0-1型整数规划

最优结果为总支付报酬每周727.5元 值班方案为：
学生代号 1 2 3 4 5 6 一 6 4 8 5 3 2 6 2 二 三 6 6 5 2 6 四 五 7
3
例B 清远市下设八个区，下表给出救护车从一个区至另一 个区的车程时间（min）该市拟建救护中心，要求各区离救 护中心的车程时间必须在8min之内，是为该市提供决策建 议：至少建多少个救护中心，建于何处？
(x1,x2,x3) Z值 a
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1)
0 5 -2 3
√ √
b √ √
c √ √
d 过滤条件 √ Z≥0 Z≥5 √
(1,0,0)
(1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
3 8 1
6
√
√
√
√
Z≥8
按目标函数中各变量系数的大小重新排列各变量 最大化问题：由小到大 最小化问题：由大到小
max z 5 x3 3 x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 2 ① x3 x1 4 x 2 4 ② st x1 x 2 3 ③ x 4 x 6 ④ 2 3 xi 0或1, i 1， 3 2，
2．相互排斥的约束条件
如果有m个互相排斥的约束条件（<=型）：
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
i 1, 2,, m
为了保证这个约束条件只有一个起作用，我们引
入m个0－1变量 yi i 1,2,..., m 和一个充分大的 常数M，而下面这一组m+1个约束条件 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi yi M i 1, 2,, m
5 x1 4 x2 24 +(1-y)M 例1.某厂拟用集装箱托 7 x 3 x 45 运甲、乙两种货物，每 +yM 2 1 箱的体积、重量、可获 2 x1 5 x2 13 st.利润以及托运所受限制 如右表所示。问两种货 x1 , x2 0 x1 , x 2为整数 物各托运多少箱，可使 获得利润为最大？ y为0 1变量
目标函数z ＝3x1－2x2＋5x3＝ 5x3＋3x1－2x2 最大值的上限是8， 第二大的值是5… 可根据计算逐渐改变过滤条件(该例因 5x3＋3x1－2x2≥8 ⑤ 最大值的点满足其他四个约束，即找 到最大化问题的最好的整数解。
不起作用
用船运时y 1 5 x1 4 x 2
7 x1 3x 2 45
不起作用
例：某公司有5个项目列入投资计划，各项目的投 资额和期望的投资收益见下表：
项目 投资额 投资收益
1
2 3 4 5
210
300 150 130 260
160
210 60 80 180
该公司只有600万元可用于投资，由于技术上的原因， 投资受到以下约束： 1.在项目1、2和3中必须只有一项被选中； 2.在项目3和4中只能选中一项； 3.项目5选中的前提是项目1必须被选中。 如何在上述条件下选择一个最好的投资方案，是投资收益 最大？
4 3 6 200 12
300 200
解：设xj是第j种产品的产量，j=1，2，3；再设 1, 若生产第j种产品（即xj>0） j=1，2，3 y 0, 若不生产第j种产品（即xj=0） 则问题的模型为
max Z 4 x1 5 x2 6 x3 100 y1 150 y2 200 y3 2 x1 4 x2 8 x3 500 2 x 3 x 4 x 300 2 3 1 x1 2 x2 3 x3 100 x1 M 1 y1 s.t. x2 M 2 y2 x3 M 3 y3 且为整数，j=1，2，3 x j 0 y j 0或1， j=1，2，3
3 固定费用问题
例 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变 费用及售价、资源单耗量及组织三种产品生产的固定费用如 表。要求制定一个生产计划，使总收益最大
产品 单耗量 资源
a 2
b 4
c 8
资源量
A
500
B C
单件可变费用 固定费用 单件售价
2 1 4 100 8
3 2 5 150 10
求解的结果为x1=1，x6=1，即至少在1、6两个区各设一救护中心
第四节 0-1整数规划
二、0-1整数规划的解法 隐枚举法：只检查变量取值的组合的一部分的方法。
例：求解下列问题 MaxZ 3 x1 2 x2 5 x3 x1 2 x2 x3 2 x1 4 x2 x3 4 st. x2 x3 3 4 x2 x3 6 x1 , x2 , x3 0或1
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； x4 x5 1 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； x6 x7 1
st.
在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 x 0或1
i

