一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划解法与实际案例分析
整数规划解法与实际案例分析整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在实际问题中有着广泛的应用。
整数规划问题是指决策变量被限制为整数的线性规划问题，通常用于需要做出离散决策的情况。
在本文中，我们将介绍整数规划的基本概念和解法，并结合一个实际案例进行分析，以帮助读者更好地理解整数规划的应用。
### 整数规划的基本概念整数规划是一种特殊的线性规划问题，其决策变量被限制为整数。
一般来说，整数规划可以分为纯整数规划和混合整数规划两种情况。
纯整数规划要求所有的决策变量都是整数，而混合整数规划则允许部分决策变量为整数，部分为连续变量。
整数规划可以用数学模型来描述，通常形式如下：$$\begin{aligned}\text{Maximize} \quad & c^Tx \\\text{Subject to} \quad & Ax \leq b \\& x \in \mathbb{Z}^n\end{aligned}$$其中，$c$、$x$、$b$ 分别为目标函数系数向量、决策变量向量和约束条件右端常数向量，$A$ 为约束条件系数矩阵，$x \in\mathbb{Z}^n$ 表示 $x$ 是一个整数向量。
### 整数规划的解法整数规划问题的求解相对复杂，因为整数约束使得问题的解空间不再是连续的，而是离散的。
针对整数规划问题，通常有以下几种解法：1. **穷举法**：穷举法是最直接的方法，即枚举所有可能的整数解，然后逐一计算目标函数值，找出最优解。
然而，穷举法在问题规模较大时会变得非常低效。
2. **分支定界法**：分支定界法是一种常用的整数规划求解方法。
它通过不断将整数规划问题分解为子问题，并对子问题进行求解，直到找到最优解为止。
3. **割平面法**：割平面法是一种基于线性规划的整数规划求解方法。
它通过不断添加线性不等式约束（割平面）来逼近整数解，直到找到最优解为止。
4. **分支定价法**：分支定价法是一种高级的整数规划求解方法，通常用于解决混合整数规划问题。
整数线性规划
分枝定界法的理论基础：
1 2 k , i j (1) max cx max (max cx, max cx, , max cx)
x x1 x 2 x k
(2) 若 i j ，则 max cx max cx
xi xi x
分 枝
给定整数规划问题IP max z C T X
若x 的某个分量 xi 不是整数，
0
0
则将 IP分解为两个子问题
max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ]
T max z C X AX b X 0 X为整数向量 xi [ xi0 ] 1
记 z0 z
x1 4, x1 5
将问题B0分解为两个子问题B1和B2(分枝), 分别解B1,B2得 B1: x1=4, x2=2.10, z1=349 B2: x1=5, x2=1.57, z2=341
max z 40 x1 90 x2 max z 40 x1 90 x2 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 4 B1 x1 , x2 0 9 x1 7 x2 56 7 x 20 x 70 1 2 x1 5 B2 x1 , x2 0
4、几点说明 (1)、如果要求目标的最大值
max z cij xij
令
bij M cij
i
j
其中
M max{ cij }
效率矩阵可变为B，将分配问题转换为一个极 小化问题
min z
'
b x
ij i j
ij
(2)、如果分配问题中，人员数 m 不等于工作数 n 时，可以类似于不平衡运输问题建立模型的 方法，增加虚拟人员或虚拟工作。
整数规划
比如下面的例子：
例1.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如 下表：
货物 体积（每 箱M3) 5 甲 4 乙 托运限制 24 重量(每箱 50kg) 2 5 13 利润(每 箱百元) 20 10
问两种货物各托运多少箱,可使利润最大?
