广东省佛山市高一上学期数学期末考试试卷
广东省佛山市高一上学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共15分)
1. （1分） (2017高一上·建平期中) 设集合P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，则P∩Q=________．
2. （1分）函数f（x）=2sin（x﹣）的最小正周期是________ ．
3. （1分） (2018高三上·三明模拟) 已知，，若，则实数等于________．
4. （1分） (2020高一上·遂宁期末) 函数恒过定点为________．
5. （1分） =________．
6. （1分） (2015高一下·凯里开学考) 函数的定义域是________．
7. （1分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与垂直，则m=________．
8. （1分） (2019高一上·杭州期中) 设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，
．
若对一切成立，则的取值范围是________.
9. （1分） (2019高一上·锡林浩特月考) 若函数满足对任意，都有
成立，则实数的取值范围是________.
10. （1分） (2017高一上·海淀期末) 燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2 ．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到________单位．
11. （1分）(2017·湘潭模拟) 将函数f（x）=sin2x的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则当φ取最小的值时，g（0）=________．
12. （1分） (2016高一上·如皋期末) 在△ABC中，向量 =（1，cosB）， =（sinB，1），且⊥ ，则角B的大小为________．
13. （2分） (2018高一上·浙江期中) 若函数在上有且只有1个零点，则t的取值范围为________；若在上的值域为，则 ________．
14. （1分） (2017高一下·庐江期末) 已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，对于任意的x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则m的取值范围是________．
二、解答题 (共6题；共45分)
15. （5分）设集合A={y|y=log2x，x∈[1，8]}，B={x|y=}．
（1）求集合A；
（2）若集合A⊆B，求实数a的取值范围．
16. （10分）已知圆（为参数）和直线（其中为参数，为直线的倾斜角）.
（1）当时，求圆上的点到直线的距离的最小值；
（2）当直线与圆有公共点时，求的取值范围.
17. （10分） (2019高一上·田阳月考) 已知函数 .
（1）当时，写出由的图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式；
（2）若图象过点，且在区间上是增函数，求的值.
18. （5分）已知向量=（cos，﹣1），=（sin， cos2），设函数f（x）=+1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2+b2=6abcosC，sin2C=2sinAsinB，求f（C）的值．
19. （5分）已知函数f（x）=x|lnx﹣a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的a≥2，方程f（x）=x+b恒有三个不等根，试求实数b的取值范围．20. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知函数 . （1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明:（其中e为自然对数的底数）.
参考答案一、填空题 (共14题；共15分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共45分)
15-1、
16-1、16-2、
17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
20-1、20-2、。
2021-2022学年广东省佛山市高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省佛山市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}2,3 C ．{}1,4 D ．{}1,2,3,4【答案】B【分析】依据交集的定义去求A B 即可解决.【详解】由{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，可得{}{}{}1,2,32,3,42,3A B ==故选：B2．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．lg y x =B ．y =C ．e e x x y -=-D ．1y x x=+【答案】C【分析】依据奇函数的要求排除选项AB ，依据在区间()0,∞+上单调递增排除选项D. 【详解】选项A ：lg y x =是偶函数，不符合题目要求；选项B ：y =选项C ：e e x x y -=-是奇函数，且在区间()0,∞+上单调递增，符合题目要求； 选项D ：1y x x=+是奇函数，在()0,1单调递减，不符合题目要求. 故选：C3．已知点()tan ,sin P θθ是第三象限的点，则θ的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．【详解】因为点()tan ,sin P θθ是第三象限的点，所以tan 0sin 0θθ<⎧⎨<⎩，故θ的终边位于第四象限． 故选：D ．4．若a ，b 是实数，则a b >是lg lg a b >的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.【详解】由lg lg a b >可得a b >；但是0a b >>时，不能得到lg lg a b >. 则a b >是lg lg a b >的必要不充分条件 故选：B5．已知2x >-，则42x x ++的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由2x >-可得20x +>，将42x x ++整理为4222x x ++-+，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为2x >-，所以20x +>，所以442222x x x x +=++-++22≥=， 当且仅当422x x +=+，即0x =时取等号， 所以42x x ++的最小值为2. 故选：A6．设3log 2a =，4log 3b =，34c =，则（ ） A ．b c a << B ．c a b << C ．a c b << D ．a b c <<【答案】C【分析】利用对数函数的单调性将a b 、分别与34进行比较即可解决.【详解】33344log 2log 16log 273a ==<=，则34a c <= 44444log 3log 81log 643b ==>=，则34b c >= 故有a c b << 故选：C7．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 是函数()f x 的一个不动点，下列函数存在不动点的是（ ）A ．()2xf x x =+B ．()23f x x x =-+C ．()2f x x =--D ．()lg 36f x x x =+-【答案】D【分析】把选项中不同的()f x 代入()f x x =，去判断方程是否有解，来验证函数()f x 是否存在不动点即可.【详解】选项A ：若()f x x =，则2x x x +=，即20x =，方程无解. 故函数()f x 不存在不动点；选项B ：若()f x x =，则23x x x -+=，即2230x x -+=，方程无解. 故函数()f x 不存在不动点；选项C ：若()f x x =，则2x x --=，即22x x x ≥⎧⎨-=⎩或22x x x <⎧⎨-=⎩，两种情况均无解. 故函数()f x 不存在不动点；选项D ：若()f x x =，则lg 36x x x +-=，即lg 260x x +-=设()lg 26g x x x =+-，则(1)lg12640g =+-=-<，(3)lg3236lg30g =+⨯-=> 则函数()g x 在()1,3上存在零点.即方程()f x x =有解. 函数()f x 存在不动点. 故选：D8．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出L V 用水补满，搅拌均匀，第二次倒出4L 5V 后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的最小值为（ ） A ．5 B ．10C ．15D ．20【答案】B【分析】依据题意列出不等式即可解得V 的最小值.【详解】由4540(40)4060%40VV V ---≤⨯，解得1040V ≤≤ 则V 的最小值为10. 故选：B 二、多选题9．设,,a b c ∈R ，且0b a <<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．11b a> B ．22ac bc > C ．22a b >D ．ab a b >+【答案】AD【分析】根据不等式的性质判断AD ，列举例子判断BC. 【详解】A.0b a <<，同除ab 可得11b a>，A 正确；B.当2c =0时，22ac bc =，B 错误；C.若1,2a b =-=-，此时有22a b <，C 错误；D.0,0ab a b >+<，故ab a b >+，D 正确. 故选：AD.10．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．51cos 63πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭C ．1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．角α可能是第二象限角【答案】BC【分析】根据给定条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答.【详解】因1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则6πα+是第一象限或者第四象限角，当6πα+是第四象限角时，sin 6πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭A 不正确； 51cos cos[()]cos()6663πππαπαα⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，B 正确；1sin sin[()]cos()32663ππππααα⎛⎫-=-+=+= ⎪⎝⎭，C 正确；因6πα+是第一象限或者第四象限角，则()66ππαα=+-不可能是第二象限角.故选：BC11．已知函数()()=ln ln 2e f x x x +-，则（ ） A ．()2f x ≤B ．()f x 在()0,2e 上单调递增C ．()f x 的图象关于直线e x =对称D ．()f x 的图象关于点()e,1对称【答案】AC【分析】变形函数式，结合二次函数性质、复合函数单调性及函数对称性逐项分析作答. 【详解】函数()()=ln ln 2e f x x x +-定义域为(0,2e)，()()=ln[2e ]f x x x -， 对于A ，222()=ln[(e)e ]ln e 2f x x --+≤=，当且仅当e x =时取“=”，A 正确； 对于B ，因(2e )u x x =-在()e,2e 上递减，而ln y u =在()0,∞+上递增，则()f x 在()e,2e上递减，B 不正确；对于C ，因(02e)x ∀∈,，()()2e =ln 2e ln ()f x x x f x --+=，即()f x 的图象关于直线ex =对称，C 正确；对于D ，因(1)(2e 1)2ln(2e 1)2f f +-=-≠，即点(1,(1))f 与(2e 1,(2e 1))f --关于点()e,1不对称，D 不正确. 故选：AC12．已知函数()()12,1312,32x x f x f x x ⎧--≤≤⎪=⎨->⎪⎩，则下列说法正确的是（ ）A ．()164f =B ．关于x 的方程()()*21n f x n =∈N 有23n +个不同的解C ．()f x 在[]()*2,21n n n +∈N 上单调递减D ．当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤恒成立. 【答案】ACD【分析】求()6f 的值判断选项A ；当1n =时验证结论是否正确去判断选项B ；由()f x 在[]()*2,21n n n +∈N 上的解析式去判断选项C ；分析法证明不等式去判断选项D.【详解】选项A ：()()()1111642(10)2444f f f ===-=.判断正确； 选项B ：画出()f x 部分图像如下：当1n =时，由()21f x =，可得131122x x ≤≤⎧⎪⎨--=⎪⎩或311(2)22x f x >⎧⎪⎨-=⎪⎩由131122x x ≤≤⎧⎪⎨--=⎪⎩，可得52x =或32x =；由311(2)22x f x >⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得4x =即当1n =时，由()21f x =可得3个不同的解，不是5个. 判断错误；选项C ：当*3()n k k =∈N 时，[][]2,216,61n n k k +=+， 若[]2,21x n n ∈+即[]6,61x k k ∈+，则()[]622,3x k --∈ 则()()[]313131111621(6)(16)222k k k f x f x k x k x k ---=-+=--=-++，为减函数；当31()n k k =+∈N 时，[][]2,2162,63n n k k +=++ 若[]2,21x n n ∈+即[]62,63x k k ∈++，则[]62,3x k -∈ 则()()[]33311161(62)(36)222k k kf x f x k x k x k =-=---=-++，为减函数； 当32()n k k =+∈N 时，[][]2,2164,65n n k k +=++ 若[]2,21x n n ∈+即[]64,65x k k ∈++，则[]622,3x k --∈ 则()()[]313131111621(64)(56)222k k k f x f x k x k x k +++=--=---=-++，为减函数；综上，()f x 在[]()*2,21n n n +∈N 上单调递减. 判断正确；选项D ：当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤可化为2()f x x≤， 同一坐标系内做出2y x=与()f x 的图像如下：等价于()*11222n n n-≤∈N 即()*1112n n n-≤∈N ，而()1*2n n n -≥∈N 恒成立. 判断正确. 故选：ACD【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 三、填空题13．求值：2log 314lg lg 254+-=______.【答案】7【分析】利用指数式与对数式的互化，对数运算法则计算作答. 【详解】22log 3log 23214)(lg 4lg lg 25(2lg 25)3lg1002749-+-=+=-=-=.故答案为：714．已知某扇形的弧长为2π，面积为3π，则该扇形的圆心角（正角）为_________.【答案】23π【分析】根据给定条件求出扇形所在圆的半径即可计算作答.【详解】设扇形所在圆的半径为r ，扇形弧长为l ，即2l π=，由扇形面积12S rl =得：1322r ππ=⋅，解得3r =，所以该扇形的圆心角(正角)为23l r απ==. 故答案为：23π15．已知()()()222f x x x x ax b =+++，若对一切实数x ，均有()()2f x f x =-，则()3f =___. 【答案】15-【分析】列方程组解得参数a 、b ，得到()f x 解析式后，即可求得()3f 的值. 【详解】由对一切实数x ，均有()()2f x f x =-可知()()()()0213f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即08(42)(1)15(93)a b a b a b =++⎧⎨--+=++⎩解之得68a b =-⎧⎨=⎩ 则()()()22268f x x x x x =+-+，满足()()2f x f x =-故()()()223323363815f =+⨯-⨯+=-故答案为：15-16．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为m kg ，当燃料质量为m kg 时，该火箭的最大速度为2ln2km/s ，当燃料质量为()e 1kg m -时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s ，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.52≈） 【答案】51【分析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k ，根据条件列方程求出k 值，再设当该火箭最大速度达到第- -宇宙速度7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的a 倍，根据题中数据再列方程可得a 值.【详解】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k ，则[]{}22ln 2ln ((e 1)ln()k m m m m -=+--+， 解得2k =，设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的a 倍， 则[]{}7.922ln()ln (e 1)am m m m -=+-+-[]1e7.922ln2ln(1)1a a +∴-==+- 2ln(1)7.9a ∴+=，得27.9(1)e a +=152a ∴+， 51a ∴≈则燃料质量是箭体质量的51倍 故答案为：51. 四、解答题17．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}2650B x x x =-+<.(1)若A B =，求实数a 的值； (2)若A B =∅，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)2a = (2)0a ≤或6a ≥【分析】（1）求出集合B ，再根据A B =列方程求解即可； （2）根据A B =∅分A =∅，A ≠∅讨论求解. (1)由已知得{}{}265015B x x x x x =-+<=<<A B =11215a a -=⎧∴⎨+=⎩， 解得2a =； (2)A B =∅当A =∅时，121a a -≥+，得2a ≤-当A ≠∅时，15121a a a -≥⎧⎨-<+⎩或211121a a a +≤⎧⎨-<+⎩，解得20a -<≤或6a ≥，综合得0a ≤或6a ≥.18．如图，角α的终边与单位圆交于点310,10P x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且0x <.(1)求tan α；(2)求()()cos cos 32sin sin 2πααππαα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭.【答案】(1)3-； (2)12-．【分析】（1）根据三角函数的定义，平方关系以及点P 的位置可求出sin ,cos αα，再由商数关系即可求出tan α； （2）利用诱导公式即可求出． (1)由三角函数定义知310sin α=,所以221cos 1sin 10αα=-=,因为cos 0x α=<,所以10cos α=所以sin tan 3cos ααα==-. (2)原式sin cos tan 11cos sin 1tan 2αααααα++===---.19．已知函数()2121x x f x -=+.(1)判断()f x 的奇偶性，并证明；(2)判断()f x 的单调性，并用定义加以证明； (3)若()()ln 220f t f t -+<，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递增函数，证明见解析 (3){}ln 2<-t t【分析】（1）根据奇偶性的定义证明可得答案；（2）根据单调性定义，通过取值作差判断符号即可证明； （3）根据函数()f x 的单调性得ln 22-<-t t ，解不等式即可． (1)证明：x ∈R ，()()21122121-----===-++x x x x f x f x ，所以()f x 为奇函数.(2)函数()f x 在R 上为增函数.证明：函数()f x 的定义域为R ，()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212211212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=---=-= ⎪++++++⎝⎭， ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<，∴()()()121222202121x x x x -<++，即()()120f x f x -<，∴()()12f x f x < ∴函数()y f x =在R 上为增函数. (3)因为()()ln 220f t f t -+<，所以()()()ln 222-<-=-f t f t f t ， 由（2）知函数()f x 在R 上为增函数， 所以ln 22-<-t t ，ln 2t <-，∴t 的取值范围是{}ln 2<-t t .20．