整数规划在数学建模中的应用
数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
数学建模中的整数规划与混合整数规划
数学建模作为一种解决实际问题的方法，旨在从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学方法来对模型进行分析和求解。
在数学建模过程中，整数规划与混合整数规划是两种常用的数学工具，适用于解决许多实际问题。
整数规划是指在约束条件下，目标函数为整数变量的线性规划问题。
而混合整数规划是在整数规划的基础上，允许部分变量为实数，部分变量为整数。
这两种规划方法可以广泛应用于许多领域，如物流、生产规划、资源分配等。
整数规划的一个经典问题是背包问题。
假设有一个容量为C的背包，有n个物品，每个物品有自己的重量w和价值v。
目标是在不超过背包容量的情况下，选择装入背包的物品，使得背包中的物品总价值最大化。
这个问题可以用整数规划的方式进行建模和求解，将每个物品视为一个二进制变量，表示是否选择该物品，目标函数为物品价值的总和，约束条件为背包容量不能超过C。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到整数规划模型，并利用整数规划算法进行求解，得到最优解。
混合整数规划在实际问题中更为常见。
一个典型的实际问题是运输网络设计问题。
假设有一组供应地和一组需求地，需要建立供需之间的运输网络，以满足需求地对各种商品的需求，同时要考虑供给地的产能限制和运输成本。
这个问题可以用混合整数规划的方法进行建模和求解。
将供需地视为节点，建立连通性矩阵表示供需之间的运输路径，将路径的运输量作为决策变量，目标函数可以是运输成本的最小化，约束条件可以包括供给地产能限制和需求地需求量的满足。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到混合整数规划模型，并利用相应的求解算法进行求解，得到最优的运输网络设计方案。
整数规划与混合整数规划在数学建模中起着重要的作用。
它们既具备一般整数规划问题的优点，可以提高问题的精度和可行性，又具备一般线性规划问题的优点，可以通过线性规划算法来求解。
同时，整数规划与混合整数规划也存在一些挑战，如求解时间长、难以处理大规模问题等。
对于这些问题，研究者们一直在不断提出新的算法和优化方法，以提高整数规划与混合整数规划的求解效率。
数学建模线性规划和整数规划实验
1、线性规划和整数规划实验1、加工奶制品的生产计划（1）一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克A1产品，或者在乙车间用8小时加工成4千克A2 产品.根据市场需求，生产的A1、A2产品全部能售出，且每千克A1产品获利24元，每千克A2产品获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100 千克A1产品，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题: （i）若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资?若投资，每天最多购买多少桶牛奶?(ii)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元?(iii)由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30元，是否应改变生产计划?(2)进一步，为增加工厂获利，开发奶制品深加工技术.用2小时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1可获44元，每千克B2可获32元.试为该厂制订一个生产销售计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下问题:(i)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间，是否应作这项投资?若每天投资150元，或赚回多少?(ii)每千克高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调整?解：由已知可得1桶牛奶，在甲车间经过十二小时加工完成可生产3千克的A1，利润为72元；在乙车间经八小时加工完成可生产四千克的A2，利润为64元。
