数学建模整数规划详解
整数规划和动态规划-数学建模
(1.13), (1.14)
max z = ∑ (0.487xi1 + 0.520 xi2 + 0.613 xi3 + 0.720 xi 4 + 0.487 xi 5 + 0.520 xi 6 + 0.640 xi 7 )
i =1
2
于是成为一个有 13 个不等式约束 14 个自然条件的整数线性规划模型，目标是函数 的最大化. （3）问题求解 1) 此模型可用分枝定界法，割平面法求最优解，但用部分枚举法比较便当. 部分枚举法————隐枚举法（Implicit Enumeration） 2) 用 Lingo 软件求解 max=0.487*x11+0.520*x12+0.613*x13+0.720*x14+0.487*x15+0.520*x16+0.640*x17+ 0.487*x21+0.520*x22+0.613*x23+0.720*x24+0.487*x25+0.520*x26+0.640*x27; x11+x21<=8; x12+x22<=7; x13+x23<=9; x14+x24<=6; x15+x25<=6; x16+x26<=4; x17+x27<=8; 2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17<=40;
西安理工大学理学院
王秋萍
x13 + x23 ≤ 9 x14 + x24 ≤ 6 x15 + x25 ≤ 6 x16 + x26 ≤ 4 x17 + x27 ≤ 8
数学建模中的整数规划与混合整数规划
数学建模作为一种解决实际问题的方法，旨在从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学方法来对模型进行分析和求解。
在数学建模过程中，整数规划与混合整数规划是两种常用的数学工具，适用于解决许多实际问题。
整数规划是指在约束条件下，目标函数为整数变量的线性规划问题。
而混合整数规划是在整数规划的基础上，允许部分变量为实数，部分变量为整数。
这两种规划方法可以广泛应用于许多领域，如物流、生产规划、资源分配等。
整数规划的一个经典问题是背包问题。
假设有一个容量为C的背包，有n个物品，每个物品有自己的重量w和价值v。
目标是在不超过背包容量的情况下，选择装入背包的物品，使得背包中的物品总价值最大化。
这个问题可以用整数规划的方式进行建模和求解，将每个物品视为一个二进制变量，表示是否选择该物品，目标函数为物品价值的总和，约束条件为背包容量不能超过C。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到整数规划模型，并利用整数规划算法进行求解，得到最优解。
混合整数规划在实际问题中更为常见。
一个典型的实际问题是运输网络设计问题。
假设有一组供应地和一组需求地，需要建立供需之间的运输网络，以满足需求地对各种商品的需求，同时要考虑供给地的产能限制和运输成本。
这个问题可以用混合整数规划的方法进行建模和求解。
将供需地视为节点，建立连通性矩阵表示供需之间的运输路径，将路径的运输量作为决策变量，目标函数可以是运输成本的最小化，约束条件可以包括供给地产能限制和需求地需求量的满足。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到混合整数规划模型，并利用相应的求解算法进行求解，得到最优的运输网络设计方案。
整数规划与混合整数规划在数学建模中起着重要的作用。
它们既具备一般整数规划问题的优点，可以提高问题的精度和可行性，又具备一般线性规划问题的优点，可以通过线性规划算法来求解。
同时，整数规划与混合整数规划也存在一些挑战，如求解时间长、难以处理大规模问题等。
对于这些问题，研究者们一直在不断提出新的算法和优化方法，以提高整数规划与混合整数规划的求解效率。
整数规划建模方法及应用
整数规划建模方法及应用
整数规划是一种数学优化方法，其任务是找到满足特定限制条
件的整数决策变量的最优值。
整数规划被广泛应用于制造、物流、
金融、计算机科学、工程和其他领域。
以下是整数规划建模方法及
其应用。
整数规划建模方法：
1. 确定决策变量：将需要做出的决策表示为一个整数变量，如
产品数量、员工数量等。
2. 给出目标函数：目标函数表示要最大化或最小化的优化目标，如利润、销售额等。
3. 设置限制条件：限制条件是指需要遵守的约束条件，如生产
能力、市场需求等。
4. 决策变量的整数要求：由于整数规划的特殊性质，需要规定
决策变量为整数。
应用：
1. 生产问题：整数规划可以优化生产计划，包括最佳的生产数量、产品组合和生产时间。
例如，在制造业中，整数规划可以帮助
确定要生产的产品数量，以最大化收益和最小化成本。
2. 库存问题：整数规划可以应用于零售商和批发商的库存管理，以确保及时补货和避免库存过量。
例如，在食品行业中，整数规划
可以帮助决定购买多少食材以达到最大利润。
3. 作业调度问题：整数规划可以帮助确定作业完成的时间，并确保资源分配最有效。
例如，在工厂中可以使用整数规划分配机器的使用时间以达到最大的生产效率。
4. 资源分配问题：整数规划可以帮助分配资源，如资金、人力资源和物资，以最大化效益。
例如，在政府基金分配方面，整数规划可以帮助确定资金分配的最佳方式，以支持社区发展、教育等。
总之，整数规划是一种非常有用的数学工具，可以帮助优化决策和资源分配的过程，应用广泛。
数学建模(整数规划)
整数规划模型实际问题中x x x x f z Max Min Tn "),(),()(1==或的优化模型mi x g t s i ",2,1,0)(..=≤x ~决策变量f (x )~目标函数g i (x )≤0~约束条件多元函数决策变量个数n 和数线性规划条件极值约束条件个数m 较大最优解在可行域学规非线性规划解的边界上取得划整数规划Programming+Integer所有变量都取整数，称为纯整数规划；有一部分取整数，称为混合整数规划；限制取0，1称为0‐1型整数规划。
型整数规划+整数线性规划max(min) nz c x =1j jj n=∑1s.t. (,) 1,2,,ij j i j a x b i m=≤=≥=∑"12 ,,,0 ()n x x x ≥"且为整数或部分为整数+例：假设有m 种不同的物品要装入航天飞机，它们的重量和体积分别为价值为w j 和v j ，价值为c j ，航天飞机的载重量和体积限制分别为W 和V ，如何装载使价值最大化？m1⎧1max j jj c y =∑ 1 0j j y =⎨被装载 s.t. mj j v y V≤∑0j ⎩没被装载1j m=1j j j w y W=≤∑ 0 or 1 1,2,,j y j m=="(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年美国芝加哥(Chi)Li S h前后开发, 后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：I）网址htt//li dLINDO: Interactive and Discrete Optimizer (V6.1) Linear(V61) LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V8.0) LINDO——解决线性规划LP—Linear Programming，整数规划IP—Integer Programming问题。
