0-1型整数规划习题
用Lingo求解整数(0-1)规划模型
1、建立数学模型， 2、用lingo循环语句编写程序.
上机作业题 人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一
定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
班次
时间段
人数 班次
时间段
人数
1
6:00～9:00
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
例 4 求函数 z x 22 y 22 的最小值.
解: 编写Lingo 程序如下:
min=(x+2)^2+(y-2)^2; @free(x); 求得结果: x=-2, y=2
二、Lingo 循环编程语句
(1) 集合的定义 包括如下参数: 1) 集合的名称.
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目标函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6：人员选拔问题
队员号码 身高 / m 位置 队员号码 身高 / m 位置
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题
min z 2 x1 5 x2 3 x3
4 x1 x2 x3 0
2
x1
4 x2
2 x3
2
x1
x2
x3
2
xi 0 且取整数, i 1, 2, 3
Lingo 程序:
min=2*x1+5*x2+3*x3; -4*x1-x2+x3>=0; -2*x1+4*x2-2*x3>=2; x1-x2+x3>=2; @gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
运筹学 0-1整数规划
两个值， 解：对于0－1 规划问题，由于每个变量只取 ，1两个值，一般会用穷举法来解， 对于 － 规划问题，由于每个变量只取0， 两个值 一般会用穷举法来解， 即将所有的0， 组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。 即将所有的 ，1 组合找出，使目标函数达到极值要求就可求得最优解。但此法太繁 工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件， 琐，工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加入一定的条件，就能较快 的求得最优解。 的求得最优解。
每周工时(小时 月 每周工时 小时/月) 小时
B1 0.3 0.7 250
B2 0.2 0.1 100
B3 B31 0.3 0.5 150 B32 0.2 0.4 120
利润 （元/件） 件 25 40
– 解：设A1、A2产品的生产数量分别为 1、x2件，在不 产品的生产数量分别为x 考虑B 相互排斥的情况下， 考虑 31和B32相互排斥的情况下，问题的数学模型为
约束条件 x1 . x2. x3 ( 0. ( 0. ( 0. ( 0. ( 1. ( 1. ( 1. ( 1. 0. 0 ) 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1) 0) 1) 0) 1) 0) 1) Z值 0 5 －2 3 3 8 1 6 0 2 1 1 Z≥8 (1) 0 －1 (2) 0 1 (3) 0 0 0 1 (4) 过滤条件 Z≥0 Z≥5
m a x z = 2 5 x1 + 4 0 x 2
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï+£ïí+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï-+£ïí+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++£ìï+£íï³î7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+£ìï£ïí+£ïï³î二．对偶单纯性法二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++£ìï+³ïí£ïï³î 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++£ìï+³ïï-³íï³ïï³î4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 124123412341234min 262335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++£ìï-+-³íï³î5.运用对偶单纯形法解下列问题（共运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）分） 12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+³íï³î6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î三．0-1整数规划整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-³ìï+--+³ïí--+++³ï=î 2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+£ì++³ïí+³ïï=î 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++£ìï++++£ïí++++£ïï=î或 4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+£ìï-+-+£íï=î或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++³ì-+++³ïí+-+³ïï=î或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++£ìï+-+£ïí-+-³ï 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-£ìï++£ïï+£íï+£ïï=四.K-T 条件条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共）条件求解以下问题（共 15 分）分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+£ìï+£íï³î2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
0-1模型例题
0-1模型例题
以下是一个简单的0-1规划模型例题：
问题描述：某公司生产某种产品，需要经过三个阶段，每个阶段都需要投入一定数量的资源。
目标是在满足市场需求的前提下，最小化总成本。
每个阶段都有一定的生产能力限制，同时市场需求也有限制。
决策变量：
•x1：第一阶段资源投入量（0或1）
•x2：第二阶段资源投入量（0或1）
•x3：第三阶段资源投入量（0或1）
约束条件：
1.第一阶段生产能力限制：x1 <= 1
2.第二阶段生产能力限制：x2 <= 1
3.第三阶段生产能力限制：x3 <= 1
4.市场需求限制：x1 + x2 + x3 >= 1
5.总成本限制：3x1 + 2x2 + x3 <= 10
目标函数：最小化总成本，即 3x1 + 2x2 + x3
这是一个简单的0-1规划问题，可以使用整数规划方法求解。
通过求解该问题，可以得到最优的资源投入组合，从而最小化总成本，满足市场需求。
0-1整数规划模型1专题培训课件
指派问题的数学模型为：
n
n
min Z
c ij x ij
i1 j1
n
x ij 1
( i 1 .2 . .n )
j1
n
x ij 1
( j 1 .2 . .n )
i1
x
ij
取
0或
1(
i,
j
Байду номын сангаас
1 .2 .
