数学建模整数规划
运筹学-整数规划建模
• 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这 些项目的每年投资额，使到第 5 年末拥有的资 金本利总额为最大? 8
解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i ＝1，2，3，4，5)分别表 示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额；
变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 A x1A x2A x3A x4A B x1B x2B x3B x4B x5B C x2C D x3D
设决策变量xj为对第j个方案的取（xj=1） 或舍（xj=0），可得到下列整数规划问题， 是0—1规划。
yj
x yj
yj
xij 为整数
例．某公司考虑今后五年内给以下项目投资。
• 项目A：每年年初可以投资，于次年末回收本利 115% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 B ：每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目 C：第2年初可以投资，到第5年未能回收本利 140% ，投资金额必须为1万元的整数倍； • 项目D：第3年初可以投资，到第5年未能回收本利 128% ，如果投资金额必须大于2万元；
B2 顾客 B3 仓库固定 运营费 仓库 A1 仓库 A2
顾客需求量 6 6 150 4 5 150 6 5 200 10 11
6.1.2 建模中常用的处理方法（续）
费用:
fi:动用i仓库的固定运营费（租金等） cij:从仓库i到j顾客运送单位货物的运费 约束条件： i)每个顾客的需要量dj必须得到满足； ii)只能从动用的仓库运出货物。
第j项工作)．于是得到一个0--1整数规划问题：
整数规划建模
例．某企业在 A1 地已有工厂，其产品的生产能 力为30 万箱。为扩大生产，拟在 A2，A3，A4， A5地中再选择若干地建厂。已知在 A2 ， A3， A4，A5地建厂的固定成本分别为17.5、30、 37.5、50万元，另外， A1产量及A2，A3，A4， A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到 销地的单位运价(每万箱运费)如右下表所示。 问应该在哪些地方建厂，在满足销量的前提下， 使得其总的固定成 销地 本和总的运输费用 B B B 产量(千吨) 产地 之和最小? A 8 4 3 30
数学建模中的整数规划与混合整数规划
数学建模作为一种解决实际问题的方法，旨在从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学方法来对模型进行分析和求解。
在数学建模过程中，整数规划与混合整数规划是两种常用的数学工具，适用于解决许多实际问题。
整数规划是指在约束条件下，目标函数为整数变量的线性规划问题。
而混合整数规划是在整数规划的基础上，允许部分变量为实数，部分变量为整数。
这两种规划方法可以广泛应用于许多领域，如物流、生产规划、资源分配等。
整数规划的一个经典问题是背包问题。
假设有一个容量为C的背包，有n个物品，每个物品有自己的重量w和价值v。
目标是在不超过背包容量的情况下，选择装入背包的物品，使得背包中的物品总价值最大化。
这个问题可以用整数规划的方式进行建模和求解，将每个物品视为一个二进制变量，表示是否选择该物品，目标函数为物品价值的总和，约束条件为背包容量不能超过C。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到整数规划模型，并利用整数规划算法进行求解，得到最优解。
混合整数规划在实际问题中更为常见。
一个典型的实际问题是运输网络设计问题。
假设有一组供应地和一组需求地，需要建立供需之间的运输网络，以满足需求地对各种商品的需求，同时要考虑供给地的产能限制和运输成本。
这个问题可以用混合整数规划的方法进行建模和求解。
将供需地视为节点，建立连通性矩阵表示供需之间的运输路径，将路径的运输量作为决策变量，目标函数可以是运输成本的最小化，约束条件可以包括供给地产能限制和需求地需求量的满足。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到混合整数规划模型，并利用相应的求解算法进行求解，得到最优的运输网络设计方案。
整数规划与混合整数规划在数学建模中起着重要的作用。
它们既具备一般整数规划问题的优点，可以提高问题的精度和可行性，又具备一般线性规划问题的优点，可以通过线性规划算法来求解。
同时，整数规划与混合整数规划也存在一些挑战，如求解时间长、难以处理大规模问题等。
对于这些问题，研究者们一直在不断提出新的算法和优化方法，以提高整数规划与混合整数规划的求解效率。
数学建模-整数规划
算例
