对回归分析的认识、体会和思考
数据回归分析作业
数据回归分析作业数据回归分析是一种统计方法，用于确定自变量和因变量之间的关系，并预测因变量的值。
在这个作业中，我们将探索回归分析的基本概念和方法，并应用这些方法解决实际问题。
1. 简介回归分析是一种监督学习算法，它用于预测连续变量的值。
在回归分析中，我们使用自变量的值来预测因变量的值。
自变量可以是一个或多个，而因变量通常是一个连续变量。
回归分析的目标是找到一条最佳拟合线（对于简单线性回归）或超平面（对于多元回归），以最小化预测误差的平方和。
这条拟合线或超平面被称为回归方程，它用于预测新的自变量对应的因变量值。
2. 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最简单的形式，其中只有一个自变量和一个因变量。
简单线性回归的回归方程可以表示为：y = β0 + β1x其中，y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数。
我们可以使用最小二乘法来估计回归系数。
最小二乘法的目标是最小化预测误差的平方和，即最小化：RSS = Σ(y - (β0 + β1x))²通过求解RSS对β0和β1的偏导数为0的方程组，我们可以得到回归系数的估计值。
3. 多元回归分析多元回归分析是回归分析的扩展，其中有多个自变量和一个因变量。
多元回归的回归方程可以表示为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn其中，y是因变量，x1,x2,…,xn是自变量，β0,β1,β2,…,βn是回归系数。
与简单线性回归类似，我们可以使用最小二乘法来估计回归系数。
最小二乘法的目标是最小化预测误差的平方和。
4. 数据预处理在进行回归分析之前，通常需要对数据进行预处理。
数据预处理的目标是确保数据符合回归分析的假设，以及减小噪声和异常值的影响。
常见的数据预处理步骤包括：•数据清洗：去除缺失值和重复值。
•特征选择：选择与因变量相关性高的自变量。
•数据转换：对数据进行标准化或归一化，以满足回归分析的假设。
5. 模型评估为了评估回归模型的拟合效果，我们可以使用各种指标，如均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、决定系数（R²）等。
对回归分析的认识、体会和思考
对回归分析的认识、体会和思考海口市第一中学潘峰一、教材分析1．内容编排散点图、最小二乘估计的基本思想、最小二乘估计的计算公式、建立回归方程并进行预报等回归分析的部分内容在《数学3（必修）》中已经出现过。
在此基础上，本章通过现实生活中遇到的问题“女大学生身高和体重的关系”进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因，并从相关系数的角度研究了两个变量间线性相关关系的强弱，从而让学生了解在什么情况下可以考虑使用线性回归模型。
教材介绍了一元线性回归模型的残差平方和分解的思想，从而给出相关指数的含义，即相关指数越大，模型拟合的效果越好。
从残差分析的角度研究所选用的回归模型是否合适，引导学生初步体会检验模型的思想。
为提高学生解决应用问题的能力，教材还强调了用解释变量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题（这点总结得非常的好，帮助学生思考），总结建立回归模型的基本步骤。
作为线性回归模型的一个应用，教材还给出了一个处理非线性相关关系的例子，并通过相关指数比较不同模型对同一样本数据集的拟合效果。
这里所涉及的非线性相关关系可以通过变换转化成线性相关关系，从而可以用线性回归模型进行研究。
这个例子没有增加难度，但能开阔学生的思路，使学生了解虽然任何数据对都可以用线性回归模型来拟合，但其拟合的效果并不一定最好，可以探讨用其他形式的回归模型来拟合观测数据。
