七年级数学余角和补角试题及答案
人教版七年级上第四章余角和补角同步练习题(含答案)
人教版七年级上第四章余角和补角同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知7622α'∠=︒，则α∠的补角是（ ）．A ．10338'︒B ．10378'︒C ．1338'︒D ．1378'︒ 2．若一个角的补角加上20︒后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（ ）． A ．25︒ B ．35︒ C ．45︒ D ．55︒ 3．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中α∠与β∠互补的是（ ） A ． B ． C ． D ．4．将一副三角板按如图方式摆放，则下列结论错误的是（ ）A ．1135∠=︒B ．2145∠=︒C ．12∠=∠D ．12270∠+∠=︒ 5．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子中：∠90°﹣∠α；∠∠β﹣90°；∠12（∠α+∠β）；∠12（∠β﹣∠α）．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．如图，点A 在点O 的北偏西60°的方向上，点B 在点O 的南偏东20°的方向上，那么AOB ∠的大小为（ ）A ．110°B ．130°C ．140°D ．150°7．在如图所示的方位角中，射线OA 表示的方向是（ ）A ．东偏南60°B ．南偏东30°C ．南偏东60°D ．南偏西60°8．如果一个角的余角等于这个角的补角的14，那么这个角是（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒9．如图，直线DE 与BC 相交于点O ，1∠与2∠互余，150BOE ∠=︒，则AOE ∠的度数是（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒10．已知∠AOB ＝70°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC ＝42°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．28° B ．112° C ．28°或112° D ．68°二、填空题11．将18.25°换算成度、分、秒的结果是__________．12．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ∠AB ，垂足为O ，∠EOC =35°，则∠AOD 的度数为______．13．如图，在渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是______海里．14．如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1＝∠3，∠2＝55°，那么∠4＝_____度．三、解答题15．如图，AB CD ，连接CA 并延长至点H ，CF 平分ACD ∠，CE CF ⊥，GAH ∠与AFC ∠互余．(1)求证：AG CE ∥；(2)若110GAF ∠=，求AFC ∠的度数．16．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D作DE l ⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．17．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C 处成功拦截．18．如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，∠BOC ＝150°，将∠BOC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，得到∠ADC ，连接OD ，OA ．(1)求∠ODC 的度数；(2)试判断AD 与OD 的位置关系，并说明理由；(3)若OB ＝2，OC ＝3，求AO 的长（直接写出结果）．参考答案：1．A【分析】直接将180°减去∠α即可．【详解】解：∠∠α=7622︒'，∠∠α的补角为180180762210338α︒-∠=︒-︒'=︒'，故选A ．【点睛】本题考查了补角的定义，即如果两个角的和是180°，那么其中一个角就是另一个角的补角，因此，已知一个角，那么它的补角就等于180°减去这个已知角，解题的关键是牢记概念和公式等．2．B【分析】可先设这个角为∠α，则根据题意列出关于∠α的方程，问题可解【详解】解：设这个角为∠α，依题意，得180°-∠α+20°＝3（90°﹣∠α）解得∠α＝35°．故选B ．【点睛】此题考查的两角互余和为90°，互补和为180°的性质，关键是根据题意列出方程求解．3．D【分析】根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A 、图中∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，∠α与∠β互余，故本选项不符合题意；B 、图中∠α＝∠β，不一定互余，故本选项错误；C 、图中∠α+∠β＝180°﹣45°+180°﹣45°＝270°，不是互余关系，故本选项错误；D 、图中∠α+∠β＝180°，互为补角，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．4．B【分析】如图，根据一副三角板的特征可得∠3=∠4=45°，然后根据平角的定义可得∠1和∠2的度数，进而可排除选项．【详解】解：如图，由题意得：∠3=∠4=45°，∠13180,24180∠+∠=︒∠+∠=︒，∠12135∠=∠=︒，故A 、C 正确，B 错误；∠12270∠+∠=︒，故D 正确；故选B ．【点睛】本题主要考查补角的性质及角的和差关系，熟练掌握补角的性质及角的和差关系是解题的关键．5．C【分析】由α∠和β∠互补，可得180αβ∠+∠=︒，即：180αβ=︒-∠，119022αβ∠+∠=︒，再用不同的形式表示α∠的余角．【详解】解：α∠和β∠互补， 180αβ∴∠+∠=︒，180αβ∴∠=︒-∠，119022αβ∠+∠=︒ 于是有：α∠的余角为：90α︒-∠，故∠正确，α∠的余角为：9090(180)90αββ︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，故∠正确，α∠的余角为：1111902222ααβαβα︒-∠=∠+∠-∠=∠-∠，故∠正确， 而1()902αβ∠+∠=︒，而α∠不一定是直角，因此∠不正确，因此正确的有∠∠∠，故选：C ．【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，熟悉利用等式的性质进行变形和整体代入的方法是解题的关键．6．C【分析】结合图形，然后求出OA 与西方的夹角的度数，再列式计算即可得解．【详解】解：∠点A 在点O 北偏西60°的方向上，∠OA 与西方的夹角为90°-60°=30°，又∠点B 在点O 的南偏东20°的方向上，∠∠AOB =30°+90°+20°=140°．故选：C ．【点睛】本题考查了方向角，熟记概念是解题的关键，结合图形更形象直观．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．7．C【分析】表示OA 的方式有两种，东偏南30°；南偏东60°；作出判断即可.【详解】根据题意，得表示OA 的方式有东偏南30°；南偏东60°两种，故选C.【点睛】本题考查了方位角的表示法，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键. 8．C【分析】设这个角是x ︒，根据题意得190(180)4x x -=-，解方程即可． 【详解】解：设这个角是x ︒，根据题意得190(180)4x x -=-， 解得x =60，故选：C ．【点睛】此题考查角度计算，熟练掌握一个角的余角及补角定义，并正确列得方程解决问题是解题的关键．9．A【分析】直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC 以及∠EOC 的度数，进而得出答案．【详解】解：∠∠1与∠2互余，∠1290∠+∠=︒，∠90AOC ∠=°，∠150BOE ∠=︒，∠18015030EOC ∠=︒-︒=°，∠9030120AOE AOC EOC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：A【点睛】此题主要考查了邻补角以及余角，正确掌握相关定义是解题关键．10．C【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．故选C．【点睛】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．11．18°15′0″【分析】根据将高级单位化为低级单位时，乘以60，即可求得答案．【详解】18.25°=18°+0.25×60=18°15′0″，故答案为18°15′0″．【点睛】本题考查了度、分、秒的换算，掌握1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″是解题的关键．12．125°【分析】由两直线垂直，求得∠AOE=90°；由∠AOC与∠EOC互余，∠EOC=35°，即可得到∠AOC的度数；再由∠AOD与∠AOC互补，即可得出∠AOD的度数．【详解】解：∠EO∠AB，∠∠AOE=90°，又∠∠EOC=35°，∠∠AOC=∠AOE-∠EOC=90°-35°= 55°，∠∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°，故答案为：125°．【点睛】本题主要考查补角、余角和垂直的定义．解题的关键是熟练利用补角、余角关系求角的度数．13．【分析】过点B作BN∠AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据勾股定理求BM的长．×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°．【详解】解：由已知得，AB=12过点B作BN∠AM于点N．∠在直角∠ABN中，∠BAN=30°AB=7海里．∠BN=12在直角∠BNM中，∠MBN=45°，则直角∠BNM是等腰直角三角形．即BN=MN=7海里，∠BM=．故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握勾股定理是解题的关键．14．55【分析】根据余角的定义及等角的余角相等即可求解．【详解】解：∠∠1与∠2互余，∠∠1+∠2=90°，∠∠3与∠4互余，∠∠3+∠4=90°，又∠1=∠3，∠∠2=∠4=55°，故答案为：55．【点睛】本题考查了余角的定义及等角的余角相等等知识点，属于基础题，计算过程中细心即可．15．(1)见解析(2)20AFC ∠=︒【分析】（1）根据角平分线得出ACF FCD ∠∠＝，利用平行线的性质可得AFC FCD ∠∠＝，然后利用各角之间的关系得出GAH ECA ∠∠＝，再由平行线的判定即可证明；（2）根据平行线的性质得出HAF ACD ∠∠＝，GAH ECA ∠∠＝．结合图形利用各角之间的数量关系得出20∠︒＝FCD ，再由平行线的性质即可得出结果．(1)证明：∠CF 平分ACD ∠，∠ACF FCD ∠∠＝．∠AB ∠CD ，∠AFC FCD ∠∠＝，∠ACF AFC ∠∠＝，∠GAH ∠与AFC ∠互余，即90GAH AFC ∠+∠︒＝，∠90GAH ACF ∠+∠︒＝．∠CE CF ⊥，∠90ECF ECA ACF ∠∠+∠︒＝＝，∠GAH ECA ∠∠＝，∠AG ∠CE(2)解：∠AB ∠CD ，AG ∠CE ，∠HAF ACD ∠∠＝，GAH ECA ∠∠＝．∠HAF GAH ACD ECA ∠+∠∠+∠＝，即GAF ECD ∠∠＝．∠110GAF ∠︒＝，∠110ECD ∠︒＝．∠90ECF ∠︒＝，∠1109020FCD ECD ECF ∠∠∠︒︒＝－＝－＝．∠AB ∠CD ，∠20AFC ∠︒＝．【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质及各角之间的等量代换，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．