i 1

7
如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元， 但投资总额不能超过B元。问应选择哪个点可使年利润最大？
解：引入0 1变量 1，当A i点被选用 0-1整数规划 第四节 i 1,2, ,7 令x i 0，当A i点没被选用
建模如下：
0-1规划的实际问题：
MaxZ ci x i
7
1、投资场所的选定－－相互排斥的计划 bx B
i 1 例：某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，拟议中有7个 位置Ai(i=1,2,…,7)可供选择。规定x 3 2 x1 x 2 i i
货物
体 积 每箱（米3） 重 量 每箱（百公斤）
利 润 每箱（百元）
甲
乙
托运限制
5 2
4 5
24 13
20 10
第五章：0 -1整数规划
互相排斥的约束条件： 5x1 4 x2 24 用车运的体积约束 用船运的体积约束 7 x1 3x2 45
0 用车运 y 1 用船运
6 0 4 5 3 0
0 6 8 5 0 6
6 0 3 6 4 0
0 6 0 0 8 6
7 0 5 4 0 3
该实验室开放时间是上午8点至晚上10点，开放时间内须有 且仅需一名学生值班，规定大学生每周值班不少于8h，研 究生每周不少于7h，每名学生每周值班不超过3次，每次值 班不少于2h，每天安排值班的学生不超过3人且其中必须有 一名研究生，试为该实验室安排一张人员的值班表，使总支 付的报酬最少 解： 设xij为学生i在周j的值班时间，
应用举例
例A 东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号1、2、 3、4）和2及每人每h值班的报 酬如下表
学生 代号 报酬 （元/h) 每天最多可安排的值班时间
周一 周二 周三 周四 周五
1 2 3 4 5 6
10 10 9.9 9.8 10.8 11.3
第四节 0-1整数规划
一、什么是0-1整数规划 决策变量只能取0或1的整数规划，叫做0-1整数规 划。决策变量称为0-1变量(二进制变量、逻辑变量)。 0-1变量作为逻辑变量，常被用来表示系统是否处于某 个特定状态，或者决策时是否取某个特定方案。
1 当决策取方案P时 x 0 当决策不取方案P(即取P )时
解法二：重新排列xj的顺序(系数递减)
max z 3 x1 2 x 2 5 x3 x1 2 x 2 x3 2 ① x1 4 x 2 x3 4 ② st x1 x 2 3 ③ 4 x x 6 ④ 3 2 xi 0或1, i 1， 3 2，
至 从
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7
8
9 10
11 12 7
13 13 7 8
14 11 8 7 8
8 17 12 10 14 10
15 14 10 9 16 7 12
解：先根据表整理出若救护中心建于该区时，救护车程 8min内所能覆盖的区，见于下表
救护中心设于该区 救护车程8min内所能覆盖的区
例：求解下列问题 MaxZ 3 x1 2 x2 5 x3 x1 2 x2 x3 2( a ) x1 4 x2 x3 4(b) st. x2 x3 3(c) 4 x2 x3 6(d ) x1 , x2 , x3 0或1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 3 3 3 1 6
2 2 4 4 4 4 7 8
7
5 5 5 5 6 6 6 6
8
设
1 xj 0
min
该区设救护中心 否则
列出数学模型如下
Z
x
j 1
8
j
x1 x2 1 x x x x 1 4 5 6 3 x3 x4 x5 x6 x8 1 s.t. x1 x7 1 x6 x8 1 x j 0 /1( j 1, , 8)
5 x1 4 x 2 24 yM 7 x1 3x 2 45 (1 y ) M 5 x1 4 x 2 24 yM 7 x1 3x 2 45 (1 y ) M
用车运时y 0
5 x1 4 x 2 24 7 x1 3x 2
解：设
1，项目i被选中 xi 0, 项目i未被选中 只有600万元可用于投资 i 1,2,3,4,5
在项目1、2和3中必须只有一项被选中 则maxz 160 x1 210 x 2 60 x3 80 x 4 180 x5
210 x1 300 x 2 150 x3 130 x 4 260 x5 600 x x x 1 在项目3和4中只能选中一项 1 2 3 s.t. x3 x 4 1 项目5选中的前提是项目1必须被选中 x x 1 5 xi 0或1，i 1,2,3,4,5