塑性力学课程复习要点
塑性部分重点
若 ε 1 ≥ ε 2 ≥ ε 3 ，则最大切应变为
γ max = ±
1 (ε 1 − ε 3 ) 2
（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量 ⎛ε x − εm ⎜ ε ij = ⎜ γ yx ⎜ γ ⎝ zx
′ + δ ij ε m = ε ij
γ xy εy − εm γ zy
γ xz ⎞ ⎛ ε m ⎟ ⎜ γ yz ⎟ + ⎜ 0 ⎜ εz − εm ⎟ ⎠ ⎝0
答：小应变几何方程：
∂u ∂x ∂v εy = ∂y ∂w εz = ∂z
εx =
γ xy = γ yx = γ yz = γ zy γ zx = γ xz
1 ∂u ∂v ⎫ ( + ) 2 ∂y ∂x ⎪ ⎪ 1 ∂v ∂w ⎪ = ( + )⎬ 2 ∂z ∂y ⎪ 1 ∂w ∂u ⎪ = ( + )⎪ 2 ∂x ∂z ⎭
HUST
WuKeyi
20ห้องสมุดไป่ตู้2
塑性部分重点总结
塑性部分课本共 50 页，需要记忆的公式比较多，考试形式主要为计算题。 其中文字叙述题目可以从三年的真题中归纳出来，和课后题的问答，名词解释部 分，已经足够拿到这十几分了 计算部分的题型也比较固定，一般来说，矩阵题目一道（送分题，记住几个 公式即可形式如 252 页例题 6）屈服准则题目一个，形式如 274 页例题 2；增量 理论题目一道， 形式如 281 页 13.2/13.3。 主应力法题目一道， 此题可能出的容易， 也可能很难，准备时把课本两道例题，及课后三道题目复习透彻。 塑性部分的练习题在复习中比较重要， 15 至 18 章，超出书本范围的可以不看 塑性部分最后一题可能出的比较难，除此之外都是复习范围内的题目， 塑性部分需要多看书，公式一定要记住，可以参考习题来复习。
研究生塑性力学课程复习要点
研究生塑性力学课程复习1. 名词解释：塑性变形：指物体在除去外力后所残留下来的永久变形在给定的外力下，物体的变形并不随时间而改变。
韧性与脆性：如果变形很久就破坏，便称是脆性的；如果经受了很大的变形才破坏，便称材料具有较好的韧性。
应变强化：材料在超过弹性极限以后，在任一点卸载后再重新加载，则新得到的屈服应力将大于初始屈服应力，即材料经过塑性变形后得到了强化，这种现象称为应变强化。
等向强化：拉伸时的强化屈服应力和压缩时的强化屈服应力（绝对值）始终是相等的，称为等向强化。
随动强化：考虑到包氏效应，认为拉伸屈服应力和压缩屈服应力（的代数值）之差，即弹性响应的范围始终是不变的，称为随动强化。
屈服面：Mises 屈服条件：Tresca 屈服条件：双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件：加载面：Drucker 公设（33式子）：正交流动法则：加载准则：全量理论：亦称为形变理论，它是研究用应变全量表示弹塑性应力应变关系的理论。
这个理论的数学表达式简单，但不能反应复杂的加载历史。
增量理论：亦称为塑性流动理论，它是用应变增量表示弹塑性本构关系的理论。
简单加载、简单加载定理、静力场与机动场、上限定理与下限定理。
2. 基本概念：1）弹塑性材料在简单拉压时的应力应变响应曲线；2)轴向拉伸时的塑性失稳；3)理想弹塑性材料简单桁架的弹性极限、塑性极限、卸载后的残余应力与残余变形、加载路径的影响；4)体积变形为弹性（塑性不可压缩）的概念；5)等效应力、等效剪应力、等效应变、等效剪应变定义公式；6)主应力空间中应力状态在π平面上的投影；7)初始各向同性材料在π平面上屈服曲线的对称性质；8)薄壁圆管试件在拉－扭载荷或内压－轴向拉伸载荷下的屈服条件；9)Tresca 屈服条件与Mises 屈服条件；10) Drucker 公设、加载面的外凸性、塑性流动的正交性及加载准则；11)与Mises 屈服条件相关连的正交流动定律与塑性本构关系；12)简单加载的概念；13)全量理论与增量理论。
复习资料：第6章_塑性成形力学基础
图14-1 任意斜切微分面上的应力复习资料：塑性成形力学基础 1. 什么叫张量？张量有什么性质？答：张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合，称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢量，即9个分量才能完整地表示。