16．(1)DE ，AE ；(2)AC ．证明见详解．【分析】（1）根据(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，BC =AE 即可；（2）过D 作DE ∠直线l 于E ，先证∠MCA ∠∠AGN （AAS ），得出AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，再证∠NGP ∠∠DEP （AAS ）即可．（1）解：∠(AAS)≌ABC DAE ，∠AC =DE ，BC =AE ，故答案为DE ，AE ；（2）证明：过D 作DE ∠直线l 于E ，∠90MAN ∠=︒，∠∠CAM +∠NAG =90°，∠BM ∠l ，∠∠MCA =90°，∠∠M +∠CAM =90°，∠∠M =∠NAG ，∠NG l ⊥，∠∠AGN =90°，在∠MCA 和∠AGN 中，MCA AGN M GAN MA AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠MCA ∠∠AGN （AAS ），∠AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，∠AC =DE ，∠NG =DE ，在∠NGP 和∠DEP 中，90NGP DEP GPN EPDNG DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠NGP ∠∠DEP （AAS ）∠NP =DP ，故答案为AC ．【点睛】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键． 17【分析】过点C 作CD ∠AB 交线段AB 延长线于点D ，证∠ACD 是等腰直角三角形，得AD ＝CD ，由勾股定理得AC，AD ＝CD，然后由AD −BD ＝AB 求出BD ，进而求出AC ，再利用路程＝速度×时间即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CD ∠AB 交线段AB 延长线于点D ，∠∠BAC ＝75°−30°＝45°，∠∠ACD 是等腰直角三角形，∠AD ＝CD ，∠ACCD ，∠∠DBC ＝∠BAE ＝90°−30°＝60°，∠∠BCD ＝30°，∠BC ＝2BD ，AD ＝CD =， ∠AD −BD ＝AB ，20BD -= 海里，解得：BD ＝10)1 海里，∠CD (30=+ 海里，∠AC =（海里），∠t ==C 处成功拦截． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理、等腰直角三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．18．(1)60°(2)AD OD ⊥，见解析(3)AO =【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC 为等边三角形即可求解；（2）将∠BOC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，得到∠ADC ，可知∠ADC =∠BOC =150°，即得∠ADO =∠ADC -∠ODC =90°，故AD ∠OD ；（3）在Rt ∠AOD 中，由勾股定理即可求得AO 的长．（1）由旋转的性质得：CD CO =，OCB DCA ∠=∠．∠ACO OCB ACO DCA ∠+∠=∠+∠，即ACB DCO ∠=∠．∠ABC 为等边三角形，∠60ACB ∠=︒．∠60DCO ∠=︒．∠OCD 为等边三角形，60ODC ∠=︒．（2）由旋转的性质得，150BOC ADC ∠=∠=︒．∠60ODC ∠=︒，∠90ADO ADC ODC ∠=∠-∠=︒．即AD OD ⊥．（3）由旋转的性质得，AD =OB =2，∠∠OCD 为等边三角形，∠OD =OC =3，在Rt ∠AOD 中，由勾股定理得：AO【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．。
人教版七年级数字上册：4.3.3《余角与补角》基础巩固题及答案
4.3 角4.3.3 余角和补角基础稳固1.（知识点 1）以下图形中互为补角的两个角是（）A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④2.（题型二）假如从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A.南偏西30°方向B.南偏西60°方向C.南偏东30°方向D.南偏东60°方向3.（题型三）以下选项是将一副三角尺按不一样地点摆放的，∠α与∠β互余的是（）4.（题型二）一艘海上搜救船借助雷达探测仪找寻到事故船的地点，雷达表示图如图 4-3.3-1，搜救船位于图中圆心 O 处，事故船位于距点O 40 海里的 A 处，雷达操作员要用方向角把事故船相关于搜救船的地点报告给船长，以便调整航向，以下四种表述方式正确的选项是（）图 4-3.3-1A.事故船在搜救船的北偏东60°方向B.事故船在搜救船的北偏东30°方向C.事故船在搜救船的北偏西60°方向D.事故船在搜救船的南偏东30°方向5.（题型三）如图 4-3.3-2，∠AOC=∠BOD=90°，四位同学察看图形后分别说了自己的看法 .甲：∠ AOB=∠COD；乙：∠ BOC+∠AOD=180°；丙：∠ AOB+∠COD=90°；丁：图中小于平角的角有 6 个.此中看法正确的选项是（）图 4-3.3-2A. 甲、乙、丙B.甲、丙、丁C.乙、丙、丁D.甲、乙、丁6.（题型一）已知∠ A=35°10′48″，则∠ A 的补角是 _____.7.（题型一）如图 4-3.3-3， A， B，C 三点在同一条直线上，若∠ECD=90°，∠ 1=23°30′，则∠ 2 的度数是 ______°.图 4-3.3-38.（题型一）若∠ 1 和∠ 2 互为余角，则∠ 1 和∠ 2 的补角之和是 ______.9.（题型一）一个角的补角加上 10°后，等于这个角的余角的 3 倍，求这个角以及它的余角和补角的度数 .能力提高10.（题型二）如图 4-3.3-4，货轮 O 在航行过程中，发现灯塔 A 在它南偏东 60°的方向上，同时，在它北偏东 30°、西北（即北偏西 45°）方向上又分别发现了客轮 B 和海岛 C.（1）模仿表示灯塔方向的方法，分别画出表示客轮 B 和海岛 C 方向的射线 OB，OC（不写作法）；（2）若图中有一艘渔船 D，且∠ AOD 的补角是它的余角的 3 倍，画出表示渔船 D 方向的射线 OD，则渔船 D 在货轮 O 的 ______方向上 .（写出方向角）图 4-3.3-411.（题型三）如图 4-3.3-5，O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线OC 使∠ BOC=120°，将有一 30°角的直角三角尺的直角极点放在点处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边ON 在直线 AB 的下方 .（中∠OMN=30°，∠ NOM=90°）（1）（2）（3）图 4-3.3-5（1）将图 4-3.3-5（1）中的三角尺绕点 O 逆时针旋转至图 4-3.3-5（2），使 OM 在∠ BOC 的内部，且恰巧均分∠ BOC.问：直线 ON能否均分∠ AOC？请说明原因 .（2）将图 4-3.3-5（1）中的三角尺绕点 O 按每秒 6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线 ON 恰巧均分∠AOC，求 t.（3）将图 4-3.3-5（1）中的三角尺绕点 O 顺时针旋转至图 4-3.3-5（3），使 ON 在∠ AOC 的内部 .请研究：∠ AOM 与∠ NOC 之间的数目关系，并说明原因 .答案基础稳固1.C 分析：由于①和④两个角的和为 180°，因此①和④互为补角 .应选 C.2.A 分析：由图 D4-3.3-1 可知，∠1=30°.由于从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，因此从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向 .应选 A.图 D4-3.3-123.A 分析： A.∠α与∠ β互余，故此选项切合题意； B.∠α=∠β，故此选项不切合题意； C.∠α=∠β，故此选项不切合题意； D.∠α与∠β互补，故此选项不切合题意 .应选 A.4.B 分析：由题图可知，事故船在搜救船的北偏东30°方向 .应选B.5. D分析：由于∠AOC=∠BOD=90°，因此∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，即∠AOB= ∠COD，因此甲同学的看法正确；由于∠BOC+∠AOD= ∠ AOC+ ∠ COD+ ∠ BOC= ∠ AOC+ ∠ BOD=90 ° +90 °=180°，因此乙同学的看法正确；由于∠AOB+ ∠BOC= ∠AOC=90°，∠B OC 和∠ COD 不必定相等，因此丙同学的看法不正确；由于图中小于平角的角有∠ AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，共 6 个，因此丁同学的看法正确.应选 D.6.144°49′12″分析：由于∠ A=35°10′48″，因此∠ A 的补角为180°-35°10′48″=144°49′12″.7.66.5 分析：由于∠ ECD=90°，∠ACB=180°，因此∠ 2+∠1=90°. 由于∠ 1=23°30′，因此∠ 2=90°-23°30′=66°30′=66.5°.8. 270°分析：设∠ 2=x，则∠ 1=90°-x.由题意，得180°-（90°-x）+180°-x=270°.9.解：设这个角为 x° .由题意，得 180-x+10=3（90-x），解得 x=40.即这个角是 40°，它的余角是50°，补角是 140°.能力提高10. 解：（1）如图 D4-3.3-2.图 D4-3.3-2图 D4-3.3-3（2）由∠ AOD 的补角是它的余角的 3 倍，得180°-∠AOD=3（90°-∠AOD），解得∠ AOD=45°.如图 D4-3.3-3，故渔船 D 在货轮 O 南偏东 15°或北偏东 75°方向上 .11.解：（1）直线ON 均分∠AOC.原因以下：设 ON 的反向延伸线为 OD.由于 OM 均分∠ BOC，∠ BOC=120°，因此∠ MOC=∠MOB= 1∠BOC=60°. 2又由于∠ MON=90°，因此∠ BON=30°，因此∠ CON=120°+30°=150°，因此∠ COD=30°.又由于∠ AOC=180° - ∠ BOC=60 °，因此∠ DOA= ∠ AOC- ∠COD=30°，因此∠ COD=∠AOD，因此 OD 均分∠ AOC，即直线 ON 均分∠ AOC.（2）由（1）可知，当ON 绕点O 沿逆时针方向旋转60°时，直线ON 均分∠ AOC，当 ON 绕点 O 沿逆时针方向旋转 240°［即（ 1）中OD 的地点］时，直线 ON 均分∠ AOC.由题意，得 6t=60 或 6t=240，解得 t=10 或 t=40.（3）由于∠ MON=90°，∠ AOC=60°，因此∠ AOM=90°-∠AON，∠ NOC=60°-∠ AON，因此∠ AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°.。
苏科版七年级数学上册阶段综合练(角、余角、补角、对顶角)【含答案】