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min 测量一次茶水温度，收集到以下数据：设茶水温度从85°C 开始，经过tmin 后温度为y ℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①t y ka b =+；②2y at bt c =++(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；(2)若茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）【答案】(1)600.925t y =⨯+； (2)7.5min ．【分析】（1）根据表中数据可知，随着时间的变化，温度越来越低直至室温，所以选择模型①t y ka b =+，再列出三个方程，解出,,k t b ，即可得到函数模型的解析式； （2）令600.92555t y =⨯+=，即可求解得出． (1)由表中数据可知，随着时间的变化，温度越来越低直至室温，就不再下降，所以选择模型①t y ka b =+：由前 3 组数据可得2857973.6k b ka b ka b +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得60250.9k b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以函数模型为600.925t y =⨯+． (2)由题意可知600.92555t ⨯+=，即0.90.5t =，所以0.91lglg 22log 0.57.5912lg3lg 10t ===≈-，所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5min 才能达到最佳饮用口感.21．设a ∈R ，函数()1222224,56,x x a f x x ax a x a +⎧-<=⎨-+≥⎩. (1)当2a =时，写出()f x 的单调区间（不用写出求解过程）； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)增区间是(,4),(5,)-∞+∞，减区间是(4,5)； (2)(](]0,12,3．【分析】（1）根据函数的图象即可写出；（2）根据函数零点的定义结合分类讨论思想即可求出． (1)()f x 的增区间是(,4),(5,)-∞+∞，减区间是(4,5)．(2)由1240x +-=得1x =；由2256(2)(3)0x ax a x a x a -+=--=得2x a =或3x a =， 当21a >时，得1a <-或1a >，所以1是()f x 的零点，①当1a <-时，则2320,2,3a a a a a <<<都不是()f x 的零点，故()f x 只有一个零点； ②当1a >时，即223a a <<时，为使()f x 有两个零点，则223a a a <≤，解得23a <≤，此时()f x 的两个零点为1,3a .当21a ≤时，得11a -≤≤，所以1不是()f x 的零点，为使()f x 有两个零点，则22232?3a a a a a a ≠⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，解得02a <≤，此时()f x 的两个零点为2,3a a ，所以01a <≤.综上，当01a <≤或23a <≤时，即a 的取值范围为(](]0,12,3，()f x 有两个零点．22．已知函数()ln 11f x mx x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭（其中m ∈R 且0m ≠）是奇函数. (1)求m 的值；(2)若对任意的[]ln 2,ln 4x ∈，都有不等式()e ln 0xf x k -+≥恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2m = (2)20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据()()f x f x -=-恒成立，计算可得m 的值；（2）将不等式()e ln 0xf x k -+≥恒成立转化为(e 1)1e e x x x k +≥-在[]ln 2,ln 4x ∈上恒成立，令e 1x t =-，则转化为23k t t≥++，利用对勾函数的性质求得23t t ++的最大值即可.(1)因为函数()ln 11f x mx x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭（其中m ∈R 且0m ≠）是奇函数， ()()f x f x ∴-=-，即ln 1ln 111mx mx x x -⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭恒成立， 即11ln ln 11mx x x x mx x -+-+=-+--恒成立，所以1111mx x x x mx x -+-+=-+--恒成立，整理得222(1)x m x =-恒成立，2(1)1m ∴-=，解得0m =或2m =，当0m =时，显然不成立，当2m =时，()21ln 1ln 11x x x x f x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，由101x x ->+，可得1x <-或1x >， 111()lnln ln ()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+，满足()f x 是奇函数， 所以2m =； (2)对任意的[]ln 2,ln 4x ∈，都有不等式()e ln 0xf x k -+≥恒成立，e e 1ln ln 01x x x k -∴-+≥+恒成立，即1ln ln e ln 01e e x x xk --+≥+在[]ln 2,ln 4x ∈上恒成立， 即(e 1)1e e x x xk +≥-在[]ln 2,ln 4x ∈上恒成立， 令e 1x t =-，[]1,3t ∈(e 1)(1)(2)231e e x x x t t t t t+++∴==++-令()23g t t t=++，[]1,3t ∈，根据对勾函数的性质可得()g t 在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，又()16g =，()2033g =， 所以()g t 在[]1,3上的最大值为203， 203k ∴≥， 即实数k 的取值范围是20,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭。
2024届广东省佛山市佛山一中高一上数学期末教学质量检测模拟试题含解析
B. 1 2
1 D.
2
7．已知函数，则
f
x
log2 x 1, x 0
2x 6 , x 0
，则
f
f
1 1
A. 2 log2 3 2
B. log2 7 1
C.2
D. log2 6
8．已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上一点 A(2sin,3) ，则 cos
.1
A. 2
③x≥2 时，2x＝2，解得 x＝1(不符，舍去).
综上，x＝ 2 .
故选：A. 6、C
【解题分析】根据所给图象求出函数的解析式，即可求出 f (0) .
【题目详解】设函数的周期为 T ，由图像可知 T 11 7
，则T 2 ,故 ω=3，
2 12 12 3
3
将
11 12
,
0
代入解析式得
cos
3
- VA A1B1D1
=63-
1 3
1 2
63
=180
故选 C 【题目点拨】本题主要考查四棱锥体积的求法，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题 5、A 【解题分析】根据函数值为 2，分类讨论即可. 【题目详解】若 f(x)＝2，
①x≤－1 时，x＋2＝2，解得 x＝0(不符合，舍去)；
②－1＜x＜2 时， x2 2 ，解得 x＝ 2 (符合)或 x＝ 2 (不符，舍去)；
17．从下面所给三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
条件一、 x R ， f 2 x f (2 x) ；
条件二、方程 f x 0 有两个实数根 x1, x2 ， x1 x2 4 ； 条件三、 x R ， f x f 2 .
广东省佛山市高一上期末数学试卷
广东省佛山市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}，则（∁U A）∩B 为（）A．{0，4}B．{2，3，4}C．{0，2，4}D．{0，2，3，4}2．（5分）函数y=的定义域为（）A．（0，1]B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，1]D．（1，+∞）3．（5分）下列选项中，与sin2017°的值最接近的数为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣4．（5分）设a=3e，b=πe，c=π3，其中e=2.71828…为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）+x2是奇函数 B．函数f（x）+|x|是偶函数C．函数x2f（x）是奇函数D．函数|x|f（x）是偶函数6．（5分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，1]7．（5分）已知函数f（x）是偶函数，且f（x﹣2）在[0，2]上是减函数，则（）A．f（0）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（0）＜f（2）C．f（﹣1）＜f（2）＜f（0）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣1）8．（5分）若sinα+cosα=2，则tan（π+α）=（）A．B．C．D．9．（5分）下列选项中，存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）的函数是（）A．y=e x B．y=lnx C．y=x2 D．y=10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则关于f（x）的说法正确的是（）A．对称轴方程是x=+2kπ（k∈Z）B．φ=﹣C．最小正周期为πD．在区间（，）上单调递减11．（5分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的正方形运动一周，记O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x为函数f（x），则y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算（）+lg﹣lg25=．14．（5分）若f（x）=x2﹣x，则满足f（x）＜0的x取值范围是．15．（5分）动点P，Q从点A（1，0）出发沿单位圆运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，设P，Q第一次相遇时在点B，则B点的坐标为．16．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知α是第二象限角，且cos（α+π）=．（1）求tanα的值；（2）求sin（α﹣）•sin（﹣α﹣π）的值．18．（12分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）试判断函数的单调性，并用定义加以证明；（2）若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，求实数m的取值范围．19．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．20．（12分）设函数f（x）=x2﹣ax+1，x∈[﹣1，2]．（1）若函数f（x）为单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}，则（∁U A）∩B 为（）A．{0，4}B．{2，3，4}C．{0，2，4}D．{0，2，3，4}【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={0，2，4}，∴∁U A={0，4}，则（∁U A）∩B={0，4}．故选：A2．（5分）函数y=的定义域为（）A．（0，1]B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，1]D．（1，+∞）【解答】解：要使原函数有意义，则1﹣x＞0，即x＜1．∴函数y=的定义域为（﹣∞，1）．故选：B．3．（5分）下列选项中，与sin2017°的值最接近的数为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【解答】解：sin2017°=sin（5×360°+217°）=sin217°=﹣sin37°，∵30°＜37°＜45°，sin30°=，sin45°=，而＜＜，故﹣sin37°≈﹣，故选：B．4．（5分）设a=3e，b=πe，c=π3，其中e=2.71828…为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a=3e＜b=πe＜c=π3，∴c＞b＞a，故选：D．5．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）+x2是奇函数 B．函数f（x）+|x|是偶函数C．函数x2f（x）是奇函数D．函数|x|f（x）是偶函数【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），A．f（﹣x）+（﹣x）2=﹣f（x）+x2，则函数不是奇函数．故A错误，B．f（﹣x）+|﹣x|=﹣f（x）+|x|，则函数不是偶函数．故B错误，C．（﹣x）2f（﹣x）=﹣x2f（x）为奇函数，满足条件．故C正确，D．|﹣x|f（﹣x）=﹣|x|f（x）为奇函数，故D错误，故选：C6．（5分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，1]【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，∴只有f（）•f（）＜0，∴函数的零点在区间[，]上．故选C．7．（5分）已知函数f（x）是偶函数，且f（x﹣2）在[0，2]上是减函数，则（）A．f（0）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（0）＜f（2）C．f（﹣1）＜f（2）＜f（0）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣1）【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x﹣2）在[0，2]上是减函数，∴f（x）在[﹣2，0]上是减函数，则f（x）在[0，2]上是增函数，则f（0）＜f（1）＜f（2），即f（0）＜f（﹣1）＜f（2），故选：A8．（5分）若sinα+cosα=2，则tan（π+α）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα+cosα=2，∴=2，可得=1，∴α+=2，k∈Z．∴，则tan（π+α）=tanα==tan=．故选：D．9．（5分）下列选项中，存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）的函数是（）A．y=e x B．y=lnx C．y=x2 D．y=【解答】解：函数y=e x在定义域内为增函数，而e x＞x恒成立，∴不存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）；函数y=lnx在定义域内为增函数，而x＞lnx恒成立，∴不存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）；当m=0时，y=x2的定义域和值域都是（m，+∞），符合题意；对于，由，得x2=﹣1，方程无解，∴不存在实数m使得定义域和值域都是（m，+∞）．故选：C．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则关于f（x）的说法正确的是（）A．对称轴方程是x=+2kπ（k∈Z）B．φ=﹣C．最小正周期为πD．在区间（，）上单调递减【解答】解：由函数图象可得：A=1，周期T=2[﹣（﹣）]=2π，可得C错误，可得：ω===1，由点（，0）在函数图象上，可得：sin（+φ）=0，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，可得：φ=，故B错误，可得：f（x）=sin（x+）．令x+=kπ+，k∈Z，解得函数的对称轴方程为：x=kπ+，k∈Z，故A错误；令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，可得函数的单调递减区间为：[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，由于（，）⊂[，]，可得D正确．故选：D．11．（5分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的正方形运动一周，记O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x为函数f（x），则y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x为函数f（x），当p到达对角线的顶点前，y=f（x）=，可知0≤x≤时，函数的图象只有C满足题意．函数的图象具有对称性，C满足题意．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）=0在（0，+∞）上有解，即e﹣x﹣ln（x+a）=0在（0，+∞）上有解，即函数y=e﹣x与y=ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，则lna＜1，即0＜a＜e，则a的取值范围是：（0，e）．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算（）+lg﹣lg25=﹣．【解答】解：原式=﹣lg4﹣lg25=﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）若f（x）=x2﹣x，则满足f（x）＜0的x取值范围是（0，1）．【解答】解：f（x）＜0即为x2＜，由于x=0不成立，则x＞0，再由两边平方得，x4＜x，即为x3＜1解得x＜1，则0＜x＜1，故解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．15．（5分）动点P，Q从点A（1，0）出发沿单位圆运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，设P，Q第一次相遇时在点B，则B点的坐标为（﹣，﹣）．【解答】解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t•+t•|﹣|=2π，∴t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒；设第一次相遇点为B，第一次相遇时P点已运动到终边在•4=的位置，则x B=﹣cos•1=﹣，y B=﹣sin•1=﹣．∴B点的坐标为（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．16．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在2020年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【解答】解：假设n年后总资产可以翻一番，依题意得：a×（1+20%）n=2a，即1.2n=2，两边同时取对数得，n=≈3.8所以大约经过4年，即在2020年底总资产可以翻一番．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知α是第二象限角，且cos（α+π）=．（1）求tanα的值；（2）求sin（α﹣）•sin（﹣α﹣π）的值．【解答】（本小题满分为10分）解：（1）∵cos（α+π）==﹣cosα，可得：cosα=﹣，又∵α是第二象限角，∴sinα==，tanα==﹣．（2）sin（α﹣）•sin（﹣α﹣π）=（﹣cosα）•sinα=（﹣）×=﹣．18．（12分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）试判断函数的单调性，并用定义加以证明；（2）若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）是R上的奇函数，故f（0）=0，故1﹣=0，解得：a=1，故f（x）=1﹣，x→+∞时，f（x）→1，x→﹣∞时，f（x）→﹣1，f（x）在R递增，证明如下：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=，∵x1＜x2，∴＜，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在R递增；（2）由（1）f（x）在[﹣1，1]递增，而f（﹣1）=，f（1）=，故x∈[﹣1，1]时，f（x）∈[，]，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，则m∈[，]．