它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。
基本性质：1） 张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数)(ij P f ，这些函数值与坐标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。
二阶张量存在三个独立的不变量。
2） 张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量。
两个相同的张量之差定义为零张量。
3） 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量 若张量具有性质jiij P P =，就叫对称张量；若张量具有性质jiij P P -=，且当i=j 时对应的分量为0，则叫反对称张量；如果张量jiij P P ≠，就叫非对称张量。
任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。
4） 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如果以主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。
2. 如何表示任意斜微分面上的应力？答：若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助静力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。
如图14-1所示，设过Q 点任一斜切面的法线N 与三个坐标轴的方向余弦为l ，m ，n ， l=cos(N,x); m=cos(N,y);n=cos(N,z)。
若斜微分面ABC 的面积为dF ， 微分面OBC(x 面)、OCA(y 面)、OAB(z 面)的微分面积分别为dFx 、dFy 、dFz ， 则各微分面之间的关系为 dFx ；dFy= mdF ； dFz=ndF又设斜微分面ABC 上的全应力为S ，它在三坐标轴方向上的分量为Sx 、 Sy 、Sz ，由静力平衡条件∑=0x P ，得：0d d d d zx yx x =---Fz F F F S y x x ττσ整理得⎪⎭⎪⎬⎫++=++=++=n m l S n m l S n m l S z yz xz z zy y xy y zx yx x x στττστττσ （14-6）用角标符号简记为()z y x j i l S iij j ，，，==σ显然，全应力2222zy x S S S S ++=斜微分面上的正应力σ为全应力S 在法线N 方向的投影，它等于x S ,y S ,zS 在N 方向上的投影之和，即nS m S l S z y x ++=σ)(2222nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσ+++++= （14-7）斜切微分面上的切应力为 222στ-=S （14-8）所以，已知过一点的三个正交微分面上9个应力分量，可以求出过该点任意方向微分面上的应力，也就是说，这9个应力分量可以全面表示该点应力状况，亦即可以确定该点的应力状态。
塑性力学复习题
塑性力学复习题塑性力学复习题塑性力学是力学中的一个重要分支，研究材料在超过其弹性限度时的变形和破坏行为。
它在工程领域中有着广泛的应用，特别是在金属材料的设计和加工中。
本文将通过一些典型的复习题来回顾和巩固塑性力学的知识。
1. 弹性和塑性的区别是什么？请举例说明。
弹性和塑性是材料在外力作用下的两种不同的变形行为。
弹性变形是指材料在受力后能够恢复原状的能力，而塑性变形则是指材料在受力后会发生永久性的形变。
举个例子来说明，当我们用手指轻轻地压在弹簧上时，弹簧会发生弹性变形，但当我们用更大的力量压在弹簧上时，弹簧就会发生塑性变形，无法完全恢复原状。
