高等数学(下)教案曲面及其方程

教案第一页（共 4页）教案0,PM PM=在曲线C上，所以f第四页（共 4 页）第一章 微积分的理论基础内容及基本要求：1、理解函数的概念2、理解复合函数的概念，了解反函数的概念3、掌握基本初等函数的性质及其图形4、会建立简单实际问题中的函数关系式5、理解极限的概念（对极限的ε–N 、ε–δ定义可在学习过程中逐步加深理解）6、掌握极限的四则运算法则7、会用两个重要极限求极限8、 解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。

会用等阶无穷小求极限 9、 理解函数在一点连续的概念10、了解间断点的概念，并会判断点的类型11、了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）学习重点：函数概念；复合函数概念；极限概念；极限四则运算法则；两个重要极限；函数连续概念。

学习难点：极限概念。

第一节 函数一. 函数的概念及其表示法1.函数的定义 设x 与y 是变量,D 是给定的一个数集.y D x ,∈∀按照一定的法则总有确定的数值与之对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.其中D 为函数的定义域, x 是自变量, y 是因变量. 0x 处的函数值记为)(0x f ,即)(00x f y =.}),(|{D x x f y y W ∈==称为函数)(x f y =的值域.单值函数与多值函数: 如果自变量在定义域内任取一个值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数称为单值函数,否则称为多值函数.本书一般指单值函数. (1)实际问题由实际意义确定:如自由落体运动2021gt x x -=,则其定义域为0≥t .(2)数学式子由算式有意义的自变量的一切实数值所确定:如21x y -=,其定义域为]1,1[-=D .建立直角坐标系后,点),(y x 的集合C :}),(|),{(D x x f y y x C ∈==称为函数)(x f y =的图形.(1)绝对值函数:x x x x x x x y sgn .0,,0,=⎩⎨⎧<-≥==.(2)符号函数:⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==.0,1,0,0,0,1sgn x x x x y(3)取整函数:][x y =表示不超过x 2]5[,2]2[,1]1[=-=-=.(4)分段函数:在自变量的不同范围中,用不同式子表示的同一个函数称为分段函数.如绝对值函数,取整函数,符号函数都是分段函数.两个不同式子的分界点称为分段函数的分段点.二. 线性函数的基本属性对于函数)(x f y =，当自变量在其定义域内从一点0x 变为异于0x 的点x 时，相应地，函数值从0y 变为y ，我们称0x x -为自变量x 在0x 处的改变量，简称为自变量的改变量，记作0x x x -=∆，称0y y -为函数)(x f y =在0y 处相应的改变量，简称为函数的改变量，记作)()(00x f x f y y y -=-=∆.对线性函数，无论自变量x 从哪里开始变化，只要它的改变量一样大，则函数的改变量也一样大。