利用lingo软件，编写如下程序：model:max=24*3*x1+16*4*x2;s.t.12*x1+8*x2≤480;x1+x2≤50;3*x1≤100;X1≥0,x2≥0end求解结果及灵敏度分析为：Objective value: 3360.000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 2.0000003 0.000000 48.000004 40.00000 0.000000Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 72.00000 24.00000 8.000000X2 64.00000 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 53.33333 80.000003 50.00000 10.00000 6.6666674 100.0000 INFINITY 40.00000 分析结果：1）从结果可以看出在供应甲车间20桶、乙车间30桶的条件下，获利可以达到最大3360元。
数学建模线性规划与整数规划
数学建模线性规划与整数规划数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法解决的学科。
线性规划和整数规划是数学建模中常用的两种模型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍线性规划和整数规划的概念、模型形式以及求解方法。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数最优解的数学模型，它的基本形式可以表示为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0在上述模型中，C₁,C₂,...,Cₙ为目标函数的系数，Aᵢₙ为不等式约束条件的系数，bᵢ为不等式约束条件的右端常数，X₁,X₂,...,Xₙ为决策变量。
线性规划的求解可以通过单纯形法或内点法等算法实现。
通过逐步优化决策变量的取值，可以得到满足约束条件并使目标函数达到最优的解。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是在线性规划基础上增加了决策变量必须取整的要求，其模型形式为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0X₁,X₂,...,Xₙ为整数整数规划在实际问题中常用于需要求解离散决策问题的情况，如装配线平衡、旅行商问题等。
然而，由于整数规划问题的整数约束，其求解难度大大增加。
求解整数规划问题的方法主要有分支定界法、割平面法、遗传算法等。
整数规划在数学建模竞赛中的应用初探
定义 １４ 】 只有一部分 的决策变量要求取非负整数 ， ．【 另一部分可以取非负实数的整数规划 问题称为混合整数规划 ； 定义 １５ 】 所有决策 变量 只能取 ０或 １ 个数的整数规划问题称为 ０— ．【 两 １整数规划 ；
关 键 词 整数规划 ； １ Ｏ一 整数规 划； 数学建模竞赛
［ 中图分类 号］ Ｇ ４ ６０ ［ 文献标识码］ Ａ
数学建模竞赛 是由美国工业 与应用数学学会在 １ ８ ９ ５年 发起 的一项 大学 生 学
生应用数学 的能力 ． 国在 １９ 我 ９ ２年起 开展 这项竞赛 ， 已形成一项全 国性 的竞赛活动 ， 是参赛学校最多 的一种科技竞赛．０ ８ 现 也 ２０ 年全国共有 １２ 高等院校计 １２４支 队伍 ３万 ８千多人参加 比赛 ． ０２所 ２８ 每年参加数 学建 模竞 赛的学生 中相 当一部分是大学二 、 三 年级的同学 ， 他们刚 刚修完高等数学 、 线性代数和概率论与数 理统计 等课程 ， 对参加数 学建模 竞赛 所需具 备 的其 它数学 知识 以 及数学建 模的方法没有更多 的了解 ， 怎样使这部分学生能更好地 参加数 学建模竞 赛 ， 为许 多指导 教师经 常讨论 的问题． 不 成 据 完全统计 ， 以往 的数学建模竞赛题中 ， 在 大概有 ８ ％ 的问题 属于优化 问题 ， ０ 属于运筹学的研究范畴 ， 而其中相当一部分 又是属于
Ｊ＝１ ’ 。
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常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
常见数学建模模型
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
线性规划模型的目标是在给定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最优解。
