第五章 整数规划练习题答案教程文件
运筹学第五章整数规划
分解 ai0 , j和 bi0 成最大整数与正分数之和：
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xi0 ai0 , j x j bi0 xi0 ( Ni0 , j f i0 , j )x j Ni0 f i0 xi0 Ni0 , j x j Ni0 f i0 f i0 , j x j
S1
x2 2
B: x1=2,x2=23/9 Z=41/9
x2 3
D: S12 x1=33/14,x2=2 Z=61/14
S11
无可行解
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对S12分枝：
构造约束：
x1 3
X
2 5
4
和
x1 2
3
3 10 A( , ) 2 3
形成分枝问题S121 和S122，得解E和F
形成松弛问题2
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CB XB 3 x1 -1 0 0 x2 x4 x6
3 -1 0 0 x1 x2 x3 x4 1 0 1/7 0 0 0 0 0 1 -2/7 0
0 x5 2/7 3/7
0 x6 0 0 0 1 0
b 13/7 9/7 31/7 -6/7
首先不考虑变量的整数约束，求解相应的线性规划问题：
z0
Max z = CX AX = b X0
D
C
下界
O Ir
Max z = CX AX = b xr Ir X0 Max z = CX AX = b xr Ir+1 X0
整数规划习题
第五章 整数规划习题5.1 考虑下列数学模型)()(m in 2211x f x f z += 且满足约束条件（1）或101≥x ，或102≥x ； （2）下列各不等式至少有一个成立：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+15215152212121x x x x x x（3）021=-x x 或5或10 （4）01≥x ，02≥x 其中)(11x f =⎩⎨⎧=>+0,00,520111x x x 如如 =)(22x f ⎩⎨⎧=>+0,00,612222x x x 如如将此问题归结为混合整数规划的模型。
解：2211612510m in x y x y z +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧•••=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+•--≥•-≥•≤•≤），，＝（或，）（）（）（；）（11.110;00)4(111105503215215152)1(10101021111098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题333221max x x x x z -+=⎩⎨⎧==≤++-），（或3,2,110332321j x x x x j解：令=y ⎩⎨⎧==否则，当,01132x x故有y x x =32，又21x ，31x 分别与1x ，3x 等价，因此题中模型可转换为31m ax x y x z -+=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤+≤≤≤++-变量均为10,,,13323213232321y x x x y x x x y x y x x x5.3 某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。
有关数据资料见表5-1要求：（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V ，总质量不超过W ；（2）A 1与A 3中最多安装一件；（3）A 2与A 4中至少安装一件；（4）A 5同A 6或者都安上，或者都不安。
16993-运筹学-习题答案选03_整数规划
运筹学教程（胡运权主编，清华第4版）部分习题答案（第五章）5.1设长度为a j的毛坯截取x j根，则min z = L - ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n即max z’ = ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n5.2设x j = 1, 当第j队员上场；x j = 0, 当第j队员不上场，则max z = 1.92x1 + 1.90x2 + 1.88x3 + 1.86x4 + 1.85x5 + 1.83x6 + 1.80x7 + 1.78x8s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8= 5x1 + x2 = 1x6 + x7 + x8 ≥ 1x6 ≤ 2 – (x1 + x4)x2 + x8 ≤ 1x j ={0 or 1}, j = 1, 2, …, 85.3max z = ∑i=1,2,...,m c i x is.t. ∑i=1,2,...,m a i x i≤ a∑i=1,2,...,m b i x i≤ bx i = 0 or 1, i = 1, 2, …, m5.4(1) x* = (3, 1); z* = 7(2) x* = (0, 9); z* = 95.5(1) 无可行解(2) x* = (1, 0, 0); z* = 25.6设x j = 1, 当消防站j不关闭；x j = 0, 当消防站j关闭min w = x1 + x2 + x3 + x4s.t. x1 + x2≥ 1 （区域1有消防站负责）x1 + x2≥ 1 （区域2有消防站负责）x1 ≥ 1 （区域3有消防站负责）x1 + x3≥ 1 （区域4有消防站负责）x3≥ 1 （区域5有消防站负责）x1 + x3 + x4≥ 1 （区域6有消防站负责）x1 + x4≥ 1 （区域7有消防站负责）x1 + x2 + x4≥ 1 （区域8有消防站负责）x2 + x4≥ 1 （区域9有消防站负责）x4≥ 1 （区域10有消防站负责）x3 + x4≥ 1 （区域11有消防站负责）x1, x2, x3, x4 = 0 或1最优解：x* = (1, 0, 1, 1); z* = 35.7设y i = 0，当条件i被选；y i = 1，当条件i不选∑j=1,2,…n a ij x j ≥ b i - My i, ( i = 1, 2, …, p)∑i=1,2,...,p y i = p - q5.11(1) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1(2) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1。
运筹学 第五章 整数规划
M是足够大的整数，y 是0-1变量
14
f(x)-5 0
f(x) 0
(1)
(2)
-f(x)+5 M（1-y)
f(x) My
(3)
(4)
当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立;