换句话说，线性函数随自变量的变化是均匀的，即α=∆∆xy.三. 复合函数与反函数1.复合函数 设函数)(u f y =的定义域为1D ,函数)(x u ϕ=在2D 上有定义,而}),(|{22D x x u u W ∈==ϕ,且12D W ⊂,那末,对2D x ∈∀通过函数)(x u ϕ=有确定的u 与之对应,对于这个u 通过)(u f y =有确定的y 与之对应,从而得由)(),(x u u f y ϕ==复合而成的复合函数,记作)]([x f y ϕ=,而u 为中间变量.u y arcsin =,22+=x u 就不能复合成一个复合函数. 2tanln x y =可分解成:.2,tan ,ln x v v u u y ===2.反函数 设函数)(x f y =定义域为D ,值域为W .对W y ∈∀,总..,t s D x ∈∃x 与y 对应,这样就确定了一个以y 为自变量的函数x ,称为)(x f y =的反函数,记作)(y x ϕ=,也记作 )(1x f y -=.相对于反函数)(1x f y -=,原来函数)(x f y =称为直接函数.注意(1)单值函数的反函数不一定是单值函数;但当直接函数)(x f y =不仅单值且单调时,其反函数)(1x f y -=必为单值函数.(2) )(x f y =和)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.四. 初等函数与双曲函数○1.幂函数:μx y =,(μ是常数). ○2.指数函数:)1,0(,≠>=a a a y x ,特别地:xe y =. ○3.对数函数:)1,0(,log ≠>=a a x y a,特别地:x y ln =. 注意:指数函数与对数函数互为反函数.○4.三角函数:.csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin x y x y x y x y x y x y ====== ○5.反三角函数:x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.2tanln xy =).1ln(,2x x y ++= 都是初等函数. 3.双曲函数与反双曲函数○1.双曲函数双曲正弦:),(,2+∞-∞=-=-D e e shx xx ),(+∞-∞内↑,当+∞→x时,,21x e y shx =→当-∞→x 时, x e y shx --=→21.双曲余弦:),(,2+∞-∞=+=-D e e chx xx ,偶函数,图形关于y )0,(-∞内↓,在),0(+∞内↑.+∞→x 时,,21x e y chx =→当-∞→x 时, x e y chx -=→21.双曲正切:),(,+∞-∞=+-==--D e e e e chx shx thx xx x x ),(+∞-∞内↑,且1<thx ,当+∞→x 时,1→thx ; 当-∞→x 时, 1-→thx .即1±=y 为thx 的两条水平渐进线. 性质: ,)(,)(shxshy chxchy y x ch chxshy shxchy y x sh ±=±±=±x sh x ch x ch shxchx x sh x sh x ch 22222,22,1+===-.○2.反双曲函数 反双曲正弦:)1ln(2x x arshx y ++==,(单值). 反双曲余弦:)1ln(2-+==x x archx y ,(主值)0,1>>y x .反双曲正切:xxarthx y -+==11ln 21.函数举例:例1 设21)(xx x f +=,求]])]([[[)( x f f f x f n =.解 22222221)1(11)(1)()]([)(xx x x x xx f x f x f f x f +=+++=+==;22231)(,,31)]([)(nxx x f xx x f f x f n +=+== .例2 设221)1(x x x x f +=+,求)(x f .解 2)(,2)1()1(22-=⇒-+=+t t f xx x x f ,即2)(2-=x x f .例3 设2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(>x ϕ,求)(x ϕ及其定义域.解 2)(x e x f =,所以)(2)]([x e x f ϕϕ=.又0)(>x ϕ,所以⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=)2(,11)1(,1)()(22x ex ex x ϕϕ 由(1)得)1ln()(x x -=ϕ;由(2)得0<x ,即)(x ϕ的定义域为0<x .例4 设),(),(+∞-∞∈=x x f y 的图形关于直线a x =与b x =对称)(b a <,则)(x f 为周期函数. 证明 )2()(x a f x f -= ()(x f 关于a x =对称) )]2(2[x a b f --= ()(x f 关于b x =对称))](2[a b x f -+=,即)(x f 为周期函数.把y 与x 的函数关系通过变量t 间接地表示为⎩⎨⎧∈==D t t y y t x x ),(),( 上式称为y 与x 函数关系的参数表示式，也称为此曲线的参数方程，t 称为参变量，也称为参数。

在平面上选取一条具有起始点O （称为极点）和长度单位的半直线Ox ，称为极轴，这样在此平面上就建立了极坐标系。

对平面上任一点P ，将线段OP 的长度记为ρ，成为极径，极轴Ox 到射线OP 的转角记作ϕ，称为极角。

如果限制)2,0[πϕ∈，0≥ρ，那么平面上除极点O 外任一点P 便有唯一的有序数组),(ϕρ与其对应；反之，任给一数组),(ϕρ，以ϕ为极角，ϕ为极角，必有唯一的点与之对应。