19．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）补充表格：由于最大值为2，最小值为﹣2，故A=2．==﹣=，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=，∴φ=﹣，故f（x）=2sin（2x﹣）．（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，可得y=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x+）的图象．令2kπ+≤x+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，故g（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．20．（12分）设函数f（x）=x2﹣ax+1，x∈[﹣1，2]．（1）若函数f（x）为单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ax+1，的对称轴为：x=，函数f（x）为单调函数，可得或，解得a∈（﹣∞，2]∪[4，+∞）．（2）∵二次函数f（x）=x2﹣ax+1=（x﹣）2+1﹣a2，且x∈[﹣1，2]，∴当∈[﹣1，2]时，即：a∈[﹣2，4]时，f（x）在x∈[﹣1，2]上先减后增，f（x）的最小值是f（）=1﹣a2；当∈（﹣∞，﹣1）即：a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）在[﹣1，2]上是增函数，f（x）的最小值是f（﹣1）=2+a；当∈（2，+∞）即a∈（4，+∞）时，f（x）在[﹣1，2]上是减函数，f（x）的最小值是f（2）=5﹣2a；综上，a∈[﹣2，4]时，f（x）的最小值是1﹣a2；a∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）的最小值是2+a；a∈（4，+∞）时，f（x）的最小值是5﹣2a．21．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．【解答】解：（1）∵f（x）=．∴f（））=ln=，∴f（f（））=f（）=2﹣2×=1；（2）函数f（x）=．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），∴f（f（x））=，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，所以：x0∈[0，），ln（2﹣2x0）=x0，由y=ln（2﹣x0），y=x0，图象可知：存在满足题意的不动点．x0∈[，1），﹣2+4x0=x0，解得x0=，满足f（）=．不是f（x）的二阶不动点．x0∈[1，e]，2﹣2lnx0=x0，即2﹣x0=2lnx0，由y=2﹣x0，y=2lnx0，图象可知：存在满足题意的不动点．函数f（x）的二阶不动点的个数为：2个．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2+4x﹣1，f（）=+2（x1+x2）﹣1=++x1x2+2（x1+x2）﹣1，==++2（x1+x2）﹣1；故f（）﹣=﹣﹣+x1x2=﹣≤0；（2）∵f（x）=ax2+4x﹣1=a（x+）2﹣1﹣，显然f（0）=﹣1，对称轴x=﹣＜0．①当﹣1﹣＜﹣3，即0＜a＜2时，g（a）∈（﹣，0），且f[g（a）]=﹣3．令ax2+4x﹣1=﹣3，解得x=，此时g（a）取较大的根，即g（a）==，∵0＜a＜2，∴g（a）＞﹣1．②当﹣1﹣≥﹣3，即a≥2时，g（a）＜﹣，且f[g（a）]=3．令ax2+4x﹣1=3，解得x=，此时g（a）取较小的根，即g（a）==，∵a≥2，∴g（a）=≥﹣3．当且仅当a=2时，取等号．∵﹣3＜﹣1∴当a=2时，g（a）取得最小值﹣3．。
广东省佛山市高一上学期数学期末考试试卷
广东省佛山市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·海口月考) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）在中acosA=bcosB,则是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰或直角三角形3. （2分） (2020高一下·揭阳月考) 下列函数中，周期为的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一上·河北月考) 一个扇形的半径为，弧长是半径的倍，则扇形的面积等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·大庆期中) 在平面直角坐标系中，为坐标原点，为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·南市期中) 函数y= + 的值域是（）A . {﹣1，0，1，2}B . {﹣2，0，2}C . {﹣2，0}D . {﹣2，2}7. （2分） (2020高一下·崇礼期中) 已知向量，若向量与向量共线，则m的值为（）A . -3B . 3D .8. （2分） (2015高一下·兰考期中) 已知cosαcosβ﹣sinαsinβ=0，那么sinαcosβ+cosαsinβ的值为（）A . ﹣1B . 0C . 1D . ±19. （2分）已知函数，若|f（x）|≥ax﹣1恒成立，则a的取值范围是（）A . [﹣2，0]B . [﹣2，1]C . [﹣4，0]D . [﹣4，1]10. （2分）已知||=2，| |=1，则|﹣|的取值范围是（）A . [1，2]B . [1，3]C . [1,]D . [1,]11. （2分） (2017高二下·河北期末) 已知函数，，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（）A . 4C .D . 312. （2分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln ﹣f （n），则f（mn）的取值范围为（）A . [ ，1）B . [ ，1）C . [ ，1）D . [ ，1]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019高三上·城关期中) 已知向量满足，则的最大值为________.14. （1分） (2016高一上·南城期中) 设函数f（x）= ，若f（f（a））=2，则a=________．15. （1分）若sin（）= ，则cos（）=________．16. （1分）若10x=3，10y=4，则10x﹣y= ________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）已知A（2，﹣4），B（﹣1，3），C（3，4），若=2+3，求点M的坐标．18. （10分） (2019高一下·丽水期中) 已知向量 .（1）当时，求的值；（2）求函数在上的值域．19. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴交于点（0，1），它在y轴右侧的得一个最高点和最低点的坐标分别为（x0 ， 2）、（x0+3π，﹣2）．（1）求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后将所得图象按向右平移，得到函数y=g（x）的图象，写出函数y=g（x）的解析式，并用列表作图的方法画出y=g（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图．20. （15分）(2019高一上·江苏月考) 已知函数的定义域为A，函数的定义域为B.（1）求集合（2）若，求实数a的取值范围.21. （15分）已知函数（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出f（x）的周期和单调减区间．22. （10分） (2017高一下·南通期中) 已知函数f（x）= 为偶函数．（1）求实数a的值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=（lg 2）2+lg 2lg 5+lg 5﹣，判断λ与E的关系；（3）当x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，求m，n的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
2023-2024学年广东省佛山市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的．1．已知集合A ＝{x ∈N |﹣1＜x ≤5}，B ＝{x |x 是小于4的整数}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜4}B ．{x |0＜x ＜5}C ．{1，2，3，4}D ．{0，1，2，3}2．命题“∀x ∈R ，x 2+3x +4＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+3x +4≤0 B ．∃x ∉R ，x 2+3x +4＜0 C ．∃x ∈R ，x 2+3x +4≤0D ．∃x ∈R ，x 2+3x +4＜03．“sin α＝sin β”是“α+β＝π”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．必要条件D ．既不充分也不必要条什4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （x ，1），且sinα=√32，则x ＝（ ）A ．−√33B ．√33C ．±√33D ．±√35．已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）A ．y ＝x sin xB ．y ＝|x |cos xC ．y ＝x +sin xD ．y ＝﹣x sin x6．若函数f （x ）＝ax 2+x ﹣1在（﹣1，3）上恰有一个零点，则（ ） A ．−29≤a ≤2B ．−14≤a ≤2C ．−29≤a ≤2或a =−14D ．−29≤a ≤0或a =−147．给定数集A ＝R ，B ＝（0，+∞），x ，y 满足方程x 2﹣y ＝0，下列对应关系f 为函数的是（ ） A ．f ：A →B ，y ＝f （x ） B ．f ：B →A ，y ＝f （x ） C ．f ：A →B ，x ＝f （y ）D ．f ：B →A ，x ＝f （y ）8．已知2a ＝5，3b ＝10，4c ＝17，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a二、选择题：本题共4小题．每小题5分．共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项行合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．若a ＞b ＞0且c ≠0，则下列不等式正确的是（ ） A ．a 3＞b 3B ．1a ＜1bC ．a b ＜a+cb+cD ．ac 2＞bc 210．已知函数f （x ）＝min {sin x ，cos x }，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的最大值为1C ．f （x ）在(−π2，π2)上单调递增D ．f （x ）关于直线x =π4对称11．已知函数f （x ）满足：对任意的x ∈R ，都存f(−x)=−f(x)，f(12−x)=f(32+x)，且f （1）＝2，则（ ）A ．y ＝f （x +1）是奇函数B ．f （4﹣x ）＝﹣f （x ）C ．f （x ）的值域为[﹣2，2]D ．∑ 19i=0f(k)=012．已知全集为R ，对于给定数集A ，定义函数f(x)={1，x ∈A0，x ∉A 为集合A 的特征函数，若函数f （x ）是数集A 的特征函数，函数g （x ）是数集B 的特征函数，则（ ） A ．y ＝f （x ）g （x ）是数集A ∩B 的特征函数B ．y ＝f （x ）+g （x ）﹣f （x ）g （x ）是数集A ∪B 的特征函数C ．y ＝f （x ）﹣f （x ）g （x ）是数集A ∩（∁R B ）的特征函数D ．y ＝f （x ）+g （x ）﹣2f （x ）g （x ）是集合∁R （A ∩B ）的特征函数 三、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分． 13．已知cos(θ+π3)=35，则sin(π6−θ)= ．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数了f （x ） ． （1）过定点（3，8）； （2）f （x ）是偶函数；（3）∀x 1，x 2∈（0，+∞），有f （x 1+x 2）＝f （x 1）f （x 2）．15．表观活化能的概念最早是针对Arrhenius （阿伦尼乌斯）公式k =Ae−EaRT 中的参量E a 提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，Arrhenius 公式中的k 为反应速率常数，R 为摩尔气体常量，T 为热力学温度（单位为开尔文，简称开），A （A ＞0）为阿伦尼乌斯常数．已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数k 变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，E aR= ．（参考数据：ln 2≈0.7）16．已知2x ＝11﹣3x ，log 2（6y ﹣1）＝4﹣2y ，则x +2y ＝ ．四、解答题：本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步程．17．（10分）设集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0，x∈R}，B＝{x|ax﹣1＝0，x∈R}．（1）若a=12，试判断集合A与B的关系；（2）若B⫋A，求a的值组成的集合C．18．（12分）已知sinθ，cosθ是方程5x2﹣x+m＝0的两个实数根．（1）求m的值；（2）若θ为第二象限角，求sinθ﹣cosθ的值．19．（12分）已知函数f(x)=a2x−1+1为奇函数，其中a为常数．（1）求f（x）的解析式和定义域；（2）若不等式f（x2+2x+2）＞f（2）成立，求实数x的取值范围．20．（12分）若存在常数k，b使得函数F（x）与G（x）在给定区间上的任意实数x都有F（x）≥kx+b≥G（x），则称y＝kx+b是y＝F（x）与y＝G（x）的隔离直线函数．已知函数f(x)=x2−x+1，g(x)=1 2(x−1x)+1．（1）证明：函数y＝g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．（2）当x＞0时，y＝f（x）与y＝g（x）是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．21．（12分）交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次．游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆．据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍．为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加m万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）．（1）当m＝0.5时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？（2）当m在区间[0.6，0.8]上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？22．（12分）已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）＝e x+ke﹣x，其中k为常数．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若函数h（x）＝[g（x）]2﹣[f（x）]2的最小值为16，求k的值；（3）在（2）的条件下，讨论函数φ（x）＝[f（x）]2﹣mg（x）+20（m∈R）的零点个数．2023-2024学年广东省佛山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的．1．已知集合A ＝{x ∈N |﹣1＜x ≤5}，B ＝{x |x 是小于4的整数}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜4}B ．{x |0＜x ＜5}C ．{1，2，3，4}D ．{0，1，2，3}解：集合A ＝{x ∈N |﹣1＜x ≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x 是小于4的整数}， 则A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：D ．2．命题“∀x ∈R ，x 2+3x +4＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+3x +4≤0 B ．∃x ∉R ，x 2+3x +4＜0 C ．∃x ∈R ，x 2+3x +4≤0D ．∃x ∈R ，x 2+3x +4＜0解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x ∈R ，x 2+3x +4≤0． 故选：C ．3．“sin α＝sin β”是“α+β＝π”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．必要条件D ．既不充分也不必要条什解：先判断充分性：因为sin π6=sin 13π6=12，但π6+13π6=14π6≠π，所以sin α＝sin β推不出α+β＝π，即“sin α＝sin β”是“α+β＝π”的不充分条件； 再判断必要性：若α+β＝π，则β＝π﹣α， 因为sin β＝sin （π﹣α）＝sin α， 所以α+β＝π可以推出sin α＝sin β，即“sin α＝sin β”是“α+β＝π”的必要条件，综上：“sin α＝sin β”是“α+β＝π”的必要不充分条件． 故选：B ．4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （x ，1），且sinα=√32，则x ＝（ ）A ．−√33B ．√33C ．±√33D ．±√3解：因为角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （x ，1）， 则sinα=√32=√1+x ，解得，x =±√33．故选：C ．5．已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）A ．y ＝x sin xB ．y ＝|x |cos xC ．y ＝x +sin xD ．y ＝﹣x sin x解：由图可得函数图象关于y 轴对称，故为偶函数，而答案C 中，f （﹣x ）＝﹣x +sin （﹣x ）＝﹣x ﹣sin x ＝﹣f （x ），为奇函数，排除答案C ， 又因为0＜x ＜π时，图象在x 轴上方，而cos 2π3＜0，−2π3sin 2π3＜0，故排除BD ．故选：A ．6．若函数f （x ）＝ax 2+x ﹣1在（﹣1，3）上恰有一个零点，则（ ） A ．−29≤a ≤2B ．−14≤a ≤2C ．−29≤a ≤2或a =−14D ．−29≤a ≤0或a =−14解：当a ＝0时，f （x ）＝x ﹣1，令f （x ）＝0，得x ＝1，是区间（﹣1，3）上的零点． 当a ≠0时，函数f （x ）在区间（﹣1，3）上有零点分为两种情况： ①方程f （x ）＝0在区间（﹣1，3）上有重根， 令Δ＝1﹣4a （﹣1）＝0，解得a =−14．当a =−14时，令f （x ）＝0，得x ＝2，是区间（﹣1，3）上的零点．②若函数y ＝f （x ）在区间（﹣1，3）上只有一个零点，但不是f （x ）＝0的重根， 令f （﹣1）f （3）＝（a ﹣2）（9a +2）≤0，解得−29≤a ≤2．故选：C ．7．给定数集A ＝R ，B ＝（0，+∞），x ，y 满足方程x 2﹣y ＝0，下列对应关系f 为函数的是（ ）A ．f ：A →B ，y ＝f （x ） B ．f ：B →A ，y ＝f （x ）C ．f ：A →B ，x ＝f （y ）D ．f ：B →A ，x ＝f （y ）解：对于A ，集合A 中的元素0在对应关系y ＝x 2下对应的元素为0，而0∉（0，+∞），故A 错误； 对于B ，对于集合B ＝（0，+∞）中的任意一个元素，在对应关系y ＝x 2下，在集合A ＝R 内都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，故B 正确；对于C ，对于集合A ＝R 中的负数，在对应关系x =±√y 下没有对应的元素，故C 错误；对于D ，对于集合B ＝（0，+∞）内的任意一个元素，在对应关系x =±√y 下，在集合A 中都有两个元素与之对应，故D 错误． 故选：B ．8．