苏科版七年级数学上册阶段综合练（角、余角、补角、对顶角）一、选择题1、如图，下列各个图形中，能用∠1，∠AOB ，∠O 三种方法表示同一角的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．3、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2，④，其中正确的是（ ）13∠=∠A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④(3题) (4题) (6题)4、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，分别作∠AOD ，∠BOD 的平分线OE ，OF ． 将直线CD 绕点O 旋转，下列数据与∠BOD 大小变化无关的是（ ）A ．∠AOD 的度数B ．∠AOC 的度数 C ．∠EOF 的度数D ．∠DOF 的度数5、对于题目：“如图1，已知A ，B 为两个海岛，点B 在点A 的正东方向，若灯塔C 在海岛A 北偏东65°的方向上，在海岛B 北偏西35°的方向上，请画出灯塔C 的位置．”甲、乙两人分别作出了如下解答：甲：先以A 为参照点，作南偏东25°，再以B 为参照点，作南偏西65°，画出图形如图2．乙：先以A 为参照点，作东偏北25°，再以B 为参照点，作西偏北55°，画出图形如图3．下列判断正确的是（ ）A ．甲的说法和画图都正确B ．乙的说法正确，画图错误C ．乙的说法和画图都正确D ．甲乙的说法都错误6、如图，射线平分，以为一边作，60AOB ∠=︒OC AOB ∠OC 15COP ∠=︒则 (BOP ∠=)A ． B ． C ．或 D ．或15︒45︒15︒30︒15︒45︒7、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，如果∠BOD ＝75°，OE 把∠AOC 分成两个角，且∠AOE ：∠EOC ＝2：3．那么∠AOE 的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．35°8、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OF 平分∠BOD ，OE 平分∠COF ，∠AOD ：∠BOF ＝4：1，则∠AOE ＝ ．(8题) (9题) (10题)9、如图，直线、相交于点，．下列说法不正确的是 AB CD O 90EOD ∠=︒()A ．B ．AOD BOC ∠=∠AOC AOE∠=∠C ．D ．90AOE BOD ∠+∠=︒180AOD BOD ∠+∠=︒10、如图，直线，相交于点，平分，且，则的度数是 AB CD O OA EOC ∠:2:9EOC EOB ∠∠=BOD ∠()A ．B ．C ．D ．15︒16︒18︒20︒二、填空题11、已知和，画一个角使它等于，画法如下：1∠2∠12∠+∠（1）画______________．AOB ∠=（2）以点O 为顶点，为始边，在的__________作；则．OB AOB ∠2BOC ∠=∠12AOC ∠=∠+∠12、若与是对顶角，的补角是，则的余角的度为 ．α∠β∠α∠100︒β∠13、如图，钟表上显示的时间是，此时，时针与分针的夹角是_________12:20(13题) (14题) (16题)14、如图所示：直线与相交于O ，已知，是的平分线，AB CD 130∠=︒OE BOC ∠则的度数为________．2∠15、平面内，已知，，平分，平分，则 ．90AOB ∠=︒20BOC ∠=︒OE AOB ∠OF BOC ∠EOF ∠=16、如图，直线、相交于点，射线平分，．若，AB CD O OM AOC ∠90MON ∠=︒50BON ∠=︒则的度数为 ．BOD ∠17、如图，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∠DOE ＝90°，OF 平分∠AOD ，∠AOE ＝36°，则∠BOF 的度数＝______．(17题) (18题)18、如图，，相交于点，，有以下结论：AB CD O 90BOE ∠=︒①与互为余角； ②与互为余角； ③；AOC ∠COE ∠BOD ∠COE ∠AOC BOD ∠=∠④与互为补角； ⑤与互为补角； ⑥COE ∠DOE ∠AOC ∠DOE ∠AOC COE∠=∠其中错误的有 （填序号）．三、解答题19、计算：（1）； （2）； （3）； （4）．32175342427︒'''+︒'''90361215︒-︒'''2512355︒'''⨯536︒÷20、完成推理填空：如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠EOC ＝90°，OF 是∠AOE 的角平分线，∠COF ＝34°，求∠BOD 的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：∵∠EOC ＝90°，∠COF ＝34° （ ）∴∠EOF ＝ °又∵OF 是∠AOE 的角平分线 （ ）∴∠AOF ═ ＝56° （ ）∴∠AOC ＝∠ ﹣∠ ＝ °∴∠BOD ＝∠AOC ＝ °（ ）21、如图，已知直线，相交于点，平分，平分．若，AB CD O OE BOD ∠OF COE ∠100AOD ∠=︒求：（1）的度数；EOD ∠（2）的度数．AOF ∠22、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝120°，OE 平分∠BOC ．（1）求∠BOE 的度数；（2）若OF 把∠AOE 分成两个角，且∠AOF ：∠EOF ＝2：3，判断OA 是否平分∠DOF ？并说明理由．23、如图，为直线上一点，，平分．O AB 90DOE ∠=︒OF BOD ∠（1）若，则 ；20AOE ∠=︒BOF ∠=（2）若是的5倍，求度数．BOF ∠AOE ∠AOE ∠24、已知点是直线上一点，，是的平分线．O AB 60COE ∠=︒OF AOE ∠（1）如图1，当时，求的度数；80BOE ∠=︒COF ∠（2）当和射线在如图2所示的位置，且题目条件不变时．COE ∠OF ①求与之间的数量关系；COF ∠AOE ∠②直接写出的值．2BOE COF ∠-∠25、如图①，直角三角板的直角顶点在直线上，，是三角板的两条直角边，射线是O AB OC OD OE 的平分线．AOD ∠（1）当时，求的度数；50AOE ∠=︒BOD ∠（2）当时，求的度数；30COE ∠=︒BOD ∠（3）当时，则 （用含的式子表示）；COE α∠=BOD ∠=α（4）当三角板绕点逆时针旋转到图②位置时，，其它条件不变，则 O COE α∠=BOD ∠=（用含 的式子表示）．α26、已知直线和相交于，为锐角．AB CD O AOC ∠（1）填空：如图1图中有___________对相等的角（平角除外）分别是_____________________，判断的依据是_____________________（2）如图2，作，平分，求的度数．90COE ∠=︒OF COB ∠AOF EOF ∠-∠（3）在（2）的条件下，，计算的度数．:2:5AOC COF ∠∠=DOF ∠答案一、选择题1、如图，下列各个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一角的图形是（ ）A．B．C．D．【解题思路】根据角的表示方法判断即可．【解答过程】解：A、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；B、图形中的∠1，能用∠AOB，∠O表示，本选项符合题意；C、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；D、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；故选：B．2、如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可求解．【详解】解：对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，满足条件的只有B ．故选：B ．3、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2，④，其中正确的是（ ）13∠=∠A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【答案】B【分析】根据对顶角和邻补角的定义逐个判断即可得．【详解】解：和不是对顶角，互为邻补角，则①错误，②正确；1∠2∠，但和不一定相等，则③错误；12180∠+∠=︒1∠2∠由对顶角相等得：，则④正确；13∠=∠综上，正确的是②④，故选：B ．4、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，分别作∠AOD ，∠BOD 的平分线OE ，OF ． 将直线CD 绕点O 旋转，下列数据与∠BOD 大小变化无关的是（ ）A ．∠AOD 的度数B ．∠AOC 的度数 C ．∠EOF 的度数D ．∠DOF 的度数【答案】C【分析】由角平分线性质解得，根据对角线性质、平角性质解得，90EOF ∠=︒180AOD BOD ∠=︒-∠，据此解题．1,2AOC BOD DOF BOD∠=∠∠=∠【详解】解： OE ，OF 平分∠AOD ，∠BOD 11,22AOE EOD AOD DOF FOB BOD∴∠=∠=∠∠=∠=∠180AOD BOD ∠+∠=︒ 111()90222EOD DOF AOD BOD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒90EOF ∴∠=︒180AOD BOD∴∠=︒-∠1,2AOC BOD DOF BOD∴∠=∠∠=∠都与∠BOD 大小变化有关，只有∠EOF 的度数与∠BOD 大小变化无关，故选：C ．5、对于题目：“如图1，已知A ，B 为两个海岛，点B 在点A 的正东方向，若灯塔C 在海岛A 北偏东65°的方向上，在海岛B 北偏西35°的方向上，请画出灯塔C 的位置．”甲、乙两人分别作出了如下解答：甲：先以A 为参照点，作南偏东25°，再以B 为参照点，作南偏西65°，画出图形如图2．乙：先以A 为参照点，作东偏北25°，再以B 为参照点，作西偏北55°，画出图形如图3．下列判断正确的是（ ）A ．甲的说法和画图都正确B ．乙的说法正确，画图错误C ．乙的说法和画图都正确D ．甲乙的说法都错误【解题思路】根据方向角定义即可进行判断．【解答过程】解：根据方向角定义可知：灯塔C 在海岛A 北偏东65°的方向上，在海岛B 北偏西35°的方向上，画出灯塔C 的位置如图3．故选：D ．6、如图，射线平分，以为一边作，则 60AOB ∠=︒OC AOB ∠OC 15COP ∠=︒(BOP ∠=)A ．B ．C ．或D ．或15︒45︒15︒30︒15︒45︒【分析】根据，射线平分，可得，分在内，在60AOB ∠=︒OC AOB ∠30BOC ∠=︒OP BOC ∠OP 内，两种情况讨论求解即可．AOC ∠【解析】，射线平分，60AOB ∠=︒ OC AOB ∠，1302AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒又15COP ∠=︒①当在内，OP BOC ∠，301515BOP BOC COP ∠=∠-∠=︒-︒=︒②当在内，OP AOC ∠，301545BOP BOC COP ∠=∠+∠=︒+︒=︒综上所述：或．15BOP ∠=︒45︒故选：．D7、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，如果∠BOD ＝75°，OE 把∠AOC 分成两个角，且∠AOE ：∠EOC ＝2：3．那么∠AOE 的度数是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．35°【解析】∵∠BOD ＝75°，∴∠AOC ＝75°，∵∠AOE ：∠EOC ＝2：3，∴设∠AOE ＝2x °，∠EOC ＝3x °，则2x +3x ＝75，解得：x ＝15，∴∠AOE ＝30°，故选：B ．8、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OF 平分∠BOD ，OE 平分∠COF ，∠AOD ：∠BOF ＝4：1，则∠AOE ＝ ．【分析】根据角平分线的定义得出∠BOD ＝2∠BOF ，∠BOF ＝∠DOF ，根据∠AOD ：∠BOF ＝4：1求出∠AOD ：∠BOD ＝4：2，根据邻补角互补求出∠AOD ＝120°，∠BOD ＝60°，求出∠AOC ＝60°，根据角平分线定义求出∠COE ，再求出答案即可．【解析】∵OF 平分∠BOD ，∴∠BOD ＝2∠BOF ，∠BOF ＝∠DOF ，∵∠AOD ：∠BOF ＝4：1，∴∠AOD ：∠BOD ＝4：2，∵∠AOD +∠BOD ＝180°，∴∠AOD ＝120°，∠BOD ＝60°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝60°，∴∠BOF ＝∠DOF==30°， 6021∴∠COF ＝180°﹣∠DOF ＝150°，∵OE 平分∠COF ，∴∠COE=COF=，∠21 7515021=⨯∴∠AOE ＝∠AOC +∠COE ＝60°+75°＝135°，故答案为：135°．