因此，我们把),(ϕρ称为点P 的极坐标。

点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(ϕρ之间有如下关系⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎩⎨⎧==x y y x y x ϕρϕρϕρtan ,sin cos 22第二节 数列的极限一. 数列 无限多个数有次序地排成一列,,,,21n x x x称为数列,记为}{n x .数列中的每一个数称为数列的项,第n 项n x }{n x 也可看作自然数n 的函数:N n n f x n ∈=),(.在几何上,数列}{n x 也可看作数轴x 上的一系列点.设数列}{n x .在}{n x 中第一次抽取1n x ,第二次抽取,),(,122 n n x n >第k 次抽取,k n x 得新数列1n x ,,,2 n x ,k n x称为数列}{n x 的子(数)列}{k n x . 二. 数列的极限:.lim A x n n =∞→1.引例:刘徽的割圆术.设数列n x n 1=.观察当n 无限增大时,数列的项的变化趋势.具体写出来是:,1,,51,41,31,21,1n当n 无限增大(即要多大就有多大)时,一般项n1无限接近(要多近就有多近)于常数0=A ,此时称数列}1{n 的极限为零,或数列}1{n定义(描述性定义)当n 无限增大时, 数列}{n x 与常数A 无限接近,称数A 为数列}{n x 的极限,或称数列}{n x 收敛于A .记作.lim A x n n =∞→,或)(,∞→→n A x n .下面我们对数列}1{n来具体分析:要使n 1与0=A 的距离小于101=ε,即 1011011=<=-=-εn n A n .则101=>εn ,取10=N ,当10>n 时,10101=<-εn ,即从第11项开始,所有项与0=A 的距离小于101.取1001=ε,要使10011011=<=-=-εn n A n ,则100>n .取100=N ,则当100=>N n 时,100101=<-εn ,即从第101项开始,所有项与0=A 的距离小于1001.…………………………………………0>∀ε,要使εε11>⇒<-n A n .取],1[ε=N 则当]1[ε=>N n 时, ε<-01n.即从1+N 项开始, 所有项与0=A 的距离小于ε.用精确的数学语言,有定义 给定数列}{n x 和常数A :0)(,0>=∃>∀εεN N ,当N n >时,有ε<-A x n成立,则称常数A 为数列}{n x 的极限,或称数列}{n x 收敛于常数A ,记为.lim A x n n =∞→,或)(,∞→→n A x n .如果数列没有极限,则称数列是发散的.注意 (1)ε反映了数列}{n x 中项n x 与常数Aε可以任意小,此时ε<-A x n 反映了n x 与常数A 无限接近(要多近就有多近),不是越来越近.(2))(εN N =反映了数列}{n x 中与常数A 接近的项的范围,即从1+N 项1+N x 开始,所有项与A 的距离小于ε.因此N 是ε的函数.一般地, ε越小,则N 越大.(3) .lim A x n n =∞→主要是对于给定的ε,能够找到一个N ,使得 ,,,,21n N N x x x ++与A的距离小于ε,而前N 项N x x x ,,,21 是否与A 的距离小于ε没有任何影响. (4) N 是否存在才是关键,不必找最小的N . (5) .lim A x n n =∞→的几何意义:由定义: 0)(,0>=∃>∀εεN N ,当N n >时,有ε<-A x n ),(),(εεεA U A A x n =+-∈⇒,即 ,,,,21n N N x x x ++全部落在A 的ε邻域内.例1 证明1)1(lim1=-+-∞→nn n n . 分析:由注(3)的思路:0>∀ε从不等式ε<-A x n 解出n ,从而确定N . 证明 0>∀ε,要使ε<=--+=--nn n A x n n 11)1(1则ε1>n .取]1[ε=N ,则当N n >时,有ε<-A x n所以1)1(lim1=-+-∞→nn n n .有时,由ε<-A x n 解出n 是非常麻烦.由注(4)可知,此时可将不等式ε<-A x n 适当放大(不能太大),即)()(n g n f A x n <=-由ε<)(n g 解出n ,从而确定N .则当N n >时,有ε<<=-)()(n g n f A x n故.lim A x n n =∞→注:这里的适当放大意思是)()(n g n f A x n <=-放大后)(n g 还可小于ε.例2 证明1lim 22=+∞→na n n .证明 0>∀ε,要使ε<-+=-+=-nna n n a n A x n 22221此时直接解出n A x n -适当放大,ε<<++=-na n a n n a A x n 2222)(所以ε2a n >,取][2εa N =即可.或如下放大:ε<=-+<-na nna n A x n则ε||a n >.取]||[εa N =即可.三. 收敛数列的性质 定理1(极限唯一性定理) 如果数列}{n x ,则其极限必唯一. 证明 设.lim A x n n =∞→B x n n =∞→lim .B A <.取2AB -=ε. 由.lim A x n n =∞→则01>∃N ,当1N n >时,有2AB A x n -=<-ε.由B x n n =∞→lim ,则02>∃N ,当2N n >时,有2AB B x n -=<-ε. 取},max{21N N N =,则当N n >时,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--<-.2,2A B B x A B A x n n 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+<.2,2A B x A B x n n 矛盾. 定理2（有界性） 收敛数列必有界.但有界数列不一定收敛.证明 设.lim A x n n =∞→则给定0,0>∃N ε,当N n >时,有0ε<-A x n .则0)(ε+<+-≤+-=A A A x A A x x n n n ,取},,,,max{021ε+=A x x x M N .则对任意的n ,有M x n ≤即数列}{n x 必有界.反之,数列})1{(1--n 是有界的(因为1)1(1=≤--M n ),但1)1(lim -∞→-n n 不存在(为什么?见下面的解释).定理3（保号性）,lim A a n n =∞→设)0(0<>A A ，则+N ∈∃N ，使得N n >∀，恒有)0(0<-≤>≥q a q a n n其中q 为某一正常数。