max 3x1 5x2 4x3
2x1 3x2 1500
s.t.32xx12
4x3 2x2
800 5x3
2000
x1
,
x2
,
x3
0,
x1 , x3为整数
max 3 x1+5 x2+4 x3 subject to 2 x1+3 x2<=1500 2 x2+4 x3<=800 3 x1+2 x2 +5 x3<=2000 end gin x1 gin x3
注解
该问题本质上是个整数规划问题， 放松的线性规划的最优解是个整数 解，所以两规划等价。
定义整数变量用函数@gin(x1)…… @gin(x7); 0-1整数变量为@bin(x1)
应急选址问题
某城市要在市区设置k个应急服务中心, 经过初步筛选确定了m个备选地，现已 知共有n个居民小区，各小区到个备选地 的距离为 d ij , i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,为了使 得各小区能及时得到应急服务，要求各 小区到最近的服务中心的距离尽可能的 短，试给出中心选址方案。
问题分析
为了便于说明问题引入间接变量，第i 小区是否由第j个中心服务
yij 0,1, i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,
以及最远的距离 z,
约束条件
小区服务约束
yij x j , i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,
m
yij 1, i 1,2,..., n,
方案 确定每天工作的人数，由于连续休息2天，当确定每 个人开始休息的时间就等于知道工作的时间，因而确定 每天开始休息的人数就知道每天开始工作的人数，从而 求出每天工作的人数。
整数规划建模方法及应用
整数规划建模方法及应用
整数规划是一种数学优化方法，其任务是找到满足特定限制条
件的整数决策变量的最优值。
整数规划被广泛应用于制造、物流、
金融、计算机科学、工程和其他领域。
以下是整数规划建模方法及
其应用。
整数规划建模方法：
1. 确定决策变量：将需要做出的决策表示为一个整数变量，如
产品数量、员工数量等。
2. 给出目标函数：目标函数表示要最大化或最小化的优化目标，如利润、销售额等。
3. 设置限制条件：限制条件是指需要遵守的约束条件，如生产
能力、市场需求等。
4. 决策变量的整数要求：由于整数规划的特殊性质，需要规定
决策变量为整数。
应用：
1. 生产问题：整数规划可以优化生产计划，包括最佳的生产数量、产品组合和生产时间。
例如，在制造业中，整数规划可以帮助
确定要生产的产品数量，以最大化收益和最小化成本。
2. 库存问题：整数规划可以应用于零售商和批发商的库存管理，以确保及时补货和避免库存过量。
例如，在食品行业中，整数规划
可以帮助决定购买多少食材以达到最大利润。
3. 作业调度问题：整数规划可以帮助确定作业完成的时间，并确保资源分配最有效。
例如，在工厂中可以使用整数规划分配机器的使用时间以达到最大的生产效率。
4. 资源分配问题：整数规划可以帮助分配资源，如资金、人力资源和物资，以最大化效益。
例如，在政府基金分配方面，整数规划可以帮助确定资金分配的最佳方式，以支持社区发展、教育等。
总之，整数规划是一种非常有用的数学工具，可以帮助优化决策和资源分配的过程，应用广泛。
数学建模(整数规划)
整数规划模型实际问题中x x x x f z Max Min Tn "),(),()(1==或的优化模型mi x g t s i ",2,1,0)(..=≤x ~决策变量f (x )~目标函数g i (x )≤0~约束条件多元函数决策变量个数n 和数线性规划条件极值约束条件个数m 较大最优解在可行域学规非线性规划解的边界上取得划整数规划Programming+Integer所有变量都取整数，称为纯整数规划；有一部分取整数，称为混合整数规划；限制取0，1称为0‐1型整数规划。
型整数规划+整数线性规划max(min) nz c x =1j jj n=∑1s.t. (,) 1,2,,ij j i j a x b i m=≤=≥=∑"12 ,,,0 ()n x x x ≥"且为整数或部分为整数+例：假设有m 种不同的物品要装入航天飞机，它们的重量和体积分别为价值为w j 和v j ，价值为c j ，航天飞机的载重量和体积限制分别为W 和V ，如何装载使价值最大化？m1⎧1max j jj c y =∑ 1 0j j y =⎨被装载 s.t. mj j v y V≤∑0j ⎩没被装载1j m=1j j j w y W=≤∑ 0 or 1 1,2,,j y j m=="(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年美国芝加哥(Chi)Li S h前后开发, 后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：I）网址htt//li dLINDO: Interactive and Discrete Optimizer (V6.1) Linear(V61) LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V8.0) LINDO——解决线性规划LP—Linear Programming，整数规划IP—Integer Programming问题。
