01型整数规划模型
运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
01整数规划课程设计
0 1整数规划课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解整数规划的基本概念，掌握0-1整数规划的特点及适用场景；2. 学会构建0-1整数规划的数学模型，并能用相关数学语言进行表达；3. 了解0-1整数规划问题的求解方法，掌握其基本原理。
技能目标：1. 能够运用0-1整数规划解决实际问题，独立设计并优化解决方案；2. 学会使用计算工具（如Excel、Lingo等）求解0-1整数规划问题；3. 能够对0-1整数规划问题进行有效分析，提出改进措施。
情感态度价值观目标：1. 培养学生面对实际问题时，运用数学知识解决问题的积极态度和自信心；2. 增强学生的团队协作意识，培养沟通与表达的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高解决问题的综合素质。
课程性质：本课程为数学学科的一门应用型课程，旨在帮助学生掌握0-1整数规划的基本知识，培养解决实际问题的能力。
学生特点：针对高中年级学生，具备一定的数学基础，对实际问题具有较强的探究欲望。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调学生的主体地位，提高学生的参与度和积极性。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 教学大纲：a. 0-1整数规划基本概念及适用场景；b. 0-1整数规划数学模型的构建；c. 0-1整数规划求解方法及原理；d. 实际问题中的应用案例分析。
2. 教学内容安排与进度：a. 0-1整数规划基本概念及适用场景（1课时）；- 介绍0-1整数规划的定义、特点；- 分析0-1整数规划在实际问题中的应用。
b. 0-1整数规划数学模型的构建（2课时）；- 学习如何用数学语言表达0-1整数规划问题；- 掌握构建0-1整数规划数学模型的方法。
c. 0-1整数规划求解方法及原理（2课时）；- 介绍求解0-1整数规划问题的主要方法；- 分析各种求解方法的原理及优缺点。
d. 实际问题中的应用案例分析（2课时）；- 分析典型实际问题，运用0-1整数规划求解；- 学生动手实践，培养解决实际问题的能力。
关于01变量模型
库存1000吨 B x22
x21
x11 x12
约束 条件
汽油含原油A 的比例限制
A
x11 0.5 x11 x21 x11 x21
x12 0.6 2 x12 3x22 x12 x22
B
x21 x22
x11 x12
甲(A50%) 乙(A60%)
目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；
模型求解
整数规划(Integer Programming,简记IP)
IP可用LINGO直接求解
max =2*x1+3*x2+4*x3
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600
280x1 250x2 400x3 60000 1.5*x1+3*x2+5*x3<600
x3 My3 , x3 80y3 , y3 {0,1}
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 最优解同前 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000
原油采购与加工
库存500吨 原油A 库存1000吨 原油B
汽油甲 售价4800元/吨 (A50%) 汽油乙 售价5600元/吨 (A60%)
市场上可买到不超过1500吨的原油A： • 购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨； • 购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的 部分8000元/吨； • 购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。
excelmodule3整数规划01规划的应用
3.相依决策变量--建厂才建仓库， x1>=x3，x2>=x4
4.决策变量 xi = 0,1 (i = 1,2,3,4)
Chap 15-8
例4 连锁店选址
某连锁店计划在城区的东南西北部建店。有10个位置可供参考。每个 位置的预计投资额和利润如表。并有如下条件：
Cost ($/hour) Location 1 Location 2 Location 3 Location 4 Location 5
Machine 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
16
12
14
15
Machine 2
15
--
13
20
16
Machine 3
4
7
10
6
7Chap 15-23
指派（分配）问题是0-1规划的特例，也是运 输问题的特例，在指派问题模型中，每一个产地 的提供量和每一个目的地的需求量均为1，即n=m, ai=bi=1 。
Chap 15-18
指派问题一般模型
1.一般模型：
设c 0 : 第i个人完成第j项任务的效率 ij
（时间成本等）
引入x ij
1
0
第i个人完成第j项任务 否则
模型：
min
(
P
)
s.t
.
nn
f
cij
x ij
i 1 j1
n
x ij
1,
j
1,, n 每项任务一人
i 1
n
x ij
1,
i
1,, n
每人一项任务
整数规划与01规划
. y j
1, 0,
采用第 j种方式，即x j 0， 不采用第 j种方式，即x j 0
于是目标函数
min z (k1 y1 c1x1) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3x3 )
23
0-1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规 划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就 需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大 （例如n>10），这几乎是不可能的。因此常设计一些 方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问 题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然， 对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是 必要的。
24
例6
Max
z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
x1 x1
4x2 x2 , x3 0或1
求解思路及改进措施：
1.