其中，约束条件通常是线性等式或不等式，而目标函数是一个线性函数。
在实际应用中，线性规划模型可以用于生产计划、资源分配、运输问题等。
例如，一个工厂的生产计划中需要确定每种产品的产量，以最大化利润为目标，并且需要满足一定的生产能力和市场需求的约束条件。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，其目标函数和约束条件仍然是线性的，但变量需要取整数值。
整数规划模型常用于离散决策问题，如项目选择、设备配置等。
例如，一个公司需要决定购买哪些设备以满足生产需求，设备的数量必须是整数，且需要考虑成本和产能的约束。
三、动态规划模型动态规划是一种求解多阶段决策问题的数学方法。
该模型通常包含一个阶段决策序列和一个状态转移方程，通过递推求解最优解。
动态规划模型被广泛应用于资源分配、路径规划、项目管理等领域。
例如，一个工程项目需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总成本或最大化总效益。
在每个阶段，决策的结果会影响到下一个阶段的状态和决策空间，因此需要使用动态规划模型进行求解。
四、图论模型图论是研究图和网络的数学理论。
图论模型常用于解决网络优化、路径规划、最短路径等问题。
例如，一个物流公司需要确定最佳的送货路径，以最小化运输成本或最短时间。
可以将各个地点看作图中的节点，道路或路径看作边，利用图论模型求解最优路径。
五、回归分析模型回归分析是研究变量之间关系的一种统计方法。
回归分析模型通常用于预测和建立变量之间的数学关系。
例如，一个销售公司需要预测未来销售额与广告投入、市场份额等因素的关系。
可以通过回归分析模型建立销售额与这些因素之间的数学关系，并进行预测和决策。
六、排队论模型排队论是研究排队系统的数学理论。
排队论模型常用于优化服务质量、降低排队成本等问题。
美赛数学建模常用模型及解析
美赛数学建模常用模型及解析
数学建模是数学与实际问题的结合，解决实际问题的具体数学模型是数学建模的核心。
以下是一些美赛中常用的数学模型及其解析。
1. 线性规划模型
线性规划模型是一种最常见的优化模型，它的目标是在给定的约束条件下，寻找一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划模型可以用于解决资源分配、生产计划、运输优化等问题。
2. 整数规划模型
整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型可以应用于旅行商问题、装配线平衡问题等需要整数解决方案的实际问题。
3. 动态规划模型
动态规划是一种将多阶段决策问题转化为单阶段决策问题求解的方法。
动态规划模型可以用于解决背包问题、序列对齐问题等需要在不同阶段做出决策的问题。
4. 排队论模型
排队论模型用于分析系统中的排队现象，包括到达率、服务率、系统稳定性等指标。
排队论模型可以用于研究交通流量、电话系统、服务器排队等实际问题。
5. 随机过程模型
随机过程模型用于描述随机事件的演变过程，其中最常见的是马尔可夫链和布朗运动。
随机过程模型可以用于模拟金融市场、天气预测、股票价格等随机变化的问题。
这些模型只是数学建模中常用的几种类型，实际问题通常需要综合运用多种模型进行分析和求解。
对于每个具体的问题，需根据问题的特点和要求选择合适的数学模型，进行合理的建模和求解。
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中只有部分变 量要求取整数 ，则称 为混合整数规划 。而在某 些 线 性 规 划 问题 中 ，变 量 只 有 取 整 数 值 才 有 意 义 ， 这 时 约 束 条 件 时还 需添 上 变 量 取 整 数 值 的 ห้องสมุดไป่ตู้ 制 。这 就 是 纯 整 数 线 性 规 划 问题 （ 以下 简 称 整 数 规 划 ） 。
【 摘 要 】归纳总结 了整数规划 的基本知识和基本模 型 ，并探讨 了整数规 划在 ２ ０ ０ ９年全 国大学生数学建模竞赛 中的应 用，
对整数规 划在数 学建模 中如何应 用提供 了参考 。
【 关键词 】整数规划 ；Ｏ １ － 整数规划 ；数 学建模竞赛 ；Ｌｎ ｏ软件 ｉｇ 【 中图分类号 】Ｔ ３ １ Ｐ０． ６ 【 文献标识码 】Ａ
ａＩ ｌ＋ ａｌｘ２＋ … ＋ ａｌ ｌ ２ ａ２ ｌ＋ ａ２ ｘ２＋ … ＋ ａ２ ｌ ２
ｂ １ ｂ２
３ 模型建立 的一般步骤 ．
（ ）研 究 和 明确 问题 的要 求 和 条 件 ； １
该 模 型 直 接 利 用 Ｌ ｎ ｏ软 件 可 求 出最 优 解 。 ｉｇ
（ ）会议 筹备 模型 （ ９年数 学建 模竞 赛 Ｃ题 ） 三 ０