2. 什么是屈服点和屈服强度？屈服点是指材料在受力后开始发生塑性变形的临界点。
在应力-应变曲线上，屈服点是曲线开始出现明显的非线性变化的位置。
屈服强度是指材料在屈服点处的应力值。
它是材料能够承受的最大应力，超过这个应力值后，材料就会发生塑性变形。
3. 什么是硬化现象？如何应对材料的硬化？硬化是指材料在经历一次塑性变形后，下一次变形所需的应力会增加的现象。
这是因为材料的晶体结构在塑性变形过程中发生了改变，使得材料变得更加坚硬。
为了应对材料的硬化，可以采取以下措施：- 热处理：通过加热和冷却的方式改变材料的晶体结构，以降低硬化程度。
- 冷加工：通过冷加工的方式，如冷拔、冷轧等，可以增加材料的塑性，减少硬化现象。
- 添加合金元素：某些合金元素可以改变材料的晶体结构，降低硬化程度。
4. 什么是断裂韧性？如何评价材料的断裂韧性？断裂韧性是指材料在受到外力作用下抵抗破坏的能力。
它是材料的断裂强度和塑性变形能力的综合体现。
评价材料的断裂韧性常用的方法有：- 断口形貌观察：通过观察材料的断口形貌，可以了解材料的断裂方式和韧性。
- 断裂韧性试验：常用的试验方法有冲击试验和拉伸试验，通过测量断裂前的应力和断裂后的断面积，计算出材料的断裂韧性。
5. 什么是应力集中？如何减小应力集中的影响？应力集中是指材料中存在的一些几何形状或缺陷引起的应力集中现象。
弹塑性力学复习重点汇编
1.弹性力学的研究内容、研究对象和研究任务？基本假设？弹性力学与材料力学和结构力学的区别？弹性力学解的唯一性定理？答：弹性力学的研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移；弹性力学主要研究对象为，非杆状的结构（如板、壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构）以及杆状构建的进一步精确分析；弹性力学的研究任务是分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
弹性力学的基本假设有5个，分别是连续性假设、完全弹性体假设、物体均匀假设、物体各向同性假设以及微小位移和变形假设。
材料力学‐‐研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。
求得是一种近似解。
结构力学‐‐在材料力学基础上研究杆系结构（如 桁架、刚架等）。
弹性力学‐‐研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。
弹性力学解的解的唯一性定理：弹性体在给定体力、面力和约束条件的情况下而处于平衡时，体内各点的应力分量、应变分量的解释唯一的。
2.应力状态、应力分量、应力张量、应力张量的三个不变量的物理意义是什么？ 体积改变和形状改变定理是什么？偏应力第二不变量J2的物理含义是什么？ 答：应力状态：物体内同一点各方位上的应力情况。
应力分量：为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解，即为应力分量。
过M 点分别于三个坐标轴相垂直的微面上的应力状况，共有9个分量，统称为一点的应力分量。
应力张量：描述一点的应力状态的张量（数学表示）。
把应力分量作为一个整体用矩阵表示为一个整体称为应力张量应力张量的三个不变量J 1、J 2、J 3：物理意义：当坐标改变时，每一应力分量都将改变，但这三个量不变。
应力张量是二阶对称张量，因此它存在三个不变量，分别用J 1、J 2、J 3表示。
J 1 应力张量的主元之和 在弹性体内任一点，任何三个垂直方向上的正应力之和为一个常数。
2019年硕士研究生弹塑性力学课程复习要点
2019年塑性力学课程复习*1.名词解释：塑性变形、应变强化、等向强化、随动强化、屈服面、Mises屈服条件、Tresca屈服条件、加载条件与加载面、Drucker公设、正交流动法则、加载准则、静力场与机动场、用于极限分析的上限定理与下限定理。
塑性变形：物体在除去外力后所残留下来的永久变形，在给定的外力下，物体的变形并不随时间而改变（p1）应变强化：重新拉伸后，材料并不在初始屈服点处进入塑性状态，而是在最后的卸载点附近进入塑性状态。