为了满足整数解得要求，初看，似乎只要把已得到的分 数或小数， “舍入化整”就可以了。但是，这常常是不行的， 因为化整后，不一定是可行解，或者虽是可行解，但不一定 是最优解。
整数规划
§1 整数规划及其解法 §2 0-1型整数规划 §3 指派问题
整数规划
1、理解整数规划、0-1规划和指派问题的数学 模型 2、理解整数规划模型的类型 3、理解整数规划的求解方法:分支定界法和割 平面法、0-1规划的隐枚举法和指派问题的 匈牙利法的思想和步骤
求解方法
1、分支定界法 2、割平面法
a x
i 1 ij
n
j
bi yi M (i 1,, m)
y1 + y2 + „ + ym = m –1， yi = 0 或 1 (i=1，„，m)
3、关于固定费用问题
• 在讨论线性规划时，有些问题是要求使 成本最少的方案，那时总设固定成本为 常数，并在线性规划的模型中不必明显 列出。但有些固定成本的问题不能用一 般线性规划来描述，但可改为混合整数 规划来解决。
aj
值最大？
解：设 x j 为决策变量，且 x j 满足如下限制
xj {
1，携带第j件物品 0，不携带第j件物品
，j 1,2, n
则问题的数学模型为
x c j x j max
j 1
n
运筹学中的整数规划问题分析
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
整数规划求解题技巧
整数规划求解题技巧整数规划（Integer Programming，IP）是线性规划（Linear Programming，LP）的扩展，它要求所有变量的取值必须是整数。
整数规划常用于求解实际问题中的最优决策，具有广泛的应用领域，如运输、生产、资源分配等。
下面我将介绍一些整数规划求解题的技巧。
1. 转化为纯整数规划：将实际问题转化为纯整数规划问题可以简化模型。
纯整数规划要求所有变量的取值都必须是整数，没有连续变量的限制。
通过建立合适的约束条件和目标函数，可以将问题转化为纯整数规划问题进行求解。
2. 松弛约束：对于某些约束条件，如果将其从等式形式变为不等式形式且松弛一些限制，可以增加问题的可行解空间。
这样可以使得模型具有更多的可行解，从而提高求解效率。
3. 分枝定界法：分枝定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法。
它将整数规划问题划分为多个子问题，通过不断划分和求解这些子问题，逐步逼近最优解。
分枝定界法通常包括两个步骤：分枝和定界。
分枝是指将问题分解为多个子问题，每个子问题都是原问题的一个可能解。
定界是指通过对子问题的求解，确定上界和下界，从而缩小搜索范围。
4. 启发式算法：启发式算法是一种常用的求解整数规划问题的方法，它通过启发式规则和策略来指导搜索过程。
启发式算法不保证找到最优解，但可以在较短时间内找到近似最优解。
常见的启发式算法包括贪心算法、模拟退火算法、遗传算法等。
5. 接近最优策略：在实际问题中，有时求解整数规划问题的时间复杂度非常高，甚至是NP-hard难题。
面对这种情况，可以采取接近最优的策略。
即对于一个相对较大的整数规划问题，先求解一个近似最优解，然后逐步优化，以此来降低问题的复杂度。
6. 问题分解：对于大规模的整数规划问题，可以将问题分解成多个较小的子问题。
通过对这些子问题的求解，可以逐步逼近整体问题的最优解。
问题分解可以提高求解效率，同时可以充分利用问题的结构特点。
7. 约束松弛法：约束松弛法是一种将整数规划问题转化为线性规划问题进行求解的方法。
数学规划模型的建立与求解(建模)
数学规划模型的建立与求解
一般地，优化模型可以表述如下：
min z f ( x ) s.t . gi ( x ) 0 ， i = 1, 2, , m
这是一个多元函数的条件极值问题，其中 x = [ x 1 , x 2 , … , x n ]。
许多实际问题归结出的这种优化模型，但是其决策变量个数 n 和约束条件
这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早上 8:00，问他们最早何时离开公司？
数学规划模型的建立与求解
Step 1. 寻求决策，即回答什么？ 1. 同学甲、乙、丙、丁的面试次序 1）同学甲、乙、丙、丁每个阶段面试的开始时间 2）先后次序 2. 离开时间 Step 2. 确定决策变量 1. 同学甲、乙、丙、丁参加第j阶段面试的开始时间ti,j； 2. 同学甲、乙、丙、丁面试结束时间：T1，T2，T3，T4 3. 离开时间：T=max{ T1，T2，T3，T4} 4. 先后次序：ri,j，0—1变量 5. 面试时间（已知）：ci,j Step 3. 确定优化目标 Min T
数学规划模型的建立与求解
张兴元 2009 年 3 月
数学规划模型的建立与求解
1．优化问题及其一般模型
优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的 问题之一。例如： 设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸， 使结构总重量最轻； 公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格， 使所获利润最高； 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各 供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低； 投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小 …………
