【数学建模】第02章 整数规划
建模算法（二）——整数规划
建模算法（⼆）——整数规划⼀、概述1、定义：规划中变量部分或全部定义成整数是，称为整数规划。
2、分类：纯整数规划和混合整数规划。
3、特点：（1）原线性规划有最优解，当⾃变量限制为整数后：a、原最优解全是整数，那最优解仍成⽴b、整数规划没有可⾏解c、有可⾏解，但是不是原最优解4、求解⽅法分类（1）分⽀定界法（2）割平⾯法（3）隐枚举法（4）匈⽛利法（5）蒙特卡洛法⼆、分⽀定界法1、算法如下（求解整数规划最⼤化问题）MATLAB实现function r=checkint(x)%判断x(i)是不是整数了。
是的话r(i)返回1，不是的话，返回0%输⼊参数：x X向量%输出参数：r R向量for i=1:length(x)if(min(abs(x(i)-floor(x(i))),abs(x(i)-ceil(x(i))))<1e-3)r(i)=1;elser(i)=0;endendfunction val=isrowinmat(arow,mat)%⽤来判断mat中是否包含与arow⼀样的向量%输⼊变量：arow 向量% mat 矩阵%输出变量：val 1表⽰有，0表⽰没有val=0;rows=size(mat,1);for i=1:rowstemp=(mat(i,:)==arow);if length(find(temp==0))==0val=1;return;elseval=0;end;end% [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint.f,A,b,Aeq,beq)% [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb)% [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)% [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)% [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)if nargin<10, options=[]; endif nargin<9, x0=[]; endif nargin<8, ub=inf*ones(size(f)); endif nargin<7, lb=zeros(size(f)); end[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);if exitflag<=0 %表⽰线性规划没有最优解returnendv1=find(ifint==1); %找到需要整数规划的变量的下标temp=x(v1);%如果不是要求整数规划的就可以返回了。
整数规划和动态规划-数学建模
(1.13), (1.14)
max z = ∑ (0.487xi1 + 0.520 xi2 + 0.613 xi3 + 0.720 xi 4 + 0.487 xi 5 + 0.520 xi 6 + 0.640 xi 7 )
i =1
2
于是成为一个有 13 个不等式约束 14 个自然条件的整数线性规划模型，目标是函数 的最大化. （3）问题求解 1) 此模型可用分枝定界法，割平面法求最优解，但用部分枚举法比较便当. 部分枚举法————隐枚举法（Implicit Enumeration） 2) 用 Lingo 软件求解 max=0.487*x11+0.520*x12+0.613*x13+0.720*x14+0.487*x15+0.520*x16+0.640*x17+ 0.487*x21+0.520*x22+0.613*x23+0.720*x24+0.487*x25+0.520*x26+0.640*x27; x11+x21<=8; x12+x22<=7; x13+x23<=9; x14+x24<=6; x15+x25<=6; x16+x26<=4; x17+x27<=8; 2*x11+3*x12+x13+0.5*x14+4*x15+2*x16+x17<=40;
西安理工大学理学院
王秋萍
x13 + x23 ≤ 9 x14 + x24 ≤ 6 x15 + x25 ≤ 6 x16 + x26 ≤ 4 x17 + x27 ≤ 8
02-整数规划数学模型及其解法-4h
− x1 − x 2 − x 3 < − 3 + My i − 3 x − 2 x − x < − 5 + My i 1 2 3 x 1 < 10 + My i 则有 (M 为任意大的正数） x 2 < 4 + My i x 3 < 11 + My i y1 + y 2 + L + y 5 ≥ 2