进入塑性状态后，应力应变曲线渐与初始应力应变曲线重合。
经历塑性变形后，材料受到了强化，屈服应力有了提高。
这种现象称为应变强化或应变硬化。
（p4）等向强化：认为拉伸时的强化屈服应力和压缩时的强化屈服应力绝对值相等。
也就是说当在拉伸变形时使得材料强化时，这种强化作用对拉伸和压缩都是相同的。
即压缩屈服应力得到了相同的提高。
随动强化：考虑到包兴格效应，认为拉伸屈服应力和压缩屈服应力（代数值）之差是不变的。
也就是弹性响应的范围始终不变。
屈服面：在复杂应力状态下。
初始弹性状态的界限为屈服条件，若以σij 作为坐标轴，屈服条件用F（σij）=0表示，则应力空间中F=0将表示为一个曲面，称为屈服曲面。
Mises屈服条件：注意到Tresca屈服条件不考虑中间主应力的影响，主方向不知道的情况下用J’2=0去拟合实验点，并称之为Mises屈服条件。
Tresca屈服条件：当最大剪应力达到某一极限值k时，材料开始产生屈服。
如果规定σ1 >=σ2 >=σ3，Tresca屈服条件可写为τmax=(σ1 -σ3)/2=k加载条件与加载面：经过变化的屈服条件称之为加载条件；在应力空间中对应的表面称为加载面。
Drucker公设：单轴实验表明，在平面上，回路（1）→（2）→（3）总是顺时针的。
这表明在一个应力闭循环中，需要外界注入功而不可能提取有用功。
在三维应力状态，这一性质可以表述为：当材料的物质微元在应力空间的任意应力闭循环中的余功非正时，即称材料满足Drucker公设。
弹塑性力学复习提纲和考试习题
弹塑性⼒学复习提纲和考试习题《弹塑性⼒学》复习提纲1. 弹性⼒学和材料⼒学在求解的问题以及求解⽅法⽅⾯的主要区别是什么？研究对象的不同：材料⼒学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远⼤于⾼度和宽度的构件。
⾮杆状结构则在弹性⼒学⾥研究研究⽅法的不同：材料⼒学⼤都引⽤⼀些关于构件的形变状态或应⼒分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性⼒学研究杆状结构⼀般不必引⽤那些假定，得到的结果⽐较精确。
并可⽤来校核材料⼒学得出的近似解。
2. 弹性⼒学有哪些基本假设？（1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微⼩的3. 弹性⼒学有哪⼏组基本⽅程？试写出这些⽅程。
(1)平⾯问题的平衡微分⽅程:平⾯问题的⼏何⽅程：平⾯应⼒问题的物理⽅程：(在平⾯应⼒问题中的物理⽅程中将E换为，换为就得到平⾯应变问题的物理⽅程)(2)空间问题的平衡微分⽅程;空间问题的⼏何⽅程;空间问题的物理⽅程：4. 按照应⼒求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差别？(1)位移法是以位移分量为基本未知函数，从⽅程和边界条件中消去应⼒分量和形变分量，导出只含位移分量的⽅程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应⼒分量。
要使得位移分量在区域⾥满⾜微分⽅程，并在边界上满⾜位移边界条件或应⼒边界条件。
(2)应⼒法是以应⼒分量为基本未知函数，从⽅程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应⼒分量的⽅程和边界条件，解出应⼒分量，然后再求出形变分量和位移分量。
满⾜区域⾥的平衡微分⽅程，区域⾥的相容⽅程，在边界上的应⼒边界条件，其中假设只求解全部为应⼒边界条件的问题。
5. 掌握以下概念：应⼒边界条件和位移边界条件；圣⽂南原理；平⾯应⼒与平⾯应变；逆解法与半逆解法。
位移边界条件：若在部分边界上给定了约束位移分量和,则对于此边界上的每⼀点，位移函数u和v和应满⾜条件=，=（在上）应⼒边界条件：若在部分边界上给定了⾯⼒分量(s)和(s),则可以由边界上任⼀点微分体的平衡条件，导出应⼒与⾯⼒之间的关系式。
11-弹塑性力学-总结与复习
谢 谢！
4．应力、应变图（主变形图）：应变3×应力9=27种组合 实际： 23种组合，为什么？ 5．应力测量，应变花，τij？