2．学习价值：⑴．数理统计已成为人们的常识，它几乎渗透到每一学科中，哪里有试验，哪里有数据，哪里就少不了数理统计，不懂数理统计，就无法应付大量信息；⑵．现代社会是信息社会，学会搜集、测量、评价信息做出决策是一个人成功必备的素质。
3．教材处理的优点：⑴．总以一些生动活泼的、丰富的实际情境引入，激发学生的兴趣和学习激情；⑵．以恰时恰点的问题引导学生思考，培养问题意识，孕育创新精神；（这点对我们教师的思考也是一种帮助）⑶．螺旋上升地安排核心概念和数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括；⑷．对高等知识点到即止，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，开阔视野，提高数学思维能力，培育理性精神。
回归系列（一）怎样正确地理解回归
回归系列（⼀）怎样正确地理解回归线性回归，可能是统计学上运⽤最⼴泛的⼀类⽅法了，之所以说它是⼀类⽅法，是因为它包括了我们熟知的各种模型：简单线性回归、多重线性回归、Logistic回归等等。
线性回归运⽤这么⼴泛很⼤程度在于它的内在逻辑⼗分简单。
⼀般情况下，就是找Y的影响因素或者说是衡量⾃变量（X）对因变量（Y）的影响程度，即便不理解其中的数学计算也可以很容易地凭借各种软件找到我们想要的结果。
确实如此，线性回归，尤其是⼀般线性模型（⼀个Y，多个X）使⽤起来没什么障碍，但⼤家是否完全理解清楚了所有应该掌握的内容（⾮数学计算）可能有待思考，这个系列的⽂章我们以“线性回归”为主题，希望能让⼤家对这个问题的认识能再全⾯⼀丁点。
回归⼀词的来源初学的⼩伙伴有没有思考过，为什么叫“回归”？回归，这个词，英⽂叫“Regression”，最早出现在1886年英国遗传学家Francis Galton发表的⼀篇研究⾝⾼的论⽂（”Regression towards mediocrity in hereditary stature”），他发现⼦⼥的⾝⾼会向整个群体⾝⾼的均值回归。
什么叫均值回归？⼤家是否想过⼈类⽣活繁衍了⽆数代，但总体来看，成年男⼦的⾝⾼并没有发⽣太⼤的变化，基本稳定在1⽶6⾄1⽶8（暂不考虑⼈种差异）。
这种现象很⼤程度就是因为存在均值回归，即⾝⾼较⾼的⽗母虽然⼦⼥也⽐较⾼，但往往⽐⽗母矮；⾝⾼较矮的⽗母，其⼦⼥的⾝⾼往往⽐⽗母⾼。
所以，这⾥的均值回归，就是指⼦代的⾝⾼会向整个⼈类的平均⾝⾼靠拢的趋势。
换句话讲：姚明的孩⼦⼤概率会⽐姚明矮、潘长江的孩⼦⼤概率会⽐潘长江⾼。
因此，正是因为⾝⾼的均值回归现象（向整个群体的平均⾝⾼回归），整个⼈类的⾝⾼⽔平才能⽐较均衡。
倘若，个⼦⾼的⽗亲⽣的孩⼦⽐⾃⼰还⾼，⽽个⼦矮的⽗亲⽣的孩⼦⽐⾃⼰还矮，那么整个⼈类的⾝⾼就会呈现“两极分化”的态势：要么特别⾼、要么特别矮。
由此来看，最早的“回归”实际上描述的是⼀种“现象“，即⼈们的⾝⾼不会⽆限制地上升或降低，⽽是会朝着平均⽔平回归。
3.1回归分析的基本思想及其初步应用(一)
对数变换后的样本数据为：
x z
21 23 25 27 29 32 35
1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
得到的线性回归方程是
z 0.272x 3.849
探究2：在这些点附近可画不止一条直线，哪条
直线最能代表x与y之间的关系呢？
对于一组具有线性相关的数据
( x1, y1 ),( x2 , y2 ),...,( xn , yn )
其回归直线方程为
n
y bx a
n
ˆ b
( x x)( y y) x y nx y
i 1 i i
解答步骤：
1.确定变量； 2.作散点图，判断相关关系； 3.设回归方程；
4.求回归方程；
5.根据回归方程作出预报.
对于一组具有线性相关的数据
( x1, y1 ),( x2 , y2 ),...,( xn , yn )
其回归直线方程为
y bx a
y bx a e
——线性回归模型
从散点图看出，两个变量没有线性相关关系，可 以认为样本点集中在某一条二次曲线的附近.
设此曲线的方程为
y c3 x c4 ——非线性回归方程 其中 c3 和 c 4 是待定参数.