数学建模线性规划与整数规划
数学建模线性规划与整数规划数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法解决的学科。
线性规划和整数规划是数学建模中常用的两种模型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍线性规划和整数规划的概念、模型形式以及求解方法。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数最优解的数学模型，它的基本形式可以表示为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0在上述模型中，C₁,C₂,...,Cₙ为目标函数的系数，Aᵢₙ为不等式约束条件的系数，bᵢ为不等式约束条件的右端常数，X₁,X₂,...,Xₙ为决策变量。
线性规划的求解可以通过单纯形法或内点法等算法实现。
通过逐步优化决策变量的取值，可以得到满足约束条件并使目标函数达到最优的解。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是在线性规划基础上增加了决策变量必须取整的要求，其模型形式为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0X₁,X₂,...,Xₙ为整数整数规划在实际问题中常用于需要求解离散决策问题的情况，如装配线平衡、旅行商问题等。
然而，由于整数规划问题的整数约束，其求解难度大大增加。
求解整数规划问题的方法主要有分支定界法、割平面法、遗传算法等。
数学建模 -整数规划
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
数学建模整数规划
整数规划前面介绍的线性规划问题中，只要求决策变量非负，也就是说决策变量可以取小数，然而在许多经济管理的实际问题中，决策变量只有取非负的整数才有实际意义。
如果一个线性规划问题要求全部的决策变量都取整数，那么这样的线性规划问题称为全整数规划或纯整数规划问题。
如果只要求一部分决策变量取整数，那么这样的线性规划问题称为混合整数规划问题。
如果决策变量只能取0或者1，那么就称为0-1规划问题 整数规划在实际中的应用: 1. 指派问题：某公司人事部门欲安排四个人去做四项不同的工作，每个人只能完成一项工作，一项工作只能由一个人完成。
每个人完成各项工作所消耗的时间（单位：分钟）如下表所示，（2） 如果把（1）中的消耗时间数据看成创造效益的数据，那么应该如何指派，可以使得总的效益最大？（3） 如果在（1）中再增加一项工作E ，甲 、乙、丙、丁四人完成工作E 的时间分别为17，20，15，16分钟，那么应该指派这四个人干哪四项工作，可使得这四个总的消耗时间为最少？解：（1） 引入0-1变量ij x ，并令⎩⎨⎧=项工作时个人不做第当第项工作时个人去做第当第j i j i x ij 01，于是这个分派问题的数学模型为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====+++=+++=+++=+++=+++=+++=+++=++++++++++++++++++=4,3,2,1,4,3,2,1101111111119242017181516262027241828201920min 443424144333231342322212413121114443424134333231242322211413121144434241343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x Z ij ，或 用管理运筹学2.0软件求解结果如下：**********************最优解如下*************************目标函数最优值为 : 71变量 最优解 ------- --------x1 0 x2 1 x3 0 x4 0 x5 1 x6 0 x7 0 x8 0 x9 0 x10 0 x11 1 x12 0 x13 0 x14 0 x15 0 x16 1 约束 松弛/剩余 ------- ---------1 02 03 04 05 06 07 08 0 这就说明112=x ，121=x ，133=x ，144=x所以应该让甲去做B 工作，让乙去做A 工作，让丙去做C 工作，让丁去做D 工作，这时总的消耗时间为71分钟。
数学建模整数规划
x2
D(2, 4) B(2.25, 3.75) 5x1 +9 x2 = 45
R
o
C ( 6, 0 )
9
x1
求解整数规划不宜采用枚举法。
整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。
一旦遇到仅含两个决策变量的情况，可以采用
图解法，其计算方法与线性规划图解法大同小 异，就不再赘述。
销售店 B1 B2 B3
表 2－1 需求量（箱/周） 50 60 30
表 2－2
产量 制药厂 (箱/周) A1 A2 A3 A4 50 70 20 20
运资(元/箱) B1 3 10 1 4 B2 2 5 3 5 B3 3 8 10 3
解：建立数学模型
设：制药厂Ai 每周运到销售店Bj 的药品为xij 箱（i =1,2，3，4； j =1，2，3）；
第三步
主要特征就是定界，由各枝的最优值中选最大 值，称为定界。而该最大值，称为界。最优值称 为界的枝，称为界枝。 完成定界之后，即可得到这样的结论：若界枝 的最优解满足原整数规划的最优条件，则它也是 原整数规划的最优解。
第三步的具体做法为：进行定界，找出界枝。 若界枝的最优解就是原整数规划的最优解，则计 算过程便告结束；否则，回到第二步。
Max y 5 x 1 8 x 2 5 x 1 9 x 2 45 x1 x 2 6 x2 4 x 1 1 x1 , x 2 0
Max y 5 x 1 8 x 2 5 x 1 9 x 2 45 x1 x 2 6 x2 4 x 2 1 x1 , x 2 0