先试探性求一个可行解，易看出
且相应的目标函数值为 z 3
(
x1,
x2
,
x3
)
(1,
0,
0)
满足约束条件，故为一个可行解，
z 为 。
14
小结（续）
z z ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,L , n 试探，求得其目标函数值，并记作 。以 * 表示问题的最优目标 函数值；这时有 z z* z
其次，进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]
表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件: x j [bj ] x j [bj ] 1
01规划在各种实际问题中的应用以及lingo求解
i 1 5
xij
1
(
j
1,2,3,4,5)
j1
xij 0或1
lingo求解
• model: • sets: • m/1..5/; • n/1..5/; • link(m,n):a,x; • endsets • data: • a=25,29,31,42,37,39,38,26,20,33,34,27,28,40,32,24,42,36,
0-1规划
如果整数规划问题中的所有 变量仅限于取0或1两个值，则称 此问题为0-1整数规划，简称0-1 规划，其变量为0-1变量.
1.游泳队员的分配问题
• 某游泳拟选用A、B、C、D四名游泳运动员 组成一个4×100m混合泳接力队，参加运动 会.他们的100m自由泳、蛙泳、蝶泳、仰泳 的成绩如下表.
23,45,0,0,0,0,1000; • enddata • [obj]min=@sum(link(i,j):a(i,j)*x(i,j)); • @for(n(j):@sum(m(i):x(i,j))=1;); • @for(m(i):@sum(n(j):x(i,j))=1;); • @for(link(i,j):@bin(x(i,j));x(i,j)>=0;); • end
56 74 61 63 63 69 65 71 57 77 63 67 55 76 62 62
01整数规划模型在城市商业网点最佳选择中的应用曾惠清
科技信息1、引言城市商业网点空间布局旨在明晰的城市定位和城市发展战略的前提下，以可持续发展的眼光确定城市商业网点的数量与规模、业态结构和空间分布，促进城市商贸的有序发展和对外扩张，满足本地周边居民、外来游客甚至全球消费者的需求，打造城市的综合竞争力和核心竞争力，最终达到使城市品位不断提升和城市商贸经济可持续发展的目的。
对于一个国家、城市和区域的商业网点来说，不同种类、规模、档次和品位的商业网点就组成了不同级别的商业网点系统。
相应地，不同商业网点的组合和布局也就决定了该区域的商贸业繁荣程度和可持续发展能力。
针对城市商业特色及其内涵，通过实例，建立0-1整数规划模型、城市商业网点规划理论和利用WinQSB2.0软件的模拟仿真计算来实现城市商业网点的最佳布设，本文的研究提供了一种新的科学计算和模拟仿真方法解决城市商业网点选址问题，具有较高的理论与应用价值。
2、城市商业网点规划理论概述我国城市商业网点的发展逐渐呈现出一些新的趋势和特点：合理化布局，逐渐形成以传统的繁华区或商业界为中心向外辐射，即同心圆向外扩张的模式；组织化创新，多种业态形式的商业设施，大力开展连锁化经营，物流业加速整合；人本化服务，坚持先进市场设计理念与本土消费习惯相结合，立足实际，充分体现“以人为本”的精神，利民便民，充分体现为人服务的功能；法制化建设，形成良好的投资环境，推动商贸流通体系的发展；信息化助动，网络化运行，规模化发展，借助现代网络技术对传统商业加以改造，大幅度提高商业服务质量和效率；生态意识，注意维护和改善生态环境，有利于社会经济的可持续发展；区域协调意识，既要注意到城市内商业网点的空间布局，也要考虑市外尤其是周边地区商业网点的空间布局，从实际出发，从全局着眼，统筹规划；适度超前意识，在把握城市经济和消费发展趋势的同时，借鉴国内外商贸业发达地区的成功经验，放眼世界，在网点分布、业态设置、购物环境等方面适度超前，留有发展空间。
0-1型整数线性规划模型理论
0-1型整数线性规划模型理论(1) 0-1型整数线性规划0-1型整数线性规划是一类特殊的整数规划,它的变量仅取值0或1.其模型如下:T min ..01(1,2,,)j f s t x j n =⎧⎨=⎩c xAx =b 取或 其中()T 12,,,,n c c c =c ()T 12,,,,n x x x =x (),ij m na ⨯=A ()T 12,,,.mb b b =b 称此时的决策变量为0-1变量,或称二进制变量.在实际问题中,如果引进0-1变量,就可以把各种需要分别讨论的线性(或非线性)规划问题统一在一个问题中讨论了.(2) 求解0-1型整数线性规划的分支界定法Matlab 指令x = bintprog(f,A,b): 求解0-1型整数线性规划,用法类似于linprog.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq): 求解下述线性规划问题:T min ,z =f x ≤Ax b ,≤Ax b ,⋅≤Aeq x beq ,x 分量取0或1.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0): 指迭代初值x0,如果没有不等式约束,可用[]代替A,b 表示默认,如果没有等式约束,可用[]代替Aeq 和beq 表示默认;用[x,fval]代替上述各命令行中左边的x,则可得到最优解处的函数值fval.