数学规划模型的建立与求解
Step 4. 寻找约束条件
(四)一般ILP问题的WinQSB和Excel建模求解
（四） 一般整数线性规划问题的WinQSB 和Excel 求解实验目的:掌握在WinQSB 和Excel 中建立一般整数线性规划模型和求解的方法 实验内容:（1）利用WinQSB 的Linear and integer programming 子程序求解一般整数规划问题。
（2）利用Excel “规划求解”求解下述整数线性规划问题。
（如果“工具”菜单没有显示“规划求解”子菜单，可到“加载宏”下加载。
在本实验室选择安装路径：D:\tool_bak\office2003\PRO11.MSI ）实验内容：求解本章例1（P107页）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=，且均取整数值0,5.45.01432..23max 21212121x x x x x x t s x x z实验步骤：（一）WinQSB 的ILP 子程序求解（1）启动线性规划与整数线性规划程序。
依次点击：开始→程序→WinQSB →Linear and Integer Programming ，系统出现如图1的界面。
图1（2）建立新的数据文件或打开已有的数据文件。
在图1中点File 出现下拉菜单New Problem(建立新问题)和Load Problem(调用已有问题)。
点击File →New Problem ，输入变量的数目(Number of V ariables)、约束条件数目(Number of Constraints)，将变量类型设定为非负的整数变量 (Nonnegative integer)，其他选择默认项。
系统出现如图2的界面。
图2（3）输入数据。
在图2的界面中，单击OK后，输入数据，系统出现如图3的界面。
图3（4）问题求解。
在Solve and Analyze的下拉菜单项中选择Solve the Problem(求解不显示迭代过程)，系统给出如图4所示的求解结果。
图4（二）EXCEL求解第一步建模依次在相应的单元格内输入数据和公式，建模如图1注：Sumproduct()函数：在给定的几组数组中，将数组间对应的元素相乘，并返回乘积之和。
整数规划模型
整数规划模型整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。
在整数规划中，决策变量必须是整数。
这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。
整数规划模型的一般形式如下：\[\text{maximize} \quad c^Tx\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。
整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。
由于决策变量必须是整数，所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。
整数规划模型可以应用于许多实际问题。
例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。
求解整数规划模型可以使用多种算法。
例如，分支定界算法通过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。
整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。
首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。
其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。
最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。
总之，整数规划模型是一种重要的数学模型，可以用于解决各种实际优化问题。
但由于其复杂性和求解困难，需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。
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松弛模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0
解为（2.5,2）
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（二）模型解法之二：穷举法 先忽略整数的限制，求解其松弛模型。自然要 求松弛模型的可行解是一个有界区域；否则没办法 进行穷举求解。 如同求解一般线性规划，先画出由诸不等式约 束确定的多边形。但是这成。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
三种方法（穷举法、割平面法、分支定界法）小结与 对照如下： 3、分支定界法的一般原理及基本步骤： 分支定界法思想就是不断降低上界，提高下界，最后 使得上下界相等，即求得最优解。 基本步骤： ⑴ 寻找替代问题并求解（放宽或取消原问题某些约束， 并求解，一般取消整数约束）； ⑵ 分支与定界； ⑶ 剪支。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（一）模型解法之一：使用线性松弛模型 （二）模型解法之二：穷举法
