人教版九年级上册数学二次函数知识点总结

二次函数知识点

一、二次函数概念：

1.二次函数的概念:一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零.二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项.

二、二次函数的基本形式

１． 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

２. 2y ax c =+的性质: 上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。

４. ()2

y a x h k =-+的性质:

四、

1. 平移步骤：

方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，

处,具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二：

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移:向左（右）平移m 个单位,c bx ax y ++=2

变成

c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

四、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ??

?,其中2424b ac b h k a a -=-=

，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2

y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴

的交点()0c ，

、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点．

六、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

，．

当2b x a <-

时,y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b

x a

=-时，y 有最小值244ac b a

-. 2. 当0a <时,抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ?

??

，.当2b

x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++(a ,b ，c 为常数,0a ≠)； ２. 顶点式：2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数，0a ≠);

3． 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠,1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有

抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数，显然0a ≠.

⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大，开口越小,反之a 的值越小,开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大，开口越大．

总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2． 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

a

-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b

a

-

=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时，02b

a

-

>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反，即

当0b >时，02b

a

->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时,02b

a

-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02b

a

-

<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.

ab 的符号的判定:对称轴a

b

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

3. 常数项c

⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况:

１． 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

３. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2

y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2

y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180°)

2

y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-;

()2

y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

５. 关于点()m n ，

对称 ()2

y a x h k =-+关于点()m n ，对称后,得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛

物线（或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况）:

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:

① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，

，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的两根.

这两点间的距离21AB x x =-=.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0，)c ;

3. 二次函数常用解题方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大(小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ，

c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

-- 图像参考:

y=-2x2

2

y=3(x+4)2

2

y=3x

2

y=-2(x-3)2

2-3

2

十一、函数的应用

二次函数应用??

???

刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中,如：

已知以x 为自变量的二次函数2)2(2

2

--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是

2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查

两个函数的图像，试题类型为选择题，如: 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12

-+=bx kx y 的图像大致是（ )

3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选

拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过（０,3),(４,6)两点,对称轴为3

5

=

x ,求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题，如： 已知抛物线2y ax bx c =++（ａ≠0)与x 轴的两个交点的横坐标是-1、３,与ｙ轴交点的纵坐标是-3

2

(1)确定抛物线的解析式;（2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 (1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(a

c b M 在( ）

A ．第一象限

B ．第二象限 C.第三象限 Ｄ.第四象限

(2)已知二次函数ｙ=ax 2+bx+ｃ(a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4ａ+b=0;④当y=-2时,x 的值只能取０.其中正确的个数是（ ) A ．1个 B.2个 C ．3个 D ．４个

(1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b ，c 之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ａx 2＋bx+ｃ的图象与ｘ轴交于点(-2,O ）、(ｘ1，０）,且1＜ｘ1＜２，与y 轴的正

半轴的交点在点(O ，2)的下方．下列结论:①aO ；③4a+cO,其中正确结论的个数为（ )

A １个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 答案：Ｄ

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x 的一元二次方程ａｘ２

+bx+c=3的一个根为x=-２，且二次函数ｙ＝a ｘ2

＋ｂx+ｃ的对称

轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为（ ）

A(2，-３) Ｂ.（２,1) C(2，３) D.(3，2) 答案:Ｃ

例4、(2006年烟台市）如图(单位：m ）,等腰三角形A ＢC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为y ｍ2. （1)写出y 与ｘ的关系式;

(２)当ｘ＝２,３．5时，ｙ分别是多少?

（3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、 对称轴.

例5、已知抛物线y=

12ｘ2+x-52

． (1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为Ａ、B,求线段AB 的长.

【点评】本题(1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

例6.已知：二次函数ｙ=ax 2

－(b ＋１)x －3a 的图象经过点P(4,１0），交x 轴于)0,(1x A ,)0,(2x B 两点

)(21x x ，交y 轴负半轴于C 点,且满足3AO=OB.

（1)求二次函数的解析式；(2）在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠ＭCO ＞∠ＡＣO ？若存在，请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在,请你说明理由． (1)解：如图∵抛物线交x 轴于点A(x 1,0)，B （x2，O), 则x 1·x ２=３<0，又∵x 1

∴x 2>O,ｘ1<Ｏ，∵30A=OB ，∴x 2=-3x 1.

∴x 1·ｘ2＝-３ｘ１2=-3.∴x 12

＝１． x 1＜0,∴x 1=－１.∴．ｘ２＝3． ∴点A （－1,Ｏ），Ｐ(４,1０)代入解析式得解得a ＝2 b=3

∴.二次函数的解析式为y-２x 2

-4x-6． (２)存在点M 使∠ＭC ０<∠ACO.

(2）解：点Ａ关于ｙ轴的对称点A ’(1，O),

∴直线A ，C 解析式为y=6x-６直线A'C 与抛物线交点为(0，-6），(5，24). ∴符合题意的ｘ的范围为－1＜x<0或O

当点M 的横坐标满足-1＜x

2

2

1的图象经过点Ａ（c,－2）,

求证：这个二次函数图象的对称轴是ｘ=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能，请说明理由。

(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评： 对于第(１)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是ｘ=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A(c ，－2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(２)小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 [解答] （1）根据c bx x y ++=

2

2

1的图象经过点A(c,-2）

，图象的对称轴是x=3，得???

????=?

--=++,3212,2212

b

c bc c 解得??

?=-=.

2,

3c b

所以所求二次函数解析式为.232

12

+-=x x y 图象如图所示。 （2)在解析式中令y ＝０，得

0232

12

=+-x x ,解得.53,5321-=+=x x 所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(3＋)0,5”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是

).0,53(-

令x ＝3代入解析式,得,2

5-=y 所以抛物线232

12+-=

x x y 的顶点坐标为),25,3(-

所以也可以填抛物线的顶点坐标为)2

5

,3(-等等。

函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为４的正方形截去一个角后成为五边形ＡＢＣＤE(如图），其中ＡＦ=2，ＢＦ＝1.试在AB 上求一点Ｐ,使矩形ＰN ＤM 有最大面积.

【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学

生的综合应用能力.同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2 某产品每件成本１0元，试销阶段每件产品的销售价x(元）?与产品的日销售量y(件）之间的关系如下表:

x（元) 15 20 3

０

…

y（件) 25 20 １

…

若日销售量y是销售价x

(1）求出日销售量y（件)与销售价x（元)的函数关系式;

(2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？

【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则

1525,

220

k b

k b

+=

?

?

+=

?

解得k=-1，b=４0,?即一次函数表达式

为ｙ=-x+40.

（２）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

w=（x-10）(40-x)=-x２＋50x-40０=-（x-25）２+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数；

(2)?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

例３.你知道吗？平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳

的甲、乙两名学生拿绳的手间距为４ m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离１m、2．5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如右图所示）

( )

A.1.5 ｍ B．１．625 m

C．1．6６ｍ D．１.67 m

分析：本题考查二次函数的应用

答案:Ｂ