整数规划习题解答
运筹学：整数规划习题与答案
一、单选题1、下列说法正确的是（）。
A.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值正确答案：A2、整数规划的最优解中，决策变量满足（）。
A.决策变量不是整数B.没有要求C.决策变量至少有一个是整数D.决策变量必须都是整数正确答案：D3、下列（）可以求解指派问题。
A.梯度法B.牛顿法C.单纯形法D.匈牙利法4、整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是（）。
A.隐枚举法B.0-1规划法C.分支定界法D.割平面法正确答案：D5、标准指派问题（m人，m件事）的规划模型中，有（）个决策变量。
A.都不对B. m*mC. mD.2m正确答案：B二、判断题1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。
（）正确答案：×2、整数规划的可行解集合是离散型集合。
（）正确答案：√3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。
（）4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比较和剪枝。
（）正确答案：×5、用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。
（）正确答案：√。
第8章_整数规划(带答案)
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 10 16 10 0 24 16 24 0 28 32 12 27 17 27 20 10 21
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14
6 20 10 21 25 14 0
18
二、背包问题（补充）
背包可装入 8 单位重量， 10 单位体积物品。若 背包中每件物品至多只能装一个，怎样才能使背包 装的物品价值最高。 物品 名称 重量 体积 价值
4
§1 整数规划的图解法
例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及 托运所受限制如表所示。
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 (立方米) 195 273 1365
每件重量 (百千克) 4 40 140
每件利润 （百元） 2 3
甲种货物至多托运 4 件，问两种货物各托运多 少件，可使获得的利润最大。
例6．有四个工人，要分别指派他们完成四项 不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间 如下表所示，问应如何指派工作，才能使总 的消耗时间为最少。
工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 10 16 10 0 24 16 24 0 28 32 12 27 17 27 20 10 21
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14
6 20 10 21 25 14 0
第2个地区建一个（地区1、2、6都解决了）
第4个地区建一个（地区3、4、5都解决了）
运筹学答案_第_8_章__整数规划
b.该目标函数的数学模型为： minz=100y1+300y2 +200y3 +7x1+2x2 +5x3 s.t. x1+x2 +x3 =2000， 0.5x1+1.8x2 +1.0x3 ≤ 2500， x1 ≤ 800， x2 ≤ 1200， x3 ≤ 1400， x ≤ yM，
1 1
x2 ≤ y2M， x3 ≤ y3M ， x1，x2，x3 ≥ 0，且为整数，y1，y2，y3 为 0-1 变量。 目标函数最优解为 : x1*=0,x2*=625,x3*=1375,y1=0,y 2 =1,y3=1,z*=8625
minz=100y1+300y2 +200y3 +7x1+2x 2 +5x3 s.t. x1+x2 +x3 =2000， 0.5x1+1.8x2 +1.0x3 ≤ 2000， x1 ≤ 800， x2 ≤ 1200， x3 ≤ 1400， x1 ≤ y1M， x2 ≤ y2M， x3 ≤ y3M ， x1，x2，x 3 ≥ 0，且为整数，y1，y2，y3 为 0-1 变量。 目标函数最优解为 : x1*=370,x2*=231,x3*=1399,y1=1,y 2 =1,y3=1,z*=10647
max z=7x1+9x2 +3x3 -x1 +3x2 +x3 ≤ 7, 7x1+x2 +x3 ≤ 38, x1,x2,x3 ≥ 0,且 x1 为整数，x3 为 0-1 变量。
目标函数最优解为 : x1*=5,x2*=3,x3*=0,z*=62 。 2．解：设 xi 为装到船上的第 i 种货物的件数，i=1,2,3,4,5。则该船装载的货 物取得最大价值目标函数的数学模型可写为： max z=5x1+10x2 +15x3 +18x4 +25x5 s.t. 20x1+5x2 +10x3 +12x4 +25x5 ≤ 400000, x1+2x2 +3x3 +4x4+5x5 ≤ 50000, x1+4x4 ≤ 10000 0.1x1+0.2x2 +0.4x3 +0.1x4 +0.2x5 ≤ 750, xi ≥ 0,且为整数，i=1 2 3 4 5。 目标函数最优解为 : x1*=0,x2*=0,x3*=0,x4*=2500,x5*=2500,z*=107500. 3．解：设 xi 为第 i 项工程，i=1,2,3,4,5,且 xi 为 0-1 变量，并规定，
第二章 整数规划+答案
故最优解为：X
0010
1 0
0 1
0 0
0 0
，最优值为 14。
0001
6103 0211 1030 5300
