整数规划和混合整数规划
数学建模中的整数规划与混合整数规划
数学建模作为一种解决实际问题的方法，旨在从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学方法来对模型进行分析和求解。
在数学建模过程中，整数规划与混合整数规划是两种常用的数学工具，适用于解决许多实际问题。
整数规划是指在约束条件下，目标函数为整数变量的线性规划问题。
而混合整数规划是在整数规划的基础上，允许部分变量为实数，部分变量为整数。
这两种规划方法可以广泛应用于许多领域，如物流、生产规划、资源分配等。
整数规划的一个经典问题是背包问题。
假设有一个容量为C的背包，有n个物品，每个物品有自己的重量w和价值v。
目标是在不超过背包容量的情况下，选择装入背包的物品，使得背包中的物品总价值最大化。
这个问题可以用整数规划的方式进行建模和求解，将每个物品视为一个二进制变量，表示是否选择该物品，目标函数为物品价值的总和，约束条件为背包容量不能超过C。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到整数规划模型，并利用整数规划算法进行求解，得到最优解。
混合整数规划在实际问题中更为常见。
一个典型的实际问题是运输网络设计问题。
假设有一组供应地和一组需求地，需要建立供需之间的运输网络，以满足需求地对各种商品的需求，同时要考虑供给地的产能限制和运输成本。
这个问题可以用混合整数规划的方法进行建模和求解。
将供需地视为节点，建立连通性矩阵表示供需之间的运输路径，将路径的运输量作为决策变量，目标函数可以是运输成本的最小化，约束条件可以包括供给地产能限制和需求地需求量的满足。
通过对目标函数和约束条件的线性化处理，可以得到混合整数规划模型，并利用相应的求解算法进行求解，得到最优的运输网络设计方案。
整数规划与混合整数规划在数学建模中起着重要的作用。
它们既具备一般整数规划问题的优点，可以提高问题的精度和可行性，又具备一般线性规划问题的优点，可以通过线性规划算法来求解。
同时，整数规划与混合整数规划也存在一些挑战，如求解时间长、难以处理大规模问题等。
对于这些问题，研究者们一直在不断提出新的算法和优化方法，以提高整数规划与混合整数规划的求解效率。
第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
基于整数线性规划和混合整数线性规划的投资组合优化
1引言线性规划是用来寻求变量处于线性关系时的有效方法，在项目选择、投资组合优化、季节收益预测等问题中有多种应用。
整数规划与线性规划非常相似，但它要求所有或部分变量是整数。
某些情况下，整数规划更可取，如二元变量的管理决策。
部分决策变量为整数的模型，称为混合整数规划。
本文将会研究整数线性规划在投资组合优化中的应用。
模型A ，即整数线性规划（ILP ）模型可以看作NP 完全问题中的0-1背包问题，通过模型A 找出可选入投资组合的股票。
另一个模型是混合整数线性规划（MILP ），这里使用的是有限资产平均绝对偏差（LAMAD ）模型的演变来确定投资所选股票的确切数量，分配最合适的权重，以达到风险最小化、回报最大化的效果。
本文采用3种算法求解：分支剪界算法、动态规划算法和贪心算法。
分支剪界算法用CPLEX 12.6实现，动态规划算法和贪心算法在Eclipse 标准4.4平台上，用Java 语言实现，所采用的股票信息和数据由NASDAQ 和yahoo finance 网站获取。
2算法介绍以下介绍的算法都可以归属于启发法的范畴。
启发法是指不以找到问题的最佳或最确切的解决方案为目标的技术，而是找到一个足够可信的解决方案的方法。
直觉判断、刻板印象和常识都属于这个“范畴”。
它非常适用于在计算或搜索过于详尽和不实际的情况下，通过心理捷径来加快得到满意解决方案的过程，以减轻作出决策的认知负担。
它有常见的几种策略：第一种是将问题的目标状态进行切分，然后通过实现子目标逐渐实现总的目的；第二种是从最终目标状态逆向去寻找达到这个状态的途径；第三种是逐步收缩初始状态和目标状态的距离的方法。
元启发式是指导搜索过程的策略或上层方法论，元启发式的目标是有效地探索搜索空间，以找到最接近的最优解。
启发式依赖于问题，用于确定特定问题的“足够好”的解决方案，而元启发式就像一种设计模式，可以应用于更广泛的问题。
启发式方法特别适用于混合整数规划，因为混合整数规划太大而无法求解最优，而线性规划较为松弛，可以在合理的时间内求解。
数模常用算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数非线性规划（蒙特卡洛法）
数模常⽤算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数⾮线性规划（蒙特卡洛法）整数线性规划求解----分枝定界法什么是整数规划?线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中,变量限制为整数，则称为整数线性规划。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。
⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
整数规划的分类- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划什么是分枝定界法原理如下：设有最⼤化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优⽬标函数必是A的最优⽬标函数z^*的上界\overline{z}；⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值将是z^*的⼀个下界\underline z ,分枝定界法就是将B的可⾏域分成⼦区域的⽅法。
逐步减⼩\overline z和增⼤\underline z最终求到z^*本质就是个分治回溯,逼近最⼤值的算法。
Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于⽐较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了⼀下没问题就码上来了，如果有错，请⼀定联系~~）% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，% now是⽬前已经知道的整数解的最⼤值function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)ret = 0;[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值if fval < nowy = fval;return;end % 如果得到的当前最优解fval⼩于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。
for i = 1 : length(x)if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0,则表⽰是⼩数。
第4章 整数规划
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于： 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如： 部分的或全部的为整数。例如：
m Z = x + x2 ax 1 14 1 x +9x2 ≤ 51 −6x +3x2 ≤1 1 x , x ≥ 0且 整 为 数 1 2
(纯整数规划问题) 纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： 为第i天开始上班的人数： Min： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 +x5+x6+x7≥13 x1+x2 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7） i=1,2,…,7）
例：某市6 例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15 生火警时，消防车能在15分 15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划 布点问题的数学模型：
设0−1为决策变量，当表示i地区设站，表示i 为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
3 整数规划
x1 100 2 5 100 … 1 0 0
x2 x3 x4 160 0 0 2 1 0 9 0 1 160 0 0 … … … 0 9/8 -1/4 1 -5/8 1/4 0 -25/2 -15
b 12 45 … 9/4 15/4
θ
…
maxZ=100x1+160x2 是最优解，但不是整数最优解，引入割平面，在最终单 将该约束条件中的非整数系数均表示为： 2x1+2x2 +x3=12 纯形表中选一个约束条件进行分割。 a =[a]+a0 X*=（9/4，15/4）T 5x +9x +x =45 3x3+2x4 ≥6 4 1 2 Z*=825 x1, x2 x3, x4 ≥0
g2 ＝-7+5x1+3x2 +2x3+x4≤0
5x1+3x2 +2x3+x4≤7
x1, x2 , x3 , x4 ＝0,1
序号 1
解X T (0,0,0,0)
Z 0
g1≥0 1
g2≤0 -7
满足否 √
过滤条件 0
2
3 4 5 6
(0,0,0,1)
(0,0,1,0) (0,0,1,1) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
货物 甲 乙 运输能力 体积 重量 利润 （m3/箱） （m3/箱） （m3/箱） 2 2 12 1 1.8 9 100 160
设：建甲宿舍x1幢，乙宿舍x2幢 maxZ=10x1+20x2 0.25x1+0.4x2 ≤3 x1 ≤8 x2 ≤4 x1, x2≥0且为整数
整数规划的数学模型的一般形式
x j bk akj
j m 1
整数规划
5 2 C = 0 0
0 2 0 3 0 0 0 6 7 8 0 0
步骤3： 若 n ，作最少直线覆盖当前零元素。 已知例12中的系数矩阵为 ⒈变换系数矩阵
4 7 C = 6 6 6
8 7 15 12 9 17 14 7 9 12 6 10 7 14 8 10 9 6 10 8
最多有3个独立0元素！
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 0 5 6 7 8 0 0
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 7 5 6 0 8 0 3
至于如何找覆盖零元素的最少直线，通过例子来说明。 例1 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
整数线性规划数学模型的一般形式为：
max(or min) z = ∑ c j x j n ∑ aij x j ≤ (or =, ≥)bi , i = 1, 2,L , m s.t j =1 x j ≥ 0, x j 中部分或全部为整数， = 1, 2,L , n j
j =1
n
整数线性规划类型
B1 B2 B3 B4 B5
C=
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1 xij = 0
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成 营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑 公司 Ai (i = 1,2, L ,5) 对新商店B j ( j = 1,2, L,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j = 1,2, L ,5) , 见矩阵C。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
整数规划(IP)问题
B2的最优解不是整数z， z且 需要继续分枝。
完整版ppt
19
max
s
.t
.