，
以 及投
资矩 阵 Ａ ＝ （ ） ， 中 ｎ 示 第 ｆ年 项 目 ， 所 需投 入 的 口 … 其 表 金额 。利润矩阵 ｃ ＝（ 。ｃ ， ， ｃ， ： … ｃ ），ｃ 为 ，项 目的利 润 。
２１ ０ ０年 第 ５期 （ 第 １ ９期 ） 总 ２
大 众 科 技
ＤＡ ＺＨＯＮＧ ＫＥ Ｊ
Ｎｏ． ２０ ０ ５， １
（ ｍｕａｉ ｌ Ｎ ．２ ） Ｃｕ ｌｔ ｅｙ ｏ１ ９ ｖ
整数 规 划 在 数 学建 模 中 的应 用
林 秋 红 （ 肇庆科技职业技 术学院 ，广 东 肇 庆 ５ ６２ ２ ０ ０）
案。
２ 整数规划 问题 的特 征 ．
（ ）每 一 个 问题 都 可 以用 一 组 未 知 数 （ １
…
，
，
．
） 示 表
（ ）模 型 的 建 立 ２ 设ｘ 表 示 按 方 案 截 取 用 的原 材 料 的数 目， 是 可 以 于
＋
某一个 方案 ，这组未知数的一组定值就代表一个具体 的方案．
定 义 ４ ０ １整数 规划 ： 是 整 数 规 划 的 一 种特 殊 情 形 ， ～ 决 策 变 量 只 能 取 ０ １ 或 。
求 用 的 原 材料 最 少 的 方 案 。 （ ） 问题 分 析 １
下料 问题 就是在满足要求： 截取长度为 ｆ’： … ， 的钢 ｌ， ， ，
材 数 分 别 为 ｂ ， ２ … ， 根 时 ，用 的 原 材 料 根 数 最 少 的 方 ｂ ， ｂ
据 资料； （ ）列 出所 有 约 束 条 件 的线 性 表 达 式 ； ５
【 文章编号 】１０ — １ １ ０００ — ０ １ ０ ０ ８ １５ （ １）５ ０ ２ — ２ ２
整数规划模 型是数学建模竞赛 中经典的数学模 型 ，如何 利用 Ｌ ｎ ｏ软件和整数规划模型求解最优解是参加数学建模 ｉｇ 竞赛必须 掌握 的建模知识 。下面 就整数规划 的基本 知识、基 本模型 以及在 ２ ０ ０９年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 中的
应用进行阐述 。
（ ）列 出 目标 函数 的数学表达式 。 ６ ４ 模型 的求解 ． 般 整数规划模 型可 以采用分 支界定法 、割平 面法、匈 牙 利 法 等 方 法 来 求 解 ， 在 数 学 建 模 竞 赛 中 经 常 利 用 数 学 软 件
一
（ ）基本 知 识 一
１基本概念 ．
（ ）设 定 决 策 变 量 ； ２ （ ） 定衡 量 目标 函数 的数 量指 标 （ 润 、费 用 、成 本 、 ３选 利 产 量等） ：
２ 资金分配 问题 ． 设 有 ｎ 个 投 资项 目：Ｉ Ｉ ， ， 及 年 内逐 年 投 入 资 ， ：… Ｉ
，
金 矩
（ ）收集和确 定数 学模 型的所有参数 （ ｉｃ ，，ｂ ）的数 ４ ａ ｉ
通 常要 求 这 些 未 知 数 的取 值 是 非 负 整 数 ；
建立如下整数规划模 型：
ｍ１ｎ Ｚ ： ｌ＋ Ｘ２ ＋ …
（ ）存在一定 的限制条件 （ 为约 束条件 ） ２ 称 ，这些 限制 条件都可 以用一组线性等式或线性不等式来表示 ；
（ ）存 在 一 定 的 目标 要 求 ，并 且 这 个 目标 可 表 示 为 一 组 ３ 未 知 数 的线 性 函 数 （ 为 目标 函数 ） 称 ，根据 问题 不 同 ，要 求 目 标 函数 实 现 最 大 化 或 者最 小 化 。
目 函 ｍｘ ｉ ：：ｎ ； 标 数 ａ或ｍｎ ｚ ∑ｃ （ ）
ｊｌ ＝
约 束条件 Ｉ 口ｚ ＝ ， － ，… ） ， ｂ（ １， ， ｆ ２
Ｊ ’
ｆ＿ ｆ
Ｉ 为非负整数 （＝１ ， ｎ ， ， …，） ２
定义 ２ 整数规划： 求一部分或全部决策变量必须取整 要 数值 的规 划 问题 称 为 整 数 规 划 。 定 义 ３ 整 数规 划 分 为纯 整 数 规划 和 混 合 整 数 规 划 ， 其 若
定 义 １ 一 般 的整 数 规 划 模 型 是 ：
来 求 借 ，例 如 Ｍ ｐ ｅ ｉ ｇ 、Ｍ ｔ ａ ａ ｌ 、Ｌ ｎ ｏ ａ ｌ ｂ等 。
（ ）基本 整数 规 划模 型 二
１ 合 理 下 料 问题 ． 工 地 上 需 要 长 度 为 ｆ１ 一， 的 钢 材 数 分 别 为 ｌ， ， ｂ ， ：… ｂ 。ｂ ， ， 根 时 ，取 长 为 ，的 原 材 料 进 行 截 取 ， 已知 有 ｎ 种截取方案 ：
，
【 稿 日期 】２ １ — ３ ２ 收 ０ ０ ０ —１
【 作者简介 】林秋红 （ ９ ２ ） ，肇庆科技职 业技 术学院高等数学教研组助教 ，研 究方 向为高等数 学教 育。 １ ８ 一 ，女
一
２１一
ｂ＝ （ 。ｂ ， ， ），其 中 ｂ 为 第 ｉ年 投 资 的金 额 ６， … ｂ ｉ