5、在今后三年内有五项工程考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用（千元）如表所示。假定 每一项已批准的工程要在三年内完成，目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
工程
第1年
费用（千元） 第2年
2 3 14 s. t. 4 2 18
, 0 且为整数
B：X=（3.25,2.5）z=14.75
x2<=3
x2>=4
B1：X=（3,2.67）z=14.33
B2：X=（4,1）z=14
x2<=2
x2>=3
B11：X=（3,2）z=13
B12：X=（2.5,3）z=13.5
所以，最优解为：X=（4,1），最优值为 14。
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：（1）由于任务数多于人数，所以需要一名假想的人，设为戊。因为工作 E 必须完成，故设戊完
成 E 的时间为 M，其余的假象为 0，建立如下的效率矩阵。
任务
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
解：变换目标函数 max Z=16‐（2 3 5 6 ）
运筹学习题解答(chap4 整数规划与分配问题)
第四章 整数规划与分配问题一、建立下列问题的数学模型1、P143, 4.1 利用0－1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件 (a) 221≤+x x 或53221≥+x x ； (b) x 取值0,3,5,7中的一个； (c) 变量x 或等于0，或50≥； (d) 若21≤x ，则12≥x ，否则42≤x ； (e) 以下四个约束条件中至少满足两个：6225433121≥+≥≤≤+x x x x x x ，，，。
解：(a) 设⎩⎨⎧=否则。
，个条件起作用；第1i ,0y i （i=1,2）,M 为任意大正数。
则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≥++≤+1y y My -5x 3x 2My 2x x 21221121(b) 设⎩⎨⎧=≠=ix i x y i ,1,0，7,5,3,0=i ，则原条件可表示为⎩⎨⎧=++++++=1753075307530y y y y y y y y x(c) 设⎩⎨⎧≥==50,10,0x x y ，则原条件可表示为⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥≤0)1(50x M y x yM x(d)⎩⎨⎧=否则。
，组条件起作用；第1i ,0y i （i=1,2）,M 为任意大正数。
则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++≤->-≥+≤.1,4,2,1,22122211211y y My x My x My x My x (e)设⎩⎨⎧=个条件不成立第个条件成立第i ,1i ,0y i ，4,3,2,1i =，则原条件可表示为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+++-≥+-≥+≤+≤+2y y y y My 6x x My 2x M y 2x M y 5x x 43214433321121 2、P143, 4.2 某钻井队要从以下10个可供选择的井位确定5个钻井探油，目的是使得总的钻探费用最小。
若10个井位代号为101S ,...,S ，相应的钻探费用为101C ,...,C ，并且井位的选择要满足下列条件：（1）或选择1S 和7S ，或选择8S ；（2）选择了3S 或4S 就不能选择5S ，反过来也一样； （3）在10962S ,S ,S ,S 中最多只能选两个。
第四章整数规划与分配问题习题
1
0
X1 32/7 1 0 0 1/7 -1/7 0
X3 11/7 0 0 1 1/7 -22/7 0
S1 -4/7 0 0 0 [-1/7] -6/7 1
Cj—Zj
0 0 0 -1
-8
0
X2 3
0
00
1
0
X1 4 1 0 0 0
-1 1
X3 1 0 0 1 0
-4 1
X4 4 Cj—Zj
0001 0000
解：
（1）
LP（1）
1 x1 = 39
7 x2 = 29
5 Z1 = 329
z = 32 5 9
z = 28
x1≤3 LP（4） x1 = 3 x2 = 2 z4 = 28
剪去
x2≤2
x2≥3
LP（2） 1
x1 = 32 x2 = 2
z2 = 31
LP（3） 2
x1 = 25
x2 = 3 4
z3= 315
x3* = (1,2)T , z * = 3 由于表 3(b)中一非基变量x5的检验数为 0，故让x5进量，用单纯形法迭代一次，得另一最优解
（见表 4）：
x3* = (2,1)T , z * = 3
8、 用完全枚举法求解 0—1 规划问题.
max z = 3x1 − 2x2 + 5x3 s.t. x1 + 2x2 − x3 ≤ 2
变换效益矩阵：
⎛0 1 2 3⎞⎛0 ⎞ ⎛0 1 2 3⎞ ⎛ⓞ Ø 2 3 ⎞
Ci'j
=
⎜ ⎜ ⎜
7 8
6 9
5 9
4 8
⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜ ⎜
−4 −8
运筹学之整数规划
f 130
* 1
f 2* 135
B1 的解 X1* (5,4)T 是整数最优解,它当然也是问题 A0 问题
* * 的整数可行解,故 A0 的整数最优解 Z f1 130.
即此时可将 Z 修改为:
Z f1* 130
同时问题 B1 也被查清, 成为“树叶”。
题 A0 的最优目标函数值决不会比它小,故可令 Z =0.
3. 增加约束条件将原问题分枝 当问题 A0 的最优解 X 0* 不满足整数条件时,在 X 0* 中任选一个
不符合整数条件的变量.如本例选 x1 5.6,
显然问题 A0 的
整数最优解只能是 x1 5 或 x1 6 ,而绝不会在5与6之间.
规划.
