整数规划和01规划
（最新）线性整数01规划linprog
一、Matlab在线性规划中的应用Linear Programing, 又叫线性最优化(Linear Optimization)1、(1)线性规划首先要有一个目标函数(2)要有一组控制变量(或叫决策变量),且目标函数必须是控制变量的线性组合（即只能是一个线性方程）.(3)需要一组约束条件(等式、不等式约束，特别注意这些变量是否大于0或变量的可能的取值范围) (要尽可能挖掘出所有的条件) （4）线性规划的目标是控制变量在满足约束条件下使目标函数达到最大或最小值。
1、线性规划问题即线性方程求最小值----有一个万能函数fmincon（当目标函数为多元一次方程时，它的最小值可以用此求，但有个万能的命令的fmincon）---且不能带常数项2、线性规划的函数为linprog此函数只能（只能线性方程（每项最多只有一次的多项式），n元-----------(即n元一次方程)完全可以用(因fmincon可以用来求任意方程的最小值)（任意方程，任意n元----任意条件）完全可以用代替（即可以不学linprog）两个函数都只能求最小值，（条件都只能是<=）（什么都是“小”）如要求最大值，两个函数都必须前后两次取反(1)使用格式为:x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,l,u)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,l,u,x0)（参数个数为：3/5/7/8, 少了X0或让其置于末尾）不要编程序，用向量f来表示目标方程（同线性代数中的线性方程）(2)左边还可为:[x,fval]=……[x,fval,exitflag]=……[x,fval,exitflag,output]=……[x,fval,exitflag,output,lambda]=其中lambda表示拉格朗日乘子的内容所以最好是用三个返回结果，最后要根据exitflag判断结果的有效性(用法与fmincon把函数换成了系数向量(不要编程)(2)x0不要或置于末尾---因为没有额外编写程序)(3)x0为初始向量,一般不要使用f为目标函数的系数向量A*x<=b 构成了线性不等式条件Aeq*x=beq 构成了线性等式条件l<=x<=u 构成了上下限(4)注意:A:如要求最大值,则必须对目标函数取反,转化为先求出最小值,最后再将函数值取反即为所求的最大值.B:不等式约束条件是<=,如果为>=,则必须两边乘以-1,C:如前面的某些项没有使用,必须用空矩阵[ ]d:有3、5、7个等参数线性方程中不能有常数项，如有，先不要考虑，最后在结果上再加（或减）去该常数。
运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
01整数规划课程设计
0 1整数规划课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解整数规划的基本概念，掌握0-1整数规划的特点及适用场景；2. 学会构建0-1整数规划的数学模型，并能用相关数学语言进行表达；3. 了解0-1整数规划问题的求解方法，掌握其基本原理。
技能目标：1. 能够运用0-1整数规划解决实际问题，独立设计并优化解决方案；2. 学会使用计算工具（如Excel、Lingo等）求解0-1整数规划问题；3. 能够对0-1整数规划问题进行有效分析，提出改进措施。
情感态度价值观目标：1. 培养学生面对实际问题时，运用数学知识解决问题的积极态度和自信心；2. 增强学生的团队协作意识，培养沟通与表达的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高解决问题的综合素质。
课程性质：本课程为数学学科的一门应用型课程，旨在帮助学生掌握0-1整数规划的基本知识，培养解决实际问题的能力。
学生特点：针对高中年级学生，具备一定的数学基础，对实际问题具有较强的探究欲望。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，强调学生的主体地位，提高学生的参与度和积极性。
在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 教学大纲：a. 0-1整数规划基本概念及适用场景；b. 0-1整数规划数学模型的构建；c. 0-1整数规划求解方法及原理；d. 实际问题中的应用案例分析。
2. 教学内容安排与进度：a. 0-1整数规划基本概念及适用场景（1课时）；- 介绍0-1整数规划的定义、特点；- 分析0-1整数规划在实际问题中的应用。
b. 0-1整数规划数学模型的构建（2课时）；- 学习如何用数学语言表达0-1整数规划问题；- 掌握构建0-1整数规划数学模型的方法。
c. 0-1整数规划求解方法及原理（2课时）；- 介绍求解0-1整数规划问题的主要方法；- 分析各种求解方法的原理及优缺点。
d. 实际问题中的应用案例分析（2课时）；- 分析典型实际问题，运用0-1整数规划求解；- 学生动手实践，培养解决实际问题的能力。
excelmodule3整数规划01规划的应用
3.相依决策变量--建厂才建仓库， x1>=x3，x2>=x4
4.决策变量 xi = 0,1 (i = 1,2,3,4)
Chap 15-8
例4 连锁店选址
某连锁店计划在城区的东南西北部建店。有10个位置可供参考。每个 位置的预计投资额和利润如表。并有如下条件：
Cost ($/hour) Location 1 Location 2 Location 3 Location 4 Location 5
Machine 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13
16
12
14
15
Machine 2
15
--
13
20
16
Machine 3
4
7
10
6
7Chap 15-23
指派（分配）问题是0-1规划的特例，也是运 输问题的特例，在指派问题模型中，每一个产地 的提供量和每一个目的地的需求量均为1，即n=m, ai=bi=1 。
Chap 15-18