已知2a ＝5，3b ＝10，4c ＝17，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解：由题意得，a ＝log 25，b ＝log 310，c ＝log 417， 所以log 25＝log 425＞log 417，则a ＞c ，a ﹣1＝log 25﹣1＝log 252=lg52lg2，b ﹣1＝log 310﹣1＝log 3103=lg103lg3，c ﹣1＝log 417﹣1＝log 4174=lg174lg4，lg52lg2＞lg 52+lg32lg2+lg32=lg154lg3＞lg103lg3，所以a ﹣1＞b ﹣1，则a ＞b ，lg103lg3＞lg 103+lg43lg3+lg43=lg409lg4＞lg174lg4，所以b ﹣1＞c ﹣1，则b ＞c ，所以a ＞b ＞c ，故选：D ．二、选择题：本题共4小题．每小题5分．共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项行合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．若a ＞b ＞0且c ≠0，则下列不等式正确的是（ ） A ．a 3＞b 3B ．1a ＜1bC ．a b ＜a+cb+cD ．ac 2＞bc 2解：由a ＞b ＞0可知，a 3＞b 3一定成立，A 正确；由a ＞b ＞0可得，1a ＜1b一定成立，B 正确；因为a+c b+c −a b =(b−a)c b(b+c)无法确定正负，即a b 与a+c b+c的大小无法确定，C 错误；由a ＞b ＞0，c 2＞0可得，ac 2＞bc 2，D 正确． 故选：ABD ．10．已知函数f （x ）＝min {sin x ，cos x }，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的最大值为1C ．f （x ）在(−π2，π2)上单调递增D ．f （x ）关于直线x =π4对称解：当x ∈[π4+2kπ，5π4+2kπ](k ∈Z)时，cos x ≤sin x ；当x ∈[−3π4+2kπ，π4+2kπ](k ∈Z)时，sin x ≤cos x ； 由此可得f （x ）图象如图所示，对于A ，由图象可知，f （x ）的最小正周期为2π，故A 正确；对于B ，D ，由图象可知，f （x ）图象关于x =π4对称，且f(x)max =f(π4+2kπ)=sin π4=√22，故B 错误，D 正确；对于C ，由图象可知，f （x ）在（−π2，π4）单调递增，在(π4，π2)单调递减，故C 错误．故选：AD ．11．已知函数f （x ）满足：对任意的x ∈R ，都存f(−x)=−f(x)，f(12−x)=f(32+x)，且f （1）＝2，则（ ）A ．y ＝f （x +1）是奇函数B ．f （4﹣x ）＝﹣f （x ）C ．f （x ）的值域为[﹣2，2]D ．∑ 19i=0f(k)=0解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）为奇函数， 又因为f （12−x ）＝f （32+x ），所以y ＝f （x ）的图象关于x ＝1对称，所以f （1﹣x ）＝f （1+x ），所以y ＝f （x +1）是偶函数，故A 错误； 由f （1﹣x ）＝f （1+x ），可得f （﹣x ）＝f （2+x ）， 即f （x +2）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ）， 所以函数f （x ）的周期为4，所以f （4﹣x ）＝f [4﹣（x +4）]＝f （﹣x ）＝﹣f （x ），故B 正确； 因为无法确定函数的单调性，故无法确定函数的值域，故C 错误； 因为f （x ）是R 上的奇函数，所以f （0）＝0，又因为f （1）＝2，f （1﹣x ）＝f （1+x ），所以f （2）＝f （0）＝0，f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣2，f （4）＝f （0）＝0， 所以f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝2+0﹣2+0＝0，所以∑ 19k=1f （k ）＝4[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]+f （1）+f （2）+f （3）＝4×0+2+0﹣2＝0，故D 正确． 故选：BD ．12．已知全集为R ，对于给定数集A ，定义函数f(x)={1，x ∈A 0，x ∉A 为集合A 的特征函数，若函数f （x ）是数集A 的特征函数，函数g （x ）是数集B 的特征函数，则（ ） A ．y ＝f （x ）g （x ）是数集A ∩B 的特征函数B ．y ＝f （x ）+g （x ）﹣f （x ）g （x ）是数集A ∪B 的特征函数C ．y ＝f （x ）﹣f （x ）g （x ）是数集A ∩（∁R B ）的特征函数D ．y ＝f （x ）+g （x ）﹣2f （x ）g （x ）是集合∁R （A ∩B ）的特征函数 解：对于A ，由集合A 的特征函数的定义可知A 不为空集， 则A ∩B 不为空集，如图示：Ⅰ部分表示A ∩B ，Ⅱ表示A ∩∁R B ， Ⅲ表示表示B ∩∁R A ，Ⅳ表示∁R A ∩∁R B ，当x ∈（A ∩B ）时，f （x ）＝1，g （x ）＝1，故f （x ）g （x ）＝1，当x ∉（A ∩B ）时，f （x ），g （x ）中至少有一个为0，此时f （x ）g （x ）＝0， 符合特征函数的定义，即y ＝f （x ）g （x ）是数集A ∩B 的特征函数，A 正确； 对于B ，当x ∈A ∪B 时，如上图，若x 取值在Ⅰ部分，则f （x ）＝1，g （x ）＝1，则f （x ）+g （x ）﹣f （x ）g （x ）＝1； 若x 取值在Ⅱ部分，则f （x ）＝1，g （x ）＝0，则f （x ）+g （x ）﹣f （x ）g （x ）＝1； 若x 取值在Ⅲ部分，则f （x ）＝0，g （x ）＝1，则f （x ）+g （x ）﹣f （x ）g （x ）＝1； 当x ∉（A ∪B ）时，f （x ）＝0，g （x ）＝0，则f （x ）+g （x ）﹣f （x ）g （x ）＝0， 符合特征函数的定义，即y ＝f （x ）+g （x ）﹣f （x ）g （x ）是数集A ∪B 的特征函数，B 正确；对于C ，当x ∈（A ∩∁R B ）时，f （x ）＝1，g （x ）＝0，则f （x ）﹣f （x ）g （x ）＝0； 当x ∉（A ∩∁R B ）时，即x 取值在Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ部分，若x 取值在Ⅰ部分，f （x ）＝1，g （x ）＝1，则f （x ）﹣f （x ）g （x ）＝0， 若x 取值在Ⅲ部分，f （x ）＝0，g （x ）＝1，则f （x ）﹣f （x ）g （x ）＝0， 若x 取值在Ⅳ部分，f （x ）＝0，g （x ）＝0，则f （x ）﹣f （x ）g （x ）＝0， 故此时符合特征函数的定义，即y ＝f （x ）﹣f （x ）g （x ）是数集A ∩∁R B 的特征函数，C 正确； 对于D ，当x ∈∁R （A ∩B ）时，即x 取值在Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分， 当x 取值在上图中Ⅳ部分时，此时f （x ）＝0，g （x ）＝0，则f （x ）+g （x ）﹣2f （x ）g （x ）＝0， 不符合特征函数定义，故y ＝f （x ）+g （x ）﹣2f （x ）g （x ）不是集合∁R （A ∩B ）的特征函数，D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分． 13．已知cos(θ+π3)=35，则sin(π6−θ)= 35．解：已知cos(θ+π3)=35，则sin(π6−θ)=sin[π2−(θ+π3)]=cos(θ+π3)=35．故答案为：35．14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数了f （x ）： f （x ）＝2|x |（答案不唯一） ． （1）过定点（3，8）； （2）f （x ）是偶函数；（3）∀x 1，x 2∈（0，+∞），有f （x 1+x 2）＝f （x 1）f （x 2）．解：因为函数过定点（3，8），是偶函数，且∀x 1，x 2∈（0，+∞），有f （x 1+x 2）＝f （x 1）f （x 2）， 故符合题意的一个函数解析式为f （x ）＝2|x |． 故答案为：f （x ）＝2|x |（答案不唯一）．15．表观活化能的概念最早是针对Arrhenius （阿伦尼乌斯）公式k =Ae−EaRT 中的参量E a 提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，Arrhenius 公式中的k 为反应速率常数，R 为摩尔气体常量，T 为热力学温度（单位为开尔文，简称开），A （A ＞0）为阿伦尼乌斯常数．已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数k 变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，E aR= 8400 ．（参考数据：ln 2≈0.7）解：由题可得：Ae −E a 300R Ae−E a 400R=2−10，解得：E a R≈8400．故答案为：8400．16．已知2x ＝11﹣3x ，log 2（6y ﹣1）＝4﹣2y ，则x +2y ＝ 4 ． 解：∵log 2（6y ﹣1）＝4﹣2y ，∴24﹣2y＝6y ﹣1＝11﹣3（4﹣2y ），∴x 和4﹣2y 均是方程2t ＝11﹣3t 的根， 设h （x ）＝2t +3t ﹣11，∵函数y ＝2t 单调递增，函数y ＝3t 单调递增， ∴h （x ）＝2t +3t ﹣11单调递增， 又∵h （2）＝﹣1＜0，h （3）＝6＞0， ∴∃t 0∈（2，3），使得h （t 0）＝0， ∴t 0是h （t ）的唯一一个零点， ∴x ＝4﹣2y ， 即x +2y ＝4． 故答案为：4．四、解答题：本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步程． 17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣5x +6＝0，x ∈R }，B ＝{x |ax ﹣1＝0，x ∈R }． （1）若a =12，试判断集合A 与B 的关系；（2）若B ⫋A ，求a 的值组成的集合C ．解：（1）集合A ＝{x |x 2﹣5x +6＝0，x ∈R }＝{2，3}， 当a =12时，B ＝{x |ax ﹣1＝0，x ∈R }＝{x |12x −1＝0}＝{2}，∴B ⊆A ；（2）①当a ＝0时，B ＝∅，符合题意， ②当a ≠0时，B ＝{x |ax ﹣1＝0，x ∈R }＝{1a }，若B ⫋A ，则1a =2或1a =3，解得a =12或a =13，∴集合C ＝{0，12，13}．18．（12分）已知sin θ，cos θ是方程5x 2﹣x +m ＝0的两个实数根． （1）求m 的值；（2）若θ为第二象限角，求sin θ﹣cos θ的值．解：（1）sinθ，cosθ是关于x的方程5x2﹣x+5m＝0的两根，则sinθ+cosθ=15，且sinθcosθ＝m，由（sinθ+cosθ）2＝1+2sinθcosθ，可得125=1+2m，则m=−1225，经检验符合题意，则所求实数m的值为−12 25．（2）因为θ为第二象限角，sinθcosθ=−12 25，所以sinθ＞0，cosθ＜0，所以sinθ﹣cosθ=√(sinθ−cosθ)2=√1−2sinθcosθ=√1−2×(−1225)=75．19．（12分）已知函数f(x)=a2x−1+1为奇函数，其中a为常数．（1）求f（x）的解析式和定义域；（2）若不等式f（x2+2x+2）＞f（2）成立，求实数x的取值范围．解：（1）因为f(x)=a2x−1+1为奇函数，所以f（﹣1）+f（1）＝﹣2a+1+a+1＝0，即a＝2，此时f（x）=2x+12x−1，f（﹣x）=2−x+12−x−1=1+2x1−2x=−f（x），符合题意，定义域为{x|x≠0}；（2）因为f（x）=2x+12x−1=1+22x−1在（0，+∞）上单调递减，因为x2+2x+2＝（x+1）2+1＞1，由f（x2+2x+2）＞f（2）可得x2+2x+2＜2，解得﹣2＜x＜0故x的范围为{x|﹣2＜x＜0}．20．（12分）若存在常数k，b使得函数F（x）与G（x）在给定区间上的任意实数x都有F（x）≥kx+b≥G（x），则称y＝kx+b是y＝F（x）与y＝G（x）的隔离直线函数．已知函数f(x)=x2−x+1，g(x)=1 2(x−1x)+1．（1）证明：函数y＝g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．（2）当x＞0时，y＝f（x）与y＝g（x）是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．（1）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则g(x1)−g(x2)=12(x1−1x1)−12(x2−1x2)=12[(x1−x2)+(1x2−1x1)]=12[(x1−x2)+x1−x2x1x2]=x1−x22(1+1x1x2)，由x1，x2∈（0，+∞），得x1x2＞0，所以1+1x1x2＞0．又由x1＜x2得x1﹣x2＜0，所以x1−x22(1+1x1x2)＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函数y＝g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．（2）解：令f（x）＝g（x），即x2−x+1=12(x−1x)+1，整理得：x2−x−12x+12x=0，即2x3−3x2+12x=0，故（x﹣1）2（2x+1）＝0，解得x＝1或x=−12（舍去），所以y＝f（x）与y＝g（x）有公共点（1，1），设y＝f（x）与y＝g（x）存在隔离直线函数y＝kx+b，则点（1，1）在直线y＝kx+b上，代入得：k+b＝1，即b＝1﹣k，则隔离直线函数为y＝kx+（1﹣k），若当x＞0时有f（x）≥kx+b，即x2﹣x+1≥kx+（1﹣k），所以x2﹣（1+k）x+k≥0在（0，+∞）上恒成立，解得k＝1，则b＝1﹣k＝0，下证g（x）≤x（x＞0），令y=g(x)−x=−12(x+1x)+1≤−12×2√x⋅1x+1=0，即y≤0，g（x）≤x，当且仅当x＝1时取得等号，所以y＝x为函数y＝f（x）与y＝g（x）的隔离直线函数．21．（12分）交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次．游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆．据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍．为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加m万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）．（1）当m＝0.5时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？（2）当m在区间[0.6，0.8]上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？解：（1）设票价定价为x元，由题意知80≤x≤120，门票营业额记为y，则y=(1×4+120−x10×0.5)⋅x=−0.05x2+10x≥495，即x2﹣200x+9900≤0，解得90≤x≤110，又80≤x≤120，所以票价可以定90、100、110元．（2）由（1）知，y=(1×4+120−x10⋅m)⋅x=−0.1mx2+（12m+4）x，当m在区间[0.6，0.8]上变化总能使门票营业额超过520万元，即当m∈[0.6，0.8]时，总有﹣0.1mx2+（12m+4）x≥520成立，即（﹣0.1x2+12x）m+4x﹣520≥0在m∈[0.6，0.8]上恒成立，由于x＝120时，门票营业额为480万元，不合题意，所以80≤x＜120，从而﹣0.1x2+12x＞0，设g（m）＝（﹣0.1x2+12x）m+4x﹣520，显然g（m）在当m∈[0.6，0.8]上单调递增，所以只需g（0.6）≥0，即3x2﹣560x+26000≤0，解得2603≤x≤100，结合80≤x＜120，所以m在[0.6，0.8]上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，票价可定90、100元．22．（12分）已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）＝e x+ke﹣x，其中k为常数．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若函数h（x）＝[g（x）]2﹣[f（x）]2的最小值为16，求k的值；（3）在（2）的条件下，讨论函数φ（x）＝[f（x）]2﹣mg（x）+20（m∈R）的零点个数．解：（1）因为f（x）+g（x）＝e x+ke﹣x，函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝e﹣x+ke x，即﹣f（x）+g（x）＝e﹣x+ke x，解得f（x）=1−k2（e x﹣e﹣x），g（x）=1+k2（e x+e﹣x）．（2）h（x）＝[g（x）]2﹣[f（x）]2＝（g（x）+f（x））（g（x）﹣f（x））＝（e x+ke﹣x）（e﹣x+ke x）＝k（e2x+e ﹣2x）+k2+1，又e2x+e﹣2x≥2√e2x⋅e−2x=2，当且仅当e2x＝e﹣2x，即x＝0时，等号成立，所以当k＞0时，h（x）有最小值，此时h（x）≥k2+2k+1＝（k+1）2，所以h（x）的最小值为（k+1）2＝16，解得k＝3或﹣5（舍），故k＝3．（3）由（2）知，k＝3，f（x）＝e﹣x﹣e x，g（x）＝2（e x+e﹣x）．则φ（x）＝[f（x）]2﹣mg（x）+20＝（e﹣x﹣e x）2﹣2m（e x+e﹣x）+20＝（e x+e﹣x）2﹣2m（e x+e﹣x）+16，.设t＝e x+e﹣x，则t≥2，由φ（x）＝0，得t2﹣2mt+16＝0，即2m=t 2+16t=t+16t，而y＝t+16t在[2，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，当t＝2时，y＝10，当t＝4，y＝8，作出y＝t+16t的图象如图所示：由图可知，当2m＜8，即m＜4时，直线y＝2m与y＝t+16t没有公共点，故函数φ（x）无零点；当2m＝8，即m＝4时，y＝2m与y＝t+16t有1个公共点，此时t＝4，方程e x+e﹣x＝4有两个解，所以函数φ（x）有2个零点；当8＜2m＜10，即4＜m＜5时，直线y＝2m与y＝t+16t有2个公共点，设其横坐标分别为t1，t2，其中2＜t1＜4＜t2＜8，方程e x+e﹣x＝t1或t2有4个解，所以函数φ（x）有4个零点；当2m＝10，即m＝5时，y＝2m与y＝t+16t有2个公共点，其横坐标分别为2和8，方程e x+e﹣x＝2或8有3个解，所以函数φ（x）有3个零点；当2m＞10，即m＞5时，y＝2m与y＝t+16t有1个公共点，其横坐标t＞8，方程e x+e﹣x＝t有2个解，所以函数φ（x）有2个零点；综上，m＜4时，函数φ（x）无零点；m＝4或m＞5时，函数φ（x）有2个零点；4＜m＜5时，函数φ（x）有4个零点；m＝5时，函数φ（x）有3个零点．。
2022年广东省佛山市中学高一数学理上学期期末试题含解析
2021-2022学年广东省佛山市中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数,则( )A.函数有最小值0，最大值9B. 函数有最小值2，最大值5C.函数有最小值2，最大值9D. 函数有最小值1，最大值5参考答案：A2. 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：C3. 设函数的最小正周期为，且，则A.在单调递减B.在单调递减C.在单调递增D.在单调递增参考答案：A略4. 有下列说法：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；(3)方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；(4)集合{x|4<x<5}是有限集．其中正确的说法是( )A．只有(1)和(4) B．只有(2)和(3)C．只有(2) D．以上四种说法都不对参考答案：C略5. 已知集合，，则（）A．(1,3) B．(1,3] C．[－1,2) D．(－1,2)参考答案：C∵，∴，即，结合得，故选C.6. 已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0，且a≠1），当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且函数g（x）=f （x+1）﹣4的图象不过第二象限，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．（1，3] D．（1，5]参考答案：D【考点】指数函数的图象变换．【分析】对a分类讨论：利用指数函数的单调性可得a＞1．由于函数g（x）=a x+1﹣5的图象不过第二象限，可得g（0）≤0，求解即可得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）=a x﹣1＞0；当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）=a x﹣1＜0，舍去．故a＞1．∵函数g（x）=f（x+1）﹣4的图象不过第二象限，∴g（0）=a1﹣5≤0，∴a≤5，∴a的取值范围是（1，5]．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了数学转化思想方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．7. 为得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=cos（2x+）的图象向右平移个单位，即可得到函数y=cos[2（x﹣）+]=cos（2x﹣）=sin2x 的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8. 如图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（）．（注：标准差，其中为，，，的平均数）A．，B．，C．，D．，参考答案：A 第1组7名同学体重为：，，，，，，，∴，，第2组7名同学体重为：72，73，61，60，58，56，54，，，∴，．故选．9. 已知正数x、y满足，则的最小值为（）A. 2B.C.D. 5参考答案：B【分析】由得，再将代数式与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【详解】，所以，，则，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．10. （4分）全集U={0，1，3，5，6，8}，集合A={1，5，8 }，B={2}，则集合（?U A）∪B=（）A．{0，2，3，6} B．{0，3，6} C．{2，1，5，8} D．?参考答案：A考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用补集的定义求出（C U A），再利用并集的定义求出（C U A）∪B．解答：∵U={0，1，3，5，6，8}，A={ 1，5，8 }，∴（C U A）={0，3，6}∵B={2}，∴（C U A）∪B={0，2，3，6}故选：A点评：本题考查利用交集、并集、补集的定义求集合的并集、交集、补集．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m 的取值范围是参考答案：12. 函数y=tan （2x﹣）的定义域为．参考答案：【考点】正切函数的定义域．【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值范围，即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：≠kπ+，k∈Z解得：故函数的定义域为故答案为13. 已知，且是第二象限角，那么参考答案：14. 幂函数图像过点，则函数表达式为`__________；参考答案：略15. 方程在上有两个不等的实根，则实数a的取值范围是。