9、如图，直线、相交于点，．下列说法不正确的是 AB CD O 90EOD ∠=︒()A ．B ．AOD BOC∠=∠AOC AOE ∠=∠C ．D ．90AOE BOD ∠+∠=︒180AOD BOD ∠+∠=︒【分析】根据对顶角相等可得，不是的角平分线，因此和不一AOD BOC ∠=∠AO COE ∠AOC ∠AOE ∠定相等，根据，利用平角定义可得，根据邻补角互补可得90EOD ∠=︒90AOE BOD ∠+∠=︒180AOD BOD ∠+∠=︒【解析】、，说法正确；A AOD BOC ∠=∠、，说法错误；B AOC AOE ∠=∠、，说法正确；C 90AOE BOD ∠+∠=︒、，说法正确；D 180AOD BOD ∠+∠=︒故选：．B 10、如图，直线，相交于点，平分，且，则的度数是 AB CD O OA EOC ∠:2:9EOC EOB ∠∠=BOD ∠()A ．B ．C ．D ．15︒16︒18︒20︒【分析】根据角平分线的定义和对顶角的性质即可得到结论．【解析】设，，2EOC x ∠=9EOB x ∠=平分，OA EOC ∠，12AOE EOC x ∴∠=∠=根据题意得，解得，9180x x +=︒18x =︒，18EOA AOC x ∴∠=∠==︒，18BOD AOC ∴∠=∠=︒故选：．C 二、填空题11、已知和，画一个角使它等于，画法如下：1∠2∠12∠+∠（1）画______________．AOB ∠=（2）以点O 为顶点，为始边，在的__________作；则．OB AOB ∠2BOC ∠=∠12AOC ∠=∠+∠【答案】 外部1∠【分析】根据角的画法步骤，先画出∠AOB=∠1，再在∠AOB 的外部画出∠2，即可得到∠AOC【解析】画法详解:（1）画∠AOB=∠1．（2）以点O 为顶点，OB 为始边，在∠AOB 的外部作∠BOC=∠2；则∠AOC=∠1+∠2．故答案: （1）∠1 （2）外部12、若与是对顶角，的补角是，则的余角的度为 ．α∠β∠α∠100︒β∠【分析】根据补角定义可得的度数，再根据对顶角相等可得答案．α∠【解析】的补角为，α∠ 100︒，18010080α∴∠=︒-︒=︒与是对顶角，α∠ β∠，80βα∴∠=∠=︒的余角的度为，β∴∠10︒故答案为：．10︒13、如图，钟表上显示的时间是，此时，时针与分针的夹角是_________12:20【答案】110︒【分析】根据时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，然后分别求出时针、分针转过的角度，即可得到答0.5 6案．【详解】解：∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，0.5 6 ∴钟表上12时20分钟时，时针转过的角度为，分针转过的角度为，0.52010⨯= 620120⨯=所以时分针与时针的夹角为．12:2012010110-= 14、如图所示：直线与相交于O ，已知，是的平分线，AB CD 130∠=︒OE BOC ∠则的度数为________．2∠【答案】75°．【分析】由邻补角的定义可求得∠COB ＝150°，然后根据角平分线的定义可求得∠2．【详解】解：∵∠1+∠COB ＝180°，∠1＝30°，∴∠COB ＝180°﹣30°＝150°．∵OE 是∠BOC 的平分线，∴∠2＝ ∠COB ＝75°．12故答案为：75°．15、平面内，已知，，平分，平分，则 ．90AOB ∠=︒20BOC ∠=︒OE AOB ∠OF BOC ∠EOF ∠=【分析】分两种情况：当在内时；当在外时．根据角平分线的定义，角的和差进行OC AOB ∠OC AOB ∠解答便可．【解析】当在内时，如图1，OC AOB ∠；11119020352222EOF BOE BOF AOB BOC ∠=∠-∠=∠-∠=⨯︒-⨯︒=︒当在外时，如图2，OC AOB ∠，11119020552222EOF BOE BOF AOB BOC ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒+⨯︒=︒故答案为：或．35︒55︒16、如图，直线、相交于点，射线平分，．若，AB CD O OM AOC ∠90MON ∠=︒50BON ∠=︒则的度数为 ．BOD ∠【分析】首先根据余角的性质可得，再根据角平分线的性质可算出905040AOM ∠=︒-︒'=︒，再根据对顶角相等可得的度数，40280AOC ∠=︒⨯=︒BOD ∠【解析】．，90MON ∠=︒ 50BON ∠=︒，905040AOM ∴∠=︒-︒'=︒射线平分，OM AOC ∠，40280AOC ∴∠=︒⨯=︒．80BOD AOC ∴∠=∠=︒故答案为：．80︒17、如图，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∠DOE ＝90°，OF 平分∠AOD ，∠AOE ＝36°，则∠BOF 的度数＝______．【答案】63°【分析】先求出∠AOD ＝54°，再求出∠BOD 和∠DOF ，即可求出∠BOF ．【详解】解：∵∠DOE ＝90°，∠AOE ＝36°，∴∠AOD ＝90°﹣36°＝54°，∵∠AOB ＝90°，∴∠BOD ＝90°﹣54°＝36°，∵OF 平分∠AOD ，∴∠DOF ∠AOD ＝27°，12=∴∠BOF ＝36°+27°＝63°．18、如图，，相交于点，，有以下结论：AB CD O 90BOE ∠=︒①与互为余角； ②与互为余角；③；AOC ∠COE ∠BOD ∠COE ∠AOC BOD ∠=∠④与互为补角； ⑤与互为补角； ⑥COE ∠DOE ∠AOC ∠DOE ∠AOC COE∠=∠其中错误的有 （填序号）．【分析】根据垂线的定义、对顶角、邻补角的性质解答即可．【解析】，相交于点，，AB CD O 90BOE ∠=︒①与互为余角，正确；∴AOC ∠COE ∠②与互为余角，正确；BOD ∠COE ∠③，正确；AOC BOD ∠=∠④与互为补角，正确；COE ∠DOE ∠⑤设，则，，故与互为补角错误；30AOC ∠=︒120DOE ∠=︒180AOC DOE ∠+∠≠︒AOC ∠BOC DOE ∠=∠⑥，错误；AOC BOD COE ∠=∠≠∠故答案为：⑤⑥．三、解答题19、计算：（1）； （2）； （3）； （4）．32175342427︒'''+︒'''90361215︒-︒'''2512355︒'''⨯536︒÷【分析】（1）1度分，即，1分秒，即，依此计算加法；60=160︒='60=160'=''（2）1度分，即，1分秒，即，依此计算减法；60=160︒='60=160'=''（3）1度分，即，1分秒，即，依此计算乘法；60=160︒='60=160'=''（4）1度分，即，1分秒，即，依此计算除法．60=160︒='60=160'=''【解析】（1）原式；=︒'''=︒74596075（2）原式；=︒'''534745（3）原式；=︒'''=︒'''12560175126255（4）原式．850=︒'20、完成推理填空：如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（ ）∴∠EOF＝ °又∵OF是∠AOE的角平分线（ ）∴∠AOF═ ＝56°（ ）∴∠AOC＝∠ ﹣∠ ＝ °∴∠BOD＝∠AOC＝ °（ ）【分析】利用角的和差关系和角平分线定义可得∠AOF的度数，然后利用垂垂线定义计算出∠AOC的度数，再根据对顶角相等可得∠BOD的度数．【解析】∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（已知），∴∠EOF＝56°，又∵OF是∠AOE的角平分线（已知），∴∠AOF ═∠EOF ＝56° （角平分线定义），∴∠AOC ＝∠AOF ﹣∠COF ＝22°，∴∠BOD ＝∠AOC ＝22°（对顶角相等）．故答案为：已知；56；已知；∠EOF ；角平分线定义；AOF ；COF ；22；22；对顶角相等．21、如图，已知直线，相交于点，平分，平分．若，AB CD O OE BOD ∠OF COE ∠100AOD ∠=︒求：（1）的度数；EOD ∠（2）的度数．AOF ∠【答案】（1）40°；（2）150°【分析】（1）根据邻补角的性质，可求出的度数，再根据角平分线的性质即可求出的度数，DOB ∠DOE ∠（2）根据邻补角的性质，可求出的度数，再根据角平分线的性质，求出，在根据对顶角COE ∠COF ∠的性质求出，即可求出的度数．AOC ∠AOF ∠【详解】（1）∵直线，相交于点，AB CD O ∴，180AOD BOD ∠+∠=︒∵，100AOD ∠=︒∴，18080BOD AOD ∠=-∠=°°∵平分，OE BOD ∠∴．1402DOE BOD ∠=∠=°（2）∵，180COE DOE ∠+∠=°∴，180140COE DOE ∠=-∠=°°∵平分，OF COE ∠∴，1702COF COE ∠=∠=°∵，80AOC BOD ∠=∠=︒∴．150AOF AOC COF ∠=∠+∠=°22、如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝120°，OE 平分∠BOC ．（1）求∠BOE 的度数；（2）若OF 把∠AOE 分成两个角，且∠AOF ：∠EOF ＝2：3，判断OA 是否平分∠DOF？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）平分，理由见解析．【分析】（1）根据邻补角的概念求出，根据角平分线的定义计算，得到答案；BOC ∠（2）求出，根据题意分别求出，根据角平分线的定义证明即可．AOE ∠AOF EOF ∠∠、【详解】解：（1）∵∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝180°﹣120°＝60°，∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOE ＝∠BOC ＝×60°＝30°；1212（2）OA 平分∠DOF ，理由如下：∵∠BOE ＝30°，∴∠AOE ＝180°﹣30°＝150°，∵∠AOF ：∠EOF ＝2：3，∴∠AOF ＝60°，∠EOF ＝90°，∵∠AOD ＝∠BOC ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOF ，∴OA 平分∠DOF ．23、如图，为直线上一点，，平分．O AB 90DOE ∠=︒OF BOD ∠（1）若，则 ；20AOE ∠=︒BOF ∠=（2）若是的5倍，求度数．BOF ∠AOE ∠AOE ∠【分析】（1）根据互余、互补以及角平分线的定义可得答案；（2）由（1）的方法列出方程可求出答案．【解析】（1），，90DOE ∠=︒ 20AOE ∠=︒．902070AOD DOE AOE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．180********BOD AOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒平分．OF BOD ∠．∴111105522BOF BOD ∠=∠=⨯︒=︒故答案为：．55︒（2）设，AOE x ∠=则．5BOF x ∠=．90AOD x ∴∠=︒-．180(90)90BOD x x ∠=︒-︒-=︒+平分，OF BOD ∠．∴11(90)4522BOF x x ∠=︒+=︒+，∴14552x x ︒+=即9452x =︒，∴245109x =︒⨯=︒．10AOE ∴∠=︒24、已知点是直线上一点，，是的平分线．O AB 60COE ∠=︒OF AOE ∠（1）如图1，当时，求的度数；80BOE ∠=︒COF ∠（2）当和射线在如图2所示的位置，且题目条件不变时．COE ∠OF ①求与之间的数量关系；COF ∠AOE ∠②直接写出的值．2BOE COF ∠-∠【答案】（1）10°；（2）①；②60°1602COF AOE∠=︒-∠【分析】（1）利用角平分线的定义以及角的和差计算即可求解；（2）利用角平分线的定义以及角的和差列式即可；（3）利用邻补角的定义结合（2）的结论即可求解．【详解】解：（1）∵，，∴，．