材料在外部载荷作用下发生裂纹和断裂的科学，它涉及材料的断裂行为、裂纹扩展规律、断裂韧性等内容，具有广泛的理论与应用价值。
断裂力学不仅是材料科学与工程的重要组成部分，还在实际工程中起着重要的作用。
在航空航天、汽车工业、建筑工程、能源领域等各个领域，断裂力学都被广泛应用，并为材料设计与结构可靠性提供了重要的理论指导。
一、断裂力学的基本原理1. 断裂力学的基本概念断裂力学是研究材料在外部载荷作用下发生裂纹和断裂的科学。
断裂是指材料在外部力作用下发生的破坏过程，其本质是裂纹的生成、扩展和相互作用。
断裂行为受到外部载荷、裂纹形态、材料性能等多种因素的影响。
2. 裂纹力学与断裂韧性裂纹力学是断裂力学的基础理论，它描述了裂纹在材料中的行为。
裂纹尖端附近的应力场具有奇异性，裂纹尖端处的应力集中导致材料发生拉伸和剪切破坏，从而导致裂纹的扩展。
断裂韧性是衡量材料抗裂纹扩展能力的参数，它描述了材料在裂纹扩展过程中所能吸收的能量大小。
3. 断裂力学的应用范围断裂力学不仅涉及金属材料、混凝土、陶瓷材料等传统材料，还包括了纳米材料、复合材料等新型材料。
它在制造领域、材料科学、产品设计等领域都有重要的应用价值。
二、断裂力学的研究方法1. 实验方法实验是研究断裂力学的重要手段。
通过拉伸试验、冲击试验、疲劳试验等实验方法，可以获得材料的断裂行为、裂纹扩展规律、断裂韧性等重要参数。
实验结果可以验证理论模型的准确性，为理论研究提供数据支持。
2. 数值模拟方法数值模拟是断裂力学研究的重要手段之一。
有限元分析、分子动力学模拟等数值方法可以模拟材料的断裂过程，揭示裂纹扩展的规律，预测材料的断裂行为。
数值模拟方法在工程设计和材料优化中具有重要的应用价值。
3. 理论分析方法理论分析是断裂力学研究的基础。
裂纹力学理论、断裂力学理论等提供了描述裂纹扩展规律、预测裂纹扩展速率、计算断裂韧性等重要方法。
理论分析方法为工程实践提供了重要的指导，为材料设计提供了理论基础。
断裂力学IIIIII裂尖场共46页文档
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！Biblioteka 1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
断裂力学IIIIII裂尖场4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
断裂力学讲义(第三章)PPT课件
r 21 2 rc o s 2 [K Ⅰ sin K Ⅱ (3 c o s 1 )]
因 r 0 ,各项均趋于无穷大
取 r r0 圆周上各点的
r r
0
2 2
G0 G0
起始裂纹方向取于 2 3 |0|00
根不是解
周向应力取平稳值的方向与能量释放率取平稳值的方向
又当
r | 0 0 K Ⅱ 0 1 2 c o s 2 0 [ K Ⅰ s i n 0 K Ⅱ ( 3 c o s0 1 ) ] 0
13
G 0 1 E 2K Ⅰ 0 2 lr i m 01 E 2[(2r)1 20]2
KⅠlri m0 2ry
KⅡlim r0
2rxy
21 2 rc o s 2 [K Ⅰ (1 c o s) 3 K Ⅱ sin ]
r 21 2 rc o s 2 [K Ⅰ sin K Ⅱ (3 c o s 1 )]
11
K Ⅰ 0 l a r i m 0 K Ⅰ 1 2 c o s 2 0 [ K Ⅰ ( 1 c o s0 ) 3 K Ⅱ s i n 0 ]
确定临界应力
9
§3.3 能量释放率理论
G 判据,由帕立.尼斯威米(K.Palaniswamy)提出. 假设: 裂纹沿产生最大能量释放率的方向扩展. 当在上述确定的方向上,能量释放率达到临界值时,裂纹
开始扩展. 纽斯曼(Nuismer)利用连续性假设研究了能量释放率 与最大周向正应力之间的关系.
