数学建模中的整数规划与混合整数规划
混合整数规划及其应用
混合整数规划及其应用混合整数规划（Mixed Integer Programming，MIP）是运筹学中一个重要的分支，它可以用于解决包括生产计划、物流运输、资源调度等实际问题。
本文将探讨混合整数规划的基本概念、典型模型以及应用范例。
一、基本概念1.定义混合整数规划是指在线性规划基础上加入了整数变量的限制条件，有时还将变量限制为 0/1 取值，即 0 表示不选取某个变量，1 表示选取某个变量。
2.数学模型混合整数规划的一般数学模型如下：$max\ Z=c^{T}x+d^{T}y$$s.t.$$A x+B y \leq b$$x\in R^{n}, y \in Z^{m}$其中，$x$ 是连续变量向量，$y$ 是整数变量向量，目标函数$Z$ 为一线性函数，$A$, $B$ 为系数矩阵，$b$ 为约束条件的取值。
本模型中整数变量 $y$ 的限制条件可以是 $y \in\{0,1\}^{m}$ 也可以是 $y \in Z^{m}(m>0)$。
3.求解方法求解混合整数规划可以采用分枝界限法、Gomory 切割法、随机搜索等方法。
其中，分枝界限法是运筹学中最基本的解法，其最优性原理为“不断将问题分解成子问题，逐步地去掉某些变量，直到问题变为纯整数规划问题为止，然后通过确定某些变量取值来求解”。
随机搜索法则是通过不断随机生成可行解并比较其目标值的大小进行求解。
二、典型模型1.背包问题背包问题中，有 $n$ 种不同体积和不同价值的物品，需要将它们装入一个容量为 $V$ 的背包。
每种物品只有选择或不选择两种情况。
设$w_{i}$ 为第 $i$ 种物品的价值，$v_{i}$ 为第 $i$ 种物品的体积，则该问题的混合整数规划模型为：$max\ \sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i}$$s.t.$$\sum_{i=1}^{n} v_{i} x_{i} \leq V$$x_{i} \in\{0,1\}$2.生产调度问题生产调度问题中，对于 $n$ 种产品需要进行加工，但是加工需要设备并且不同设备的加工能力存在差异。
数学建模中常用的十种算法
数学建模中常用的十种算法在数学建模中，有许多种算法可以用来解决不同类型的问题。
下面列举了数学建模中常用的十种算法。
1.线性规划算法：线性规划是一种优化问题，目标是找到一组线性约束条件下使目标函数最大或最小的变量的值。
常用的线性规划算法包括单纯形法、内点法和对偶法等。
2.非线性规划算法：非线性规划是一种目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
常见的非线性规划算法有牛顿法、拟牛顿法和遗传算法等。
3.整数规划算法：整数规划是一种线性规划的扩展，约束条件中的变量必须为整数。
常用的整数规划算法包括分支定界法、割平面法和混合整数线性规划法等。
4.动态规划算法：动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决的算法。
它适用于一类有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和最短路径问题。
5.聚类算法：聚类是一种将数据集划分为不同群组的算法。
常见的聚类算法有K均值算法、层次聚类法和DBSCAN算法等。
6.回归分析算法：回归分析是一种通过拟合一个数学模型来预测变量之间关系的算法。
常见的回归分析算法有线性回归、多项式回归和岭回归等。
7.插值算法：插值是一种通过已知数据点推断未知数据点的数值的算法。
常用的插值算法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
8.数值优化算法：数值优化是一种通过改变自变量的取值来最小化或最大化一个目标函数的算法。
常见的数值优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和模拟退火算法等。
9.随机模拟算法：随机模拟是一种使用概率分布来模拟和模拟潜在结果的算法。
常见的随机模拟算法包括蒙特卡洛方法和离散事件仿真等。
10.图论算法：图论是一种研究图和网络结构的数学理论。
常见的图论算法有最短路径算法、最小生成树算法和最大流量算法等。
以上是数学建模中常用的十种算法。
这些算法的选择取决于问题的特性和求解的要求，使用合适的算法可以更有效地解决数学建模问题。
数学建模——混合整数规划
实验四 混合整数规划一、问题重述某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。
根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。