广东省佛山市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
广东省佛山市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}32A x Z x =∈-<<，{}0B x Z x =∈≥，则A B =（ ） A ．{}0,1,2B ．{}2,0,1-C ．{}0D ．{}0,12．已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么sin α=（ ）A ．45-B ．45C ．35-D ．353．已知实数x ，y ，则“x y >”是>的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设0.30.512,()2,ln 2c a b -===，则（ ）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a b c <<D ．b a c <<5．已知a ，0x 均为实数，且函数()sin f x x x a =++，若()()004f x f x +-=，则=a （ ） A ．1B ．2C ．4D ．86．已知三个函数a y x =，x y a =，log a y x =，则（ ） A ．对任意的0a >，三个函数定义域都为R B ．存在0a >，三个函数值域都为R C ．对任意的0a >，三个函数都是奇函数D ．存在0a >，三个函数在其定义域上都是增函数7．已知函数()y f x =（x ∈R ）满足()()12f x f x +=，且()()5332f f =+，则()4f =（ ）A ．16B ．8C ．4D ．28．在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x =（ ） A ．18B ．19C ．20D ．21二、多选题9．已知θ为第二象限角，则下列结论正确的是（ ） A ．cos 0θ> B ．()cos 0πθ-> C ．()cos 0πθ+>D ．cos 02πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭10．已知函数()sin f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图像关于直线2x π=对称B ．(),0π是()f x 图像的一个对称中心C ．()f x 的一个周期为πD ．()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减11．已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()y f x =有2个零点 B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+ C ．不等式()0f x <的解集是(0,1) D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤12．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A ．{}{}0,0M x x N x x =<=>是一个戴德金分割 B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素三、填空题13．已知幂函数()f x 的图象过点（2，则(9)f =___________14．已知函数()()cos f x x ωϕ=+相邻对称轴为14x π=-和234x π=，且对任意的x 都有()34f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间是______．15．已知函数()()217,03log 1,0xx f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+≥⎩，若()02f x <，则实数0x 的取值范围是______．四、双空题16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表：小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为360003%6400010%7480⨯+⨯=元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为10000010%25207480⨯-=元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为______，表中的N =______.五、解答题17．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求使函数()f x 取最大值时自变量x 的集合．18．在①A B ⋂=∅，②()R A B A ⋂=ð，③A B A =这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合{|123}A x a x a =-<<+，{|74}B x x =-≤≤，若 ____，求实数a 的取值范围．19．已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩．（1）当2a =-时，在给定的平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并写出它的单调递减区间；（2）若()02f x =，求实数0x ．20．已知函数()223f x ax x =++（a ∈R ）．（1）当1a =-时，求不等式()0f x >的解集； （2）解不等式()0f x >．21．生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f 是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W （单位：g ）与脉搏率f 存在着一定的关系．表1给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W 与脉搏率f 的散点图，图2画出了lg W 与lg f 的散点图．表1为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择： ①f kW b =+ ②lg lg f k W b =+（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；（2）不妨取表1中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出f 关于W 的函数解析式；（3）若马的体重是兔的256倍，根据（2）的结论，预计马的脉搏率． （参考数据：lg 20.3≈，lg30.5≈．）22．已知函数()x xf x e ae -=+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R ．（1）若函数()y f x =在区间()1,+∞内有零点，求a 的取值范围；（2）当4a =时，()0,x ∀∈+∞，()3xmf x e m -≥+，求实数m 的取值范围．参考答案：1．D【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】{|32}A x Z x =∈-<<，{|0}B x Z x =∈≥， {|02}{0A B x Z x ∴⋂=∈≤<=,1}．故选：D ． 2．C【分析】运用诱导公式即可化简求值得解．【详解】3cos cos sin 252ππααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，可得3sin 5α-=， 那么3sin 5α=-故选：C ． 3．A1x y >≥，再由充分条件、必要条件的定义即可得出选项.>1x y >≥， 当x y >时，推不出1x y >≥；反之，成立，所以“x y >”是的必要不充分条件. 故选：A 4．B【解析】利用指数函数的性质，求得1b a >>，再结合对数函数的性质，得到01c <<，即可求解.【详解】由指数函数的性质和0.50.51()22b -== ，可得00.30.5222<<，即1b a >>根据对数函数的性质，可得ln1ln 2ln e <<， 因为ln 2c =，所以01c <<， 综上可得b a c >>.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 5．B【分析】根据题意，求出()f x -的表达式，则有()()2f x f x a +-=，进而可得24a =，计算可得答案．【详解】根据题意，函数()sin f x x x a =++，则()sin f x x x a -=--+， 则有()()2f x f x a +-=，若00()()4f x f x +-=，则24a =，必有2a =， 故选：B ． 6．D【分析】由指数函数、对数函数、幂函数的性质逐一判断即可． 【详解】若0a >且1a ≠时，log a y x =的定义域为(0,)+∞，故A 错误； 对任意的0a >，函数0x y a =>，值域不是R ，故B 错误；对任意的0a >，且1a ≠时，x y a =，log a y x =都是非奇非偶函数，故C 错误； 当3a =时，函数3y x =，3x y =，3log y x =在其定义域上都是增函数，故D 正确． 故选：D ． 7．C【分析】由(1)2()f x f x +=分别得到(5)f 、(3)f 、(4)f 之间的关系，根据它们的相等关系求值【详解】令3x =，则(4)2(3)f f =，得1(3)(4)2f f = 令4x =，则(5)2(4)f f =． ∵(5)3(3)2f f =+ ∴32(4)(4)22f f =+，解得(4)4f =． 故选：C ． 8．A【分析】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，列出,,a b c 的方程后求解，然后分别表示出改造前、后的累计纯收入，再解不等式即可. 【详解】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，则100.520242304.593a b ca b c a b c=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1,100,02a b c ===，211002y x x ∴=+， ∴改造后累计纯收入为2150********y x x -=+-， 不改造的累计纯收入为()10020x -， 令()21100500100202x x x +->-， 即212050002x x +->，解得20x >-+20x <--，2017.4x ∴>-+≈，x N *∈Q ，x ∴的最小值为18.故选：A 9．BC【分析】直接利用角所在的象限，判断正弦函数与余弦函数的值的符号，然后利用诱导公式化简各个选项即可判断得解． 【详解】因为θ为第二象限角， 所以cos 0θ<，故A 错误；可得cos()cos 0πθθ-=->，故B 正确； 所以cos()cos 0πθθ+=->，故C 正确； 所以cos()sin 02πθθ+=-<．故D 错误．故选：BC ． 10．ACD【分析】由函数的对称性和诱导公式可判断A ；由函数的对称性和诱导公式可判断B ；由周期函数的定义可判断C ；由正弦函数的单调性可判断D ．【详解】由()|sin()||cos |22f x x x ππ+=+=，()|sin()||cos |22f x x x ππ-=-=，即有()()22f x f x ππ+=-，所以()f x 的图象关于直线2x π=对称，故A 正确；由()()|sin(||sin()||sin ||sin |2|sin |0f x f x x x x x x ππππ++-=++-=+=≠， 故()f x 的图象不关于(,0)π对称，故B 错误． 由()|sin()||sin ||sin |()f x x x x f x ππ+=+=-==， 可得()f x 的周期为π，故C 正确；当2k x k πππ+剟时，()|sin |0f x x =…，()f x 递增； 当2k x k ππππ++剟时，()|sin |0f x x =…，()f x 递减． 所以()f x 在区间[,0]2π-单调递减，故D 正确．故选：ACD ． 11．BCD【分析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A ，当0x >时，由()(1)0f x x x =-=得1x =，又因为()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，所以()()()00,110f f f =-=-=，故函数()y f x =有3个零点，则A 错； 对B ，设0x <，则0x ->，则()()()()11f x f x x x x x =--=----=-+⎡⎤⎣⎦，则B 对； 对C ，当01x <≤时，由()(1)0f x x x =-<，得01x <<；当10x -≤≤时，由()(1)0f x x x =-+<，得x 无解；则C 对； 对D ，12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()()()12max min 1111122442f x f x f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则D 对． 故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据奇偶性定义，结合二次函数，二次方程和二次不等式求解． 12．BD【解析】根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，因为{}0M x x =<，{}0N x x =>，{}|0M N x x Q =≠≠，故A 错误；对选项B ，设{}0M x Q x =∈<，{}0N x Q x =∈≥，满足戴德金分割， 则M 中没有最大元素，N 有一个最小元素0，故B 正确； 对选项C ，若M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，则不能同时满足M N Q ⋃=，M N ⋂=∅，故C 错误；对选项D ，设{M x Q x =∈<，{N x Q x =∈≥，满足戴德金分割， 此时M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查集合的新定义，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 13．13【分析】由幂函数所过的点求()f x 的解析式，进而求(9)f 即可.【详解】由题设，若()n f x x =，则2n =，可得12n =-，∴12()f x x -=，故121(9)93f -==. 故答案为：1314．72,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 【分析】利用两条相邻的对称轴求出函数的周期，进而得到ω的值，再利用对任意的x 都有3()()4f x f π…，得到34x π=时，函数()f x 取得最小值，从而求出ϕ，再利用余弦函数的单调性进行分析求解，即可得到答案．【详解】因为函数()cos()f x x =+ωϕ相邻对称轴为14x π=-和234x π=，所以3()244T πππ=-=，所以函数()f x 的周期为2π， 则有22ππω=，所以1ω=，故()cos()f x x ϕ=+，因为对任意的x 都有3()()4f x f π…， 所以34x π=时，函数()f x 取得最小值， 则有324k πϕππ+=+，Z k ∈， 所以2,4k k Z πϕπ=+∈，故()cos()4f x x π=+，令2224k x k πππππ+++剟，解得3722,44k x k k Z ππππ++∈剟， 故函数()f x 的单调递增区间是37[2,2],44k k k Z ππππ++∈． 故答案为：37[2,2],44k k k Z ππππ++∈． 15．()2,3-【分析】根据分段函数的解析式讨论x 的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】由()()217,03log 1,0xx f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+≥⎩，当0x <时，则1723x⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得2x >-，此时20x -<<，当0x ≥时，()2log 12x +<，即14x +<，解得03x ≤<， 综上所述，实数0x 的取值范围是()2,3-. 故答案为：()2,3- 16． 23080 52920【分析】根据全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数，计算小李的全年应纳税所得额为200000元时应缴个税，计算全年应纳税所得额为500000元时应缴个税数，列方程求出N 的值.【详解】根据全年应纳税所得额⨯对应档的税率-对应档的速算扣除数， 可得小李的全年应纳税所得额为200000元时，应缴个税为 00200000201692023080⨯-=（元），当全年应纳税所得额为500000元时，即全年应缴个税为 0000005000003036000310800010N ⨯-=⨯+⨯ 00000015600020120000258000030+⨯+⨯+⨯，解得52920N =（元）. 故答案为：23080；5292017．（1）π；（2）,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）利用周期公式即可求出f （x ）的最小正周期；（2）根据正弦函数的性质确定出f （x ）的最大值，以及此时x 的值即可． 【详解】（1）()f x 的最小正周期为22T ππ==； （2）依题意得，2232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得12x k ππ=+，k ∈Z ．所以函数()f x 取最大值时自变量x 的集合,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ．18．答案见解析【分析】根据所选的条件，利用集合的交集、补集、并集的定义，对a 进行分类讨论，分别求解即可．【详解】若选①：A B ⋂=∅，当4a ≤-时，有123a a -≥+，即A =∅时，满足题意，当4a >-时，4237a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-≥⎩，解得5a ≥，此时，实数a 的范围是(,4][5,)-∞-⋃+∞．若选②：()R A B A ⋂=ð，则A 是B R ð的子集，(,7)(4,)R B =-∞-⋃+∞ð， 当4a ≤-，有123a a -≥+，即A =∅，满足题意；当4a >-时，4237a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-≥⎩，解得5a ≥，此时，实数a 的范围是(,4][5,)-∞-⋃+∞． 若选③：A B A =，则A B ⊆，当4a ≤-，有123a a -≥+，即A =∅，满足题意；当4a >-时，17234a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得142a -<≤；此时，实数a 的范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19．