80BOE ∠=︒60COE ∠=︒40AOC ∠=︒100AOE ∠=︒∵是的平分线，∴，OF AOE ∠1502AOF AOE ∠=∠=︒∴；10COF AOF AOC ∠=∠-∠=︒（2）①∵是的平分线，∴，OF AOE ∠12EOF AOE∠=∠∴；1602COF COE EOF AOE∠=∠-∠=︒-∠②∵∠BOE=180-∠AOE ，︒∴∠BOE-2∠COF=180-∠AOE-2(60-∠AOE)=180-∠AOE-120+∠AOE ．︒︒12︒︒60=︒25、如图①，直角三角板的直角顶点在直线上，，是三角板的两条直角边，射线是O AB OC OD OE 的平分线．AOD ∠（1）当时，求的度数；50AOE ∠=︒BOD ∠（2）当时，求的度数；30COE ∠=︒BOD ∠（3）当时，则 （用含的式子表示）；COE α∠=BOD ∠=α（4）当三角板绕点逆时针旋转到图②位置时，，其它条件不变，则 O COE α∠=BOD ∠=（用含 的式子表示）．α【分析】（1）根据角平分线的定义先求出，再根据互补求出即可；AOD ∠BOD ∠（2）根据互余求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据互补求出的答案；DOE ∠AOD ∠（3）由（2）的解题过程可得答案；（4）根据互余、互补、角平分线的定义可求出答案．【解析】（1）射线平分，，OE AOD ∠22250100AOD AOE DOE ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒；180********BOD AOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒（2），，，90COD ∠=︒ 30COE ∠=︒903060DOE ∴∠=︒-︒=︒又平分，，OE AOD ∠2260120AOD DOE ∴∠=∠=⨯︒=︒；180********BOD AOD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒（3），，，90COD ∠=︒ COE α∠=90DOE α∴∠=︒-又平分，，OE AOD ∠22(90)1802AOD DOE αα∴∠=∠=⨯︒-=︒-，180********BOD AOD αα∴∠=︒-∠=︒-︒+=故答案为：；2α（4）由图②得，，90DOE α∠=-︒平分，，OE AOD ∠22180AOD DOE α∴∠=∠=-︒，18018021803602BOD AOD αα∴∠=︒-∠=︒-+︒=︒-故答案为：．3602α︒-26、已知直线和相交于，为锐角．AB CD O AOC ∠（1）填空：如图1图中有___________对相等的角（平角除外）分别是_____________________，判断的依据是_____________________（2）如图2，作，平分，求的度数．90COE ∠=︒OF COB ∠AOF EOF ∠-∠（3）在（2）的条件下，，计算的度数．:2:5AOC COF ∠∠=DOF ∠【答案】（1）2，、，对顶角相等；（2）90°；（3）105°=COB AOD ∠∠=AOC BOD ∠∠【分析】（1）根据对顶角相等证明即可；（2）设，表示已知条件中的角推理计算即可；=AOC x ∠（3）结合（2）中的关系列方程即可求出x 的值，再由和互补求AOC COF ∠∠、DOF ∠COF ∠出．DOF ∠【详解】（1）根据对顶角相等可得图1中有2对相等的角（平角除外）分别是:，．=COB AOD ∠∠=AOC BOD ∠∠故答案为：2，、，对顶角相等；=COB AOD ∠∠=AOC BOD ∠∠（2）设°，则=AOC x ∠180BOC x ∠=︒-︒∵平分∴OF COB ∠11=9022COF BOC x ∠∠=︒-︒∴1==90+2AOF AOC COF x ∠∠+∠︒︒∵∴90COE ∠=︒1=2EOF COE COF x ∠∠-∠=︒∴；11=90+=9022AOF EOF x x ∠-∠-︒（3）∵:2:5AOC COF ∠∠=∴5=2AOC COF∠∠由（2）可知：，=AOC x ∠1=902COF x ∠︒-︒∴解得15=2(90)2x x ︒︒-︒30x =︒∴, ∴190=752COF x ∠=-︒180105DOF COF ∠=-∠=︒27。
余角和补角典型题带答案
A 卷：基础题一、选择题1．如图1所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，那么下列结论错误的是（ ）A ．∠AOC 与∠COE 互为余角B ．∠BOD 与∠COE 互为余角C ．∠COE 与∠BOE 互为补角D ．∠AOC 与∠BOD 是对顶角2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 图13．下列说法正确的是（ ）A ．锐角一定等于它的余角B ．钝角大于它的补角C ．锐角不小于它的补角D ．直角小于它的补角4．如图2所示，AO ⊥OC ，BO ⊥DO ，则下列结论正确的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1=∠3D ．∠1=∠2=∠3图2 图3 图4 图5二、填空题5．已知∠1与∠2互余，且∠1=35°，则∠2的补角的度数为 ．6．如图3所示，直线a ⊥b ，垂足为O ，L 是过点O 的直线，∠1=40°，则∠2= ．7．如图4所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OM ⊥AB ，•若∠COB=•135•，•则∠MOD= ．8．三条直线相交于一点，共有 对对顶角．9．如图5所示，AB ⊥CD 于点C ，CE ⊥CF ，则图中共有 对互余的角．三、解答题10．如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，∠BOE=90°，若∠COE=55°，•求∠BOD 的度数． C O E DB A11．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC=•120•°.求∠BOD，∠AOE的度数．B卷：提高题一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数．二、知识交叉题2．（科内交叉题）一个角的补角与这个角的余角的和比平角少10°，求这个角．3．（科外交叉题）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1=42°，∠2=•28•°，则光的传播方向改变了______度．三、实际应用题4．如图所示是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中4个角上的阴影部分分别表示4个入球袋．如果一个球按图中所示的方向被击出（•假设用足够的力气击出，使球可以经过多次反射），那么该球最后落入哪个球袋？在图上画出被击的球所走路程．四、经典中考题5．（2007，济南，4分）已知：如图所示，AB⊥CD，垂足为点O，EF为过点O•的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角6．（2008，南通，3分）已知∠A=40°，则∠A的余角等于______．参考答案A卷一、1．C 点拨：因为∠COE与∠DOE互为补角，所以C错误，故选C．2．D 3．B4．C 点拨：因为AO⊥OC，BO⊥DO，所以∠AOC=90°，∠BOD=90°，即∠3+∠2=90°，∠2+∠1=90°，根据同角的余角相等可得∠1=∠3，故选C．二、5．125°点拨：因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°，又因为∠1=35°，•所以∠2=90°-35=55°，所以180°-∠2=180°-55°=125°，即∠2•的补角的度数是125°．6．50°点拨：由已知可得∠1+∠2=180°-90°=90°，∠2=90°-∠1=90°-•40°=50°．7．45°点拨：因为OM⊥AB，所以∠MOD+∠BOD=90°，所以∠MOD=90°-∠BOD，又因为∠BOD=180°-∠COB=180°-135°=45°，所以∠MOD=90°-45°=45°．8．6 点拨：如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD与∠BOC，∠AOE与∠BOF，∠DOE与∠COF，∠DOB与∠COA，∠EOB与∠FOA，∠EOC与∠FOD•均分别构成对顶角，共有6对对顶角．9．4 点拨：由AB⊥CD，可得∠ACE与∠ECD互余，∠DCF与∠FCB互余．由CE⊥CF，可得∠ECD与∠DCF互余，又由于∠ACB为平角，所以∠ACE与∠BCF互余，共有4对．三、10．解：因为∠BOE与∠AOE互补，∠BOE=90°，所以∠AOE=180°-∠BOE=•180°-90°=90°，即∠COE+∠COA=90°，又∠COE=55°，所以∠COA=90°-∠COE=90°-•55°=35°，因为直线AB，CD相交于点O，所以∠BOD=∠COA=35°．11．解：因为直线AB与CD相交于点O，所以∠BOD=∠AOC=120°，因为∠AOC+•∠AOD=180°，所以∠AOD=180°-120°=60°，因为OE平分∠AOD，所以∠AOE=12∠AOD=12×60°=30°．点拨：由∠BOD与∠AOC是对顶角，可得∠BOD的度数．由∠AOC与∠AOD互补，•可得∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD，可得∠AOE的度数．B卷一、1．解法一：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB（已知），所以∠FOB+3•∠FOB=180°（等量代换），所以∠FOB=45°，所以∠AOE=∠FOB=45°（对顶角相等），因为∠AOC=90°，所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=90°-45°=45°．解法二：因为∠FOB+∠AOF=180°，∠AOF=3∠FOB，所以∠FOB+3∠FOB=180°，•所以∠FOB=45°，所以∠AOF=3∠FOB=3×45°=135°，所以∠BOE=∠AOF=135°．又因为∠AOC=90°，所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-90°=90°，所以∠EOC=∠BOE-∠BOC=•135°-90°=45°．二、2．解：设这个角为x，则其补角为180°-x，余角为90°-x，根据题意，得（•180°-x）+（90°-x）=180°-10°，解得x=50°，所以这个角的度数为50°．点拨：本题是互余，互补及平角的概念的一个交叉综合题，要理清各种关系，才能正确列出方程．3．14 点拨：本题是对顶角的性质在物理学中的应用．三、4．解：落入2号球袋，如图所示．点拨：此题应与实际相联系，球被击中后在桌面上走的路线与台球桌面的边缘构成的角等于反弹后走的路线与台球桌面的边缘构成的角．四、5．B 点拨：因为AB⊥CD于点O，所以∠BOC=90°．又CD与EF相交于点O，•所以∠COE=∠2，所以∠1+∠2=∠1+∠COE=∠BOC=90°，即∠1与∠2互余，故选B．6．50°点拨：∠A的余角为90°-∠A=90°-40°=50°．。
人教版七年级上第四章余角和补角同步练习题(含解析)