0
6
c o s2 0[K Ⅰ sin0 K Ⅱ (3 c o s0 1 )] 0
无实际意义 K Ⅰ s in0 K Ⅱ ( 3 c o s0 1 ) 0
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y yReZ'
xyRZ eyIm Z‘
进而可得到位移分量
u＝(1) E
2(1)ImZ
yRZe
v＝(1E)(12)RZe yImZ
平面应变
9
Ⅱ型裂纹求解
第二步：选II型裂纹的 Z ( z )
边界条件：
y xy 0
在 y ，0 x a 处
zy0 xy 在 z 处
选取
Z(z)
z
z2 a2
能够满足全部边界条件。
10
Ⅱ型裂纹求解
z
lim
z
Z (z)
lim
z
lim
z
Z' (z)
lim
z
z 只有实部且为一常数
z2 a2
ZII z 0
a2
z2 a2
3/ 2
0
x y 0 xy
满足平板周围的边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处
右裂尖附近, 在很小范围内时
K
lim 0
2Z()
用解析函数求解II型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
12
Ⅱ型裂纹求解
第三步：用 Z ( z ) 求II型裂尖附近的应力场和位移场
应力强度因子是在裂尖时 0存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
K 2Z()
Z ( )
K
2
若以极坐标表示复变量
ri er(co issin )
则可得到
Z()
K
(cos isin )
2r 2 2
yrsin2rsincos
22
Z I I K 2 II K 2 II 3 2 2 K 2 IIrr 3 2 c o s3 2 is in 3 2
13
Ⅱ型裂纹求解
把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式
y
K Ⅰcos(1sinsin3) 2r 2 2 2
ij
xy
KⅠcossincos3 2r 2 2 2
KI
2r
fij
xz yz 0
4
Ⅰ型裂纹求解
uE 1[(1)R eZ Ⅰ (1)yIm Z Ⅰ ] 平面应力
vE 1[2ImZⅠ (1)yReZⅠ ]
u1 E [(12)R eZ Ⅰ yIm Z Ⅰ ]
断裂力学第三讲 Shanghai University
断裂力学理论 Fracture Mechanics
1
裂纹尖端附近的应力场和位移计算
2
3
Ⅰ型裂纹求解 x ReZⅠyImZⅠ y ReZⅠyImZⅠ xy yReZⅠ
z 0 (平面应力)
z(xy)2R eZ Ⅰ(平面应变)
xK 2 Ⅰ rcos2(1sin2sin3 2 ) 用张量标记可缩写成
2xw2 2yw2 2w0
位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数.
解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.
1 w(x,y)GImZⅢ(z)
xzG w xIm xZⅢ Im ZⅢ
非零应力分量
yzG w yIm yZⅢR eZⅢ
边界条件:
y0, xa,yz 0 z ,xz0,yz
17
前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域，即要
求r
a 。对于稍远处，应该用
ZⅠ ()
（+a）f()所示的
(2a)
Z
I
来确定应力分量和位移分量。
6
Ⅱ型裂纹求解
设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用
7
Ⅱ型裂纹求解
第一步：解II型Westergaard应力函数
求解方法与I型基本相同，主要差别是无穷远处边界上受力条件不
平面应变
v1 E[2(1)Im Z Ⅰ yR eZ Ⅰ ]
u4 K G Ⅰ 2r[(2k1)cos2cos32 ]
34
vK Ⅰ 4G
2r[(2k1)sin2sin32 ]
k 3 1
w 0 平面应变
wE (x y)dz
平面应变 平面应力
平面应力
5
Ⅰ型裂纹求解
需要注意的是，推导过程中，使用了 0 这个条件，所以
Ⅲ型裂纹求解
选取函数 ZⅢ(z)
l z
z2 a2
满足边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处， Z III z 只有实部而无虚部，有 yz 0
满足裂纹表面处 的边界条件
当 y 或 x ，都有 ZIIT z l ，即 ReZIII zl
ImZIII z0
由非零应力分量公式知，yz l,xz 0
同。选取应力函数
＝yReZII
II x
yReZII z
yII ReZIIzyImZIIz
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
2II x2
yReZII
z
2 y2II 2ImZIIzyReZIIz 2 xyII ReZIIzyImZIIz
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
xK 2 Ⅱ rsin2(2cos2cos3 2 )
xy
K Ⅱcos(1sinsin3) 2r 2 2 2
y
KⅡcossincos3 2r 2 2 2
xz yz 0
z (xy) 平面应变
z 0
)sin2sin32 ] v4 K G Ⅱ 2r[(2k2)cos2cos32 ]
15
Ⅲ型裂纹求解
问题描述:无限大板,中心裂纹
z (穿透) 2 a ,无限远处受与
方向平行的 作用.
反平面(纵向剪切)问题, 其位移
w w (x,y),uv0
根据几何方程和物理方程:
rxz
w x
G1 xz
ryz
w y
1
G
yz
xyxyz0
16
Ⅲ型裂纹求解
单元体的平衡方程:
xz yz 0
x y
3
k
1
平面应力
3 4 平面应变
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
Z(z)
z
z2a2
x
x2a2
虚数
ReZ(z)0
y xy 0
满足裂纹表面处的边界条件
x2Im ZyRZe' y yReZ' xyRZ eyIm Z‘
11
将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标
Ⅱ型裂纹求解
za
Z()
a f() 2a
当 0 ，f ( ) 趋于常数,设:
li m 0f()li m 0 Z()K 2
满足平板周围的边界条件。
18
Ⅲ型裂纹求解
同样，为计算方便，将坐标原点从裂纹的中心 移到裂纹的右尖端
取新坐标 z a
ZⅢ ()(( 2a a))1 fIII