2
令
tx
2
则
——平方变换
y c3t c4
平方变换后的样本数据为：
t y
350 y 300 250 200 150 100 50 0 400 500 600 700 800 900 t 1000 1100 1200 1300
回归分析的基本思想及其初步应用
编号 身高/cm 体重/kg
1
2
3
4
5
6
7
8
165 165 157 170 175 165 155 170
48 57 50 54 64 61 43 59
求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重。
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
我们知道，函数关系是一种确定性关系， 而相关关系是一种非确定性关系.回归分析 (regression analysis)是对具有相关关系的两个变量进 行统计分析的一种常用方法. 下面我们通过具体问题，进一步学习回归 分析的基本思想及其应用于
2021/3/11
1
问题一：结合例1得出线性回归模型及随机误差。并且区分函数模型和回归模型。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
2021/3/11
2
2.回归方程：
yˆ 0.849x 85.172
身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 如果不是，你能解析一下原因吗？
答：用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值， 只能给出她们平均体重的估计值。
2021/3/11
3
由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一直线的附近， 所以身高和体重的关系可以用线性回归模型来表示：
y bx a e
其中a和b为模型的未知参数，e称为随机 误差.
2021/3/11
b
读回归基本心得体会-
读回归基本心得体会-回归分析是统计学中最常用的方法之一，它可以用来探索因变量与自变量之间的关系。
在进行回归分析时，我们主要关注以下几个方面：建模、模型检验以及应用。
首先是建模阶段。
建模是回归分析的核心，它包括了选择自变量、确定模型形式以及估计参数等步骤。
选择自变量是回归分析的关键步骤，一般情况下我们会考虑自变量与因变量的相关性、理论上的解释性以及变量之间的共线性等因素。
确定模型形式则是选择合适的函数形式来描述因变量和自变量之间的关系，常用的回归模型形式有线性回归模型、多项式回归模型、对数回归模型等。
估计参数是建立模型的最终步骤，常用的方法包括最小二乘法、最大似然估计和贝叶斯估计等。
在建模之后，我们需要对模型进行检验。
模型检验的目的是评估建立的回归模型是否具有统计显著性和经济意义上的解释力。
常见的模型检验方法包括假设检验、拟合优度检验以及残差分析等。
假设检验可以用来检验模型的显著性，通常我们会对模型的截距项、自变量的系数进行检验。
拟合优度检验则是评估模型对样本数据的拟合程度，常用的拟合优度指标包括决定系数、调整决定系数等。
残差分析则是通过检验模型的残差项是否具有随机性、独立性、正态性等特征来判断模型是否得到了很好的拟合。
最后是回归分析的应用。
回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、社会学、心理学等。
在经济学中，回归分析常用于解释经济现象之间的关系，例如价格与销量之间的关系、收入与消费之间的关系等。
在社会学中，回归分析可以用来研究社会因素对个体行为的影响，例如家庭背景对教育成就的影响、就业机会对犯罪率的影响等。
在心理学中，回归分析可以用来探索变量之间的关系，例如个体性格特征对心理健康的影响、心理因素对学习成绩的影响等。
回归分析是一种非常有用的统计分析方法，它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并且可以预测因变量在给定自变量条件下的取值。
在进行回归分析时，我们需要注意模型的假设条件，如线性关系、独立误差、同方差等。
培养学生兴趣的课堂实践------一元线性回归分析教学反思