人教版七年级上第四章余角和补角同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（ ）A ．120°B ．60°C ．30°D ．150° 2．下列命题中，真命题的个数为（ ）个．∠一个角的补角可以是锐角；∠两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离； ∠平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；∠平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，下列结论中错误的是（ ）A ．ACDB ∠=∠ B ．2CD AD BD =C ．··AC BC ABCD = D ．2·BC AD AB = 4．如果90αβ∠+∠=︒，且β∠与γ∠互余，那么α∠与γ∠的关系为（ ）．A ．互余B ．互补C ．相等D ．不能确定 5．在ABC 中，60C ∠=°，按图中虚线将C ∠剪去后，12∠+∠等于（ ）．A ．120︒B ．220︒C ．240︒D ．300︒ 6．如图，OA 是北偏东30方向的一条射线，若90AOB ∠=︒，则OB 的方向角是（ ）A ．北偏西30B ．北偏西60︒C ．东偏北30D ．东偏北60︒ 7．如图，下列说法中错误的是（ ）．A ．OA 方向是北偏东20︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西30︒D ．OD 方向是东南方向8．若1∠与2∠互为余角，1∠与3∠互为补角，则下列结论：∠3290∠-∠=︒；∠3227021∠+∠=︒-∠；∠3122∠-∠=∠；∠312∠<∠+∠．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图所示，已知//AB CD ，则（ ）．A ．123∠=∠+∠B ．123∠∠∠>+C ．213∠=∠+∠D ．123∠∠∠<+10．入射光线和平面镜的夹角为40︒，转动平面镜，使入射角减小10︒，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）A ．减小40︒B ．减小10︒C ．减小20︒D ．不变二、填空题11．若∠B 的余角为57.12°，则∠B=_____°_____’_____”12．如图，AB CD 、相交于点O ，OE 平分AOD ∠，若60BOC ∠=︒，则COE ∠的度数是_____________.13．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，∠ACB ＝85°，则C 处在B 处的_____ 度方向．14．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OM ∠AB ，若∠DOM ＝55°，则∠AOC ＝______°．三、解答题15．小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究(1)如图（1），已知a b ∥，小宋把三角板的直角顶点放在直线b 上．若140∠=︒，直接写出2∠的度数；若1m ∠=︒，直接写出2∠的度数（用含m 的式子表示）．(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点A ，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边b 重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边a 上，求1∠的度数．16．李华同学用11块高度都是1cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD （∠ABC ＝90°，AB ＝BC ），点B 在EF 上，点A 和C 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF ．17．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向．（1）求ABC ∠；（2）若//CD AB ，则D 处应在C 处的什么方向？并说明理由．18．如图，在ABC 中，75A ∠=︒，45C ∠=︒，BE 是ABC 的角平分线，BD 是边AC 上的高．（1）求CBE ∠的度数；（2）求DBE ∠的度数．参考答案：1．D【分析】根据∠1和∠2互为余角，可得230∠=︒ ，再由∠2与∠3互补，即可求解．【详解】解：∠∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，∠∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，∠∠2与∠3互补，∠∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．故选：D ．【点睛】本题主要考查了余角和补角的性质，熟练掌握互为余角的两角之和等于90°，互为补角的两角之和等于180°是解题的关键．2．C【分析】根据补角的定义、平行公理、平行线的性质、点到直线的距离的定义、垂线的性质定理判断即可，【详解】∠一个角的补角可以是锐角，理由：钝角的补角是锐角，故∠正确.∠两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离，理由：两条平行直线之间距离的定义，故∠正确.∠平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，理由：垂线的性质定理，故∠正确. ∠平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故∠错误.故选：C.【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．D【分析】A ．利用同角的余角即可推出结果；B ．证∠ADC∠∠CDB ，由性质得AD CD =CD BD 即可；C ．利用三角形面积两种求法相等即可；D ．证∠ABC∠∠CBD ，由性质得BC AB =BD BC即可．【详解】解：A ．90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒， CD AB ⊥，90B BCD ∴∠+∠=︒，ACD B ∴∠=∠，A 正确，不符合题意；B ．90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，∠∠A+∠B=90º，∠A+∠ACD=90º，∠ADC=∠CDB=90º，∠∠ACD=∠B ，∠△ADC∠△CDB ，AD CD =CD BD， 2·CD AD BD ∴=，B 正确，不符合题意；C ．由三角形的面积公式得，11 (22)AC BC AB CD =， ··AC BC ABCD ∴=，C 正确，不符合题意；D ．90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，∠∠A+∠B=90º，∠BCD+∠B =90º，∠ACB=∠CDB =90º，∠∠A=∠BCD ，∠∠ABC∠∠CBD ， ∠BC AB =BD BC． 2·BC BD AB ∴=，D 错误，符合题意；故选择：D ．【点睛】本题考查同角的余角性质，三角形面积的求法，三角形相似的判定与性质，比例中项问题，掌握同角的余角性质，会用三角形面积的求法证等积式，三角形相似的判定与性质证比例中项问题是解题关键．4．C【分析】根据同角的余角相等即可得到答案．【详解】解：∠∠β与∠γ互余，∠∠β+∠γ=90°，又∠∠α+∠β=90°，∠∠α=∠γ，故选C ．【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关概念． 5．C【分析】利用补角的定义可知：1180∠+∠=︒DEC ，2180EDC ∠+∠=︒，由三角形内角和定理可知： 180120∠+∠=︒-∠=︒DEC EDC C ，代入即可求出12=240∠+∠︒．【详解】解：假设虚线为DE ，∠1180∠+∠=︒DEC ，2180EDC ∠+∠=︒，∠12360∠+∠+∠+∠=︒DEC EDC ，∠60C ∠=°，∠18060=120∠+∠=︒-︒︒DEC EDC ，∠()12360=240∠+∠=︒-∠+∠︒DEC EDC ，故选：C ．【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出12360∠+∠+∠+∠=︒DEC EDC 是解题的关键．6．B【分析】利用已知得出∠1的度数，进而得出OB 的方向角．【详解】解：如图所示：∠OA 是北偏东30°方向的一条射线，∠AOB=90°，∠∠1=90°-30°=60°，∠OB 的方向角是北偏西60°．故选：B ．【点睛】此题主要考查了方向角，正确利用互余的性质得出∠1度数是解题关键． 7．A【分析】由方位角的含义逐一判断各选项即可得出答案．【详解】解：OA 方向是北偏东70︒，故A 错误；OB 方向是北偏西15︒，故B 正确；OC 方向是南偏西30︒，故C 正确；OD 方向是东南方向，故D 正确；故选：A ．【点睛】本题考查的是方位角，掌握方位角的含义是解题的关键．8．B【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，即可求出有关的结论．【详解】解：∠∠1＋∠2＝90°（1），∠1＋∠3＝180°（2），∠（2）−（1）得，∠3−∠2＝90°，∠∠正确．（1）＋（2）得，∠3＋∠2＝270°−2∠1，∠∠正确．（2）−（1）×2得，∠3−∠1＝2∠2，∠∠正确．由∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝90°，得，∠3＝180°−∠1＝2∠1＋2∠2−∠1＝∠1＋2∠2，∠∠3＞∠1＋∠2，∠∠错误．故选：B ．【点睛】本题考查互余互补的有关定义，掌握在不同题型中的变式应用，每一问中的运算所用的运算方法是解题关键．9．A【分析】根据平行线的性质，得3ABO ∠=∠；根据补角的性质，得1801AOB ∠=-∠；根据角的和差的性质计算，即可得到123∠=∠+∠，从而完成求解．【详解】∠//AB CD∠3ABO ∠=∠∠1801AOB ∠=-∠又∠1802ABO ABO ∠=-∠-∠∠312∠=∠-∠∠123∠=∠+∠故选：A ．【点睛】本题考查了平行线、角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、补角、角的和差的性质，从而完成求解．10．C【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40︒，所以入射角为904050︒-︒=︒．根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50︒，所以入射光线与反射光线的夹角是100︒．入射角减小10︒，变为501040︒-︒=︒，所以反射角也变为40︒，此时入射光线与法线的夹角为80︒．则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小20︒．故选：C ．【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角．11． 32 52 48【分析】根据互为余角列式，再进行度分秒换算，求出结果.【详解】57.12°='''57712︒ 根据题意得：∠B=90°-'''57712︒='''895960︒-'''57712︒=()8957︒-()'597-''（60-12） ='''325248︒故答案为'''325248︒.【点睛】本题考查余角的定义，正确进行角度的计算是解题的关键.12．150°【分析】根据对顶角、邻补角，角平分线的定义即可判断.【详解】∠∠BOC ＝60︒，∠∠AOD ＝∠BOC ＝60︒.∠∠AOC ＝180︒−60︒＝120︒，∠OE 平分∠AOD∠∠AOE ＝12∠AOD ＝12×6030︒︒＝. ∠∠AOC ＋12030150AOE COE ∠∠︒︒︒＝＝＋＝，故答案为150︒.【点睛】本题主要考查对顶角、邻补角，角平分线的定义.13．80【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90︒的角．【详解】解：B 处在A 处的南偏西45︒方向，C 处在A 处的南偏东15︒方向，451560BAC ∴∠=︒+︒=︒，85ACB ∠=︒，180608535ABC ∴∠=︒-︒-︒=︒，C ∴处在B 处的北偏东453580︒+︒=︒，故答案为80．【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练利用平行线的性质与三角形的内角和定理．14．35【分析】根据垂线的定义，求一个角的余角即可求解．【详解】解：∠OM ∠AB ，∠∠BOM ＝90°，∠∠DOM ＝55°，∠∠BOD ＝90°﹣55°＝35°，∠∠AOC ＝∠BOD ＝35°，故答案为：35．【点睛】本题考查了求一个角的余角，掌握垂线的定义是解题的关键．15．(1)130º，(90+m )º(2)15º【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，以及平角的定义来解决此题；（2）如图，先由两直线平行同旁内角互补得出∠DBA+∠FCA=180º，再根据三角板中各角的度数计算拼接后图形中有关角的度数，再通过三角形内角和等于180度计算即可．