这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。
请帮该公司解决以下问题：(1) 就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？(2) 在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。
公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A 1，A 3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A 4，A 5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A 2，A 6，A 7，A 8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？ 其中M 为你的学号后3位乘以10。
(3) 如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。
投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。
专家预测出各项目的风险率，如表2所示。
二、符号说明i A :：投资额；i b ：i A 个项目所获得的年利润；i C ：第i A 个项目投资所获得的利润； 'i C ：第i A 个项目同时投资所获得的利润；i m ：投资i A 的上限； i y ：表示0—1变量；i p ：投资第i A 个项目的投资风险；三、模型的建立 对于问题一目标函数：81max i i i c x ==∑s.t. 150000i i i i i ib x b x m ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩∑对于问题二 设定0—1变量131130...,1...,A A y A A ⎧⎨⎩项目不同时投资项目同时投资 452450...,1...,A A y A A ⎧⎨⎩项目不同时投资项目同时投资 2678326780...,,1...,,A A A A y A A A A ⎧⎨⎩,项目不同时投资,项目同时投资 目标函数：''''11133111332445524455''''322667788322667788max ()(1)()()(1)()()(1)()y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c y x c x c x c x c y x c x c x c x c =++-++++-++++++-+++s.t. 11313124545232678267831500001000i i i i i ib x k y x xx x y ky x x x x y k y x x x x x x x x y kb x m ⎧≤⎪⎪=⎪⎪≤⎪⎪≥⎪⎪≤⎨⎪⎪≥⎪⎪≤⎪⎪≥⎪⎪≤⎩∑对于问题三：目标函数：max min max()i iii i i c x b x p =∑s.t. 150000i i i i i ib x b x m ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩∑对于问题三模型的简化固定投资风险，优化收益，设a 为固定的最大风险。
数学建模竞赛常用算法
网络流概念
网络流是图论中的一个重要概念，表示在有向图中，通过边进行 传输的流量。
图的表示方法
图的常见表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边集数组等。
图与网络基本概念
图论基础
图是由节点（顶点）和边组成的一种数据结构，用于表示对象及 其之间的关系。
在非线性规划中，凸函数和凹函数的 性质对于问题的求解和分析具有重要 意义。
局部最优解与全局最优解
非线性规划问题可能存在多个局部最 优解，而全局最优解是所有局部最优 解中目标函数值最优的解。
非线性规划基本概念
非线性规划定义
凸函数与凹函数
非线性规划是一种数学优化技术，用 于求解目标函数或约束条件为非线性 函数的优化问题。
Gomory割等。
03
迭代过程
在每次迭代中生成一个或多个割平面，将原问题转化为一个更小的子问
题，然后求解子问题并更新最优解。重复此过程直到满足终止条件。
应用案例：物流配送路径优化
问题描述
物流配送路径优化问题是指在满足一定约束条件下，寻找总成本最小的配送路径。该问题 可转化为整数规划问题进行求解。
建模方法
使用单纯形法求解该线性规划模 型，得到最优的生产计划安排。 同时，可以进行灵敏度分析以了 解不同参数变化对生产计划的影
响程度。
应用案例：生产计划优化
问题描述