（1） （2）
25
4．用以表达含固定费用的函数
如用xj代表产品j的生产数量，其生产费用函数通 常可表示为： ( x j > 0) K j + c j x j C j (x j ) = ( x j = 0) 0 式中kj是同产量无关的生产准备费用。 问题的目标是使所有产品的总生产费用为最小。 n 即：
7
引例2-3
各点的设备投资及年获利预测表
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
投 资 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180 额 利 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61 润 投资总额不能超过720万元。 问应选择哪几个点，可使年利润为最大？
10
整数规划的图解
有人认为，对整数规划问题的求解可以 先不考虑对变量的整数约束，作为一般 线性规划问题来求解，当解为非整数时 可用四舍五人或凑整方法寻找最优解。 当然在变量取值很大时，用上述方法得 到的解与最优解差别不大。但当变量取 值较小时，得到的解就可能与实际整数 最优解差别很大。再者当问题规模较大 时，用凑整办法来算工作量很大。
j =1
n
K j + c j x j ( x j > 0) C j (x j ) = ( x j = 0) 0
数学建模-整数规划
算例
max 3x1 5x2 4x3
2x1 3x2 1500
s.t.32xx12
4x3 2x2
800 5x3
2000
x1
,
x2
,
x3
0,
x1 , x3为整数
max 3 x1+5 x2+4 x3 subject to 2 x1+3 x2<=1500 2 x2+4 x3<=800 3 x1+2 x2 +5 x3<=2000 end gin x1 gin x3
注解
该问题本质上是个整数规划问题， 放松的线性规划的最优解是个整数 解，所以两规划等价。
定义整数变量用函数@gin(x1)…… @gin(x7); 0-1整数变量为@bin(x1)
应急选址问题
某城市要在市区设置k个应急服务中心, 经过初步筛选确定了m个备选地，现已 知共有n个居民小区，各小区到个备选地 的距离为 d ij , i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,为了使 得各小区能及时得到应急服务，要求各 小区到最近的服务中心的距离尽可能的 短，试给出中心选址方案。
问题分析
为了便于说明问题引入间接变量，第i 小区是否由第j个中心服务
yij 0,1, i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,
以及最远的距离 z,
约束条件
小区服务约束
yij x j , i 1,2,..., n, j 1,2,..., m,
m
yij 1, i 1,2,..., n,
方案 确定每天工作的人数，由于连续休息2天，当确定每 个人开始休息的时间就等于知道工作的时间，因而确定 每天开始休息的人数就知道每天开始工作的人数，从而 求出每天工作的人数。
数学建模整数规划PPT学习教案
已知三工厂每月的经营费用 di (与 产量无关)分别为 100、90、120 .问如 何选址使每月经营和运输费用最低 .
x11 x21 x31 40
x12 x22 x32 60
x13 x23 x33 45
y1 y2 y3 2
Solution:
1、 先检查最大上界（极大化问题）的活问题
优点：检 查子问 题较其 他规则 为少；
缺点：计算机储存量较大 .
2、 先检查最新产生的最大上界的活问题 优点：计算机储存量较少 ；
缺点：需要更多的分支运算 .
选择的不 同，提 供了发 挥的余 地
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第五章去掉整数约整束数为3＜规x 划＜4 之间无整数解P Example4
0123456789
x1第14页/共30页
P6 (x2≥5)
x1=0、x2=5 Z6=40
*
§2 整 数 规 划 的解 法 Example 5 （投资方案的最优选择）
投资 年度
项目
A1 A2 A3
投资 额度
1 042 5
某公司欲对三个项目进行投资， 根据预算 四年内 的投资 额、三 个项目 每年所需投资额以及所创利润如表. 问应对哪 几个项 目进行 投资， 可获利 最大？
整数规划
物品 重量 aj
1
3
2
4
3
3
4
3
5
15
6
13
7
16
价值 cj 12 12 9 15 90 26 112
Solution: 这是一个 0-1 规划问题.