数学建模线性规划与整数规划
数学建模线性规划与整数规划数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法解决的学科。
线性规划和整数规划是数学建模中常用的两种模型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍线性规划和整数规划的概念、模型形式以及求解方法。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数最优解的数学模型，它的基本形式可以表示为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0在上述模型中，C₁,C₂,...,Cₙ为目标函数的系数，Aᵢₙ为不等式约束条件的系数，bᵢ为不等式约束条件的右端常数，X₁,X₂,...,Xₙ为决策变量。
线性规划的求解可以通过单纯形法或内点法等算法实现。
通过逐步优化决策变量的取值，可以得到满足约束条件并使目标函数达到最优的解。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是在线性规划基础上增加了决策变量必须取整的要求，其模型形式为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0X₁,X₂,...,Xₙ为整数整数规划在实际问题中常用于需要求解离散决策问题的情况，如装配线平衡、旅行商问题等。
然而，由于整数规划问题的整数约束，其求解难度大大增加。
求解整数规划问题的方法主要有分支定界法、割平面法、遗传算法等。
数学建模整数规划
x2
D(2, 4) B(2.25, 3.75) 5x1 +9 x2 = 45
R
o
C ( 6, 0 )
9
x1
求解整数规划不宜采用枚举法。
整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。
一旦遇到仅含两个决策变量的情况，可以采用
图解法，其计算方法与线性规划图解法大同小 异，就不再赘述。
销售店 B1 B2 B3
表 2－1 需求量（箱/周） 50 60 30
表 2－2
产量 制药厂 (箱/周) A1 A2 A3 A4 50 70 20 20
运资(元/箱) B1 3 10 1 4 B2 2 5 3 5 B3 3 8 10 3
解：建立数学模型
设：制药厂Ai 每周运到销售店Bj 的药品为xij 箱（i =1,2，3，4； j =1，2，3）；
第三步
主要特征就是定界，由各枝的最优值中选最大 值，称为定界。而该最大值，称为界。最优值称 为界的枝，称为界枝。 完成定界之后，即可得到这样的结论：若界枝 的最优解满足原整数规划的最优条件，则它也是 原整数规划的最优解。
第三步的具体做法为：进行定界，找出界枝。 若界枝的最优解就是原整数规划的最优解，则计 算过程便告结束；否则，回到第二步。
Max y 5 x 1 8 x 2 5 x 1 9 x 2 45 x1 x 2 6 x2 4 x 1 1 x1 , x 2 0
Max y 5 x 1 8 x 2 5 x 1 9 x 2 45 x1 x 2 6 x2 4 x 2 1 x1 , x 2 0
例2 某医疗器械厂生产A1和A2两种产品。出
数学建模整数规划详解
vlb = zeros(2,1);
vub=[9;15];
%调用linprog函数：
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
结果为： x=
9.0000 0.0000 fval =360
即只需聘用9个一级检验员。
注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数。故它
钢材（吨） 劳动时间（小时） 利润（万元）
小型 1.5 280 2
中型 3
250 3
大型 5 400 4
现有量 600 60000
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3 0
线性 规划 模型
(LP)
模型 求解
x= 64.5161
结果为小数， 怎么办？
注意：当决策变量变化范围较大时，运行速度较慢
Max z 2x1 3x2 4x3
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600
280 x1 250 x2 400 x3 60000
x1, x2 , x3为非负整数
qiche2.m qiche2.c
IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632
78
70
67.4
j=2