某企业计划生产多种产品，每种 产品需要不同的原料和加工时间， 且市场需求和原料供应有限。如 何安排生产计划以最大化利润或
最小化成本？
建模过程
将每种产品的产量作为决策变量， 以利润或成本作为目标函数，以 市场需求、原料供应和生产能力 等作为约束条件，构建线性规划
数学建模各类方法归纳总结
数学建模各类方法归纳总结数学建模是一门应用数学领域的重要学科，它旨在通过数学模型对现实世界中的问题进行分析和解决。
随着科技的不断发展和应用需求的增加，数学建模的方法也日趋多样化和丰富化。
本文将对数学建模的各类方法进行归纳总结，以期帮助读者更好地了解和应用数学建模。
一、经典方法1. 贝叶斯统计模型贝叶斯统计模型是一种基于概率和统计的建模方法。
它通过利用先验知识和已知数据来确定未知数据的后验概率分布，从而进行推理和预测。
贝叶斯统计模型在金融、医药、环境等领域具有广泛应用。
2. 数理统计模型数理统计模型是基于概率统计理论和方法的建模方法。
它通过收集和分析样本数据，构建统计模型，并通过参数估计和假设检验等方法对数据进行推断和预测。
数理统计模型在市场预测、风险评估等领域有着重要的应用。
3. 线性规划模型线性规划模型是一种优化建模方法，它通过线性目标函数和线性约束条件来描述和解决问题。
线性规划模型在供应链管理、运输优化等领域被广泛应用，能够有效地提高资源利用效率和降低成本。
4. 非线性规划模型非线性规划模型是一种对目标函数或约束条件存在非线性关系的问题进行建模和求解的方法。
非线性规划模型在经济学、物理学等领域有着广泛的应用，它能够刻画更为复杂的现实问题。
二、进阶方法1. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元系统进行信息处理的模型。
它通过构建多层神经元之间的连接关系，利用反向传播算法进行训练和学习，实现对复杂数据的建模和预测。
神经网络模型在图像识别、自然语言处理等领域取得了显著的成果。
2. 遗传算法模型遗传算法模型是一种模拟自然界生物进化过程的优化方法。
它通过模拟遗传、交叉和突变等过程，逐步搜索和优化问题的最优解。
遗传算法模型在组合优化、机器学习等领域具有广泛的应用。
3. 蒙特卡洛模拟模型蒙特卡洛模拟模型是一种基于随机模拟和概率统计的建模方法。
它通过生成大量的随机样本，通过对样本进行抽样和分析，模拟系统的运行和行为，从而对问题进行求解和评估。
整数规划在数学建模中的应用
中只有部分变 量要求取整数 ，则称 为混合整数规划 。而在某 些 线 性 规 划 问题 中 ，变 量 只 有 取 整 数 值 才 有 意 义 ， 这 时 约 束 条 件 时还 需添 上 变 量 取 整 数 值 的 ห้องสมุดไป่ตู้ 制 。这 就 是 纯 整 数 线 性 规 划 问题 （ 以下 简 称 整 数 规 划 ） 。
【 摘 要 】归纳总结 了整数规划 的基本知识和基本模 型 ，并探讨 了整数规 划在 ２ ０ ０ ９年全 国大学生数学建模竞赛 中的应 用，
对整数规 划在数 学建模 中如何应 用提供 了参考 。
【 关键词 】整数规划 ；Ｏ １ － 整数规划 ；数 学建模竞赛 ；Ｌｎ ｏ软件 ｉｇ 【 中图分类号 】Ｔ ３ １ Ｐ０． ６ 【 文献标识码 】Ａ
ａＩ ｌ＋ ａｌｘ２＋ … ＋ ａｌ ｌ ２ ａ２ ｌ＋ ａ２ ｘ２＋ … ＋ ａ２ ｌ ２
ｂ １ ｂ２
３ 模型建立 的一般步骤 ．
（ ）研 究 和 明确 问题 的要 求 和 条 件 ； １
该 模 型 直 接 利 用 Ｌ ｎ ｏ软 件 可 求 出最 优 解 。 ｉｇ
（ ）会议 筹备 模型 （ ９年数 学建 模竞 赛 Ｃ题 ） 三 ０
，
以 及投
资矩 阵 Ａ ＝ （ ） ， 中 ｎ 示 第 ｆ年 项 目 ， 所 需投 入 的 口 … 其 表 金额 。利润矩阵 ｃ ＝（ 。ｃ ， ， ｃ， ： … ｃ ），ｃ 为 ，项 目的利 润 。
２１ ０ ０年 第 ５期 （ 第 １ ９期 ） 总 ２
大 众 科 技
ＤＡ ＺＨＯＮＧ ＫＥ Ｊ
Ｎｏ． ２０ ０ ５， １
（ ｍｕａｉ ｌ Ｎ ．２ ） Ｃｕ ｌｔ ｅｙ ｏ１ ９ ｖ
整理了32个在数学建模比赛中常用的模型算法
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整数规划（数学建模）
整数规划（数学建模）-16-第⼆章整数规划§1 概论1.1 定义规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。
⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
1.2 整数规划的分类如不加特殊说明，⼀般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型⼤致可分为两类： 1o变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