例如：求解0-1型整数线性规划模型:1min ni i Z x ==∑()()()12345356894679123471256758129232200..20002001(1,2,,9)j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x j ⎧-++++≤-⎪-++++≤-⎪⎪-+++≤-⎪⎪--+≤⎪-≤⎪⎨--+≤⎪⎪-≤⎪-+≤⎪⎪--+≤⎪⎪==⎩或用Matlab 软件编程可解得1236791x x x x x x ======,其他变量为0,共六门课,满足所给条件, Matlab程序代码如下：c = ones(1,9);a =[-1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,-1,-1,0,-1,-1;0,0,0,-1,0,-1,-1,0,-1;-1,-1,2,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,-1,0, 0;-1,-1,0,0,2,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0,0,1,0;-1,-1,0,0,0,0,0,0,2];b = [-2;-3;-2;0;0;0;0;0;0];A = [5 4 4 3 4 3 2 2 3];x = bintprog(c,a,b)f = A*x运行结果：Optimization terminated.x =111111f =20。
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甲乙公司不合作即竞争下所争取到的不同名专业推广者所建立的不同动态规划模 型的组合方案如下：其中X 为可能竞争到的专业推广者人数，即动态规划模型中第一天的专业推广者推广能力的份数，Y 为第二天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广 工作的专业推广者的人数；Z 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广工作的专业推广者的人数；a 为x 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批20 人），其中，有多种组合方案；甲公司雇佣这些兼职推广者均工作一天，从事推广工作，第二天辞退a −b 批兼职推广员，其余的b 批继续从事推广工作一天后辞退，即兼职宣传员总共最多雇佣2 天；cost 为花费的成本，即资金的使用数量；F 为不同方案下所达到的总推广效益。
上表可以提供给甲公司做决策依据，根据效益的大小甲公司可以决策的目标方向顺序是从①--⑧，即不合作的情况下甲公司可以尽量争取到9 人，如若不行，考虑争取4 人。
§5.4 0—1型整数规划模型1、 0—1型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。
在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。
0—1型整数规划的的数学模型为：目标函数 n n x c x c x c z Min Max +++= 2211)( 约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1| 0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21这里，0 | 1表示0或1。
2、0—1型整数规划模型的解法0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量nx x x , , ,21 的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中求出最优解。
这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也几乎是不可能的。
隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。
此时，就只能用穷举法了。
3. 应用实例例1 工程上马的决策问题 1）问题的提出某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。
2）模型分析与变量的假设这是工程上马的决策问题，对任一给定的工程而言，它只有两种可能，要么上马，要么不上马，这两种情况分别对应二进制数中的1、0，大凡这样的实际背景所对应的工程问题，大都可考虑用0—1型整数规划模型建立其相应的模型。
设),4 ,3 ,2 ,1( ,1 ,0=⎩⎨⎧=j j j x j 项工程不上马第项工程可上马第因每一年的投资不超过所能提供的可用资金数25千元，故该0—1型整数规划问题的约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤+++≤+++≤+++4,3 ,2 ,1 ,1|02410210822697188345432143214321j x x x x x x x x x x x x x i由于期望收益尽可能大，故目标函数为：432130204020ax x x x x z m +++=3）模型的建立与求解至此，我们得到该问题的0—1型整数规划模型为：432130204020ax x x x x z m +++=约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤+++≤+++≤++++4,3 ,2 ,1 ,1|0(3)24102108(2) 22697(1)188345432143214321j x x x x x x x x x x x x x i下面用隐枚举法求其最优解。
易知，该0—1型整数规划模型有一可行解（0，0，0，1），它对应的目标函数值为：30=z 。