当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。
以上方法可以处理绝对值形式的约束
f(x) a (a>0)
31
5.1 分枝定界法 （Branch and Bound Method)
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
32
去掉整数约束,用单纯形法 IP LP
23
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时，常会有 如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过穷举 法一一比较后，总能求出最好方案，例如， 背包问题充其量有2n种方式，实际上这种 方法是不可行。
设想计算机每秒能比较1000000个方式，那 么比较完260种方式，大约需要360世纪。
24
先放弃变量的整数性要求，解一个 线性规划问题，然后用“四舍五入” 法取整数解，这种方法，只有在变量 的取值很大时，才有成功的可能性， 而当变量的取值较小时，特别是0-1规 划时，往往不能成功。
Yes xI* = xl*
xl*
判别是否整数解
No 去掉非整数域 多个LP ……
33
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能会出现 下面几种情况：
若所得的最优解的各分量恰好是整数， 则这个解也是原整数规划的最优解，计 算结束。
第五章整数规划习题
第五章 整数规划习题5.1 考虑下列数学模型)()(min 2211x f x f z += 且满足约束条件（1）或101≥x ，或102≥x ； （2）下列各不等式至少有一个成立：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+≥+15215152212121x x x x x x（3）021=-x x 或5或10 （4）01≥x ，02≥x 其中)(11x f =⎩⎨⎧=>+0,00,520111x x x 如如 =)(22x f ⎩⎨⎧=>+0,00,612222x x x 如如将此问题归结为混合整数规划的模型。
解：2211612510min x y x y z +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∙∙∙=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+∙--≥∙-≥∙≤∙≤），，＝（或，）（）（）（；）（11.110;00)4(111105503215215152)1(10101021111098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题333221max x x x x z -+=⎩⎨⎧==≤++-），（或3,2,110332321j x x x x j解：令=y ⎩⎨⎧==否则，当,01132x x故有y x x =32，又21x ，31x 分别与1x ，3x 等价，因此题中模型可转换为31max x y x z -+=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤+≤≤≤++-变量均为10,,,13323213232321y x x x y x x x y x y x x x5.3 某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。
有关数据资料见表5-1要求：（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V ，总质量不超过W ；（2）A 1与A 3中最多安装一件；（3）A 2与A 4中至少安装一件；（4）A 5同A 6或者都安上，或者都不安。
二三版兼用《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第五章)ppt
xi
,
yi
0, 且都是整数，i
1,2,, n
第五章习题解答
5.4 篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加比 赛。8名队员的身高及擅长位置见表5-10。
表5-10
队员
12345678
身高(m) 1.92 1.90 1.88 1.86 1.85 1.83 1.80 1.78
擅长位置 中锋 中锋 前锋 前锋 前锋 后卫 后卫 后卫
max Z xi i 1
n
di xi D,
i1
xi是整数
xi ai
i 1,2,, n
第五章习题解答
5.2 要在长度为l的一根圆钢上截取不同长度的零 件毛坯，毛坯长度有n种，分别为aj，(j=1，2，…,n)。 问每种毛坯应当各截取多少根，才能使圆钢残料最少， 试建立本问题的数学模型。
第五章习题解答
表5-11-12-13
产品A
成本
产品B
成本
产品C
成本
产量（件）（元/件） 产量（件） （元/件） 产量（件） （元/件）
0~40
10
0~50
6
0~100
5
41~100
9
51~100
4
100以上
4
101~150
8
100以上
3
150以上
7
解：设x1,x2,x3分别表示三个产品的产量。 Y11,y12,y13,y14对应产品A的4个成本的0-1变量； Y21,y22,y23对应产品B的3个成本的0-1变量； Y31,y32对应产品B的3个成本的0-1变量；
解：设xi表示各种毛坯的数量, i 1,2,, n。
运筹与优化-第5章答案
第五章 整数规划5.1(1)在原线性规划问题约束条件中添加松弛变量43,x x ，化为标准型，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+++=为整数21432142132121,0,,,5.1645.143223max x x x x x x x x x x x x x x z不考虑整数条件，用单纯形法求解，计算结果如下表所示。
因而最优解为.231252273,)0,0,25,27(*=⨯+⨯=z T 当凑整为TX )0,0,3,4('=时，显然为非可行解；同样，当凑整为TX )0,0,2,4("=或T X )0,0,3,3("=也不是可行解。
当凑整为T X )0,0,2,3("'=为可行解，相应的z=13.用分枝定界法求解该整数规划问题。
记231=z ，因为0,021==x x 为可行解，故有2310*≤≤z 分解为两个子问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤++=0305.1645.1432)(23max 212121121x x x x x x B x x z 得最优解344,)0,35,0,617,3(1=z T 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤++=045.1645.1432)(3max 212121221x x x x x x B x x z 得最优解13,)0,0,5,21,4(2=z T。