（三）模型解法之三：割平面法
（四）模型解法之四：分支定界法
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（一）模型解法之一：使用线性松弛模型 线性松弛模型的定义： 去掉整数规划中的整数要求后得到的非整数 规划问题称为原整数规划的线性松弛模型。
注意，这里线性松弛模型的可行解的区域 （多边形）包含了整数规划的可行解的集合（多 边形内的整数点），因而线性松弛模型的解要优 于整数规划的解。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
2 x1 x2 7
2 x1 4 x2 13
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划的可行解应该含在松弛模型的可行解内部， 并仅仅由在该多边区域内的有限多个整数点构成。 图中显示，共有12个可行解，依次代入目标函数，得到 一系列函数值：
整数点 目标函数值 整数点 (0,0) 0 (1,2) (0,1) 4 (2,0) (0,2) 8 (2,1) (0,3) 12 (2,2) (1,0) 6 (3,0) (1,1) 10 (3,1)
数学建模理论与实践
—— 基于整数规划的数学建模
1
基于整数规划的数学建模
一、一般的整数规划模型的建立与求解 二、0-1规划模型的建立与求解
三、指派模型的建立与求解
2
一、一般的整数规划模型的建立与求解
问题的提出：
一般的整数规划是指线性规划中的一类特殊的问题，其特 点是决策变量只取整数。
建立整数规划模型如同建立一般线性规划模型一样，要确 定决策变量、目标函数和约束条件。所不同的是，这里的可 行解中各变量只取整数。如果只有两个决策变量，可行解只 可能是平面上坐标是整数的点。因而在各决策变量有界的条 件下，可行解只可能是有限多个。这个特点使我们有可能用 一些特殊方法求解整数规划模型。
详细参见文件：分支定界法原理简介.pdf
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
三种方法（穷举法、割平面法、分支定界法）小结与 对照如下： 1、穷举法解整数规划问题的原理及算法：求出所有的 可行解，代入目标函数比较求得最优解。 2、割平面法的思想及过程：在整数规划的线性松弛模 型中逐次增加一个新约束（即割平面），割去原可行域 中一部分不含整数点的区域。逐次切割直至最终所得线 性松弛模型可行域的一个最优解顶点为整数解为止。 新增约束必须满足的条件： (1) 不能割去满足条件的整数点； (2) 必须将前一次松弛模型的最优解（非整数解）割去。
特别说明：对比整数规划问题，非整数规划问题的可行 解通常构成平面上的一个多边形，可行解有无穷多个。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
解下列整数规划模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
目标函数值
14
12
16
18
18
22
A、B两种机器分别购买3台和1台，产值最多增加22万元。
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一、一般的整数规划模型的建立与求解
（三）模型解法之三：割平面法 割平面法的思想及过程：在整数规划对应的 线性松弛模型中逐次增加一个新约束（即割平 面），割去原可行域中一部分不含整数解的区域， 逐次切割直至最终得到松弛问题可行域的一个最 优解顶点为整数解为止。 特别说明：由线性规划的特点，最优解一定 能在可行解区域的某个顶点达到。 新增约束必须满足的条件： (1) 不能割去满足条件的整数点； (2) 必须将前一次模型的最优解割去。 11
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二、0-1规划模型的建立与求解
1. 0-1规划含义 0-1规划是整数规划中的特殊情况，此时决策变量只取0或1 值。只取0或1值的变量称为0-1变量，决策变量为0-1变量的线 性规划称为0-1规划。 2. 0-1规划模型典型解法：隐枚举法 由于0-1规划是特殊的整数规划，显然可以使用整数规划的 一切方法（如上述的线性松弛模型、穷举法、割平面法、分支 定界法等方法）求解0-1规划。 对一个有n个决策变量的0-1规划模型，其所要考虑的情况 最多有2^n种。如果变量不多，可以用穷举法来求解。 隐枚举法的本质是穷举法，但是应用隐枚举法可以更快地 得到最优解。
一、一般的整数规划模型的建立与求解
整数规划模型： max Z 6 x1 4 x2
s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0 x1 , x2为整数
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 x2 4 x1 , x2 0
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松弛模型：
max Z 6 x1 4 x2 s.t. 2 x1 4 x2 13 2 x1 x2 7 x1 , x2 0
一、一般的整数规划模型的建立与求解
（四）模型解法之四：分支定界法 分支定界法是一种广义搜索算法，人工使 用非常繁琐，但由于计算机的运算速度快的特 点，这种算法十分适合计算机进行。分支定界 法是计算机最擅长的广义搜索穷举算法。