(1)∥，解：∠a b∠∠2+∠3=180°，由题意和图知，∠1+∠3=90º，∠1=40º∠∠2=180º-（90º-∠1）=90º+∠1=90º+40º=130º；∠=︒，那么若1m∠2=（90+m）º(2)解：如图，把图中各点标上字母，延长CA交直线a于点B，由题意知，∥，∠a b∠∠DBA+∠FCA=180º，∠∠FCA=60º，∠∠DBA=120º，∠∠DAE=45º，∠F AC=90º，∠∠BAD=180º-∠DAE-∠F AC=45º△中，∠1+∠DBA+∠BAD=180º，在ABD∠∠1=180º-45º-120º=15º；【点睛】此题考查了平行线的性质和三角板中的角度计算问题，解题的关键是数形结合．16．11cm【分析】根据∠ABE的余角相等求出∠EAB＝∠CBF，然后利用“角角边”证明∠ABE和∠BCF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，BE＝CF，于是得到结论．【详解】解：∠AE ∠EF ，CF ∠EF ，∠∠AEB ＝∠BFC ＝90°，∠∠EAB +∠ABE ＝90°，∠∠ABC ＝90°，∠∠ABE +∠CBF ＝90°，∠∠EAB ＝∠CBF ，在∠ABE 和∠BCF 中，90EAB CBF AEB BFC AB BC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∠∠ABE ∠∠BCF （AAS ），∠AE ＝BF ＝5cm ，BE ＝CF ＝6cm ，∠EF ＝5+6＝11（cm ）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．17．（1）35ABC ∠=︒；（2）D 处应在C 处的南偏西45°的方向上，见解析【分析】（1）根据方位角的定义，可知由已知得：45A ∠=，80EBC ∠=，再根据AF ∠BE 得到45EBA A ∠=∠=，即可求解；（2）根据平行线的性质，求出∠DCG 的度数即可得到答案.【详解】解：（1）由已知得：45A ∠=︒，80EBC ∠=︒．∠AF ∠BE∠45EBA A ∠=∠=，∠804535ABC EBC EBA ∠=∠-∠=-=（2）D 处应在C 处的南偏西45°的方向上理由如下：∠CG ∠BE ，∠80BCG EBC ∠=∠=∠CD ∠AB ，∠35BCD ABC ∠=∠=∠803545DCG BCG BCD ∠=∠-∠=-=．故D 处应在C 处的南偏西45°的方向上【点睛】本题主要考查了方位角和平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18．（1）∠CBE =30；（2）∠DBE =15°．【分析】（1）根据三角形内角和可求∠ABC =180°-∠A -∠C =180°-75°-45°=60°，然后根据角平分线∠CBE =11603022ABC ∠=⨯︒=︒； （2）先求∠DBC =90°-∠C=90°-45°=45°，再利用两角之差计算即可．【详解】解：（1）∠∠ABC +∠A +∠C =180°，75A ∠=︒，45C ∠=︒，∠∠ABC =180°-∠A -∠C =180°-75°-45°=60°，∠BE 是ABC 的角平分线，∠∠CBE =11603022ABC ∠=⨯︒=︒； （2）∠BD ∠AC ，∠∠BDC =90°，∠∠DBC +∠C =90°，∠45C ∠=︒∠∠DBC =90°-∠C=90°-45°=45°，∠∠DBE =∠DBC -∠CBE =45°-30°=15°．【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，角的和差，掌握三角形内角和，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，角的和差是解题关键．。
七年级数学下册《余角与补角》典型例题(含答案)
《余角与补角》典型例题例1 下列判断正确的是（ ）A ．图（1）中1∠和2∠是一组对顶角B ．图（2）中1∠和2∠是一组对顶角C ．图（3）中1∠和2∠互为补角D ．图（4）中1∠和2∠是互为顶角例2 如图，AOB 是一条直线，︒=∠︒=∠90,90DOE AOC 问图中，互余的角有哪几对？哪些角是相等的．例3 在下图中，直线AE 、BF 、CG 、DH 交于O 点，且BF DH CG AE ⊥⊥,，请找出一对互余的角，找出一对互补的角，找出一对对顶角，找出三对相等的角并说出理由．例4 一个角的补角等于这个角余角的4倍，求这个角．例5 已知一个角的余角比它的补角的135还少4°，求这个角． (4) 1 2参考答案例1 分析： 图（1）中1∠与2∠不是由两条直线相交的构成的角故1∠与2∠不是对顶角图（2）中1∠和2∠不是对顶角图（3）中︒≠∠+∠18021图（4）中1∠与2∠互为补角解：D例2 分析：由互为余角的定义，只需找出图中的和为90°的角即可．解：互余的角有：1∠与2∠，3∠与4∠，2∠与3∠，1∠与4∠相等的角有：BOC DOE AOC ∠=∠=∠∠=∠∠=∠,42,31例3 分析：如果两个角的和是直角则这两个角互余；如果两个角的和是平角则这两个角互补．根据这两个定义再结合图形就可以找到互补、互余的角，再根据同角的余角、补角相等，对顶角相等就可以找出角之间的相等关系．解：AOB ∠和COB ∠互余；AOB ∠和EOB ∠互补；AOB ∠和EOF ∠是对顶角； BOC AOH ∠=∠，都是AOB ∠的余角；BOE AOF ∠=∠，都是AOB ∠的补角；DOE AOH ∠=∠是对顶角．说明：我们在找角与角之间的关系时，必须要有依据，这也是我们研究几何所必须注意的．例4 分析：若两个角互补则这两个角的和是180°，若两个角互余，则这两个角的和是 90，如果设这个角是︒x 就可以由已知和补角、余角的概念列出方案，最后求出x ．解：设这个角是︒x ，则这个角的余角是︒-)90(x ，这个角的补角是︒-)180(x ，依题意，得)90(4180x x -=-解得60=x答：这个角是60°．说明：在用方程解几何问题时，设的未知数和答都必须明确单位，根据设的未知数决定是否在解得的x 的值加不加单位．例5 分析：题中给出了这个角的余角与补角之间的关系，又由于余角和补角都和这个角有关，因此可建立这个角和它的余角，补角的一个关系式，利用方程求解．解：设这个角为︒x ，则它的余角为︒-)90(x ，补角为︒-)180(x 由题意得4)180(13590--=-x x解这个方程得 25.40=x答：这个角的度数为40.25°．。
(922)余角和补角专项练习30题(有答案)ok
余角和补角专项练习30题（有答案）1．若∠α=40°，则∠α的余角是_________．2．已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．3．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．4．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．5．一个角的补角是123°24′16″，则这个角的余角是多少．6．一个角的补角是它的3倍，这个角是多少度？7．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=150°，求∠COD的度数．8．已知∠α和∠β互余，且∠α比∠β小25°，求∠α﹣∠β的度数．9．一个角的补角是它的余角的10倍，求这个角．10．已知一个角的补角比这个角小30°，求这个角的度数．11．已知∠α与∠β互为补角，并且∠α的两倍比∠β大60°，求∠α、∠β．12．已知∠α=2∠β，∠α的余角的3倍等于∠β的补角，求∠α、∠β的度数．13．若∠1与∠2互余，∠3与∠1互补，∠2=27°18′，求∠3的度数．14．如图，A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠DOB=∠COE=90°．（1）图中∠2的余角有_________，∠1的余角有_________．（2）请写出图中相等的锐角，并说明为什么？（3）∠1的补角是什么？∠2有补角吗？若有，请写出．15．若一个角的余角与这个角的补角之比是2：7，求这个角的邻补角．16．一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，求这个角．17．已知互余两角的差为20°，求这两个角的度数．18．如图，OC是∠AOB的平分线，且∠AOD=90°．（1）图中∠COD的余角是_________；（2）如果∠COD=24°45′，求∠BOD的度数．19．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，若∠BOC=70°，∠AOC=50°，请求出∠AOB与∠DOE的大小，并判断它们是否互补．20．一个角的余角比它的2倍角的补角还少15°，求这个角的度数．21．如图，点A、O、E在同一条直线上，OB、OC、OD都是射线，∠1=∠2，∠1与∠4互为余角．（1）∠2与∠3的大小有何关系？请说明理由．（2）∠3与∠4的大小有何关系？请说明理由．（3）说明∠3的补角是∠AOD．22．如图所示，∠AOC=90°，OB⊥OD，则与∠BOC相等的角有谁？图中共有多少对互为余角请写出来．23．如图，直线AB与CD相交于O，OE平分∠AOB，OF平分∠COD．（1）图中与∠COA互补的角是_________；（把符合条件的所有角都写出来）（2）如果∠AOC=35°，求∠EOF的度数．24．已知∠α与∠β互为补角，且∠β的比∠α大15°，求∠α的余角．25．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角；（2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数；（3）∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？26．如图，点A、O、B三点在一条直线上，C为直线AB外任意一点，OE、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线．（1）你能求出∠EOF的度数吗？如果能，请直接写出∠EOF的度数；（2）写出∠COF的所有余角；（3）写出∠AOF的所有补角．27．有两个角，若第一个角割去它的后，与第二个互余，若第一个角补上它的后，与第二个角互补，求这两个角的度数．28．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，射线OF平分∠AOE．（1）请写出图中三对互余的角；（2）若∠BOD=20°，求∠BOE及∠COF的度数．29．已知∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互为补角，OD是∠BOC的平分线，求∠AOD的度数．30．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线．（1）∠DOE的补角是_________；（2）若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度数；（3）判断射线OE与OF之间有怎样的位置关系？并说明理由．余角和补角30题参考答案：1．若∠α=40°，则∠α的余角是50°．2．设这个角是x，则（180°﹣x）﹣3（90°﹣x）=10°，解得x=50°．3．设这个角为x，则它的补角为（180°﹣x）余角为（90°﹣x），由题意得：180°﹣x=4（90°﹣x）解得x=60°4．设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），根据题意可，得90°﹣x=（180°﹣x）﹣20°，解得x=75°．5．若一个角的补角是123°24′16″，则这个角为180°﹣123°24′16″=56°35′46″，则它的余角为90°﹣56°35′46″=33°24′16″，故这个角的余角为33°24′16″6．设这个角为x，则它的补角为（180°﹣x），依题意得，180°﹣x=3x 解得x=45°．故答案为45°7．∵∠BOD是直角，∴∠BOD=90°，∵∠AOB=150°，∴∠AOD=60°，又∵∠AOC是直角，∴∠AOC=90°，∴∠COD=30°．故答案为30°8．