综合知3440*≤≤z 并再分解1B 为两枝3B 和4B ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤++=20305.1645.1432)(23max 212121321x x x x x x B x x z 得最优解.13,)0,0,25,25,2,3(3=z T⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤++=3305.1645.1432)(23max 212121421x x x x x x B x x z 得最优解.457,)0,0,41,25,0,3,411(4=z T3B 已是整数解，可取.133==z z 对2B 一枝而言，继续分解已无意义，可舍去。
运筹学 第三版 清华大学出版社 第5章整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规 依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整数规 全整数规划、混合整数规划、 整数规划。 划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
8
纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（ 纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（这时引 进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。 进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。
举例说明。 举例说明。
10
例：设整数规划问题如下
max z = x 1 + x 2 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x1 + 3 x 2 ≤ 1 x , x ≥ 0 且为整数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 伴随问题）。 题或伴随问题）。 max z = x + x
x2 3
⑴ ⑵ (3/2,10/3)
3
x1
按整数规划约束条件， 按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可 行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集， 行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集， 如图所示。 如图所示。
12
因此， 因此，可将集合内 的整数点一一找出， 的整数点一一找出， 其最大目标函数的值 为最优解， 为最优解，此法为完 全枚举法。 全枚举法。 如上例：其中（ ， 如上例：其中（2， 2）（ ，1）点为最大 ）（3， ） ）（ z 。 值， =4。
3
个地点建厂， 例2、（建厂问题）某公司计划在 个地点建厂，可供选择的 、 建厂问题）某公司计划在m个地点建厂 地点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,…am（假设 地点有 他们的生产能力分别是 生产同一产品）。第 个工厂的建设费用为f 生产同一产品）。第i个工厂的建设费用为 i (i=1.2…m),又有 ）。 又有 n个地点 1,B2, … Bn 需要销售这种产品，其销量分别为 个地点B 需要销售这种产品， 个地点 b1.b2…bn 。从工厂运往销地的单位运费为 ij。试决定应在哪 从工厂运往销地的单位运费为C 些地方建厂，即满足各地需要， 些地方建厂，即满足各地需要，又使总建设费用和总运输费 用最省？ 用最省？单
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第五章整数规划练习
题答案
第五章 整数规划练习题答案
一. 判断下列说法是否正确
1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是
该问题目标函数值的下界。
( )
2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。
( )
3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。
( )
4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。
( ) 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问
应如何分配这五项工作，并求得最大产值。
答案：
设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则：
16425105
3140
42
13251042510424003B 1
3752102
6410
154062415151
3045
020305
7470574704646111-⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=→→- ⎪
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
---
m 4n 5l m 4
4
21342132432431541545235234
6
4
64
6
4
6=<===⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→−−−−→∅∅ ⎪ ⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∅∅⎝
⎭
⎝
⎭
031023
4003115406020303535⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
31234311546233
5
3
5∅
⎛⎫ ⎪∅ ⎪ ⎪→ ⎪∅ ⎪ ⎪⎝
⎭ m=5=n ，得最优解。
解矩阵*0001000100X 0000101
00010000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭。
即，甲→D ，乙→C ，丙→E ，丁→B ，戊→A ，最大产值=10+8+9+8+8=43。
三. 对整数规划
12
121212
MaxZ 8x 5x 2x 3x 12
x x 6x ,x 0,=++≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩整数 解得其松弛问题最优表如下：
答案：
(1) 产生高莫雷约束：
根据Max {f i }，应选取x 1所在行为源行：134133
x x x 3884
+
+=，即，134133x 0x 0x 3884⎛⎫⎛⎫
++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
产生高莫雷约束为：34313
x x 0488
--≤。
(2) 将高莫雷约束加入松弛变量x 5，写入原表最后一行形成下表并用对偶单纯形法求解：
b j。