1 x j 0
如果带第 j 件物品 否则 j = 1~7
整数规划模型
王秋萍：整数规划模型
为(非负)整数
仅一部分变 量为整数
4
有些问题用线性规划数学模型无法描述，可以 通过设置逻辑变量建立整数规划的数学模型。
王秋萍：整数规划模型
5
逻辑变量在建立数学模型中的作用
m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为
∑a x
ij j =1
n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义 又M为任意大的正数，则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍：整数规划模型
6
逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个，即 n
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3
数学建模(整数规划)
整数规划模型实际问题中x x x x f z Max Min Tn "),(),()(1==或的优化模型mi x g t s i ",2,1,0)(..=≤x ~决策变量f (x )~目标函数g i (x )≤0~约束条件多元函数决策变量个数n 和数线性规划条件极值约束条件个数m 较大最优解在可行域学规非线性规划解的边界上取得划整数规划Programming+Integer所有变量都取整数，称为纯整数规划；有一部分取整数，称为混合整数规划；限制取0，1称为0‐1型整数规划。
型整数规划+整数线性规划max(min) nz c x =1j jj n=∑1s.t. (,) 1,2,,ij j i j a x b i m=≤=≥=∑"12 ,,,0 ()n x x x ≥"且为整数或部分为整数+例：假设有m 种不同的物品要装入航天飞机，它们的重量和体积分别为价值为w j 和v j ，价值为c j ，航天飞机的载重量和体积限制分别为W 和V ，如何装载使价值最大化？m1⎧1max j jj c y =∑ 1 0j j y =⎨被装载 s.t. mj j v y V≤∑0j ⎩没被装载1j m=1j j j w y W=≤∑ 0 or 1 1,2,,j y j m=="(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年美国芝加哥(Chi)Li S h前后开发, 后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：I）网址htt//li dLINDO: Interactive and Discrete Optimizer (V6.1) Linear(V61) LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V8.0) LINDO——解决线性规划LP—Linear Programming，整数规划IP—Integer Programming问题。
数学建模整数规划
整数规划前面介绍的线性规划问题中，只要求决策变量非负，也就是说决策变量可以取小数，然而在许多经济管理的实际问题中，决策变量只有取非负的整数才有实际意义。
如果一个线性规划问题要求全部的决策变量都取整数，那么这样的线性规划问题称为全整数规划或纯整数规划问题。
如果只要求一部分决策变量取整数，那么这样的线性规划问题称为混合整数规划问题。
如果决策变量只能取0或者1，那么就称为0-1规划问题 整数规划在实际中的应用: 1. 指派问题：某公司人事部门欲安排四个人去做四项不同的工作，每个人只能完成一项工作，一项工作只能由一个人完成。
每个人完成各项工作所消耗的时间（单位：分钟）如下表所示，（2） 如果把（1）中的消耗时间数据看成创造效益的数据，那么应该如何指派，可以使得总的效益最大？（3） 如果在（1）中再增加一项工作E ，甲 、乙、丙、丁四人完成工作E 的时间分别为17，20，15，16分钟，那么应该指派这四个人干哪四项工作，可使得这四个总的消耗时间为最少？解：（1） 引入0-1变量ij x ，并令⎩⎨⎧=项工作时个人不做第当第项工作时个人去做第当第j i j i x ij 01，于是这个分派问题的数学模型为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====+++=+++=+++=+++=+++=+++=+++=++++++++++++++++++=4,3,2,1,4,3,2,1101111111119242017181516262027241828201920min 443424144333231342322212413121114443424134333231242322211413121144434241343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x Z ij ，或 用管理运筹学2.0软件求解结果如下：**********************最优解如下*************************目标函数最优值为 : 71变量 最优解 ------- --------x1 0 x2 1 x3 0 x4 0 x5 1 x6 0 x7 0 x8 0 x9 0 x10 0 x11 1 x12 0 x13 0 x14 0 x15 0 x16 1 约束 松弛/剩余 ------- ---------1 02 03 04 05 06 07 08 0 这就说明112=x ，121=x ，133=x ，144=x所以应该让甲去做B 工作，让乙去做A 工作，让丙去做C 工作，让丁去做D 工作，这时总的消耗时间为71分钟。
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再定界：340 z * 341，并将B12 剪枝。
（iv）对问题B 再进行分枝得问题B 和 B ，它们的最优解为
2
21
22
B21 : x1 = 5.44, x2 = 1.00, z22 = 308
B22 无可行解。
将 B , B 剪枝。 21 22
于是可以断定原问题的最优解为：
x1 = 4, x2 = 2, z* = 340
从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为：