（1）图像见解析，(],0-∞和(]0,1；（2）当0a ≥时，04x =或014x =；当a<0时，01x a=或 04x =或 014x =. 【分析】（1）将2a =-代入，由对数函数图象以及一次函数图象即可作出()f x 的图象，结合图象写出单调区间即可.（2）根据分段函数，讨论0x 、a 的取值，解方程即可求解.【详解】（1）当2a =-时，()221,0log ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，图象如下图所示，由图可知()f x 的单调递减区间为(],0-∞和(]0,1. （2）依题意，当00x ≤时，012ax +=，即01ax =， 若0a ≥，方程无解；若a<0，得01x a=； 当00x >时，2log 2x =，即20log 2x =±，解得04x =或014x =. 综上所述，当0a ≥时，04x =或014x =； 当a<0时，01x a =或 04x =或 014x =. 20．（1）{}13x x -<<；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a =-时，化简不等式2230x x -++>，然后利用二次不等式的解法求解即可．（2）2230ax x ++>，通过①当0a =时，②当0a >时，()i △0<，()ii △0=，()iii △0>，分别求解表不等式．③a<0时，求解不等式即可．【详解】（1）当1a =-时，()223f x x x =-++.()0f x >即2230x x -++>，可化为2230x x --<.方程2230x x --=的根为：11x =-，23x = 所以，不等式的解为：13x -<<. 因此()0f x >的解为{}13x x -<<. （2）2230ax x ++>①当0a =时，不等式化为230x +>，解得32x >-.②当0a >时，开口向上，此时412a ∆=-(i )∆<0，即13a >时，方程2230ax x ++=无解，不等式解为：R .(ii )0∆=，即13a =时，方程2230ax x ++=有唯一解，3x =-，不等式解为：3x ≠-.(iii )0∆>，即103a <<时，方程2230ax x ++=有两解，1x 2x =12x x <不等式解为x <x ③a<0时，开口向下，此时412a ∆=-，显然0∆>，方程2230ax x ++=有两解，1x 2x =12x x >.x <综上所述，当a<0时，不等式解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭当0a =时，不等式解集为32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭当103a <<时，不等式解集为{x x >⎪⎭当13a <时，不等式解集为{}3x x ≠-当13a >时，不等式解集为R .21．（1）模型②lg lg f k W b =+最符合实际，理由见解析；（2）2518410f W -=⋅；（3）50. 【分析】（1）由散点图呈现的图形特征与两个模型代表的曲线形状的匹配程度，得解； （2）将表1中的豚鼠和兔的数据分别代入（1）中得到模型，解出k ，b 的值，即可得解；（3）设马的体重和脉搏率分别为1W ，1f ，设兔的体重和脉搏率为2W ，2f ，先写出12W W 的值，再结合指数运算求出12f f 的值，即可. 【详解】（1）模型②lg lg f k W b =+最符合实际根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可以选择一次函数来刻画lg W 和lg f 的关系.（2）由题意知，lg300lg300lg 200lg 2000k bk b =+⎧⎨=+⎩因为lg 200lg 22 2.3=+≈，lg 2000lg 23 3.3=+≈，lg300lg32 2.5=+≈.解得14258k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即lg 25lg 48W f =+， 所以f 关于W 的函数解析式为2518410f W -=⋅.（3）设马的体重和脉搏率为1W ，1f ，设兔的体重和脉搏率为2W ，2f ，由题意12256W W =， ()()11114481114412242125624f W W f W W -----⎛⎫=====⎪⎝⎭， 因为2200f =，则150f =，即马的脉搏率为50.【点睛】思路点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 22．（1）()2,e -∞-；（2）4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）解法①：讨论0a ≥或a<0，判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可求解；解法②：将问题转化为0x x e ae -+=在区间()1,+∞上有解，即2x e a =-e 有解，讨论0a ≥或a<0解方程即可求解.（2）解法①：分离参数可得43x x x e m e e --≥+-，令xe t =，()1,t ∈+∞，求出43x x x e e e --+-的最大值即可求解；解法②：不等式转化为23410x x me me m -+-≥恒成立，令x e t =，()1,t ∈+∞，可得函数()2341f t mt mt m =-+-，()1,t ∈+∞，讨论0m ≤或0m >即可求解.【详解】（1）解法①：当0a ≥时，()0x x xf x e ae e -=+≥>，没有零点；当a<0时，函数()y f x =是增函数， 则需要()10af e e=+<，解得2a e <-. ()()()()ln ln 2ln 10a a f a e ae a e ----=+=-->-1>，满足零点存在定理()()()1ln 0f f a -<. 因此函数()y f x =在区间()1,+∞内有一个零点综上所述，a 的取值范围为()2,e -∞-.解法②：()y f x =的零点就是方程0x x e ae -+=的解， 即0x x e ae -+=在区间()1,+∞上有解 方程0x x e ae -+=变形得2x e a =-， 当0a ≥时，方程无解， 当a<0时，解为()ln 2a x -=，则()ln 12a ->，解得2a e <-， 综上所述，a 的取值范围为()2,e -∞-（2）解法①由题意知，()43x x x m e e e m --+≥+，即()43x x xm e e e --+-≥因为4331xxe e -+-≥=，则43xxx e m e e --≥+-， 又214334x x x x x e e e e e --=+--+， 令x e t =，()1,t ∈+∞，则2221114343473724x x e e t t t ==≤-+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭（当且仅当32t =时等号成立），所以47m ≥，即m 的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.解法②由题意知，()43x x xm e e e m --+≥+，即23410x x me me m -+-≥，令x e t =，()1,t ∈+∞，即23410mt mt m -+-≥， 当0m ≤时，显然不成立，因此0m >.对于函数()2341f t mt mt m =-+-，()1,t ∈+∞，()min 371 24mf t f ⎛⎫==-⎪⎝⎭，则7104m-≥，解得47m≥，即m m的取值范围是4,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
2023-2024学年广东省佛山市高一上册期末数学质量检测模拟试题合集2套(含解析)
2023-2024学年广东省佛山市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知全集为U ，集合{2,0,1,2}=-A ，20{|}B x x =-≤≤，集合A 和集合B 的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为（）A ．(2,0)-B ．[]–1,0C ．{}1,0-D ．{}2,1,2-【正确答案】A图中阴影部分是表示不在集合A 中，但在集合B 中的元素.【详解】图中阴影部分是表示不在集合A 中，但在集合B 中的元素，根据题意，20x -<<，故选：A2．()17πcos 300sin 6-⋅︒=（）A ．14B ．14-C ．4-D ．4【正确答案】A【分析】根据诱导公式即可化成特殊角求值.【详解】()117π5π5ππ1cos 300cos 60,sinsin 2πsin sin 266662⎛⎫-===+︒=== ⎪⎝⎭，故()17π111cos 300sin6224-⋅=⨯=︒，故选：A3．已知232a =，3log 2b =，cos 3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c a b>>【正确答案】A【分析】根据中间值法进行判断.【详解】203221>= 1a ∴>333log 1log 2log 31<<= 01b ∴<<32ππ<<cos30∴<,即0c <a b c∴>>故选：A4．函数()ln 5f x x x =+-的零点所在区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】D【分析】判断函数()ln 5f x x x =+-的单调性，结合零点存在性定理判断函数的零点所在区间.【详解】因为函数ln y x =，5y x =-都为(0,)+∞上的增函数，所以函数()f x 在R 上单调递增，又()140f =-<，()2n 2l 30f =-<，()3ln 320f =-<，()4ln 410f =->，根据零点存在性定理可知()f x 的零点所在区间为()3,4.故选：D.5．已知α为第二象限角，且3sin 5α=，则()tan απ+的值是()A ．43-B ．34-C ．43D ．34【正确答案】B【分析】由同角三角函数的基本关系可得tan α，再利用诱导公式化简代入可得．【详解】∵α是第二象限角，且sin 3α5=，∴cos 4α5=-，∴tan α3αα4sin cos ==-，又()tan απ+=3tanα4=-故选B本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属基础题．6．已知01,1a b <<<-，则函数x y a b =+的图像必定不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.【详解】因为01a <<，故x y a =的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为1b <-，故x y a =的图象向下平移超过一个单位，故x y a b =+的图象不过第一象限.故选：A ．7．已知函数()2sin()(0,[,])2f x wx w πϕϕπ=+>∈的部分图象如图所示，其中5(0)1,2f MN ==，将()f x 的图象向右平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式是A ．2cos3y x π=B ．22sin()33y x ππ=+C ．22sin()33y x ππ=+D ．2cos 3y x π=-【正确答案】A 【详解】52MN =，得342T =，所以6T =，3πω=，又()01f =，得1sin 2ϕ=，所以56πϕ=，所以()52sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()52sin 12sin 2cos 36323g x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫=-+=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故选A ．点睛：三角函数的解析式求解，ω由周期T 决定，ϕ由特殊点确定，结合图象特点，解得()52sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，左右移动的关键是x 的变化，要提取系数，移动之后得到()2cos 3g x x π=．8．已知函数6()sin 33x f x x π=++，则122021(()()101110111011f f f +++= （）．A ．2019B ．2021C ．2020D ．2022【正确答案】B【分析】由题意可得()(2)2f x f x +-=，求122021()(()101110111011f f f +++ 的和，利用倒序相加即可得到答案.【详解】因为266()(2)sin sin(2)23333x x f x f x x x πππ-+-=+++-=++，所以1220212[()(()]101110111011f f f +++ 120212202020211[()()][()()][()+(2021101110111011101110111011f f f f f f =+++++⨯ .122021()()()2021101110111011f f f ∴+++= .故选：B.二、多选题9．对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是（）A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R【正确答案】AB【分析】讨论参数a ，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.【详解】由()()110ax x -+<，分类讨论a 如下：当0a >时，11x a-<<；当0a =时，1x >-；当10a -<<时，1x a<或1x >-；当1a =-时，1x ≠-；当1a <-时，1x <-或1x a>.故选：AB.10．函数()3sin(2)f x x ϕ=+的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．2π3⎛⎫⎪⎝⎭f 是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数()y f x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象【正确答案】ABD 【分析】利用图像过点,36π⎛⎫⎪⎝⎭，求得函数解析式为()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期判断A ；利用233f π⎛⎫=-⎪⎝⎭可判断B ；利用正弦型函数的值域可判断C ；利用图像的平移可判断D.【详解】函数()3sin(2)f x x ϕ=+的图像过点,36π⎛⎫⎪⎝⎭，可得3sin 236πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈，所以函数解析式为()3sin 223sin 266f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，函数的周期22T ππ==，故A 正确；对于B ，223sin 23336f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎣⎦，利用正弦函数的性质知1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得3()3sin(2),362f x x π⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对于D ，函数()y f x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2()3sin 2126y x x ππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，故D 正确；故选：ABD11．已知函数()f x 是定义在[]12,1a a -+上的偶函数，当01x a ≤≤+时，3()1f x x x =-+，若()2log 1f m >，则（）A ．2a =B ．3a =C ．m 的值可能是4D ．m 的值可能是6【正确答案】AD【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得a ，结合函数的单调性、奇偶性解不等式()2log 1f m >，求得m 的取值范围.【详解】由题意可得1210a a -++=，则2a =．所以A 选项正确.()f x 的定义域为[]3,3-，因为()f x 是偶函数，所以()()221f f -==．当[]0,3x ∈时，()f x 单调递增．因为()f x 是偶函数，所以当[]3,0x ∈-时，()f x 单调递减．因为()2log 1f m >，所以()()2log 2f m f >，所以223log 3log 2m m -≤≤⎧⎨>⎩，23log 2m -≤<-或22log 3m <≤，解得1184m ≤<或48m <≤．所以D 选项符合.故选：AD12．设函数()cos 2(R)3π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭f x x x ，则下列结论正确的是（）A ．R α∃∈，使得()()1αα=-=f fB ．R α∃∈，使得1()()2αα=-=f f C ．R x ∀∈，都有()03f x f x π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭D ．R x ∀∈，都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】BD【分析】假设R α∃∈，使得()()1αα=-=f f 推出矛盾可判断A,取特殊值可判断BC ，利用解析式化简可判断D.【详解】对A ，若R α∃∈，使得()()1αα=-=f f ，即22,22,,33ππαkπαnπk n Z +=-+=∈，所以,66ππαkπαnπ=-=-+，可得()3πk n π+=，即13k n +=，显然不存在满足此条件的整数，故不存在，A 错误；对B ，当0α=时，1()()2αα=-=f f 成立，故B 正确；对于C ，取0x =时，11(0)10322f f ⎛⎫-+=+=≠ ⎪⎝⎭π，故C 错误；对于D ，cos 26x f x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝π，cos 2cos 2336x x f x ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭--πππ，故D 正确.故选：BD三、填空题1331log 43321ln 83log 4+--e _______.【正确答案】π【分析】根据指对数的运算性质计算，()log 0,1na a n a a =>≠，()log 0,1NaaN a a =>≠【详解】原式3324(2)π=-++---33242π=-++-+π=本题考查利用指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题，属于基础题．14．已知函数()f x 满足(2)(),R f x f x x +=-∈，且当[2,0)x ∈-时，3()log (2)f x x =-+，则(2023)f =_______________．【正确答案】1【分析】由(2)(),R f x f x x +=-∈，可知()f x 周期为4，则()(2023)1f f =-.【详解】因(2)(),R f x f x x +=-∈，则()()()42f x f x f x +=-+=，得()f x 周期为4，则()()(2023)145061f f f =-+⨯=-，又[2,0)x ∈-时，3()log (2)f x x =-+，则()3131log f -==.故1.15．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入．据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（N x ∈且0x >），调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为__________人．【正确答案】75【分析】根据题干列不等式，解不等式即可.【详解】由题意得()()()10014%1000x x a a a -+≥>⎡⎤⎣⎦，解得075x ≤≤，又N x ∈且0x >，所以调整后的技术人员的人数最多75人，故答案为.7516．已知函数|||lg |,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，若函数1|()|2y f x a =--存在5个零点，则a 的取值范围为________.【正确答案】13,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将零点问题转化为图像交点问题，数形结合，求参数的取值范围.【详解】因为函数1|()|2y f x a =--存在5个零点，所以方程1|()|02f x a --=有5个不同的解，即1()2f x a =+或1()2f x a =-+共有5个不同的实数解.结合函数()f x 的图象可知，方程1()2f x a =-+有两个不同的实数解；方程1()2f x a =+有三个不同的实数解，即1012112a a ⎧<-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1322a <<.故答案为.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭本题考查函数的零点与图像交点的转化，涉及指数和对数函数图像的绘制，属综合基础题.四、解答题17．已知2:20p x x --≥，2:(2)20q x m x m -++<．