.n )
克尼格定理 : 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元 素中分别减去(或加上)一个常数ui，从每一列 中分别减去(或加上)一个常数vj，得到一个新 的效率矩阵[bij]，则以[bij]为效率矩阵的分配 问题与以[aij]为效率矩阵的分配问题具有相同 的最优解。
xij＝0或1
可见指派问题是0-1 型整数规划的特例。不 难发现，指派问题也是 运输问题的特例，其产 地和销地数都为n，各 产地的产量和各销地的 销量都为1。
指派问题的求解，最简便易行的方法是匈牙利法。
匈牙利法基于下面的效率矩阵：
（cij）=
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n ……………….
第三步：用最少的直线覆盖所有0元素。 (1)给无◎的行打“√”； (2)给打√行中含有0元素的列打“√”； (3)给打√列中含有◎元素的行打“√”； (4)重复(2)、(3)，直到无新的“√”打出。 (5)给没有打√的行画横线，给打√的列画纵线。
第四步：变换系数矩阵，增加0元素。在未被画线 覆盖的其它元素中找出最小元素，各打“√”行减 去最小元素，各打“√”列加上最小元素，转第二 步。
第一步：变换系数矩阵，使每行每列都出现0元素。 (1) 系 数 矩 阵 的 各 行 分 别 减 去 各 行 中 的 最 小 元 素 ； (2)所得系数矩阵的各列再分别减去各列中的最小元 素。
用Lingo求解整数(0-1)规划模型.
Lingo 程序: max=2*x1+5*x2+3*x3+4*x4;
-4*x1+x2+x3+x4>=0; -2*x1+4*x2+2*x3+4*x4>=1; x1+x2-x3+x4>=1; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);@bin(x4);
温州大学城市学院
例 2 用Lingo软件求解整数规划问题 min z 2 x1 5 x2 3 x3
温州大学城市学院
注意:
Lingo 默认变量的取值从0到正无穷大,
变量定界函数可以改变默认状态.
@free(x): 取消对变量x的限制(即x可取任意实数值)
例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
2 2
温州大学城市学院 例 4 求函数 z x 2 y 2 的最小值.
,8
温州大学城市学院
温州大学城市学院
上机作业题
要求：
1、建立数学模型，
2、用lingo循环语句编写程序.
温州大学城市学院
上机作业题
人员安排问题
某城市的巡逻大队要求每天的各个时间段都有一 定数量的警员值班, 以便随时处理突发事件, 每人连续 工作6h, 中间不休息. 如表所示是一天8个班次所需值 班警员的人数情况统计:
成绩 甲 乙 丙 丁 自由泳 / s 56 63 57 55 蛙泳 / s 74 69 77 76 蝶泳 / s 61 65 63 62 仰泳 / s 63 71 67 62
甲, 乙, 丙, 丁 四名队员各自游什么姿势 , 才最有可能取得好成绩?