根据题意可知，∠α+∠β=90°①，∠α+25°=∠β②，把②式代入①中，得∠α=32.5°，∠β=57.5°，所以∠α﹣∠β=32.5°﹣11.5°=21°．故答案为21°9．设这个角是x，则180°﹣x=10（90°﹣x），解得x=80°．故答案为80°10．设这个角为x，则这个角的补角为（180﹣x），那么180°﹣x=x﹣30°，解得x=105°．答：这个角为105°11．设∠β为x°，则∠α为（180﹣x）°2（180﹣x）﹣x=60∴x=100∴∠α=80°，∠β=100°．故答案为∠α=80°，∠β=100°．12．根据题意得∠α=2∠β，3（90°﹣∠α）=180°﹣∠β，解得：∠α=36°，∠β=18°．故答案为∠α=36°，∠β=18°13．∵∠1与∠2互余，∠2=27°18′∴∠1=62°42′，∵∠3与∠1互补，∴∠3=117°18′．答：∠3的度数为117°18′．又∠2和∠4都是∠1的余角，根据同角的余角相等得∠2=∠4．（3）∠1的补角是∠BOC，∠2有补角，是∠AOE15．设这个角为α，则这个角的余角为90°﹣α，这个角的补角为180°﹣α．依照题意，这两个角的比为：（90°﹣α）：（180°﹣α）=2：7．所以360°﹣2α=630°﹣7α，5α=270°，所以α=54°．从而，这个角的邻补角为：180°﹣54°=126°16．设这个角为x，（180°﹣x）﹣2（90°﹣x）=180×=60°，答：这个角是60°17．设这个角为α（α＞45°），则它的余角为90°﹣α，根据题意，α﹣（90°﹣α）=20°；得，α=55°，则其余角为35°．答：这两个角分别为55°和35°18．（1）∠AOC，∠BOC；（答对1个给1分）（2）∠AOC=∠AOD﹣∠COD=90°﹣24°45′=65°15′∵OC是∠AOB的平分线，所以∠AOB=2∠AOC=130°30′∴∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=130°30′﹣90°=40°30′19．∵OD平分∠BOC，∠BOC=70°，∴∠BOD=∠BOC=35°，同理∠COE=25°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°，∵∠BOC=70°，∠AOC=50°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°，∴∠AOB+∠DOE=120°+60°=180°．答：∠AOB与∠DOE互补．20．设这个角的度数为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），依题意，得：（90°﹣x）=180°﹣2x﹣15°，解得x=75°，∴这个角的度数为75°21．（1）∠2与∠3互余．理由：由A、O、E在同一直线上知∠1+∠2+∠3+∠4=180°．由∠1与∠4互余知∠1+∠4=90°，则∠2+∠3=90°，所以∠2与∠3互余．（2）∠3=∠4．理由：由（1）知∠1+∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，则∠3=∠4．（3）由（2）中∠3=∠4知∠3的补角就是∠4的补角．因为∠4的补角是∠AOD，所以∠3的补角是∠AOD22．∵∠AOC=90°，OB⊥OD，∴∠EOA+∠AOB=∠AOB+∠BOC，∴∠BOC=∠AOE，23．（1）图中与∠COA互补的角是∠AOD或∠COB．故答案为：∠AOD或∠COB．（2）∵OE平分∠AOB，OF平分∠COD．∴∠AOE=90°，∠COF=90°，∵∠AOC=35°，∴∠EOF=∠AOE+∠COF﹣∠AOC=90°+90°﹣35°=145°．或∠EOF=∠AOE+∠COF+∠AOC=215°．答：∠EOF为145°或215°．24．根据题意及补角的定义，∴，解得，∴∠α的余角为90°﹣∠α=90°﹣63°=27°．25．（1）∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE；（2）∵OD平分∠BOC，∠BOC=68°，∴∠COD=∠BOC=×68°=34°，∵∠BOC=68°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣68°=112°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=∠AOC=×112°=56°；（3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COD=∠BOC，∠EOC=∠AOC，∴∠COD+∠EOC=（∠BOC+∠AOC）=×180°=90°，∴∠COD与∠EOC互余26．（1）∵OE、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线．∴∠BOF=∠COF，∠AOE=COE，又∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOE+∠COE+∠BOF+∠COF=180°，∴∠EOC+∠COF=90°，又∵∠EOF=∠EOC+∠EOF，∴∠EOF=90°；（2）由（1）可知，∠COF的余角有∠EOC，∠AOE；27．设第一个角为α，第二个角为β，根据题意得：，解得：∴这两个角分别是90°和3028．（1）∵OE⊥CD，∴∠EOD=∠EOC=90°，∴∠BOE+∠BOD=90°，∠EOF+∠COF=90°，∴∠BOE与∠BOD互为余角；∠EOF与∠COF互为余角；又∵射线OF平分∠AOE．∴∠AOF=∠EOF，∴∠AOF+∠COF=90°，∴∠COF与∠AOF互为余角；（2）∵∠BOD=20°，∴∠BOE=70°，∴∠EOF+∠AOF=90°+20°=110°，∵∠EOF=∠AOF，∴∠EOF=∠AOF=55°，∴∠COF=55°﹣20°=35°29．解：∵∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互为补角，∴∠BOC=140°，又∵OD是∠BOC的平分线，∴∠DOB=70°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=110°．②∵∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互为补角，∴∠BOC=140°，又∵OD是∠BOC的平分线，综上可得∠AOD的度数为110°或30°30．（1）∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE=∠BOE，又∵∠BOE+∠AOE=180°，∠DOE+∠COE=180°，∴∠DOE的补角是∠AOE或∠COE；（2））∵OE是∠BOD的平分线，∠BOD=62°，∴∠BOE=∠BOD=31°，∴∠AOE=180°﹣31°=149°，∵∠BOD=62°，∴∠AOD=180°﹣62°=118°，∵OF是∠AOD的平分线，∴∠DOF=×118°=59°；（3）OE与OF的位置关系是：OE⊥OF．理由如下：∵OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线，∴∠DOE=∠BOD，∠DOF=∠AOD，∵∠BOD+∠AOD=180°，∴∠EOF=∠DOE+∠DOF=（∠BOD+∠AOD）=90°，∴OE⊥OF。
人教版七年级数学上册角4.余角和补角
10．如图，∠AOC与∠BOD都是90°，且∠AOB∶∠AOD＝ 2∶11，求∠AOB与∠BOC的度数． 解：∠AOB＝20°，∠BOC＝70°
知识点3：表示方向的角 11．(例题4变式)如图，下列说法正确的个数有( D ) ①射线OA表示北偏东30°；②射线OB表示北偏西30°；③射线 OD表示南偏西45°，也叫西南方向；④射线OC表示正南方向． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若∠A的余角等于40°，则∠A的补角等于( C ) A．40° B．50° C．130° D．140° 5．如果一个角的余角等于它本身，那么这个角等于 45° ________；若一个角的补角等于它本身，则这个90角°等于 _______．
6．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD，OE分 别是∠BOC，∠AOC的平分线． (1)求∠AOE的度数； (2)写出图中与∠EOC互余的角； (3)∠COE有补角吗？若有，请把它找出来，并说明理由． 解：(1)∠AOE＝70° (2)图中与∠EOC互余的角有∠COD， ∠BOD (3)∠COE的补角是∠BOE，理由：因为∠AOE＝ ∠EOC，∠AOE＋∠BOE＝180°，所以∠COE＋∠BOE＝ 180°，则∠COE的补角是∠BOE
18．已知∠α 与∠β 互余，且∠α 比∠β 小 25°，求 2∠α－15∠β 的值． 解：设∠α 的度数为 x°，则∠β 的度数为(x＋25)°，又∠α 与∠β 互余，所以 x＋x＋25＝90，解得 x＝32.5，即∠α＝32.5°，则∠β ＝57.5°，所以 2∠α－15∠β＝2×32.5°－15×57.5°＝53.5°
15．学校、电影院、公园在平面图上分别用点A，B， C表示，电影院在学校的北偏西30°，公园在学校的 南偏东15°，那么平面图上的∠BAC等于___1_6_5_°___． 16．一个角等于它的补角的3倍，则这个角的补角的 余角是___4_5_°_．
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余角和补角
1、下列说法错误的是 （ ） A 、同角或等角的余角相等 B 、同角或等角的补角相等 C 、两个锐角的余角相等 D 、两个直角的补角相等
2、如果两个锐角的和是 ，则这两个角互为余角，如果两个角的和是 ，则这两个角互为补角。
3、若∠α=50º，则它的余角是 ，它的补角是 。
4、若∠β=110º，则它的补角是 ，它的补角的余角是 。
：
5、如图，∠ACB=∠CDB=90º，图中∠ACD 的余角有 个。
6、若∠1与∠2互余，∠3和∠2互补，且∠3=120º，那么∠1= 。
7、利用三角尺画出下列各角：
（1）30º角 （2）30º的余角 （3）30º的补角 一、选择题：
1、一个角的补角是 （ ） A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 D 、以上三种情况都有可能
2、一个锐角的补角比这个角的余角大 （ ）
￥
A 、30º
B 、45º
C 、60º
D 、90º
3、如图，∠AOD=∠DOB=∠COE=90º，其中共有互余的角( ） A 、2对 B 、3对 C 、4对 D 、6对
4、若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=240º，由∠2是∠1的 （ ） A 、2
5
1
倍 B 、5倍 C 、11倍 D 、无法确定倍数 5、若∠1与∠2互为补角，且∠1<∠2，则∠1的余角是 （ ） A 、∠1 B 、∠1+∠2 C 、
21（∠1+∠2） D 、2
1
（∠2-∠1） 6、32º28’的余角为 ，137º45’的补角是 。
A
B
D
O
E
D C
B
A
￥
7、∠1与∠2互余，∠1=（6x+8）º,∠2=(4x-8)º,则∠1= ，∠2= 。
8、如图，O 是直线AB 一点，∠BOD=∠COE=90º， 则（1）如果∠1=30º，那么∠2= ，∠3= 。
（2）和∠1互为余角的有 。
和∠1相等的角有 。
9、如图，O 是直线BD 上一点，∠BOC=36º，∠AOB=108º， 则与∠AOB 互补的角有 。
10、已知互余两个角的差是30º，则这两个角的度数分别是________________。
（
11、如图，∠AOC=∠BOD=90º，∠AOD=130º，求∠BOC 的度数。
12、已知一个角的余角比它的补角的4/9还少6º，求这个角。
(
参考答案： 基础训练：
1 . C
2 . 90º，180º；
3 .40º， 130º; º, 20º ； 5. 2; 6 .30º 7. 略 ； 综合提高： 一．选择题：
1 D 2. D 3. C 4. C 5. D 二．填空题：
6．57º32ˊ, 42º15ˊ 7. 58º ,32º, 8.⑴ 60º,30º⑵ ∠2,∠4,∠3; 9.∠ AOD,∠AOC; 10. 60º,30º; 三．解答题：
4321O
E
D C
B
A
B
O D
C
A
D
C
B A
O
º。