(1)当p 为真命题时，求实数x 的取值范围；(2)若p ⌝是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2x ≥或1x ≤-(2)1m <-【分析】（1）解出不等式220x x --≥即可；（2）可得:12p x ⌝-<<，然后分2m <、2m =、m>2三种情况解出不等式()()20x x m --<，然后可得答案.【详解】（1）由220x x --≥可得2x ≥或1x ≤-所以当p 为真命题时，实数x 的取值范围为2x ≥或1x ≤-（2）由2:20p x x --≥可得2:20p x x ⌝--<，即:12p x ⌝-<<由2(2)20x m x m -++<可得()()20x x m --<当2m <时，由()()20x x m --<可得2m x <<当2m =时，由()()20x x m --<可得x ∈∅当m>2时，由()()20x x m --<可得2x m <<因为p ⌝是q 成立的充分不必要条件，所以1m <-18．已知函数()sin cos (R)f x x x x =-∈．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数2()1,0,2y f x x x π⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值．【正确答案】(1)π3π2π2π44k k 轾-++犏犏臌，，Z k ∈(2)-2，【分析】（1）根据辅助角公式化简()f x ，利用整体换元法即可求解增区间，（2）由二倍角公式和辅助角公式化简，由整体法即可求解最值.【详解】（1）由于π()sin cos sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,故πππ2π2π242k x k -+≤-≤，解得π3π2π2π44k x k -+≤≤，Z k ∈,故函数()f x 的单调递增区间为π3π2π2π44k k 轾-++犏犏臌，，Z k ∈（2）22ππ()212sin 22cos 22sin 242y f x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫=-=----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2cos 2,6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当π5π2π,612x x +==时，取最小值-2，当ππ2,066x x +==19．已知函数()ln(3)ln(3)f x x x =--+．(1)求函数()y f x =的定义域并判断奇偶性；(2)若(21)()f m f m ->，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)定义域为()3,3-，()f x 为奇函数(2)11m -<<【分析】（1）根据对数型函数的定义域即可求解定义域，根据奇偶性的定义即可判断奇偶性，（2）根据复合函数的单调性判断()f x 的单调性，即可求解.【详解】（1）()y f x =的定义域需满足：303330x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故函数()y f x =的定义域为()3,3-，由于函数()y f x =的定义域关于原点对称，且()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=+--=-，因此()f x 为奇函数，（2）由于函数3y x =-在()3,3-单调递减，故ln(3)y x =-在()3,3-单调递减，又()ln 3y x =+在()3,3-单调递增，因此()ln(3)ln(3)f x x x =--+在()3,3-单调递减，所以由(21)()f m f m ->得3213m m -<-<<，解得11m -<<，故实数m 的取值范围为11m -<<20．某港口的水深y (m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t (h)3691215182124y (m)10.013.09.97.10.013.010.17.010.0根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y =A sin ωt +b 的图象.（1）试根据以上数据，求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m 时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？【正确答案】（1）y =3sin6πt +10(0≤t ≤24)；（2）应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16h.【分析】（1）由曲线可求得函数的半个周期为6小时，由此可求出ω的值，又由于当t =0时，y =10；当t =3时，y max =13，可得b =10，A =13103-=，从而可求出y =A sin ωt +b 的表达式；（2）由于船的吃水深度为7m ，船底与海底的距离不少于4.5m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7+4.5=11.5(m )，令y =3sin6πt +10≥11.5，解此不等式可得答案【详解】（1）从拟合曲线可知：函数y =A sin ωt +b 在一个周期内由最大变到最小需936-=(h )，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12h ，因此212π=ω，ω=6π.又∵当t =0时，y =10；当t =3时，y max =13，∴b =10，A =13103-=，∴所求函数的表达式为y =3sin6πt +10(0≤t ≤24).（2）由于船的吃水深度为7m ，船底与海底的距离不少于4.5m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7+4.5=11.5(m ).令y =3sin 6πt +10≥11.5，可得sin6πt ≥12，∴2kπ+6π≤6πt ≤2kπ+56π(k ∈Z )，∴12k +1≤t ≤12k +5(k ∈Z ).取k =0，则1≤t ≤5，取k =1，则13≤t ≤17；而取k =2时，25≤t ≤29(不合题意，舍).从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16h .此题考查三角函数的应用，掌握五点法是解题的关键，属于基础题.21．海南沿海某次超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．一天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角3πθ=，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下的钢板面积最大．请你帮助王师傅解决此问题．连接OA ，设AOP α∠=，过A 作AH OP ⊥，垂足为H .（1）求线段BH 的长度（用α来表示）；（2）求平行四边形ABOC 面积的表达式（用α来表示）；（3）为使平行四边形ABOC 面积最大，α等于何值？最大面积是多少？【正确答案】（1）BH sin α（2266πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）当6πα=时，所裁钢板的面积最大，【分析】（1）先根据题意在Rt AOH 中表示AH ，再在Rt ABH 中表示BH 即可.（2）由（1）知OH 和BH ，由OB OH BH ＝－可知OB ，表示平行四边形面积·S OB AH ＝，结合二倍角公式，逆用两角和的正弦公式表示即可.（3）由（2）结合03πα<<，求出函数最值即可.【详解】解：（1）在Rt AOH 中，cos OH α＝，sin AH α＝，四边形ABOC 为平行四边形OC ∴∥AB 即60ABH ∠=在Rt ABH 中sin tan 60AH BH BHα==所以sin 3BH α＝；（2）cos OB OH BH αα＝－＝，设平行四边形ABOC 的面积为S ，则·cos sin S OB AH ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝＝＝2sin cos ααα＝)1sin 21cos 22αα-＝1sin 222αα+-12cos 2226αα⎛⎫+⎪⎪⎭26πα⎛⎫+⎪⎝⎭（3）由于03πα<<，所以52666ππαπ<+<，当262ππα+=，即6πα=时，66max S =，所以当6πα=时，所裁钢板的面积最大，最大面积为6平方米．本题考查了二倍角公式，两角和的正弦公式逆用，以及利用三角函数性质求最值，属于基础题.22．已知()f x 是定义在R 的偶函数，且()()3log 31xf x kx =+-，()()12g x f x x =+．(1)求()f x 的解析式；(2)设()225h x x tx =-+，若存在[]13log 2,8x ∈，对任意的[]21,4x ∈，都有()()12g x h x ≤，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)()()31log 312xf x x =+-(2)(],2-∞【分析】（1）由()()11f f =-求得k ，从而求得()f x .（2）求得()g x 在区间[]3log 2,8上的最小值()min g x ，对t 进行分类讨论，求得()min h x 在区间[]1,4上的最小值，根据()()min min g x h x ≤求得t 的取值范围.【详解】（1）()f x 是定义在R 的偶函数，所以()()11f f -=，()()1133log 31log 31k k -++=+-，3334312log 4log log 41,342k k ⎛⎫=-=⨯== ⎪⎝⎭，此时()()()()33313111log 31log log 312322x xxx f x x x x x fx -⎛⎫+-=++=+=+-+= ⎪⎝⎭，满足题意，所以()()31log 312xf x x =+-，（2）依题意存在[]13log 2,8x ∈，对任意的[]21,4x ∈，都有()()12g x h x ≤，()()()31log 312x g x f x x =+=+，()g x 在区间[]3log 2,8上递增，()g x 在区间[]3log 2,8上的最小值为()()3log 233log 2log 311g =+=.()()22514h x x tx x =-+≤≤，开口向上，对称轴为x t =，当1t ≤时，()h x 在[]1,4上递增，最小值为()112562h t t =-+=-，依题意可知5621,2t t -≥≤，则1t ≤.当14t <<时，()h x 的最小值为()222255h t t t t =-+=-，依题意可知2251,4t t -≥≤，则12t <≤.当4t ≥时，()h x 在[]1,4上递减，最小值为()41685218h t t =-+=-，依题意可知52181,2t t -≥≤，不符合.综上所述，t 的取值范围是(],2-∞.利用函数的奇偶性求参数，可以利用特殊点代入法进行求解.求解二次函数在闭区间上的最值，当函数含有参数时，要对参数进行分类讨论.2023-2024学年广东省佛山市高一上册期末数学质量检测模拟试题第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角α的终边经过点(8,6)，则cos α的值为（）A.34B.43C.45D.35-2.cos17cos43sin17sin223+= （）A .12-B. C.12D.23.如图，U 为全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A.()M P SB.()M P SC.()()U M P S ð D.()U ()S M P ð4.下列函数既是奇函数又在(1,1)-上是增函数的是（）A.sin y x= B.2y x=-C.22x xy -=+ D.lg(1)y x =+5.设tan 92a =︒，21b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，log 92c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c>> D.b a c>>6.函数()πcos 2x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=的部分图像大致是（）A. B.C. D.7.已知定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A.2(0,3B.15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎛⎫⎪⎝⎭D.25(,368.一半径为2m 的水轮，水轮圆心O 距离水面1m ；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P 距离水面的高度h （单位：m ）表示为时间t （单位：s ）的函数，记()h f t =，则()(1)(2)f t f t f t ++++=（）A.0B.1C.3D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知,,a b c 是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（）A.222()2a b a b ++≥B.若0ab ≠，则||||2||||a b b a +≥C.若a b <，则11a b> D.若0,<<c b a .则a b c c>10.先将函数()sin f x x =的图像向右平移π6个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数()g x 的图像，则关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A.在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B.图像关于直线5π6x =对称C.在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.最小正周期为π，图像关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称11.已知函数()20lg 0x x f x xx +≤⎧=⎨>⎩，方程()()210f x mf x --=有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）A.函数()f x 的零点的个数为2B.实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.函数()f x 无最值D.函数()f x 在()0,∞+上单调递增12.已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有()()2f x f x +=-，()13f =，若函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，且对任意的()12,0,1x x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则下列结论正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 的图象关于直线1x =对称C.()()202220233f f -= D.5524f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{||1|3}M x x =-≤，{}|31xN x =≥，则M N ⋂=__________.（用区间作答）14.若π3sin 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.15.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若112f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.16.函数sin cos 2sin cos 2y x x x x =+++的值域是__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知α为第三象限角，且3sin cos tan()22()sin tan(2)2f ππαααπαπαπα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；全科免费下载公众号-《高中僧课堂》（2）若()5f α=，求cos()πα+的值.18.已知函数())2sin sin ,f x x x x x R =-∈．（1）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间；（2）求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．19.2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官.近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=⋅计算火箭的最大速度(m/s)v ，其中0(m/s)v 是喷流相对速度，(kg)m 是火箭(除推进剂外)的质量，(kg)M 是推进剂与火箭质量的总和，从称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为1000(m/s).（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500(m/s)，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据：ln 200 5.3≈，2.718 2.719e <<.20.在①22{|1}1x A x x -=<+，②{||1|2}A x x =-<，③23{|log }1xA x y x -==+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U =R ，______，22{|0}.B x x x a a =++-<（1）若2a =，求()()U UC A C B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21.设函数()sin 2cos 36f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（03ω<<），将该函数的图像向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图像，函数()g x 的图像关于y 轴对称.（1）求ω的值；（2）在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数()f x 在一个周期内的图像；（3）设关于x 的方程1)026x mf g x m π⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间7,06π⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.22.已知函数()()2221f x ax a x =+-+，其中a ∈R .（1）若对任意实数[]12,2,4∈x x ，恒有()129sin2f x x ，求a 的取值范围；（2）是否存在实数0x ，使得00ax <且()0022f x x a =-+？若存在，则求0x 的取值范围；若不存在，则加以证明.答案和解析第一部分选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【正确答案】C【2题答案】【正确答案】C【3题答案】【正确答案】C【4题答案】【正确答案】A【5题答案】【正确答案】B【6题答案】【正确答案】C【7题答案】【正确答案】D【8题答案】【正确答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【正确答案】ABD【10题答案】【正确答案】ABD【11题答案】【正确答案】ABC【12题答案】【正确答案】BCD第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【正确答案】[]0,4【14题答案】【正确答案】33【15题答案】【正确答案】1-【16题答案】【正确答案】3,34⎡+⎢⎣四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【正确答案】（1）sin α-；（2）15﹒【18题答案】【正确答案】（1）T π=，单调增区间,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）max ()1f x =，min ()0f x =【19题答案】【正确答案】（1）5300m /s ；（2）在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.【20题答案】【正确答案】（1）1{}1|x x x ≤-≥或（2）(][),34,-∞-⋃+∞【21题答案】【正确答案】（1）2ω=（2）图像见解析（3）(]2,1--【22题答案】【正确答案】（1）[)2,+∞；（2）存在，011,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.。
广东省佛山市第一中学2022-2023学年高一上数学期末考试试题含解析
【解析】（1）利用三角函数诱导公式将 化简，将 代入求值即可；
（2）利用 将 变形为 ，继而变形为 ，代入求值即可.
