整数规划模型
整数规划解法与实际案例分析
整数规划解法与实际案例分析整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在实际问题中有着广泛的应用。
整数规划问题是指决策变量被限制为整数的线性规划问题，通常用于需要做出离散决策的情况。
在本文中，我们将介绍整数规划的基本概念和解法，并结合一个实际案例进行分析，以帮助读者更好地理解整数规划的应用。
### 整数规划的基本概念整数规划是一种特殊的线性规划问题，其决策变量被限制为整数。
一般来说，整数规划可以分为纯整数规划和混合整数规划两种情况。
纯整数规划要求所有的决策变量都是整数，而混合整数规划则允许部分决策变量为整数，部分为连续变量。
整数规划可以用数学模型来描述，通常形式如下：$$\begin{aligned}\text{Maximize} \quad & c^Tx \\\text{Subject to} \quad & Ax \leq b \\& x \in \mathbb{Z}^n\end{aligned}$$其中，$c$、$x$、$b$ 分别为目标函数系数向量、决策变量向量和约束条件右端常数向量，$A$ 为约束条件系数矩阵，$x \in\mathbb{Z}^n$ 表示 $x$ 是一个整数向量。
### 整数规划的解法整数规划问题的求解相对复杂，因为整数约束使得问题的解空间不再是连续的，而是离散的。
针对整数规划问题，通常有以下几种解法：1. **穷举法**：穷举法是最直接的方法，即枚举所有可能的整数解，然后逐一计算目标函数值，找出最优解。
然而，穷举法在问题规模较大时会变得非常低效。
2. **分支定界法**：分支定界法是一种常用的整数规划求解方法。
它通过不断将整数规划问题分解为子问题，并对子问题进行求解，直到找到最优解为止。
3. **割平面法**：割平面法是一种基于线性规划的整数规划求解方法。
它通过不断添加线性不等式约束（割平面）来逼近整数解，直到找到最优解为止。
4. **分支定价法**：分支定价法是一种高级的整数规划求解方法，通常用于解决混合整数规划问题。
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式∑==nj jj x c Z 1min)max(或中部分或全部取整数n j nj i jij x x x mj ni x b xa ts ,...,,...2,1,...,2,10),(.211==≥=≥≤∑=整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
1 解整数规划问题0—1型整数规划0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z变量xi 称为0—1变量，或称为二进制变量。
0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable)，常被用来表示系统是否处于某一特定状态，或者决策时是否取某个方案。
运筹学整数规划
运筹学整数规划运筹学是研究在资源有限的条件下，如何进行决策和优化的一门学科。
整数规划是运筹学中的一个重要分支，它解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，如生产计划、设备配置、选址问题等。
整数规划问题的数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t. Ax ≤ bx ≥ 0x ∈ Z其中，c是目标函数的系数矩阵，x是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的向量，Z表示整数集合。
整数规划问题与线性规划问题相似，但整数规划问题的约束条件多了一个整数限制，使得问题的解空间变得更为复杂。
由于整数规划问题的NP-hard性质，求解整数规划问题是一项困难的任务。
求解整数规划问题的常用方法有分支定界法、割平面法和启发式算法等。
分支定界法是一种穷举搜索的方法，它通过将整数规划问题不断分割成更小的子问题，从而逐步搜索解空间，直到找到最优解。
分支定界法对于规模较小的问题比较有效，但对于大规模复杂问题，效率较低。
割平面法是一种通过添加新的约束条件来减少解空间的方法。
它利用线性松弛问题（将整数约束条件放宽为线性约束条件）的解来构造有效的割平面，从而逐步缩小解空间，找到最优解。
割平面法通常比分支定界法更有效，但对于某些问题，可能需要添加大量的割平面才能收敛到最优解。
启发式算法是一种基于经验和启发式搜索的方法。
它通过设置初始解、搜索策略和邻域搜索等步骤，来快速找到近似最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。
启发式算法虽然不能保证找到全局最优解，但能够在可接受的时间内找到较优解。
综上所述，整数规划作为运筹学中的重要分支，解决的是决策变量必须为整数的问题。
整数规划问题具有广泛的应用，但由于其NP-hard性质，求解过程较为困难。
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法和启发式算法等。
这些方法各有优劣，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
一般的整数规划模型的建立与求解
松弛模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0
解为（2.5,2）
7
一、一般的整数规划模型的建立与求解
（二）模型解法之二：穷举法 先忽略整数的限制，求解其松弛模型。自然要 求松弛模型的可行解是一个有界区域；否则没办法 进行穷举求解。 如同求解一般线性规划，先画出由诸不等式约 束确定的多边形。但是这成。