总结与复习 (Summarization and Review)
四、弹性力学（542） 5组基本方程：
1. 应力平衡微分方程：含义：表征点的应力之间的关系（基体假设的
应用，平面问题的具体形式） 2．几何方程：含义：位移-应变的关系 3．物理方程：广义虎克定律 含义：σ—ε关系 ①公式；②参数含义、关系 4．应变协调方程（相容方程，连续方程）：含义，平面问题的相容方程 P P P （塑性变形连续方程： 1 2 3 0 ） 5．边值方程：具体问题具体分析
区别：弹性变形特点、塑性变形特点(可逆性、与加载 路线的关系、对组织与性能的影响、变形特点 描述等) 联系：①量变→质变（韧性材料） e p ②弹塑性共存：（包含关系 、材料 加工工模具弹性变形与工件塑性变形共存）
总结与复习 (Summarization and Review)
六、断裂力学基础
5．应力强度因子：含义，影响因素，量纲
6．断裂韧度Kic（实验确定）,与试件几何（厚度）的关系： 厚度→平面应力→塑区大→扩展需能↑→KC↑ 7．KIC：平面应变断裂韧度，材料常数，应与几何无关，但测 量时应得保证试样足够厚，以保证裂纹尖端处于平面应变 状态。
总结与复习
(Summarization and Review)
总结与复习 (Summarization and Review)
②主剪应力（110）；最大剪应力： max
1 3
2
③八面体应力（111）；如何求？有何意义？ ④等效应力：等效的含义，求解？
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塑性力学课程复习
1. 名词解释：
塑性变形：指物体在除去外力后所残留下来的永久变形在给定的外力下，物体的变形并不随时间而改变。
韧性与脆性：如果变形很久就破坏，便称是脆性的；如果经受了很大的变形才破坏，便称材料具有较好的韧性。
应变强化：材料在超过弹性极限以后，在任一点卸载后再重新加载，则新得到的屈服应力将大于初始屈服应力，即材料经过塑性变形后得到了强化，这种现象称为应变强化。
等向强化：拉伸时的强化屈服应力和压缩时的强化屈服应力（绝对值）始终是相等的，称为等向强化。
随动强化：考虑到包氏效应，认为拉伸屈服应力和压缩屈服应力（的代数值）之差，即弹性响应的范围始终是不变的，称为随动强化。
屈服面：
Mises 屈服条件：
Tresca 屈服条件：
双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件：
加载面：
Drucker 公设（33式子）：
正交流动法则：
加载准则：
全量理论：亦称为形变理论，它是研究用应变全量表示弹塑性应力应变关系的理论。
这个理论的数学表达式简单，但不能反应复杂的加载历史。
增量理论：亦称为塑性流动理论，它是用应变增量表示弹塑性本构关系的理论。
简单加载、简单加载定理、静力场与机动场、上限定理与下限定理。
2. 基本概念：
1）弹塑性材料在简单拉压时的应力应变响应曲线；2)轴向拉伸时的塑性失稳；3)理想弹塑性材料简单桁架的弹性极限、塑性极限、卸载后的残余应力与残余变形、加载路径的影响；4)体积变形为弹性（塑性不可压缩）的概念；5)等效应力、等效剪应力、等效应变、等效剪应变定义公式；6)主应力空间中应力状态在π平面上的投影；7)初始各向同性材料在π平面上屈服曲线的对称性质；8)薄壁圆管试件在拉－扭载荷或内压－轴向拉伸载荷下的屈服条件；9)Tresca 屈服条件与Mises 屈服条件；10) Drucker 公设、加载面的外凸性、塑性流动的正交性及加载准则；11)与Mises 屈服条件相关连的正交流动定律与塑性本构关系；12)简单加载的概念；13)全量理论与增量理论。
3. 主应力空间中任意一点（321,,σσσ）可以用向量332211i i i σσσ++=来表达。
（1）试将该向量分解为主偏应力分量和静水分量ON ，写出其表达式；（2）证明与ON 正交；（3）简洁写出将OP 投影到π平面的方法。
4. 叙述双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件，试讨论两者之间的关系。
5. 若材料的真应力自然应变曲线为σ = C εn ，试求光滑拉伸试件的拉伸失稳应变。