1.2 整数规划特点（i ）原线性规划有最优解，当⾃变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解⼀致。
②整数规划⽆可⾏解。
例1 原线性规划为21min x x z +=0,0,5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：45min ,45,021===z x x 。
③有可⾏解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为21min x x z +=0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：23min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2min ,1,121===z x x 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整⽽获得。
1.3 求解⽅法分类：（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii ）割平⾯法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：①过滤隐枚举法；②分枝隐枚举法。
（iv ）匈⽛利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
（v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下⾯将简要介绍常⽤的⼏种求解整数规划的⽅法。
§2 分枝定界法对有约束条件的最优化问题（其可⾏解为有限数）的所有可⾏解空间恰当地进⾏系统搜索，这就是分枝与定界内容。
通常，把全部可⾏解空间反复地分割为越来越⼩的⼦集，称为分枝；并且对每个⼦集内的解集计算⼀个⽬标下界（对于最⼩值问题），这称为定界。
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数学建模作为一种解决实际问题的方法，旨在从实际问题中抽象出数学模型，
并运用数学方法来对模型进行分析和求解。
在数学建模过程中，整数规划与混
合整数规划是两种常用的数学工具，适用于解决许多实际问题。
整数规划是指在约束条件下，目标函数为整数变量的线性规划问题。
而混合整
数规划是在整数规划的基础上，允许部分变量为实数，部分变量为整数。
这两
种规划方法可以广泛应用于许多领域，如物流、生产规划、资源分配等。
整数规划的一个经典问题是背包问题。
假设有一个容量为C的背包，有n个物品，每个物品有自己的重量w和价值v。
目标是在不超过背包容量的情况下，
选择装入背包的物品，使得背包中的物品总价值最大化。
这个问题可以用整数
规划的方式进行建模和求解，将每个物品视为一个二进制变量，表示是否选择
该物品，目标函数为物品价值的总和，约束条件为背包容量不能超过C。
通过
对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到整数规划模型，并利用整数规
划算法进行求解，得到最优解。
混合整数规划在实际问题中更为常见。
一个典型的实际问题是运输网络设计问题。
假设有一组供应地和一组需求地，需要建立供需之间的运输网络，以满足
需求地对各种商品的需求，同时要考虑供给地的产能限制和运输成本。
这个问
题可以用混合整数规划的方法进行建模和求解。
将供需地视为节点，建立连通
性矩阵表示供需之间的运输路径，将路径的运输量作为决策变量，目标函数可
以是运输成本的最小化，约束条件可以包括供给地产能限制和需求地需求量的
满足。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到混合整数规划模型，并利用相应的求解算法进行求解，得到最优的运输网络设计方案。
整数规划与混合整数规划在数学建模中起着重要的作用。
它们既具备一般整数
规划问题的优点，可以提高问题的精度和可行性，又具备一般线性规划问题的
优点，可以通过线性规划算法来求解。
同时，整数规划与混合整数规划也存在
一些挑战，如求解时间长、难以处理大规模问题等。
对于这些问题，研究者们
一直在不断提出新的算法和优化方法，以提高整数规划与混合整数规划的求解
效率。
总之，整数规划与混合整数规划是数学建模中常用的数学工具，可以应用于解
决许多实际问题。
通过合理建模和求解，可以提供决策支持和优化方案，为实
际问题的解决提供有力的工具和方法。
但在实际应用中，需要根据具体问题的
特点选择合适的规划方法，并进行适当的算法优化，以确保问题能够得到准确、高效的求解。