培养学生兴趣的课堂实践------一元线性回归分析教学反思摘要：中职学生核心素养的培养关系到学生数学能力的发展.本文旨在通过数学课堂教学中存在的一些问题，为学生兴趣的培养提供一些思考和方向.本文所选上课内容是凤凰职教中职数学第二册第十章第七节的一元线性回归分析.本节课是一节选修课，选修课由于课堂内容侧重于实践的原因，可以加入更多的实践元素，为今提升学生学习兴趣提供帮助，也可以充实更多的教育资源关键词：中职学生数学核心素养学生兴趣教育资源一、本节课的设想本节课是书本上的一节选修课，内容不是很多，其实学生在概率中已经学习了有关变量的一些概念，因此根据本节课的教学目标：通过变量做散点图，利用最小二乘法求线性回归方程.我制定了如下的教学流程：1.情境引入在这百年多的时间里，中国社会发生了翻天复地的变化，老百姓的生活水平也日渐提高，这当然离不开党的领导.党的领导决定了中国特色社会主义的性质和方向.这两者之间的关系是相当明确的.不过，在现实生活中却存在着一些其他关系，同学们上中学的时候，老师是不是说过这样的一句话：“假如你数学好，物理成绩就不会差.”从这里感觉，数学和物理成绩之间似乎有一定的关系.你怎么知道他们之间的关系？这两者之间的关系是确定吗？通过这样的情境导入，提升学生的学习兴趣，同时也让学生明白数学和物理学习之间的关系并不是确定的.接着，为了再次激起学生的兴趣，教师提出一些与生活相关的问题，例如：下列两个变量中具有相关关系得是A.正方形的体积与边长B.匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C.人的身高与体重D.人的身高与视力教师在这个环节中，多次通过激趣的方式，明确了不确定性，最后进行总结并引入课题，这就是一元线性回归.2.探究问题某商店为了能够顺利预测奶茶销量与温度之间的关系，随机进行了的统计，表格如下：气温/ C4如果某天的气温是，能根据上面的数据来进行预测吗？教师指导学生共同画出散点图，通过图形发现，点散步在一条直线附近，所以这时采用一个线性函数近似地表示热茶的销量与气温之间的存在的关系.那么问题就来了，应该选择怎样的直线表示关系?从理论上说，一定存在这样的一条直线，使得它与散点图中的点最接近.那么应该如何衡量呢？教师可以将表中给出的x的值带入直线方程,得到六个y的值，这六个值最好与实际值越接近越好.所以,类比估计样本方差的思想，考虑离差的平方和在上面的式子中，取相应的a,b值，使Q(a,b)达到最小值，如何求Q（a,b)的值,先把a看成常数，那么Q是关于b的二次函数.这种方法就是最小二乘法.当b=−140a−3820/2×1286,Q取最小值同样，把b看成常数，那么Q是关于a的二次函数当a=−140b−460/12,Q取最小值由此解得.所求直线方程为.当时,,故当气温为时,热茶销量约为杯.3.建构教学引导学生了解最小二乘法的求解思想（类似于估计方差，求解离差的平方和），并利用公式,（*）,求解参数b，a，最后能够顺利求解线性回归方程.教师在推导公式时，运用腾讯课堂，云班课等多种教学方式，让学生课后能够通过app学习，并调动学生学习的积极性，使学生更加热爱学习.4.数学应用根据所学线性回归知识进行运用，求解练习题，例如，求(3,11) ，(8,19) ，(15,32)这三个点的回归直线方程.并在求解结束后，教授学生运用excel软件进行验证结果的准确性.最后要求学生自主探究线性方程恒过哪个定点，调动学生的积极性，探索新知的学习兴趣.二、实际上课的效果本节课的内容是线性回归分析，其中重点和难点是求一元线性回归直线方程.1.从本课的教学上来看，还是存在一些亮点（1）利用数学成绩和物理成绩之间存在的相关关系这样的情境，是从生活入手，通过这样的学习情境的导入，可以引发学生的学习兴趣，更好的展开教学，为学生能够更好的学习知识做铺垫.（2）回归直线恒过样本点中心这个问题一元线性回归直线过哪个定点问题，是每年的常考问题.因此在本节的教学中，要求学生通过自主探究，找到了这个定点，并且代入验证，发现这个结论，学生通过这样的方式，发现这个结论很新奇，不容易遗忘，后续也不会觉得本课的枯燥，通过问题与考试的联系，加深学生对问题的认识.2. 根据学生上课的反应和课后的作业，发现了一些问题（1）学生公式记忆错误，公式中的参数a,b不会求，西格玛符号不理解.（2）教师在讲授内容时，基本通过公式解决常见题型，有的内容一带而过，从而忽略了对学生学习能力的培养.整节课教下来，学生并不理解这个公式的本质.学生出现的种种问题，归结起来，就是缺乏数学的素养和兴趣，理解，运算，解题能力较差，这也是中职学生的常态.学生感觉上课很枯燥，喜欢睡觉，对上课内容并不是很感兴趣.在这里，新课标中其实已经提到“通过学习，经历运用不同的估算方法，描述两个变量之间的线性相关关系的过程，学会用回归模型方程来描述现实中的相关关系，并知道最小二乘法的概念与思想，会利用信息科学的计算器等工具求线性回归直线.长久以来，教师只是照本宣科，应付考试，忽略了学生学习积极性的启迪，学习能力的培养.长此以往，对学生的成长以及发展是相当不利的.所以纵观整体的教学，教师应要求学生主动参与，才能使学生能够更加注重学习，学生主动参与后，才会逐渐把知识内化成自己的知识，对自身的发展帮助很大，所以学生核心素养的培养是相当重要的.三、今后教学的改进经过与探讨，反思了本节课存在的一些问题以及对今后教学的一些启示.1.本节课的内容形式上比较新颖，因此，需要重新界定教学的重难点和教学的方法和内容.本节课以及在今后的教学中，应当鼓励学生对问题和数字进行再加工，培养学生对数字的一种感觉，在学习本节课的知识之前应当先进行预习，例如：要求学生进行散点图的拟合并求解线性回归方程.2.