指派问题一般模型
1.一般模型：
设c 0 : 第i个人完成第j项任务的效率 ij
（时间成本等）
引入x ij
1
0
第i个人完成第j项任务 否则
模型：
min
(
P
)
s.t
.
nn
f
cij
x ij
i 1 j1
n
x ij
1,
j
1,, n 每项任务一人
i 1
n
x ij
1,
i
1,, n
每人一项任务
整数规划与01规划
. y j
1, 0,
采用第 j种方式，即x j 0， 不采用第 j种方式，即x j 0
于是目标函数
min z (k1 y1 c1x1) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3x3 )
23
0-1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规 划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就 需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大 （例如n>10），这几乎是不可能的。因此常设计一些 方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问 题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然， 对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是 必要的。
24
例6
Max
z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
x1 x1
4x2 x2 , x3 0或1
求解思路及改进措施：
1.
先试探性求一个可行解，易看出
且相应的目标函数值为 z 3
(
x1,
x2
,
x3
)
(1,
0,
0)
满足约束条件，故为一个可行解，
z 为 。
14
小结（续）
z z ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,L , n 试探，求得其目标函数值，并记作 。以 * 表示问题的最优目标 函数值；这时有 z z* z
其次，进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]
表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件: x j [bj ] x j [bj ] 1
01型整数规划模型
01型整数规划模型§5.4 0—1型整数规划模型1、 0—1型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为⾮负整数值的⼀类线性规划，在实际问题的应⽤中，整数规划模型对应着⼤量的⽣产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平⾯解法（这⾥不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。
在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的⼀类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着⼤量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举⼀些模型范例，以说明这个事实。
0—1型整数规划的的数学模型为：⽬标函数 n n x c x c x c z Min Max +++=ΛΛ2211)( 约束条件为：==≥≤++=≥≤++=≥≤++1| 0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ这⾥，0 | 1表⽰0或1。
2、0—1型整数规划模型的解法0—1型整数规划模型的解法⼀般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量nx x x , , ,21ΛΛ的每⼀个0或1值，均⽐较其⽬标函数值的⼤⼩，以从中求出最优解。
这种⽅法⼀般适⽤于决策变量个数n 较⼩的情况，当n 较⼤时，由于n 个0、1的可能组合数为n2，故此时即便⽤计算机进⾏穷举来求最优解，也⼏乎是不可能的。
隐枚举法是增加了过滤条件的⼀类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使⽤。
此时，就只能⽤穷举法了。
3. 应⽤实例例1 ⼯程上马的决策问题1）问题的提出某部门三年内有四项⼯程可以考虑上马，每项⼯程的期望收益和年度费⽤（千元）如下表所⽰：假定每⼀项已选定的⼯程要在三年内完成，是确定应该上马哪些⼯程，⽅能使该部门可能的期望收益最⼤。
0-1型整数线性规划模型理论
0-1型整数线性规划模型理论(1) 0-1型整数线性规划0-1型整数线性规划是一类特殊的整数规划,它的变量仅取值0或1.其模型如下:T min ..01(1,2,,)j f s t x j n =⎧⎨=⎩c xAx =b 取或 其中()T 12,,,,n c c c =c ()T 12,,,,n x x x =x (),ij m na ⨯=A ()T 12,,,.mb b b =b 称此时的决策变量为0-1变量,或称二进制变量.在实际问题中,如果引进0-1变量,就可以把各种需要分别讨论的线性(或非线性)规划问题统一在一个问题中讨论了.(2) 求解0-1型整数线性规划的分支界定法Matlab 指令x = bintprog(f,A,b): 求解0-1型整数线性规划,用法类似于linprog.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq): 求解下述线性规划问题:T min ,z =f x ≤Ax b ,≤Ax b ,⋅≤Aeq x beq ,x 分量取0或1.x = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0): 指迭代初值x0,如果没有不等式约束,可用[]代替A,b 表示默认,如果没有等式约束,可用[]代替Aeq 和beq 表示默认;用[x,fval]代替上述各命令行中左边的x,则可得到最优解处的函数值fval.