例2 某医疗器械厂生产A1和A2两种产品。出
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vlb = zeros(2,1);
vub=[9;15];
%调用linprog函数：
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
结果为： x=
9.0000 0.0000 fval =360
即只需聘用9个一级检验员。
注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数。故它
钢材（吨） 劳动时间（小时） 利润（万元）
小型 1.5 280 2
中型 3
250 3
大型 5 400 4
现有量 600 60000
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3 0
线性 规划 模型
(LP)
模型 求解
x= 64.5161
结果为小数， 怎么办？
注意：当决策变量变化范围较大时，运行速度较慢
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600
280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3为非负整数
qiche2.m qiche2.c
IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632
78
70
67.4
j=2
75.6
66
67.8
74.2
71
j=3
87
66.4
84.6
69.6
83.8
j=4
58.6
53
59.4
57.2
62.4
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
如何选拔队员组成4100米混合泳接力队?
丁的蛙泳成绩退步到1’15”2；戊的自由泳成绩进 步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？
穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。
0-1规划模型 cij(秒)~队员i 第j 种泳姿的百米成绩
cij
i=1
i=2
i=3
i=4
i=5
j=1
66.8
57.2
例2 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
第四章 整数线性规划
4.1 汽车生产计划问题 4.2 分派问题 4.3 选课策略
y
问题二： 某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质
量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准 为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检 验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小 时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最 省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？
注意：对于本题来说，决策变量的变化范围很大， 故程序运行速度较慢。
分派问题
若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同， 完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分 派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。
若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的 成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满 足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。
3） 模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。
模型求解 整数规划(Integer Programming,3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3为非负整数
167.7419 0.0000
f= 632.2581
qiche1.m
1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与 LP最优值632.2581相差不大。
2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数 值z，通过比较可能得到更优的解。
• 但必须检验它们是否满足约束条件
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
注意：IP不能用Matlab软件直接求解
怎么办？
算法：1、割平面法 2、分支定界法 （应用较广泛） 3、全枚举法
全枚举法一般步骤： 1、确定决策变量数量和变化范围； 2、用for-end语句作决策变量的整型参数变化的循 环，若有多个决策变量则要实现多重循环； 3、用if-end语句作不等式约束和等式约束条件是否 满足的判断； 4、符合约束条件的一组决策变量，则进行目标函 数计算，并进行存储，否则跳过 5、用函数max或min语句，搜索目标函数的最大值 或最小值及相应的决策变量。
是一个整数线性规划问题。这里把它当成一个线性规划来 解，求得其最优解刚好是整数：x1=9，x2=0，故它就是该 整数规划的最优解。若用线性规划解法求得的最优解不是 整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样 的整数规划应用专门的方法求解。
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
约束条件为：
8 25 x1 8 15 x2 1800
8 8
25 15
x1 x2
1800 1800
x1 0, x2 0 且x1、x2均为整数
编写M文件xxgh4.m如下：
c = [40;36];
A=[-5 -3];
b=[-45];
Aeq=[]; beq=[];
To Matlab (xxgh4)