传统教学以教科书，大纲为指导进行教学，然而现在的学习，应当以培养学生的综合素养为目标.以学生为主体，这就要求教师关注学生在整堂课中的表现，关注学生的思维状态，关注学生的学习能力，学会学以致用.应鼓励学生运用现代技术手段进行学习，而不是简单的机械记忆.3.本节课对学生的要求仅仅是计算，缺乏真正关注学生的状态，学生缺少自由学习的时间和空间.在现在和今后的教学中，教师应创造条件，教会学生运用软件，动手操作，主动学习，例如，在本节课中就是需要主动完成散点图，与excel拟合.这样才能学以致用.4.缺乏一个相对完整的评价体系，无法对学生的学习状态，行为，过程进行全面评价，只通过学生的解题对学生的掌握情况进行了评价.在今后的教学中，需要研究一些多元化的评价量表，更好的促进学生的学习.5.缺乏配套的硬件设施，班级里只有一台破旧的电脑，网络也不能完全覆盖，很多信息化工具，都无法使用.希沃，超星平台都无法使用，无法操作给学生看，一些图形的展示，学生觉得特别枯燥.后续，应该加大硬件的投入和对老师的培训，使得老师上课的形式能多样化，多元化，可以更大程度上提高学生的积极性.通过对于本节课的一些分析，实录和思考，从多个维度进行了反思，发现学生核心素养的培养来源于教学，也作用于教学，本人相信通过多年的努力和反思，学生核心素养的发展可以促使教师教学能力的提高，可以提高学生的学习兴趣.参考文献：[1]普通高中数学课程标准（实验）。
模版数据回归分析
模版数据回归分析
数据回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系。
在这种分析中，
我们使用模型来描述一个或多个自变量对因变量的影响。
模型的形式可以是线性的，也可以是非线性的，取决于数据的特性和研究的目的。
在进行数据回归分析时，我们首先收集相关的数据，然后建立一个数学模型来
描述自变量和因变量之间的关系。
接着，我们使用统计方法来对模型进行拟合，以确定自变量对因变量的影响程度。
最后，我们对模型的拟合程度进行评估，并进行推断性的分析来检验模型的有效性。
模版数据回归分析是一种常用的分析方法，它可以用于解决各种实际问题。
例如，在经济学中，我们可以使用数据回归分析来研究不同因素对经济增长的影响；在医学领域，我们可以使用数据回归分析来研究药物对疾病的治疗效果；在市场营销领域，我们可以使用数据回归分析来研究广告投放对销售额的影响。
数据回归分析的结果可以帮助我们更好地理解变量之间的关系，并为决策提供
科学依据。
通过对模型的拟合程度进行评估，我们可以确定模型的有效性，从而为我们的研究提供可靠的结论。
因此，模版数据回归分析是一种非常重要的分析方法，它在各个领域都有着广泛的应用。
总之，数据回归分析是一种强大的统计方法，它可以帮助我们更好地理解变量
之间的关系，并为我们的研究提供可靠的结论。
通过对模型的拟合程度进行评估，我们可以确定模型的有效性，从而为决策提供科学依据。
因此，模版数据回归分析是一种非常重要的分析方法，它在各个领域都有着广泛的应用。
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对回归分析的认识、体会和思考海口市第一中学潘峰一、教材分析1．内容编排散点图、最小二乘估计的基本思想、最小二乘估计的计算公式、建立回归方程并进行预报等回归分析的部分内容在《数学3（必修）》中已经出现过。
在此基础上，本章通过现实生活中遇到的问题“女大学生身高和体重的关系”进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因，并从相关系数的角度研究了两个变量间线性相关关系的强弱，从而让学生了解在什么情况下可以考虑使用线性回归模型。
教材介绍了一元线性回归模型的残差平方和分解的思想，从而给出相关指数的含义，即相关指数越大，模型拟合的效果越好。
从残差分析的角度研究所选用的回归模型是否合适，引导学生初步体会检验模型的思想。
为提高学生解决应用问题的能力，教材还强调了用解释变量（自变量）估计预报变量（因变量）时需要注意的问题（这点总结得非常的好，帮助学生思考），总结建立回归模型的基本步骤。
作为线性回归模型的一个应用，教材还给出了一个处理非线性相关关系的例子，并通过相关指数比较不同模型对同一样本数据集的拟合效果。
这里所涉及的非线性相关关系可以通过变换转化成线性相关关系，从而可以用线性回归模型进行研究。
这个例子没有增加难度，但能开阔学生的思路，使学生了解虽然任何数据对都可以用线性回归模型来拟合，但其拟合的效果并不一定最好，可以探讨用其他形式的回归模型来拟合观测数据。
2．学习价值：⑴．数理统计已成为人们的常识，它几乎渗透到每一学科中，哪里有试验，哪里有数据，哪里就少不了数理统计，不懂数理统计，就无法应付大量信息；⑵．现代社会是信息社会，学会搜集、测量、评价信息做出决策是一个人成功必备的素质。