开始，将要求解的整数规划问题称为问题A ，将与它相应的线性规划问题称为问
题B。
（i）解问题B 可能得到以下情况之一：
（a） B 没有可行解，这时A 也没有可行解，则停止．
（b） B 有最优解，并符合问题A 的整数条件，B 的最优解即为A 的最优解，则
第二章 整数规划
§1 概论 1.1 定义
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，
变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适
用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
（v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
§2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系
统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子 集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称 为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，
1.2 整数规划特点 （i） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例 1 原线性规划为
min z = x1 Ƴ, x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
其最优实数解为：x 1 = 0, x 2 =
选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化的整数规划问题 A ，与它相应的线性规划为问题 B ，从解问题 B 开始， 若其最优解不符合 A 的整数条件，那么 B 的最优目标函数必是 A 的最优目标函数 z* 的 上界，记作 z ；而 A 的任意可行解的目标函数值将是 z* 的一个下界 z 。分枝定界法就 是将 B 的可行域分成子区域的方法。逐步减小 z 和增大 z ，最终求到 z* 。现用下例来
最优解为： x1 = 5.0, x2 = 1.57, z1 = 341.4。 再定界：0 z* 349。
（iii）对问题 B1 再进行分枝得问题 B11 和 B12 ，它们的最优解为
-17-
B11 : x1 = 4,x 2 = 2,z 11= 340 B12 : x1 = 1.43, x2 = 3.00, z12 = 327.14
-16-
这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在本世纪六十年代初由 Land
Doig 和 Dakin 等人提出的。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解 整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂
停止。
（c） B 有最优解，但不符合问题A 的整数条件，记它的目标函数值为z 。
（ii）用观察法找问题A 的一个整数可行解，一般可取x j = 0, j = 1,L, n ，试探，
求得其目标函数值，并记作z 。以z* 表示问题A 的最优目标函数值；这
时有
z z* z
进行迭代。
第一步：分枝，在B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x j，其值为b ，j
说明：
例 3 求解下述整数规划
Max z = 40x1 + 90x2
9x1 + 7x2 56 7x1 + 20x2 70 x1, x2 0 且为整数 解 （i）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划 B ，得最优解为：
x1 = 4.8092, x2 = 1.8168, z = 355.8779 可见它不符合整数条件。这时 z 是问题 A 的最优目标函数值 z* 的上界，记作 z 。而 x1 = 0, x2 = 0 显然是问题 A 的一个整数可行解，这时 z = 0 ，是 z* 的一个下界，记作 z ， 即 0 z* 356。
5,min z = 4
5。 4
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例 2 原线性规划为
min z = x1 + x2
2x1 + 4x2 = 6, x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
其最优实数解为：x 1 = 0, x 2 =
3,min z = 2
3。 2
若限制整数得：x 1 = 1, x 2= 1,min z = 2 。
（ii） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.3 求解方法分类：
（i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
①过滤隐枚举法；
②分枝隐枚举法。
（iv）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
问题 B1 ： Max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 + 20x2 70 0 x1 4, x2 0
最优解为： x1 = 4.0, x2 = 2.1, z1 = 349 。 问题 B2 ： Max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 + 20x2 70 x1 5, x2 0
（ii）因为 x1 , x2 当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。设选 x1
进行分枝，把可行集分成 2 个子集：
x1 [4.8092] = 4 ， x1 [4.8092] + 1 = 5
因为 4 与 5 之间无整数，故这两个子集的整数解必与原可行集合整数解一致。这 一步称为分枝。这两个子集的规划及求解如下：