6. 若Ｅ'=Ｅ/100，给定应力路径是：０→1.5σS →0 →- σS →0。
ａ）试按线性弹塑性随动强
化模型画出相应的应力应变曲线；ｂ）试按线性弹塑性等向强化模型画出相应的应力应变曲线。
7. 若Ｅ′＝Ｅ/100，给定应变路径是：０→41εS →0 →-41εS →0。
ａ）试按线性弹塑性随
动强化模型画出相应的应力应变曲线；ｂ）试按线性弹塑性等向强化模型画出相应的应
力应变曲线。
8. 受竖直载荷的对称桁架由理想弹塑性材料的三根等截面杆件构成（见附图）。
ａ）试讨
论求其弹性极限载荷和塑性极限载荷的主要步骤；ｂ）若施加的最大载荷大于弹性极限载荷而小于塑性极限载荷，试讨论当卸去载荷时各杆的残余应力和残余变形。
9. 已知单轴拉伸应力应变曲线为)(εσf =，讨论将该曲线用塑性应
变描述的)(1p f εσ=曲线和用塑性
功描述的)(2⎰=p d f εσσ曲线的方法。
10. ａ）各向同性材料在主应力空间的屈
服曲面具有哪些主要性质；ｂ）若分别用单轴拉伸实验和纯剪实验来测
定σS 和τS ，试在π平面上分别考虑怎样针对不同实验的结果绘出Mises 圆和Tresca 正六边形的示意图，并在图中标明Mises 圆的半径大小。
11. 一圆形薄壁圆筒，平均半径为Ｒ，厚度为ｔ，两端受拉力Ｐ及扭矩M t 的作用，试求
Mises 屈服条件的表达式（设材料单轴拉伸屈服应力为σS ）。
12. 材料的泊松比5.0≠v ，服从Mises 屈服条件，且知其屈服应力s σ。
设其单元体在受力
状态下σσ=xx 、0=yy σ、0=zz ε。
求该单元体达到屈服时?=σ。
13. 若材料由单轴拉伸实验得到的单轴应力应变曲线为σ =Φ(ε)，设弹性时的泊松比ν＝ν0
≠0.5。
试求在单轴拉伸过程中ν＝ν（ε）的规律；如果Φ(ε)=E ε[1-ω(ε)]，请写出ν＝ν(ε)的表达式。
14. （1）请叙述Drucker 公设所给出不等式()
021)1(2
≥∆∆+∆-p ij ij p ij ij ij εσεσσ的含义；（2）写出由Drucker 公设导出的正交流动法则的公式表达；（3）若加载面由Mises 圆柱面
()
0=-=Φ⎰p d εψσ描述（式中σ是Mises 等效应力，εp 是等效塑性应变）
，请写出正交流动法则的具体公式。
15. （1）问下式的含义；（2）试叙述导出下式的步骤（或思路）。
⎪⎭⎪⎬⎫+=+=P ij kl ijkl ij P ij kl ijkl ij M L εσεσεσ 16. 长封闭薄壁圆筒半径为ｒ，壁厚为ｔ，受内压ｐ的作用而产生塑性变形，忽略弹性应变，
设材料为各向同性理想塑性，求周向、轴向和径向应变的比例。
17. 对矩形截面梁，设其由理想弹塑性材料做成，当其受弯矩作用而作纯弯曲变形时，问如
何求解下列问题：ａ）弹性极限弯矩M e 和塑性极限弯矩M s ；ｂ）塑性区域随施加弯矩增加的变化规律。
18. 理想弹塑性材料等截面圆杆，求其弹性极限扭矩和塑性极限扭矩。
19. 试证明求解塑性极限载荷的上、下限定理（不考虑分布载荷）。
20. 已知薄壁圆筒半径为ｒ，壁厚为ｔ，受拉应力σσ=s
2的作用，若使用Mises 屈服条件，
试求施加多大的扭矩可使试件屈服。
若继续加载，求出此时塑性应变增量分量之间的比值。
21. 试证明简单加载情形下，Prandtl —Reuss 方程 de ds G s d d E
d ij ij ij kk kk =+=-212λενσ,与Hencky 方程
e s G s ij ij
ij =+2Φ, ενσkk kk E
=-12 等价。
22. 对线性随动强化材料，其加载条件可由下式给出：
Φ=32012
()()s c s c ij ij p ij ij p s --⎡⎣⎢⎤⎦⎥-=εεσ
若已通过试验得到简单拉伸应力应变曲线，且该曲线可用线性强化模型描述，问如何确定上式中的常数c ？
23. 矩形截面纯弯曲梁弹性状态下所受弯矩与梁最大正应力的关系可由公式m ax m ax y I
M σ=描述（123bh I =），设梁由理想弹塑性材料做成，试证明23=E P M M （式中P M 和E M 分别为塑性极限弯矩和弹性极限弯矩）。
24.。