3．教材处理的优点：⑴．总以一些生动活泼的、丰富的实际情境引入，激发学生的兴趣和学习激情；⑵．以恰时恰点的问题引导学生思考，培养问题意识，孕育创新精神；（这点对我们教师的思考也是一种帮助）⑶．螺旋上升地安排核心概念和数学思想，加强数学思想方法的渗透与概括；⑷．对高等知识点到即止，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，开阔视野，提高数学思维能力，培育理性精神。
4．重点和难点重点：了解线性回归模型与函数模型的差异；了解判断刻画模型拟合效果的方法—相关指数和残差分析。
难点：解释残差变量的含义；了解偏差平方和分解的思想。
5．目标定位：⑴．了解随机误差、残差、残差分析等概念；明确掌握相关关系，回归方程，散点图等定义； ⑵．了解回归分析的基本思想，会求回归直线方程，并会用回归直线方程进行预报；⑶．掌握建立回归模型的一般步骤；⑷．会用残差分析、判断线性回归模型的拟合效果；⑸．了解相关系数、会用相关系数判断相关关系的强弱；5．方法指引：⑴．对于回归分析只通过案例了解方法即可，不论是线性回归方程或者非线性回归方程，都只是模拟而已，是不确定中的确定性；⑵．了解最小乘法的思想方法，理解回归方程与一般函数的差别与联系；⑶．会用书中介绍的方法搜集资料、分析资料，感兴趣的同学可从互联网上查询相关资料。
二、 教材中的要点精析：1． 相关关系：自然界中，大量存在着一些变量，它们之间相互联系、相互依存，关系密切。
大致分为两类：一类是函数关系，又叫确定性关系；一类是相关关系，又叫不确定性关系、统计相关关系。
2． 回归分析：是对具有相关关系的两变量进行统计分析的一种常用方法。
通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。
其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。
3． 回归函数，也叫回归方程。
形如y bx a =+的散点图的各个点大致分布在一条直线附近，这种分析就叫线性回归分析，直线方程叫做回归直线方程。
不是形如y bx a =+的回归方程，我们称之为非线性回归方程，具体选择何种类型，由经验判断，再分析残差是否异常，确定选择的好与坏。
回归直线：对于一组线性相关关系的数据 ，其回归直线方程的斜率b ∧和截距a ∧的最小乘法估计公式分别为：121()(),()ni ii n ii x x y y b x x ∧==--=-∑∑ （1） ,a y b x ∧∧=- （2） 其中1111,.n ni i i i x x y y n n ====∑∑ (,)x y 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心。
线性回归模型：与函数关系不同，在回归模型y bx a e =++中的y 的值是由x 和随机因素e 共同确定的，即x 只能解释部分y 的变化，因此把x 称为解释变量，把y 称为预报变量，其中a b 和为模型的未知参数，e 是y 与bx a +之间的误差。
通常e 为随机变量，称为随机误差，它的均值Ey bx a =+。
线性回归模型的完整表达式为：y bx a e =++ ，其中随机误差e 的方差 越小，通过回归直线预报真实值的精确度越高。
随机误差e 是引起预报值y ∧与真实值y 之间误差的原因之一，其大小取决于随机误差e 的方差。
再者由于公式（1）、（2）中的a b ∧∧和分别为截距和斜率的估计值，与真实值a b 和之间也有误差，这也是引起预报值y ∧与真实值y 之间误差的另一个原因。
4． 残差分析因为随机误差是随机变量，因此可以通过这个变量的数字特征来刻画它的一些总体特征。
均值是反映随机变量取值平均水平的数字特征，方差反映随机变量集中于均值程度的数字特征，而随机误差的均值0，因此可以用方差来衡量随机误差的大小。
为了衡量预报的精度，需要估计i e 的值，通过样本方差来估计总体方差。
解决问题的途径是通过样本的估计值i e ∧来估计i e 的值。
根据截距和斜率的估计公式（1）、（2），可以建立回归方程y b x a ∧∧=+，其中b ∧是b 的估计量，a ∧是a 的估计量。
对于样本点而言，相应于它们的随机误差为 i e ，其估计值为i e ∧， 称为相应于数据点的残差。
类比样本方差估计总体方差的思想，可用i y ∧作为i y 的估计量，其中i y ∧是由公式（1）、（2）给出的，21()n i ii y y ∧=-∑成为残差平方和。
可以用残差平方和衡量回归方程的预报精度。
通常残差平方和越小，预报精度越高。
在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据。
然后，可以通过残差12,,,n e e e ∧∧∧来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。
利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计等，这样作出的图形称为残差图。