14
一、一般的整数规划模型的建立与求解
三种方法（穷举法、割平面法、分支定界法）小结与 对照如下： 3、分支定界法的一般原理及基本步骤： 分支定界法思想就是不断降低上界，提高下界，最后 使得上下界相等，即求得最优解。 基本步骤： ⑴ 寻找替代问题并求解（放宽或取消原问题某些约束， 并求解，一般取消整数约束）； ⑵ 分支与定界； ⑶ 剪支。
4
一、一般的整数规划模型的建立与求解
（一）模型解法之一：使用线性松弛模型 （二）模型解法之二：穷举法
（三）模型解法之三：割平面法
（四）模型解法之四：分支定界法
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（一）模型解法之一：使用线性松弛模型 线性松弛模型的定义： 去掉整数规划中的整数要求后得到的非整数 规划问题称为原整数规划的线性松弛模型。
注意，这里线性松弛模型的可行解的区域 （多边形）包含了整数规划的可行解的集合（多 边形内的整数点），因而线性松弛模型的解要优 于整数规划的解。
6
一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
整数规划模型
王秋萍：整数规划模型
为(非负)整数
仅一部分变 量为整数
4
有些问题用线性规划数学模型无法描述，可以 通过设置逻辑变量建立整数规划的数学模型。
王秋萍：整数规划模型
5
逻辑变量在建立数学模型中的作用
m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为
∑a x
ij j =1
n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义 又M为任意大的正数，则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍：整数规划模型
6
逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个，即 n
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3
运筹学模型的类型
运筹学模型的类型运筹学模型是指通过数学方法来描述和解决复杂问题的一种工具。
根据问题的性质和要求，运筹学模型可以分为以下几种类型：1. 线性规划模型（Linear Programming Model，简称LP）：线性规划是一种优化问题，它的目标是在满足一些约束条件下，使某个线性函数取得最大或最小值。
线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。
2. 整数规划模型（Integer Programming Model，简称IP）：整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型常用于生产调度、排产计划、网络设计等问题。
3. 非线性规划模型（Nonlinear Programming Model，简称NLP）：非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划模型广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
4. 动态规划模型（Dynamic Programming Model，简称DP）：动态规划是一种优化方法，它将一个复杂问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
动态规划模型常用于生产调度、资源分配、投资决策等问题。
5. 排队论模型（Queuing Theory Model，简称QT）：排队论是一种研究等待线性的数学理论，它可以用来描述和分析顾客到达、服务时间、系统容量等因素对系统性能的影响。
排队论模型广泛应用于交通运输、通信网络、医疗卫生等领域。
6. 决策树模型（Decision Tree Model，简称DT）：决策树是一种分类和回归的方法，它可以将一个问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。
决策树模型常用于金融风险评估、医学诊断、市场营销等领域。
总之，不同类型的运筹学模型适用于不同的问题领域和求解目标，选择合适的模型可以帮助我们更好地解决实际问题。
第6讲整数规划、非线性规划模型
一、模型准备 该问题是在原料数量一定的限制条件下，求商店生产三种口味 蛋糕各多少时，可获得最大收益． 二、模型假设 1．假设在生产过程中没有材料的浪费． 2． 假设生产的面包能全部售出， 且不考虑影响销售价格的因素． 三、变量假设 设商店生产草莓、蓝莓、柠檬三种口味的蛋糕的数量分别为
x1 , x2 , x3 ，获得的总收益为 R 元．
x=intvar(1,2); C=[240 378]; a=[1 0;0 1;1 1];b=[8 6 10]; f=C*x'; F=set(0<=x<=inf); F=F+set(a*x'<=b')+set(96*x(1)+120*x(2)>=720); solvesdp(F,f) double(f)
double(x)
整
数
规
划
最优化问题中的所有变量均为整数时，这类 问题称为整数规划问题。
如果线性规划中的所有变量均为整数时，称 这类问题为线性整数规划问题。 整数规划可分为线性整数规划和非线性整数 规划 ，以及混合整数规划等。 如果决策变量的取值只能为0或1，则这样的 规划问题称为0－1规划。
double(f)
double(x)
非线性规划
非线性规划问题的一般数学模型：
min
f ( x) h j ( x) 0, j 1, 2, , l.