问题 A1
max Z 20x1 10x2
问题 A2
max Z 20x1 10x2
5 x1 8 x2 60 x1 8 s.t x2 4 x1 5 x1 , x2 0, 取整数
5 x1 8 x2 60 x1 8 s.t x2 4 x1 6 x1 , x2 0, 取整数
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
运筹学04-整数规划-匈牙利解法
13 8 7 2 2 1 7 0 12 0 0 4 2
6
11
0
4 2
11 8 9 0 1 3 2
1 8 4
0 1 1 0 8 0 0 4
第四章 整数规划
例：有甲、乙、丙、丁四个熟练工人，他们都是多面手， 有4个任务要他们完成，若规定每人只分配一次任务， 而每项任务只能由一个人完成，每人未完成每项任务的 工时耗费如表所示，问如何分配使完成任务的总工时耗 费最少？
表 零件机床 甲 乙 丙 丁 零件 A 4 9 8 6 1 任务分配工时耗费表 B 1 8 4 5 1 C 8 4 6 7 1 D 2 7 3 2 1 机床 1 1 1 1
7
4
0
4
0 2
2
2 4 // 0 0
0 2 1 0//
// 0
7
4
0
4
0 2
2
2 4 // 0 0
第四章 整数规划
D、目标函数为最大的任务分配问题
如果目标函数为MAX型，则不属于标准的任务分配模型，不 能直接运用匈牙利解法求解，这就需要先对max模型进行变换， 然后再求解。 例：有甲、乙、丙、丁4人分别操作4台机器，每个工人操作不 同机器时的产值如表，求对4个工人分配不同机器时总产 值最大的方案。
分配问题与匈牙利法
C (95 c ij )
解: M＝95，令
10 0 C ＝ 13 9
0 1 X＝ 0 0
3 8 12 5
22 17 16 15
5 0 5 7
0 0 1 0
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用割平面法解整数规划问题
min w x2 2 x3 x1 2 x2 x3 2 x2 3 x3 1 s .t . x2 x3 2 x , x , x 0且为整数 1 2 3
解：不考虑整数约束条件求解伴随规划问题
min w x2 2 x3 x1 2 x2 x3 2 x2 3 x3 1 s .t . x2 x3 2 x , x , x 0 1 2 3
练 习
解：第一步：对效率矩阵进行变换：
4 7 6 6 6
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 10 10 6
0 0 0 0 0
3 1 2 0
0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 2 3 4 0
√
所有零元可以用4条直线覆盖，说明只有最多4个独立零元。 需要对效率矩阵进行进一步的变换（增加独立零元个数）
练 习
第四步：增加独立零元素
0 0 0 0 0 3 1 2 0 0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 2 3 4 0 0 0 X* 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 3 0 1 0 0 11 8 6 6 2 2 1 0 5 0 4 2 3 4 0
练 习
cj
CB 0 1 -2 0 -z XB x1 x2 x3 x6 b 13/2 5/2 1/2 -1/2 -3/2
0
x1 1 0 0 0 0
1
x2 0 1 0 0 0
-2
x3 0 0 1 0 0
0
x4 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2
0
x5 5/2 3/2 1/2 -1/2 -1/2
原问题的整数最优解为X * (7, 3,1), w* z* 1
练 习
用匈牙利法求解指派问题，其效率矩阵如下：
任务 人员 甲 乙 丙 丁 戊 1 4 7 6 6 6 2 8 9 9 7 9 3 7 17 12 14 12 4 15 14 8 6 10 5 12 10 7 10 6
以x4 , x5 , x6为基变量，B ( p4 , p5 , p6 ) E为初始可行基， 运用单纯性法求解
（增加了人工变量x4）
练 习
（2）不增加人工变量，通过对约束方程组进行行变换得到 初始可行基
max z x2 2 x3 2 x1 2 x2 x3 x4 1 x2 3 x3 s.t . x5 2 x2 x3 x , x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5 6
0
x6 0 0 0 1 0
练பைடு நூலகம்习
由对偶单纯性法可得
cj
CB 0 1 -2 0 -z XB x1 x2 x3 x4 b 7 3 1 1 -1
0
x1 1 0 0 0 0
1
x2 0 1 0 0 0
-2
x3 0 0 1 0 0
0
x4 0 0 0 1 0
0
x5 3 2 1 1 0
0
x6 -1 -1 -1 -2 -1
0
x4 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2
0
x5 5/2 3/2 1/2 -1/2
练 习
伴随规划问题的最优解不是整数解，构造割平面（由 最终表中任意一个不取整数值得基变量所对应的约束方程 进行构造，不妨选x3）
1 1 1 - x4 x5 x 6 2 2 2
加入上面的最终单纯性表，得
练 习
第二步：确定独立零元，进行试指派
0 0 0 0 0 3 1 2 0 0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 2 3 4 0
只找到4个独立零元，（需要确定是否有5个独立零元）进 入下一步。
练 习
第三步：作最少的直线覆盖所有的零元素
0 0 0 0 0 3 1 2 0 0 11 8 7 7 3 √ 3 2 1 √ 5 0 4 2 3 4 0
解矩阵为
以x1 , x4 , x5为基变量，B ( p1 , p4 , p5 ) E为初始可行基， 运用单纯性法求解，得到的最终单纯性表为
练 习
cj
CB 0 1 -2 -z XB x1 x2 x3 b 13/2 5/2 1/2 -3/2
0
x1 1 0 0 0
1
x2 0 1 0 0
-2
x3 0 0 1 0
练 习
将其标准化： （1）采用M法
max z x2 2 x3 Mx4 2 x1 2 x2 x3 x4 x5 1 x2 3 x3 s .t . x6 2 x2 x3 x , x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5 6