5．散点图表示相关关系的两个变量的一组数据，作为点的坐标，在直角坐标系中描出来得到的图形叫散点图。
散点图使相关关系具有直观性。
6．回归分析的解题规律：a) 在解具体问题过程中，通常是先进行相关检验，通过检验确认两个变量具有线性相关关系时，再求其线性回归方程；b) 相关性检验有几种方法，教材用的是相关系数r 和相关指数2R ，两者在教材中具有平方关系（在只有一个解释变量的线性模型中2R 恰好等于相关系数r 的平方）。
当0r >时，表明两个变量正相关；当0r <时，表明两个变量负相关。
当r 越接近于1，表示相关程度越好，表明两个变量的线性相关性越强，r 越接近于0，表示相关程度越差，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；同样2R 取值越大，意味着残差平方和越小，模型的拟和效果越好，回归方程的预报精度越高。
在线性回归模型中，2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，2R 越接近1，表示回归的效果越好。
c) 相关程度的强弱，除相关系数的大小之外，与选取的数据个数多少有关，还有一个问题是显著性临界值的选取，教材中点到即止，没有往下交待；d) 回归分析计算量大，现在一般用计算机解决，学习中只要求明白原理即可；e) 教材中直接选取对数变换是选取比较简单的函数演示而已，还可以做其他函数模拟；f) 回归分析中，通常先观察散点图，若分布在一条直线附近，经验证线性相关，则选一次函数，否则选取其他函数模拟；g) 判断两个变量的相关程度通常有：其一相关系数 ，相关系数r 的绝对值越接近于1，相关程度越高；相关指数2R ，与r 类似，2R 的值越大残差平方和越小，拟合越精确。
h) 判断模拟精确的尺度为：2R （或残差平方和）的大小。
7．建立回归模型的一般的基本步骤：① 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；② 画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；③ 由经验确定回归方程的类型（如观察到的数据呈现性关系，则选用线性回归方程y bx a =+）； ④ 按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；⑤ 得出的结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。
[典型例题]例1．已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下x 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72x （血球体积，ｍｍ），y （红血球数，百万） (1) 画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 （3）若血球体积为49ｍｍ，预测红血球数大约是多少？解：（１）见下图（要学会运用计算机技术辅助我们数学学习，加强直观上的效果，这里要求学生会运用简单的excel 作出散点图，并直接通过计算机拟合出回归直线，具体步骤见本文最后的附录）。
设回归直线为y b x a ∧∧=+，利用公式（1）、（2）计算得0.1597,0.1364b a ∧∧==所以所求回归直线的方程为y = 0.1597x + 0.1364 ，图形如下:（3）由（2）中求出的回归直线方程，把49x =代入，得7.9617y =（百万），计算结果表明，当血球体积为49mm 时，红血球数大约为7.9617百万。
[实战演练]1.某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对应的一组数据： 时间()t s 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120深度()y m μ 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46（1）试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程；（2）预测腐蚀时间为80 s 时产品腐蚀的深度大约是多少？解：（1）经计算可得0.3043, 5.3444b a ∧∧==故所求的回归直线方程为 y = 0.3043x + 5.3444（2）由（1）求出的回归直线方程，把80x =代入，易得29.6884()y m μ=，计算结果表明，当腐蚀80 s 时产品腐蚀深度大约为29.6884m μ8．非线性回归：在散点图中样本点并没有分布在某个带壮区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系。