小问1详解】
则
【小问2详解】
由（1）知，
则
22、（1） ；（2） 且 .
【解析】（1）根据数量积运算以及结果，结合模长，即可求得 ，再根据数量积求得夹角；
（2）根据夹角为钝角则数量积为负数，求得 的范围；再排除向量 与 不为反向向量对应参数的范围，则问题得解.
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（Ⅱ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB=AB，且OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（Ⅲ）在等腰直角三角形 中， ，
所以 .
所以等边三角形 的面积 .
（2）当直线 与圆 相切时，求实数 的值；
（3）若直线 与圆 交于 两点，且 ，求此时实数 的值.
20．对于两个定义域相同的函数 和 ，若存在实数 ， 使 ，则称函数 是由“基函数 ， ”生成的.
（1）若 是由“基函数 ， ”生成的，求实数 的值；
（2）试利用“基函数 ， ”生成一个函数 ，且同时满足以下条件：① 是偶函数；② 的最小值为1.求 的解析式.
【点睛】（1）求圆的方程时常用的方法有两种：一是几何法，即求出圆的圆心和半径即可得到圆的方程；二是用待定系数法，即通过代数法求出圆的方程
（2）解决圆的有关问题时，要注意圆的几何性质的应用，合理利用圆的有关性质进行求解，可以简化运算、提高解题的效率
20、（1） ；（2）
2020-2021佛山市高中必修一数学上期末试题(带答案)
2020-2021佛山市高中必修一数学上期末试题(带答案)一、选择题1．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．已知函数ln ()xf x x=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．若函数()2log ,?0,? 0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21eD ．2e 5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011D ．20227．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 BC ．14，2 D ．14，4 8．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A ．4B ．－2C ．2D ．110．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>11．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣112．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．14．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.15．已知关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内，则a 的取值范围是__________.16．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 17．对于函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[a ，b ]，使得()y f x =在[a ，b ]上的值域也为[a ，b ]，则称函数()y f x =在定义域D 上封闭，如果函数4()1xf x x=-+在R 上封闭，则b a -=____．18．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________ 19．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为__________．20．已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题21．某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x （130x ≤≤，x +∈N ）天的单件销售价格（单位：元20,115()50,1530x x f x x x +≤<⎧=⎨-≤≤⎩,第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），且第20天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格⨯销售量）. （1）求m 的值；（2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？22．已知函数31()31x xf x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明； （3）求()f x 的值域. 23．已知函数()10()mf x x x x=+-≠.（1）若对任意(1)x ∈+∞，，不等式()2log 0f x >恒成立，求m 的取值范围. （2）讨论()f x 零点的个数. 24．计算或化简：（1）1123021273log 161664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++.25．已知函数()x xk f x a ka -=+，（k Z ∈，0a >且1a ≠）.（1）若1132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求1(2)f 的值； （2）若()k f x 为定义在R 上的奇函数，且01a <<，是否存在实数λ，使得(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立若存在，请写出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.26．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型•xy p q r =+，其中y 为患病人数，x 为月份数，a b c p q r ，，，，，都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 2．D解析：D【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．3．D解析：D 【解析】 【分析】可以得出11ln 32,ln 251010a c ==，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336b f ===，再由对数函数的单调性得到a<b,∴c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果.4．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩， 因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<， 所以11(1)f ee--==， 即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C 【解析】【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ，()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.7．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．9．B解析：B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 10．A解析：A 【解析】因为00.31,1e <，所以0.3log 0c e =<，由于0.30.3031,130log 31a b ππ>⇒=><<⇒<=<，所以a b c >>，应选答案A ．11．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．12．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于解析：-3 【解析】 【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】 因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数；当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数， 所以3m =-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.14．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故解析：3 【解析】 【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合. 【详解】因为函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=, 所以(3)(6)0m m --=, 所以3m =或6m =-, 当3m =时,12()f x x-=,其图象不过原点,符合题意;当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意. 综上所述:3m =. 故答案为:3 【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.15．【解析】【分析】根据方程的解在区间内将问题转化为解在区间内即可求解【详解】由题：关于的方程的解在区间内所以可以转化为：所以故答案为：【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围关键在于利用对数 解析：()23log 11,1-+【解析】 【分析】根据方程的解在区间()3,8内，将问题转化为23log x a x+=解在区间()3,8内，即可求解. 【详解】由题：关于x 的方程()224log 3log +-=x x a 的解在区间()3,8内， 所以()224log 3log +-=x x a 可以转化为：23log x a x+=， ()3,8x ∈，33111,28x x x +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以()23log 11,1a ∈-+ 故答案为：()23log 11,1-+ 【点睛】此题考查根据方程的根的范围求参数的取值范围，关键在于利用对数运算法则等价转化求解值域.16．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】 【分析】 【详解】 设， 则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.17．6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R 上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R 上为减函数并且由题意可知：由于函数在R 上封闭故有解得：所以解析：6 【解析】 【分析】利用定义证明函数()y f x =的奇偶性以及单调性，结合题设条件，列出方程组，求解即可. 【详解】44()()11x x f x f x x x--=-==-+-+，则函数()f x 在R 上为奇函数设120x x ≤<，4()1xf x x=-+ ()()()2112121212444()()01111x x x x f x f x x x x x --=-+=>++++，即12()()f x f x > 结合奇函数的性质得函数()f x 在R 上为减函数，并且(0)0f = 由题意可知：0,0a b <>由于函数()f x 在R 上封闭，故有4141()()a bab f a b f b aa b-=-⎧⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩-=+⎪⎪⎩ ，解得：3,3a b =-=所以6b a -= 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.18．6【解析】【分析】根据偶函数的关系有代入即可求解【详解】由题：函数是偶函数所以解得：故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值难度较小关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系解析：6 【解析】 【分析】根据偶函数的关系有()(2)2g g =-，代入即可求解. 【详解】由题：函数()()g x f x x =-是偶函数， (2)(2)24g f -=-+=，所以(2)(2)24g f =-=，解得：(2)6f =. 故答案为：6 【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.19．(-∞1∪4+∞)【解析】由题意得a+1≤2或a≥4解得实数a 的取值范围为(-∞1∪4+∞)点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间ab 上单调则该函数在此区间的任意 解析：【解析】由题意得或，解得实数的取值范围为点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量的取值范围.20．【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数∵函数故计算得出：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段解析：13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】若对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立， 则函数()f x 在R 上为减函数，∵函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，故22012(2)12a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩， 计算得出：13,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.三、解答题21．（1）40m =；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元． 【解析】 【分析】（1）利用分段函数，直接求解(20)(20)600f g =．推出m 的值．（2）利用分段函数分别求解函数的最大值推出结果即可． 【详解】（1）销售价格20,115,()50,1530,x x f x x x +<⎧=⎨-⎩„剟第x 天的销售量（单位：件）()(g x m x m =-为常数），当20x =时，由(20)(20)(5020)(20)600f g m =--=， 解得40m =．（2）当115x <„时，(20)(40)y x x =+- 2220800(10)900x x x =-++=--+，故当10x =时，900max y =，当1530x 剟时，22(50)(40)902000(45)25y x x x x x =--=-+=--， 故当15x =时，875max y =，因为875900<，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元． 【点睛】本题考查利用函数的方法解决实际问题，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)- 【解析】 【分析】（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；（2）由312()13131x x xf x -==-++，可得30x ＞，可得231x +及231x -+的取值范围，可得()f x 的值域.【详解】证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，且3113()()3131x xx x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，可得1212121212123131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；（3）由312()13131x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x-+-1＜＜1， 故()f x 的值域为(1,1)-.【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.23．（1）14m >；（2）当14m >或14m <-时，有1个零点；当14m =或0m =或14m =-时，有2个零点；当104m <<或104m -<<时，有 3个零点【解析】 【分析】（1）利用不等式恒成立，进行转化求解即可，（2）利用函数与方程的关系进行转化，利用参数分离法结合数形结合进行讨论即可． 【详解】解：（1）由()20f log x >得，2210mlog x log x+-> 当(1,)x ∈+∞时，20logx >变形为()2220log x log x m -+>，即()222m log x log x >-+而()222221412log x log x log x ⎛⎫+ ⎪-⎭--⎝+= 当212log x =即2x =时，()()2ma 22x14log x log x =-+ 所以14m >（2）由()0f x =可得00()x x x m x -+=≠，变为()0m x x x x =-+≠令()222211,024,0,011,024x x x x x g x x x x x x x x x ⎧⎛⎫--+>⎪ ⎪⎧-+>⎪⎝⎭=-==⎨⎨+<⎩⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 作()y g x =的图像及直线y m =，由图像可得: 当14m >或14m <-时，()f x 有1个零点.当14m =或0m =或14m =-时，()f x 有2个零点: 当104m <<或104m -<<时，()f x 有 3个零点.【点睛】本题考查不等式恒成立以及函数的单调性的应用，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题． 24．（1）12-（2）3 【解析】 【分析】（1）根据幂的运算法则计算；（2）根据对数运算法则和换底公式计算． 【详解】解：（1）原式1313249314164⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥+⎣⎦731444=++- 12=-.（2）原式33log 312lg10=+-+3121=+-+ 3=. 【点睛】本题考查幂和对数的运算法则，掌握幂和对数运算法则是解题关键． 25．（1）47；（2）存在，3λ< 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算求解即可.（2）由函数()k f x 的性质可将问题转化为cos252sin x x λ<-对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，分离变量后利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】解：（1）由已知11221132f a a -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，21112229a a a a --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，17a a -∴+=， ()2122249a a a a --∴+=++=，2247a a -∴+=，即221(2)47f a a -=+=.（2）若()k f x 为定义在R 上的奇函数， 则(0)10k f k =+=，解得1k =-，01a <<Q ，()x x k f x a a -∴=-，在R 上为减函数，则(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->，可化为(cos 2)(2sin 5)(52sin )k k k f x f x f x λλ>--=-，即cos252sin x x λ<-对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即25cos 22sin 42sin 2sin 2sin sin x x x x x xλ-+<==+，对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 令sin ,t x =[0,1]t ∈，则2y t t=+为减函数， 当1t =时，y 取最小值为3， 所以3λ<. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了均值不等式，属中档题. 26．乙选择的模型较好. 【解析】 【分析】由二次函数为2y ax bx c =++，利用待定系数法求出解析式,计算456x =、、时的函数值;再求出函数•xy p q r =+的解析式,计算456x =、、时的函数值,最后与真实值进行比较，可决定选择哪一个函数式好. 【详解】依题意，得222•1?152•2?254•3?358a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，即5242549358a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1152a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴甲：2152y x x =-+，又123•52•54•58p q r p q r p q r ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩①②③， 2132••2••4p q p q p q p q --=--=①②，④②③，⑤，2q ÷=⑤④，,将2q =代入④式，得1p =将21q p ==，代入①式，得50r =， ∴乙：2250xy =+计算当4x =时，126466y y ==，； 当5x =时，127282y y ==，； 当6x =时，1282114y y ==，.可见，乙选择的模型与实际数据接近，乙选择的模型较好.【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题,也考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题,意在考查灵活运用所学知识解决实际问题的能力，是中档题。