(B3)
f 10 x 1 20 x 2 max
5 x 1 8 x 2 60
s
.t
.
x1 8 x2 4
(B4)
x1 6
x2 3 x1, x2 0
f 10 x 1 20 x 2 5 x 1 8 x 2 60 x1 8 x2 4 x1 6 x2 4 x 1 , x 2 0 树叶
问题的目标函数大 值的 中一 最个作为新， 的新 上界
的上界应小于原界 来， 的在 上分枝定界个 法求 的整
解过程中，上界不 的 完整版断 值 ppt 减 在少 . 。
18
z0
z 136
x
* 1
(5,
4)T
f
* 1
130
x2* (6, 3.75)T
f
* 2
135
修改下z界 13.0 修改上 z界 13.5
max cx
Axb
ST: xi 0,xi部分或全部为整数
min cx
ST:
Axb
xi 0, xi部分或全部为整数
完整版ppt
4
3、与LP问题的区别
（1）求解方法方面 在例1中，
求ILP问题的伴随规划的最优解(值)为：
x*(4.8,0),Z*96
而x(1) (5,0)不是可行解；
x(2) (4,0)是可行Z解 8， 非 0 但 最优值
本 例 中 ， 很 容 易 得 到 一 个 整 数 可 行 解 （ 0 ， 0 )T, 所 以 令 z 0 .
完整版ppt
14
(B 0)最 优 解 ： x0 *(5 .6 ,4 )T .
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2015/10/22
应用优化技术
min
Cij xij Fi yi
i, j
i
n
s.t.
xij Si yi
j 1
i 1, , n
n
xij d j
i 1
j 1, , n
n
yi m
i 1
yi 0或1
xij 0
6
i, j 1, 2, , n
实例三
调和问题：利用一些成分 调和为一个产品
N
1 INT
log
yU log 2
yL
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应用优化技术
LP 0-1规划
4
实例一
0-1背包问题
容积v
物品j：价值wj，体积vj
设
1 xj 0
j放入 j不放
max
n
wj xj
j 1
n
s.t.
vjxj v
j 1
x j 0或1, j 1, 2 , n
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min x0
xij
1 0
a j 在i上加工 a j 不在i上加工
n
s.t.
a j xij x0 i 1, , m
j 1
m
xij =1
j 1, , n
i 1
xij (0,1) i 1, , m，j 1, , n
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9
整数规划解法概述
枚举
可行方案的数目常常是有限 求解实际问题不现实
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隐数法
n
min z cj xj j 1
n
s.t. aij x j bi i 1, 2, , m j 1
xj 0或1 j 1, 2, , n
cj 0 0 c1 c2 cn
化为标准形式
对目标函数求极大值时，将目标函数中的系数加上负号，改为 求极小值
尽量让变量取0，除 非不得已，再使某些 变量取1
min z 8x1 2x2 4x3 7x4 5x5 s.t. 3x1 3x2 x3 2x4 3x5 2
5x1 3x2 2x3 x4 x5 4 x1, x2 , x3 , x4 , x5 0或1
x1 1
② 可行z＝8
④ 不可行可分
14
分解
问题(P)的可行解集合——FS(P) 子问题(P1)、 (P2)、… 、 (Pn)定义为问题(P) 的一个分解nFS(Pi ) FS(P)
i 1
FS(Pi ) FS(Pj )
1i j n
(P)——父（结点）问题
(P1)、 (P2)、… 、 (Pn)——子（结点）问题
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实例二
工厂选址问题
n个城市，需要某种物资数量为d1， d2，…， dn 现计划建造m座工厂
假设在城市j建厂，规模为Sj，投资为Fj，从城市i到j的单位运 价为Cij
问m个工厂应设在何处，使满足需要且成本最低
1 若有一个工厂建在城市i
yi 0
i不建厂
xij 为i运往j的物资总量
i0
xij 1 任意非空真子集S 0,1, , n
jS jS
nn
xij n 1
i0 j0
xij 0或1 i，j 0, , n
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8
实例五
加工问题
m台机床， n种零件
加工时间 a1, a2, , an
如何分配，使各机床总加工任务相等，或尽可能均
衡
通常矛盾，需要折中
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探测
令(CS)为一个候选的子问题，要确定(CS)的可 行域F(CS)中是否包含(P)的最优解，如有，找 到它
已探明，如果
F(CS)中没有比已知的一个最好解更好的解 找到(CS)的最优解
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探测
探测准则
P4
: (98 /11, 2), x0
52 8 11
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12
整数规划与混合整数规划
混合整数规划问题 分支定界法 0-1规划的隐数法 割平面法 混合整数非线性规划
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分支定界法
分解 松弛 探测
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一大类 优化命题
f,h,g线性 LP Y空
f,h,g非线性 NLP
f,h,g线性 Y非空
MILP
f,h,g非线性 MINLP
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3
混合整数线性规划问题
min cT x d T y x, y
s.t. Ax By b x 0, x X Rn
y 0,1
y yL z1 2z2 4z3 2N 1 zN
A0 , Ai1, Ai2 , , Ain , A0
形成回路
对任意Ai、Aj，引入 xij (0,1) 若紧跟着Ai后的是Aj，取 xij 1，否则 xij 0
nn
min
dij xij
i0 j0
n
s.t.