例如：求解0-1型整数线性规划模型:1min ni i Z x ==∑()()()12345356894679123471256758129232200..20002001(1,2,,9)j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x j ⎧-++++≤-⎪-++++≤-⎪⎪-+++≤-⎪⎪--+≤⎪-≤⎪⎨--+≤⎪⎪-≤⎪-+≤⎪⎪--+≤⎪⎪==⎩或用Matlab 软件编程可解得1236791x x x x x x ======,其他变量为0,共六门课,满足所给条件, Matlab程序代码如下：c = ones(1,9);a =[-1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,0,-1,0,-1,-1,0,-1,-1;0,0,0,-1,0,-1,-1,0,-1;-1,-1,2,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,-1,0, 0;-1,-1,0,0,2,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,-1,0,0;0,0,0,0,-1,0,0,1,0;-1,-1,0,0,0,0,0,0,2];b = [-2;-3;-2;0;0;0;0;0;0];A = [5 4 4 3 4 3 2 2 3];x = bintprog(c,a,b)f = A*x运行结果：Optimization terminated.x =111111f =20。
MATLAB求解线性规划(含整数规划和01规划)问题
MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。
如：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。
但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。
最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。
但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。
一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。
我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。
为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。
我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∙≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥⎩于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。
求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。
打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：min .Tx f x A X b s t Aeq X beq lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩公式中各符号的意义是自明的，在这里简单介绍下，首先MATLAB 中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A ，b 分别为不等式约束中的系数矩阵。
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·分支定界法
对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的 所有可行解空间恰当地进行系 统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行 解空间反复地分割为越来越小的子 集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目 标下界（对于最小值问题），这称 为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集 目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集 可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思 路。
Mathematical modeling
8
解: 设每周生产Ⅰ、Ⅱ号杯各 x1, x2百箱,则有如下
数学模型
max z 500x1 450x2
6x1 5x2 60 10x1 20x2 150 x1 8 x1, x2 0且为整数
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9
·完全枚举法
Mathematical modeling
16
例5一个旅行者要到某地作两周的带包旅行,装背包时,他发 现除了已装的必需物件外,他还能再装5公斤重的东西.他打 算从下列4种东西中选取,使增加的重量不超过5公斤又能使 使用价值最大.这4种东西的重量和使用价值(这里用打分数 的办法表示价值)如下表所示,问旅行者应该选取哪些物件为 好？
Mathematical modeling
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解：建立模型为
max Z=6x1 7x2 3x3 9x4
s.t.