s.t. gi ( x) 0, i 1, 2,, m,
其中， x E n ，
f (x) 为目标函数，
g i ( x), h j ( x) 为约束函数，这些函数中至少有
最优化模型（2）
一、一般的线性规划模型 二、整数规划模型
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n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义 又M为任意大的正数，则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍：整数规划模型
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逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个，即 n
王秋萍：整数规划模型 17
L1:
max z = 3x1 + 2 x2
L2:
max z = 3 x1 + 2 x 2
s.t. ⎧2 x1 + 3 x 2 ≤ 14 ⎪ x + 0.5 x ≤ 4.5 ⎪ 1 2 ⎨ x2 ≤ 2 ⎪ ⎪ ⎩ x1 , x 2 ≥ 0
s.t. ⎧2 x1 + 3 x2 ≤ 14
基本思想是在整数规划的松弛问题中依 次引进线性约束条件（称Gomory约束或割 平面），使问题的可行域逐步缩小. 但每次 切割只割去问题的部分非整数解，直到使问 题的目标函数值达到最优的整数点成为缩小 后可行域的一个顶点，这样就可以用求线性 规划问题的方法找出这个最优解。
王秋萍：整数规划模型 23
Gomory的切割法自1958年被提出后， 即引起人们广泛注意，但至今完全用它解题 的仍是少数，原因就是经常遇到收敛很慢的 情形，但若和其它方法（如分枝定界法）配 合使用，也是有效的.
式中， k j 为固定成本，c j 为变动成本。设0-1变量 y j ， 令
⎧1 采用第j种加工方式，即 x j > 0时 yj = ⎨ ⎩0 不采用第j种加工方式，即 x j = 0时 j = 1, 2, 3
王秋萍：整数规划模型 11
则这个问题的数学模型是：
min Z = (500 y1 + 8 x1 ) + (800 y2 + 5 x2 ) + (600 y3 + 7 x3 )
§2 整数规划的特点及作用 所有变量都限制
• Integer Programming • Pure Integer Programming (All Integer Programming ) • Mixed Integer Programming,MIP • Binary Integer Programming,BIP
定义
x3 ≤ 3. > 4 时)，
⎧1, 第i组条件不起作用 yi = ⎨ ⎩0, 第i组条件起作用
( i = 1, 2 )
又M为任意大正数，则 问题可表达为：
⎧ x1 ≤ 4 + y1M ⎪ x ≥ 1− y M 2 1 ⎪ ⎪ ⎨ x1 > 4 − y2 M ⎪x ≤ 3 + y M 2 ⎪ 2 ⎪ ⎩ y1 + y2 = 1
对于一个复杂的模型，完全枚举法不是有效的算法。
王秋萍：整数规划模型 15
分枝定解法 —由戴金(R.J.Dakin)给出 Branch and Bound method
分支定界法在处理整数规划问题时，借用 线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线 性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要 求限制，从而把原整数规划问题通过分支迭代 求出最优解.
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
王秋萍：整数规划模型 26
模型特点
当工作数与人数相等时，含有 m × m个变量， m + m 个约束方程，所有变量均为 0-1 变量.
4-2 匈牙利法
克尼格（konig ）定理
定理1 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素 中分别减去（或加上）一个常数ui，从每一列分别减去 （或加上）一个常数vj，得到一个新的效率矩阵[bij] ，则 以[bij]为效率矩阵的分配问题与以[aij]为效率矩阵的分配 问题具有相同的最优解。
Step3 剪枝
L0 x1 =3.25，x2= 2.5 Z=14.75
x2 ≤ 2
L1 x1 =3.5，x2= 2 Z=14.5
x2 ≥ 3
L2 x1 =2.5，x2= 3 Z=13.5
x1 ≤ 3
L11 x1 =3，x2= 2 Z=13 ×
x1 ≥ 4
L12 x1 =4，x2= 2 Z=14
×
王秋萍：整数规划模型
下述整数规划问题的最优解：
max z = 3x1 + 2 x2
s.t.