温州大学城市学院
0-1型整数规划
最优结果为总支付报酬每周727.5元 值班方案为：
学生代号 1 2 3 4 5 6 一 6 4 8 5 3 2 6 2 二 三 6 6 5 2 6 四 五 7
3
例B 清远市下设八个区，下表给出救护车从一个区至另一 个区的车程时间（min）该市拟建救护中心，要求各区离救 护中心的车程时间必须在8min之内，是为该市提供决策建 议：至少建多少个救护中心，建于何处？
(x1,x2,x3) Z值 a
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1)
0 5 -2 3
√ √
b √ √
c √ √
d 过滤条件 √ Z≥0 Z≥5 √
(1,0,0)
(1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
3 8 1
6
√
√
√
√
Z≥8
按目标函数中各变量系数的大小重新排列各变量 最大化问题：由小到大 最小化问题：由大到小
max z 5 x3 3 x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 2 ① x3 x1 4 x 2 4 ② st x1 x 2 3 ③ x 4 x 6 ④ 2 3 xi 0或1, i 1， 3 2，
2．相互排斥的约束条件
如果有m个互相排斥的约束条件（<=型）：
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
i 1, 2,, m
为了保证这个约束条件只有一个起作用，我们引
入m个0－1变量 yi i 1,2,..., m 和一个充分大的 常数M，而下面这一组m+1个约束条件 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi yi M i 1, 2,, m
整数线性规划及0-1规划
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
57.5, 方案是否调整？ 敏感性分析？ IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO 输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。 c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
约束 条件
4
Min
Z
c
j 1 i 1
4
5
ij
x ij
每人最多入选泳姿之一
每种泳姿有且只有1人
x ij 1, i 1, 5
5
x ij 1, j 1, 4
j 1
i 1
模型求解
输入LINDO求解
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件
先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x 3 x1 , x 3 x 2
2 x 3 x1 x 2 0
x4 x7
应用统计 微积分；线性代数
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x2=0 或 80 x3=0 或 80
x 1 ( x 1 80 ) 0
x 2 ( x 2 80 ) 0
x 3 ( x 3 80 ) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP） NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。
奥鹏[北京交通大学]《管理运筹学》在线作业二-0001满分参考1
北交《管理运筹学》在线作业二-0001
若原问题是一标准型，则对偶问题的最优解值就等于原问题最优表中松弛变量的
（）
A:值
B:个数
C:机会费用
D:检验数
参考选项：C
在灵敏度分析中，某个非基变量的目标系数的改变，将引起某变量的检验数的变化，这个变量是（）
A:基变量
B:非基变量
C:决策变量
D:该非基变量自身
参考选项：D
求解0—1整数规划的方法是（）
A:割平面法
B:分枝定界法
C:隐枚举法
D:匈牙利法
参考选项：C
一般讲，对于某一问题的线性规划与该问题的整数规划可行域的关系存在（）A:前者大于后者
B:后者大于前者
C:二者相等
D:二者无关
参考选项：A
关于图论中的图，以下叙述不正确的是（）
A:图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B:图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
C:图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。
D:图论中的图，可以改变点与点的相互位置。
只要不改变点与点的连接关系。
参考选项：C
对偶求目标函数最小值的线形规划问题，有m个变量n个约束条件，它的约束条件都是______不等式
A:小于
B:大于
C:小于等于
D:大于等于
参考选项：D
1。
运筹学01整数规划
第四节 0-1整数规划
• 问题的提出：
0-1整数规划是线性规划及整数规划的一种特殊形式。 模型结构和形式是线性规划，只是决策变量取0或1。 例1：投资场所的选定——相互排斥的计划 某公司拟在城市的东、西、南三区建立分公司，拟议中有七 个位置Ai（i=1, 2,…,7), 规定在东区A1,A2,A3个点中至多选二个; 在 西区A4,A5两点中至少选一个; 在南区A6,A7中至少选一个, 如选用Ai 点,设备投资估计为bi元, 每年可获利润估计为ci元, 但投资总额不能 超过B元, 问应选择哪几个点可年利润最大?
解：求解过程见下表
(x1,x2,x3) （0,0,0）
(0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
Z值 0 5 -2 3 3 8 1 6
约束条件
过滤条件 Z0 Z5
Z8
所以，最优解为（x1，x2，x3)T=(1,0,1)T, 最优值为8.
令
xi
1
0
当Ai点被选用 当Ai点未被选用
i=1, …,7
7
max Z c i x i
i1
7
bixi
B
i1
x1 x 2 x 3 2
s .t
x
4
x5
1
x
0 or 1
例2: 相互排斥的约束条件