2x1 3x2 x3 4x4 5
xi
0,1i
1, 2,3, 4
Mathematical modeling
18
Mathematical modeling
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由上表可知，问题的最优解为 X*=( x1 =1 x2=0 x3=1 ) 但此法 太繁琐，工作量相当大。而隐枚举法就是在此基础上，通过加 入一定的条件，就能较快的求得最优解： 找到x1 =0 x2=0 x3=1 是一个可行解，为尽快找到最优解，可将3 x1－2 x2＋5 x3 ≥5 作为一个约束，凡是目标函数值小于5 的组合不必讨论， 如下表。
故按整数规划约束条 件，其可行解肯定在线性 规划问题的可行域内且为 整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限 集，求如得图（所2示，。2）（3，1）点为最大值，。
在求解整数规划问题时，可将集合内的整数点一一找 出，其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。
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Mathematical modeling
Mathematical modeling
6
(1) 原线性规划有最优解，当自变量限制为 整数后，其整数规划解出现下述情况：
a原线性规划最优解全是整数，则整数规 划最优解与线性规划最优解一致。
b原线性规划最优解不全是整数，则整数 规划最优解小于原线性规划最优解（max） 或整数规划最优解大于原线性规划最优解 （min）。
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·0-1整数规划
1.什么是0-1整数规划？
0-1 整数规划是一种特殊形式的整数规划， 这时的决策变量xi 只取两个值0或1，一般的解 法为隐枚举法。
2.什么时候采用0-1整数规划法？
正如计算机只懂得0,1两个数，1代表是，0代 表否。同样的，在0-1整数规划中的0和1并不是 真真意义上的数，而是一个衡量事件是否发生 的标准。一般来说，我们在从多个事物中选出 其中一部分，在一定的条件下求解最优情况时 可以采用0-1整数规划法。
Mathematical modeling
12
例4 用分支定界法求以下整数规划
max z 5x1 8x2
5x1x1x92
x2
6
45
xx
,
x2
0且为整数
Mathematical modeling
13
x2
x1
Mathematical modeling
14
开始
V0 X1=2.25,X2=3.75;Z0=41.25
Mathematical modeling
7
例2 今有一台机器将一周生产的两种型号的冷饮杯 存储在150立方米的储藏室 里,并同时进行出售.已知 这台机器能在6小时内生产一百箱Ⅰ号杯,5小时内生 产一百箱Ⅱ号杯,生产以百箱为单位计算,预计每周 生产60小时.如果Ⅰ号杯每百箱占体积10立方米,每 百箱可获利润500元,每周售出数量不会超过800箱 ;Ⅱ号杯每百箱占体积20立方米, 每百箱可获利润 450元,每周售出数量不受限制.为保证总收益为最大, 每周应安排生产Ⅰ、Ⅱ号杯各多少百箱？
2
整数规划的分类
变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
Mathematical modeling
3
·整数规划模型的建立 ·整数规划模型的求解
·完全枚举法 ·分支定界法 ·割平面法
·0-1数规划模整型
Mathematical modeling
Mathematical modeling
整数规划是什么?
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规 划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数 线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适 用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一 切整数规划。
Mathematical modeling
X2≤3
X2≥4
V1 X1=3,X2=3,Z2=39 V2 X1=1.8,X2=4,Z1=41
X1≤1
X1≥2
V3 X1=1,X2=4.44, Z4=40.56
V4 不可行
X2≤4
X2≥5
V5 X1=1,X2=4,Z5=37 V6 X1=0,X2=5,Z6=40
Mathematical modeling
4
例1 集装箱运货问题：
已知甲乙两种货物的装运和获利情况如下表所示，问：甲乙两 货物各托运多少箱，可使获得利润最大？
Mathematical modeling
5
解：设 x1, x2 为甲乙两货物各托运箱数
max z 20x1 10x2
52xx11
4x2 5x2
24 13
x1,
x2
0且为整数
例3：设整数规划问题如下
max z x1 x2
146xx1 193xx22
51 1
x1
,
x2
0且为整数
Mathematical modeling
10
现求整数解（最优 解）：如用“舍入取整法” 可得到4个点即(1，3) (2，3)(1，4)(2，4)。显 然，它们都不可能是整数 规划的最优解。