自然，该模型的最优解所对应的目标函数值应不小于30，于是，我们增加一过滤条件为：30302040204321≥+++x x x x （4）在此过滤条件（过滤条件可不唯一）下，用隐枚举法求0—1型整数规划模型的最优解的步骤为：（1）先判断第一枚举点所对应的目标函数值是否满足过滤条件，若不满足，则转下一步；若满足，再判断该枚举点是否满足各约束条件，若有一个约束条件不满足，则转下一步，若均满足，则将该枚举点所对应的目标函数值z1（本例中，z130≥）作为新的目标值，并修改过滤条件为：1432130204020z x x x x ≥+++，再转下一步；(2) 再判断第二枚举点所对应的目标函数值是否满足新的过滤条件，若不满足，则转下一步；若满足，接着判断该枚举点是否满足各约束条件，若有一个约束条件不满足，则转下一步，若均满足，则将该枚举点所对应的目标函数值z2（z2 ≥z1）作为新的目标值，并修改过滤条件为：2432130204020z x x x x ≥+++，再转下一步；(3) 重复步骤（2），直至所有的枚举点均比较结束为止。
由隐枚举法的求解步骤，我们可给出该问题的求解过程如下表所示，并得到最优解为：)1,1,1,0(),,,(4321xxxx，相应的目标值为90（千元）。
故应上马的工程为2号、3号、4号工程。
注：在该表中，√表示满足相应条件，×表示不满足相应条件。
例2 工序的流程安排问题1）问题的提出一条装配线由一系列工作站组成，被装配或制造的产品在装配线上流动的过程中，每站都要完成一道或几道工序，假定一共有六道工序，这些工序按先后次序在各工作站上完成，关于这些工序有如下的数据：另外工艺流程特别要求，在任一给定的工作站上，不管完成哪些工序，可用的总时间不能超过10分钟，如何将这些工序分配给各工作站，以使所需的工作站数为最少？2）模型分析与变量的假设下面，我们先讨论工序与工作站的关系，并试图建立起该问题的0—1型整数规划模型。
对任一工序而言，它要么属于工作站j ，要么不属于工作站j ，故决策变量可定义为：⎩⎨⎧=行 运 上 j 不在工作站 若工序 0行 运 上 在工作站 若工序1i j i x ij这种定义，使我们能根据最优解中ijx 的值来很快确定工序i 与工作站j 之间的隶属关系。
又因工序1，2，3所需的工作时间不超过10分钟，故工序1，2，3的工作可以在一个工作站上完成，此时，工序4，5，6只能分别在各自的工作站上工作，该可行解对应的工作站数为4个。
也就是说，对最优解而言，该装配线上所需的工作站个数不会多于4个。
因此，我们再定义变量如下：⎩⎨⎧=j j w j 作站 工 要 需 不 中 解 优 若在最0 站 作 工 要 需 中 解 优 若在最1 至此，我们得到所需的目标函数为：4321 m ax w w w w z +++=再考虑该模型的约束条件：（1） 每道工序均隶属于一个工作站，且每一工序都必须完成，故有以下六个约束：6)5, 4, 3, 2, ,1( 14321==+++i x x x x i i i i（2）在任一工作站上完成隶属工序所用的时间不能超过10分钟，故有以下四个约束：4)3, 2, 1,(j 10386253654321=≤+++++j j j j j j x x x x x x（3）最后，我们再考虑各道工序所受的先后次序约束的条件。
先考察工序2与工序3的关系，因工序2在工序33隶属于工作站4，则工序2无论属于那个工作站均可；若工序3隶属于工作站3，则工序2可属于工作站1或2或3；此时，变量3)2, ,1( 2=j x j 应满足的约束条件为：33232221x x x x ≥++；同理，若工序3隶属于工作站2或1，则变量3)2, ,1( 2=j x j 应满足的约束条件为：322221x x x ≥+3121x x ≥同理，根据其它工序的优先关系，可仿此法给出其相应的约束条件，由上图知，六个工序之间有五个优先关系，故这类约束条件共有15个。
另外，在最优解中，若有一个工作站4)3, 2, 1,(=p w p 不用（即pw =0），则隶属于该工作站的全部6)5, 4, 3, 2, 1,(=i x ip 必须为0，于是，有以下四个约束条件：4)3, 2, 1,( 6654321=≤+++++i w x x x x x x j j j j j j j3）模型的建立与求解至此，我们得到了该问题的0—1型整数规划模型，它共包含28个变量，29个约束条件，这样的模型用枚举法求解，人工计算是很难胜任的，这时，只能求助于计算机求解了。
我们给出该问题的模型如下，求解的过程望感兴趣的读者自己完成之。
该问题的目标函数为：4321 m ax w w w w z +++=约束条件为：6)5, 4, 3, 2, ,1( 14321==+++i x x x x i i i i4)3, 2, 1,(j 10386253654321=≤+++++j j j j j j x x x x x x33232221x x x x ≥++； 322221x x x ≥+； 3121x x ≥ 53232221x x x x ≥++；522221x x x ≥+；5121x x ≥；43131211x x x x ≥++； 421211x x x ≥+； 4111x x ≥； 43333231x x x x ≥++； 423231x x x ≥+； 4131x x ≥； 63434241x x x x ≥++；624241x x x ≥+；6141x x ≥； 4)3, 2, 1,( 6654321=≤+++++i w x x x x x x j j j j j j j10987654321m ax w w w w w w w w w w f +++++++++=5101100110*2600*<∑∑==i j ija4.0*10*2556.0*)100*5002101*100**100(810110011011001>+∑∑∑∑====i j iji j ijaa101010ij i a =<≤∑10010100ij j a =<≤∑12100...10(1,2...10)i i i i a a a w i +++≤=。