xij 1 i 0, , n
j0
前后各一 个城市
n
xij 1 j 0, , n
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15
分解
常用的划分子问题方法 两分法
xj 是(P)的0-1变量， (P)可按 xj 1 和 xj 0 分解 x j 是整数，可按 xj xj 和 xj xj 1 分解
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松弛
松弛问题(RP)
放弃(P)的某些约束条件，所得到的问题 FS(P) FS(RP) 性质
最优性 探测
(RCS)——(CS)的松弛问题
zRCS——(RCS)的最优值 zCS——(CS)的最优值 z*——目前为止的最优值，如果还无(P)的可行解，z*=+
可行性 探测
如果(RCS)无可行解，则(CS)无可行解，已探明，可 从(P)的分解表中删去
如果zRCS ≥z*，无更好的可行解，探明，可删去 如果(RCS)的最优解是(CS)的可行解，则已求得(CS)
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应用优化技术
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分支定界法
(1) 初始化：MILP问题作为(CS)， z*=+
(2) 终止：如果CS列表为空，终止，当前z*为最优解，如果 不存在，则原问题无可行解
(3) (CS)问题的选取：从子问题列表中选一个
(4) 松弛： (CS)(RCS)zRCS (5) 探测：
I. 如果(RCS)无可行解 (CS)无可行解(2)
y变量的一个子集置为0或1，其 它看作[0，1]之间的连续变量。 (RCS)11和(RCS)12两个子问题的解 为(RCS)01解的上界
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应用优化技术
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线性规划松弛的分支定界
例：
min 2x1 3y1 2 y2 3y3
s.t. x1 y1 y2 y3 2 10x1 5 y1 3y2 4 y3 10 x1 0 y1, y2 , y3 0,1
II. 如果zRCS ≥z* (RCS)中无更好的解(2) III. 如果(RCS)的最优解是(CS)的可行解，则是(CS)的最优解，如
果zRCS <z*，更新z* (2)
(6) 分解：分解(CS)，将子问题加入(CS)问题列表中
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应用优化技术
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分支定界法
利用先验知识，赋予问题最优值尽可能好的上下界，给 出(CS) 列表
I J
整点凸包 OEFGHIJ
H
B
G
F
x0 58, x1 2, x2 4
O
EA
x1
割平面法
x0 58.8, x1 9.2, x2 2.4
先不考虑整数限制求线性规划问题的解
然后增加新的约束，这些约束将整数限制松弛后所扩大的可行域逐步 割掉，但不割掉任何可行的整数解
最后使所得到的线性规划问题的最优解就是原问题的最优整数解
约束不等式为≥时，两边乘以-1改为≤
约束为等式时，改为≥和≤两个不等式，再在≥式两边乘以-1使
之变为≤
若
cj
0，取
x
j
1
xj
x3 1
①
x1 0
③不可行可分
x2 1
x2 0
⑤
不可行不可分
x3 0
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⑥ 可行z=6
应用优化技术
x4 1
⑦不可行可分
x4 0
⑧
⑨
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不可行不可分 不可行不可分
隐数法
主要思想
给出一组值（ 由某个子结点的固定变量和自由变量构成）， 计算目标值，决定有无必要再去验证这组值的可行性。如果这 个目标值比已有的目标值还大，就无必要再去验证其可行性， 更无必要对该结点再作分解
xj——连续用量的j成分的量 yk——1或0表示离散用量的
成分用或不用； vk表示用量 cj ，dk——成分的成本 aij——成分j中i组分分量 如何调和使得产品质量合格
且成本最低？
min c j x j dk vk yk
j
k
s.t. wl x j vk yk wu
j
k
Ail aij x j aik vk yk Aiu
最优
z* 6 x 0 ( y1, y2 , y3 ) (1, 0,1)
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应用优化技术
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整数规划与混合整数规划
混合整数规划问题 分支定界法 0-1规划的隐数法 割平面法 混合整数非线性规划