最优解为 (3. 25, 2. 5). 用凑整法来解时需要比较四 种组合,但(4, 3), (4, 2), (3,3) 都不可行,(3, 2)虽属可行解, 但代入目标函数得z=13,并非 最优.实际上问题的最优解应 该是(4, 1), z*=14.但我们注 意到(4,1)不是可行域的顶 点，因此直接用图解法或单 纯形法无法找出整数规划问 题的最优解来,这就要求研 究解整数规划问题的特殊方 法。
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3
用WinQSB软件求解 得到：X=(0, 2000, 2000)T, Y=(0, 1, 1)T, Z=25400.
于是
⎧0, 当x j = 0 yj = ⎨ ⎩1, 当x j > 0
n j =1
min z = ∑ ( c j x j + k j y j )
s.t.
王秋萍：整数规划模型
9
例 企业计划生产4000件某种产品，该产品可以以 加工，外协加工任意一种形式生产。已知每种生产形式 的固定成本、生产该产品的变动成本以及每种生产形式 的最大加工数量（件）限制如表所示，怎样安排产品的 加工使总成本最小。 固定成本(元) 本企业加工 外协加工Ⅰ 外协加工Ⅱ 500 800 600
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分支定界法的步骤如下：
Step1 求整数规划的松弛问题最优解。 Step2 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规 划的最优解，否则转下一步。 Step3 任意选一个非整数解的变量xi ,在松弛问题中加上 约束xi ≤[xi]及 xi ≥[xi]+1组成两个新的松弛问题，称为分支。 新的松弛问题具有如下特征：当原问题是求最大值时，目标 值是分支问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分 支问题的下界。 Step4 检查所有分支的解及目标函数值，若某分支的解 是整数并且目标函数大于（max）等于其他分支的目标值， 则将其他分支剪去不再计算，若还存在非整数解并且目标函 数大于（max）整数解的目标函数值，需要继续分支，再捡 查，直到得到最优解。
西安理工大学 理学院应用数学系 王秋萍
※内容简介
1.整数规划问题举例 2. 整数规划的特点及作用 3. 整数规划的求解 4. 分配问题与匈牙利法
王秋萍：整数规划模型
2
§1 整数规划问题举例
投资问题 公交线路人员安排 一个任务分配问题 AMCM—88B题 两辆铁路平板车的装货问题 最优控制设计
王秋萍：整数规划模型 3
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王秋萍：整数规划模型
逻辑变量在建立数学模型中的作用
用以表示含固定费用的函数 n min z = ∑ C j ( x j ) 用 x j 代表产品j的生
产数量，其生产费用函数 通常可表示为：
j =1
设置一个逻辑变量 y j
⎧ ⎪k j + c j x j , ( x j > 0 ) Cj ( xj ) = ⎨ ( x j = 0) ⎪ ⎩0 , 式中 k j 是同产量无关的生 产准备费用。问题的目标 是使所有产品的总生产费 用最小。即
王秋萍：整数规划模型
变动成本 （元/件） 8 5 7
最大加工数 （件） 1500 2000 不限
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解 设 x j 为采用第 j ( j = 1, 2, 3) 种方式生产的产品 数量，生产费用为
⎧k j + c j x j ( x j > 0) C j (x j ) = ⎨ ( x j = 0) ⎩0
式中 x j − My j ≤ 0是处理 x j 与 y j 一对变量之间逻辑关系的 特殊约束，当 x j > 0 时 y1 = 1，当 x j = 0时，为使Z最小 化，有 y j = 0 。
王秋萍：整数规划模型
12
§3 整数规划的求解
如何求解整数 规划?
有人提出,求解整数规划时可先不考虑变 量的整数约束,而求解其相应的线性规划问题, 然后对求解结果中为非整数的变量凑整.试问 这种方法是否可行,为什么?
王秋萍：整数规划模型
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定理2 若矩阵A=[aij]的元素可分成“0”与非“0” 两部分，则覆盖“0”元素的最少直线数等于位于不 同行不同列的“0”元素的最大个数。
王秋萍：整数规划模型
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§4 分配问题与匈牙利法
分配问题也称为指派问题 assignment problem
4-1 问题的提出与数学模型
概念
m项任务分配给m个人去完成，要求每项只能 交给其中一个人完成，每人只能完成其中一项。 如何分配使总效率最高？
王秋萍：整数规划模型
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数学模型